Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Garis Bilangan
Matematika
1. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan bentuk-bentuk berikut:
- x² − 5x + 6 > 0
- 2x² + 3x − 2 ≤ 0
- x² − 4 < 0
- −x² + x + 6 ≥ 0
Apa kesamaan dari bentuk-bentuk di atas? Apa yang membedakannya dari persamaan kuadrat?
Definisi:
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat variabel berpangkat dua (kuadrat) dengan bentuk umum:
ax² + bx + c > 0, atau ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0, atau ax² + bx + c ≤ 0
dengan a, b, c ∈ ℝ dan a ≠ 0.
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, pertanyaan yang muncul:
- Bagaimana cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat?
- Apa hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat?
- Bagaimana cara menggunakan garis bilangan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat?
Perbedaan dengan Persamaan Kuadrat:
| Persamaan Kuadrat | Pertidaksamaan Kuadrat |
|---|---|
| Menggunakan tanda “=” | Menggunakan tanda “>”, “<“, “≥”, “≤” |
| Penyelesaian berupa nilai tertentu | Penyelesaian berupa interval/selang |
| Contoh: x² − 5x + 6 = 0 | Contoh: x² − 5x + 6 > 0 |
2. Langkah-Langkah Penyelesaian dengan Garis Bilangan
Kegiatan: Menalar
Kita akan mempelajari metode garis bilangan (uji tanda) untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Metode ini mengandalkan sifat perkalian dua bilangan:
- Jika A × B > 0, maka keduanya positif atau keduanya negatif.
- Jika A × B < 0, maka salah satu positif dan satunya negatif.
Langkah-langkah:
- Pastikan koefisien a > 0 (koefisien x² positif). Jika negatif, kalikan kedua ruas dengan −1 dan balik tanda pertidaksamaan.
- Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk (x − x₁)(x − x₂) dengan x₁ ≤ x₂.
- Tentukan akar-akar (pembuat nol): x₁ dan x₂.
- Gambar garis bilangan dan tandai titik x₁ dan x₂.
- Tentukan tanda pada setiap interval:
- Interval x < x₁
- Interval x₁ < x < x₂
- Interval x > x₂
- Pilih interval yang memenuhi tanda pertidaksamaan.
- Tuliskan himpunan penyelesaian dalam notasi interval atau notasi himpunan.
Kegiatan: Mencoba
Mari kita coba dengan contoh sederhana: x² − 5x + 6 > 0
- Koefisien a = 1 > 0 ✓
- Faktorkan: (x − 2)(x − 3) > 0
- Akar-akar: x₁ = 2, x₂ = 3
- Garis bilangan:
Karena kita mencari > 0 (positif), pilih daerah bertanda +.
HP = {x | x < 2 atau x > 3} = (−∞, 2) ∪ (3, +∞)
⚡ Aturan Cepat (untuk a > 0):
| Pertidaksamaan | Himpunan Penyelesaian |
|---|---|
| (x−x₁)(x−x₂) > 0 | x < x₁ atau x > x₂ |
| (x−x₁)(x−x₂) ≥ 0 | x ≤ x₁ atau x ≥ x₂ |
| (x−x₁)(x−x₂) < 0 | x₁ < x < x₂ |
| (x−x₁)(x−x₂) ≤ 0 | x₁ ≤ x ≤ x₂ |
*dengan x₁ < x₂
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Tuliskan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam berbagai bentuk notasi:
| Notasi Himpunan | Notasi Interval | Garis Bilangan |
|---|---|---|
| {x | x < 2 atau x > 3} | (−∞, 2) ∪ (3, +∞) | Arsir kiri 2, arsir kanan 3 |
| {x | 2 ≤ x ≤ 3} | [2, 3] | Arsir antara 2 dan 3 (tertutup) |
Keterangan simbol pada garis bilangan:
- ● (bulat penuh/tertutup) = titik termasuk penyelesaian (≤ atau ≥)
- ○ (bulat kosong/terbuka) = titik tidak termasuk penyelesaian (< atau >)
3. Contoh Soal Mudah
Contoh 1 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² − 4x + 3 > 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Koefisien a = 1 > 0 ✓
Langkah 2: Faktorkan: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
Langkah 3: Akar-akar: x₁ = 1, x₂ = 3
Langkah 4: Garis bilangan:
Langkah 5: Karena > 0, pilih daerah +
HP = {x | x < 1 atau x > 3} = (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
Contoh 2 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² − x − 6 < 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 1 > 0 ✓
Langkah 2: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
Langkah 3: Akar: x₁ = −2, x₂ = 3
Langkah 4: Garis bilangan:
Langkah 5: Karena < 0, pilih daerah −
HP = {x | −2 < x < 3} = (−2, 3)
Contoh 3 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² − 9 ≤ 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 1 > 0 ✓
Langkah 2: x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Langkah 3: Akar: x₁ = −3, x₂ = 3
Langkah 4: Garis bilangan:
Langkah 5: Karena ≤ 0, pilih daerah − dan titik-titik batas (bulat penuh).
HP = {x | −3 ≤ x ≤ 3} = [−3, 3]
Contoh 4 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 2x − 8 ≥ 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 1 > 0 ✓
Langkah 2: x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
Langkah 3: Akar: x₁ = −4, x₂ = 2
Langkah 4: Garis bilangan:
Langkah 5: Karena ≥ 0, pilih daerah + dan titik batas (tertutup).
HP = {x | x ≤ −4 atau x ≥ 2} = (−∞, −4] ∪ [2, +∞)
Contoh 5 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² − 6x + 8 < 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 1 > 0 ✓
Langkah 2: x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4)
Langkah 3: Akar: x₁ = 2, x₂ = 4
Langkah 4: Garis bilangan:
Langkah 5: Karena < 0, pilih daerah −
HP = {x | 2 < x < 4} = (2, 4)
4. Contoh Soal Sedang
Contoh 1 (Sedang)
Tentukan HP dari 2x² − 5x − 3 > 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 2 > 0 ✓
Langkah 2: Faktorkan: 2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3)
Cek: 2x·x = 2x², 2x·(−3) + 1·x = −6x + x = −5x, 1·(−3) = −3 ✓
Langkah 3: Akar: 2x + 1 = 0 → x = −½, x − 3 = 0 → x = 3
Langkah 4: Garis bilangan:
HP = {x | x < −½ atau x > 3} = (−∞, −½) ∪ (3, +∞)
Contoh 2 (Sedang)
Tentukan HP dari −x² + 4x − 3 ≥ 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = −1 < 0, kalikan −1 dan balik tanda:
x² − 4x + 3 ≤ 0
Langkah 2: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
Langkah 3: Akar: x₁ = 1, x₂ = 3
Langkah 4: Garis bilangan:
Langkah 5: Karena ≤ 0, pilih daerah − dan titik batas.
HP = {x | 1 ≤ x ≤ 3} = [1, 3]
Contoh 3 (Sedang)
Tentukan HP dari 3x² + 7x − 6 ≤ 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 3 > 0 ✓
Langkah 2: 3x² + 7x − 6 = (3x − 2)(x + 3)
Cek: 3x·x + 3x·3 − 2·x − 2·3 = 3x² + 9x − 2x − 6 = 3x² + 7x − 6 ✓
Langkah 3: Akar: x = ⅔, x = −3
Langkah 4: Urutkan: x₁ = −3, x₂ = ⅔
HP = {x | −3 ≤ x ≤ ⅔} = [−3, ⅔]
Contoh 4 (Sedang)
Tentukan HP dari x² − 2x − 15 > 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 1 > 0 ✓
Langkah 2: x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3)
Langkah 3: Akar: x₁ = −3, x₂ = 5
HP = {x | x < −3 atau x > 5} = (−∞, −3) ∪ (5, +∞)
Contoh 5 (Sedang)
Tentukan HP dari −2x² + 7x − 3 < 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = −2 < 0, kalikan −1:
2x² − 7x + 3 > 0
Langkah 2: 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3)
Langkah 3: Akar: x = ½, x = 3
HP = {x | x < ½ atau x > 3} = (−∞, ½) ∪ (3, +∞)
5. Contoh Soal Sulit
Contoh 1 (Sulit)
Tentukan HP dari 6x² − x − 12 ≤ 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 6 > 0 ✓
Langkah 2: Gunakan rumus abc: D = 1 + 288 = 289, √D = 17
x = (1 ± 17)/12
x₁ = (1 − 17)/12 = −16/12 = −4/3
x₂ = (1 + 17)/12 = 18/12 = 3/2
Langkah 3: Faktor: (x + 4/3)(x − 3/2) ≤ 0
HP = {x | −4/3 ≤ x ≤ 3/2} = [−4/3, 3/2]
Contoh 2 (Sulit)
Tentukan HP dari (2x − 1)(3 − x) ≥ 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Ekspansi: −2x² + 7x − 3 ≥ 0
a = −2 < 0, kalikan −1: 2x² − 7x + 3 ≤ 0
Langkah 2: 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3)
Langkah 3: Akar: x = ½, x = 3
HP = {x | ½ ≤ x ≤ 3} = [½, 3]
Contoh 3 (Sulit)
Tentukan HP dari 4x² − 12x + 9 > 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 4 > 0 ✓
Langkah 2: 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)² (bentuk kuadrat sempurna)
Langkah 3: Akar kembar: x = 3/2
Analisis: (2x − 3)² ≥ 0 untuk semua x, dan sama dengan 0 hanya saat x = 3/2.
Karena kita mencari > 0 (tanpa sama dengan), maka semua x kecuali x = 3/2.
HP = {x | x ∈ ℝ, x ≠ 3/2} = (−∞, 3/2) ∪ (3/2, +∞)
Contoh 4 (Sulit)
Tentukan HP dari x² + 2x + 5 > 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 1 > 0 ✓
Langkah 2: Hitung diskriminan: D = 4 − 20 = −16 < 0
Analisis: Karena D < 0 dan a > 0, grafik parabola selalu di atas sumbu-x. Artinya x² + 2x + 5 > 0 untuk semua bilangan real.
Tidak ada akar real, sehingga tidak ada titik potong dengan sumbu-x.
HP = {x | x ∈ ℝ} = (−∞, +∞) = ℝ
Contoh 5 (Sulit)
Tentukan HP dari x² + 4x + 4 ≤ 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: a = 1 > 0 ✓
Langkah 2: x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Langkah 3: Akar kembar: x = −2
Analisis: (x + 2)² ≥ 0 untuk semua x (selalu non-negatif).
(x + 2)² = 0 hanya saat x = −2.
Karena kita mencari ≤ 0, dan kuadrat sempurna hanya bisa = 0 (tidak pernah negatif), maka:
HP = {−2} (hanya satu titik)
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan!
Latihan Mudah
- x² − 7x + 10 > 0
- x² − 4x − 5 < 0
- x² − 16 ≥ 0
- x² + x − 12 ≤ 0
- x² − 3x − 10 > 0
Latihan Sedang
- 2x² + x − 6 ≤ 0
- −x² + 5x − 4 > 0
- 3x² − 10x + 3 < 0
- −2x² + 3x + 9 ≥ 0
- 4x² − 8x − 5 > 0
Latihan Sulit
- 9x² − 6x + 1 ≥ 0
- x² + 6x + 10 > 0
- (3x + 2)(2x − 5) < 0
- −4x² + 4x − 1 ≤ 0
- 6x² − 5x − 6 ≥ 0