Bentuk Dasar Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Matematika Wajib — Kelas X SMA/MA
1. Pengertian Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan garis bilangan berikut. Titik-titik yang berjarak kurang dari 3 satuan dari titik asal (0) berada di antara −3 dan 3.
Daerah biru menunjukkan himpunan penyelesaian dari |x| < 3, yaitu −3 < x < 3.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana jika tanda pertidaksamaan berubah dari “<” menjadi “>”?
- Bagaimana bentuk umum penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak?
- Apa perbedaan himpunan penyelesaian |x| < a dan |x| > a?
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat ekspresi nilai mutlak. Bentuk dasarnya meliputi:
1. |x| < a ⟺ −a < x < a
2. |x| ≤ a ⟺ −a ≤ x ≤ a
3. |x| > a ⟺ x < −a atau x > a
4. |x| ≥ a ⟺ x ≤ −a atau x ≥ a
dengan syarat a > 0.
2. Bentuk |x| < a (dan |x| ≤ a)
Kegiatan: Menalar
Nilai mutlak |x| menyatakan jarak bilangan x dari nol pada garis bilangan. Jika |x| < a, artinya jarak x dari nol kurang dari a satuan. Maka x berada di antara −a dan a.
📐 Teorema 1
Untuk a > 0:
Interpretasi geometris: Himpunan semua titik pada garis bilangan yang berjarak kurang dari (atau sama dengan) a satuan dari titik asal.
Kegiatan: Mencoba
Coba tentukan himpunan penyelesaian dari:
- |x| < 5
- |x| ≤ 2
- |x − 1| < 4
Petunjuk: Gunakan sifat |x| < a ⟺ −a < x < a
3. Bentuk |x| > a (dan |x| ≥ a)
Kegiatan: Menalar
Jika |x| > a, artinya jarak x dari nol lebih dari a satuan. Maka x berada di sebelah kiri −a atau di sebelah kanan a. Perhatikan bahwa hasilnya adalah gabungan dua interval.
📐 Teorema 2
Untuk a > 0:
Notasi interval: HP = (−∞, −a) ∪ (a, ∞)
Kegiatan: Mencoba
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
- |x| > 4
- |x| ≥ 7
- |x + 2| > 3
4. Bentuk |f(x)| < a dan |f(x)| > a
Kegiatan: Menalar
Jika di dalam nilai mutlak terdapat fungsi f(x) (bukan hanya x), kita terapkan sifat yang sama dengan mengganti x menjadi f(x):
📐 Teorema 3
Untuk a > 0:
|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a
|f(x)| > a ⟺ f(x) < −a atau f(x) > a
Langkah penyelesaian:
- Ubah pertidaksamaan nilai mutlak menjadi pertidaksamaan biasa menggunakan sifat di atas.
- Selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan.
- Tentukan himpunan penyelesaiannya.
Contoh Penerapan
Selesaikan: |2x − 3| < 5
Penyelesaian:
|2x − 3| < 5
⟺ −5 < 2x − 3 < 5
⟺ −5 + 3 < 2x < 5 + 3
⟺ −2 < 2x < 8
⟺ −1 < x < 4
HP = {x | −1 < x < 4} = (−1, 4)
Selesaikan: |3x + 1| > 7
Penyelesaian:
|3x + 1| > 7
⟺ 3x + 1 < −7 atau 3x + 1 > 7
3x < −8 atau 3x > 6
x < −8/3 atau x > 2
HP = (−∞, −8/3) ∪ (2, ∞)
5. Bentuk |f(x)| < |g(x)|
Kegiatan: Menalar
Ketika kedua ruas mengandung nilai mutlak, kita gunakan sifat kuadrat karena |a|² = a².
📐 Teorema 4
|f(x)| < |g(x)| ⟺ [f(x)]² < [g(x)]²
⟺ [f(x)]² − [g(x)]² < 0
⟺ [f(x) − g(x)][f(x) + g(x)] < 0
Setelah dikuadratkan, selesaikan pertidaksamaan kuadrat biasa.
Selesaikan: |x − 1| < |2x + 3|
Penyelesaian:
|x − 1| < |2x + 3|
⟺ (x − 1)² < (2x + 3)²
⟺ (x − 1)² − (2x + 3)² < 0
⟺ [(x−1) − (2x+3)][(x−1) + (2x+3)] < 0
⟺ [−x − 4][3x + 2] < 0
⟺ −(x + 4)(3x + 2) < 0
⟺ (x + 4)(3x + 2) > 0
Titik nol: x = −4 dan x = −2/3
Dengan tabel tanda atau garis bilangan:
HP = (−∞, −4) ∪ (−2/3, ∞)
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sekelompokmu:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri perbedaan himpunan penyelesaian bentuk |f(x)| < a dan |f(x)| > a.
- Buat rangkuman langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak dalam bentuk peta konsep.
- Presentasikan hasil diskusi di depan kelas.
6. Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Soal 1: Selesaikan |x| < 4
|x| < 4 ⟺ −4 < x < 4
HP = (−4, 4)
Soal 2: Selesaikan |x| ≤ 6
|x| ≤ 6 ⟺ −6 ≤ x ≤ 6
HP = [−6, 6]
Soal 3: Selesaikan |x| > 2
|x| > 2 ⟺ x < −2 atau x > 2
HP = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
Soal 4: Selesaikan |x − 1| < 3
|x − 1| < 3
⟺ −3 < x − 1 < 3
⟺ −2 < x < 4
HP = (−2, 4)
Soal 5: Selesaikan |x + 2| ≥ 5
|x + 2| ≥ 5
⟺ x + 2 ≤ −5 atau x + 2 ≥ 5
⟺ x ≤ −7 atau x ≥ 3
HP = (−∞, −7] ∪ [3, ∞)
🟡 Tingkat Sedang
Soal 6: Selesaikan |2x − 5| < 7
|2x − 5| < 7
⟺ −7 < 2x − 5 < 7
⟺ −7 + 5 < 2x < 7 + 5
⟺ −2 < 2x < 12
⟺ −1 < x < 6
HP = (−1, 6)
Soal 7: Selesaikan |3x + 4| > 10
|3x + 4| > 10
⟺ 3x + 4 < −10 atau 3x + 4 > 10
⟺ 3x < −14 atau 3x > 6
⟺ x < −14/3 atau x > 2
HP = (−∞, −14/3) ∪ (2, ∞)
Soal 8: Selesaikan |4 − x| ≤ 3
|4 − x| ≤ 3
⟺ −3 ≤ 4 − x ≤ 3
⟺ −3 − 4 ≤ −x ≤ 3 − 4
⟺ −7 ≤ −x ≤ −1
Kalikan −1 (balik tanda):
⟺ 1 ≤ x ≤ 7
HP = [1, 7]
Soal 9: Selesaikan |2x + 1| ≥ |x − 3|
|2x + 1| ≥ |x − 3|
⟺ (2x + 1)² ≥ (x − 3)²
⟺ (2x+1)² − (x−3)² ≥ 0
⟺ [(2x+1)−(x−3)][(2x+1)+(x−3)] ≥ 0
⟺ (x + 4)(3x − 2) ≥ 0
Titik nol: x = −4 dan x = 2/3
HP = (−∞, −4] ∪ [2/3, ∞)
Soal 10: Selesaikan |x² − 4| < 5
|x² − 4| < 5
⟺ −5 < x² − 4 < 5
Bagian kiri: x² − 4 > −5 ⟹ x² > −1 (selalu benar)
Bagian kanan: x² − 4 < 5 ⟹ x² < 9 ⟹ −3 < x < 3
HP = (−3, 3)
🔴 Tingkat Sulit
Soal 11: Selesaikan |x − 2| + |x + 1| < 5
Kita bagi menjadi 3 interval berdasarkan titik kritis x = 2 dan x = −1:
Kasus 1: x < −1
|x−2| = −(x−2) = −x+2, |x+1| = −(x+1) = −x−1
(−x+2)+(−x−1) < 5
−2x + 1 < 5 ⟹ −2x < 4 ⟹ x > −2
Irisan dengan x < −1: −2 < x < −1
Kasus 2: −1 ≤ x < 2
|x−2| = −x+2, |x+1| = x+1
(−x+2)+(x+1) < 5
3 < 5 (selalu benar)
Semua x di [−1, 2) memenuhi.
Kasus 3: x ≥ 2
|x−2| = x−2, |x+1| = x+1
(x−2)+(x+1) < 5
2x − 1 < 5 ⟹ x < 3
Irisan dengan x ≥ 2: 2 ≤ x < 3
Gabungan: (−2, −1) ∪ [−1, 2) ∪ [2, 3) = (−2, 3)
HP = (−2, 3)
Soal 12: Selesaikan |x² − 5x + 4| > 2
|x² − 5x + 4| > 2
⟺ x² − 5x + 4 < −2 atau x² − 5x + 4 > 2
Bagian 1: x² − 5x + 4 < −2
x² − 5x + 6 < 0
(x − 2)(x − 3) < 0 ⟹ 2 < x < 3
Bagian 2: x² − 5x + 4 > 2
x² − 5x + 2 > 0
x = (5 ± √17)/2
x < (5−√17)/2 atau x > (5+√17)/2
≈ x < 0,44 atau x > 4,56
HP = (−∞, (5−√17)/2) ∪ (2, 3) ∪ ((5+√17)/2, ∞)
Soal 13: Selesaikan (|x − 1|)/(|x + 2|) < 2, x ≠ −2
|x − 1|/|x + 2| < 2
Karena |x+2| > 0 (x ≠ −2), kalikan kedua ruas:
|x − 1| < 2|x + 2|
⟺ (x − 1)² < 4(x + 2)²
⟺ (x−1)² − 4(x+2)² < 0
⟺ x² − 2x + 1 − 4(x² + 4x + 4) < 0
⟺ x² − 2x + 1 − 4x² − 16x − 16 < 0
⟺ −3x² − 18x − 15 < 0
⟺ 3x² + 18x + 15 > 0
⟺ x² + 6x + 5 > 0
⟺ (x + 1)(x + 5) > 0
HP dari (x+1)(x+5) > 0: x < −5 atau x > −1
Dengan syarat x ≠ −2:
HP = (−∞, −5) ∪ (−1, ∞)
Soal 14: Selesaikan |x − 3| < 2x − 1
Syarat: ruas kanan harus positif, yaitu 2x − 1 > 0 ⟹ x > 1/2
|x − 3| < 2x − 1
⟺ −(2x−1) < x − 3 < 2x − 1
Bagian kiri: −2x + 1 < x − 3
4 < 3x ⟹ x > 4/3
Bagian kanan: x − 3 < 2x − 1
−2 < x ⟹ x > −2 (selalu terpenuhi untuk x > 1/2)
Irisan: x > 1/2 dan x > 4/3 ⟹ x > 4/3
HP = (4/3, ∞)
Soal 15: Selesaikan ||x| − 3| < 2
||x| − 3| < 2
⟺ −2 < |x| − 3 < 2
⟺ 1 < |x| < 5
Dari |x| > 1: x < −1 atau x > 1
Dari |x| < 5: −5 < x < 5
Irisan: (−5 < x < −1) atau (1 < x < 5)
HP = (−5, −1) ∪ (1, 5)
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tuliskan langkah penyelesaian secara lengkap.
🟢 Tingkat Mudah
- Selesaikan |x| < 7
- Selesaikan |x| ≥ 3
- Selesaikan |x − 4| < 2
- Selesaikan |x + 5| ≤ 1
- Selesaikan |x − 3| > 4
🟡 Tingkat Sedang
- Selesaikan |3x − 2| < 8
- Selesaikan |5 − 2x| ≥ 3
- Selesaikan |x + 1| < |2x − 3|
- Selesaikan |x² − 1| ≤ 3
- Selesaikan |4x − 3| > |x + 2|
🔴 Tingkat Sulit
- Selesaikan |x − 1| + |x + 3| ≤ 6
- Selesaikan |x² − 3x − 4| > 6
- Selesaikan |x + 2|/(|x − 1|) ≤ 3, x ≠ 1
- Selesaikan |2x − 1| < x + 4
- Selesaikan ||2x − 1| − 4| ≤ 3
📋 Rangkuman
| Bentuk | Ekuivalen dengan | HP (Notasi Interval) |
|---|---|---|
| |f(x)| < a | −a < f(x) < a | Satu interval |
| |f(x)| ≤ a | −a ≤ f(x) ≤ a | Satu interval tertutup |
| |f(x)| > a | f(x) < −a atau f(x) > a | Gabungan dua interval |
| |f(x)| ≥ a | f(x) ≤ −a atau f(x) ≥ a | Gabungan dua interval tertutup |
| |f(x)| < |g(x)| | [f(x)]² < [g(x)]² | Kuadratkan kedua ruas |