Sifat-Sifat Nilai Mutlak
Materi Matematika Kelas X — Pembahasan Lengkap
📘 Materi: Sifat-Sifat Nilai Mutlak
🔍 Mengamati
Perhatikan beberapa contoh nilai mutlak berikut:
|5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0
|3 × 4| = 12, |3| × |4| = 12
|−2 + 7| = 5, |−2| + |7| = 9
Dari pengamatan di atas, kita dapat melihat bahwa terdapat pola-pola tertentu yang berlaku pada operasi nilai mutlak. Pola-pola inilah yang disebut sifat-sifat nilai mutlak.
❓ Menanya
Pertanyaan yang muncul:
- Apa saja sifat-sifat yang berlaku pada nilai mutlak?
- Apakah |a + b| selalu sama dengan |a| + |b|?
- Bagaimana hubungan nilai mutlak dengan kuadrat suatu bilangan?
💡 Menalar
Berdasarkan definisi nilai mutlak, kita dapat menurunkan sifat-sifat berikut:
Sifat 1: Nilai Mutlak Selalu Non-Negatif
Penjelasan: Nilai mutlak menyatakan jarak dari nol pada garis bilangan, sehingga hasilnya selalu positif atau nol.
Sifat 2: Sifat Definit
Penjelasan: Satu-satunya bilangan yang memiliki nilai mutlak nol adalah bilangan nol itu sendiri.
Sifat 3: Sifat Simetri (Kesamaan dengan Negatif)
Penjelasan: Jarak suatu bilangan ke nol sama dengan jarak negatifnya ke nol.
Contoh: |−7| = |7| = 7
Sifat 4: Sifat Perkalian
Penjelasan: Nilai mutlak dari hasil kali dua bilangan sama dengan hasil kali nilai mutlak masing-masing bilangan.
Contoh: |−3 × 5| = |−15| = 15 = |−3| × |5| = 3 × 5 = 15 ✓
Sifat 5: Sifat Pembagian
Penjelasan: Nilai mutlak dari hasil bagi sama dengan hasil bagi nilai mutlak masing-masing.
Contoh: |−12 / 4| = |−3| = 3 = |−12| / |4| = 12/4 = 3 ✓
Sifat 6: Ketaksamaan Segitiga
Penjelasan: Nilai mutlak dari jumlah dua bilangan selalu kurang dari atau sama dengan jumlah nilai mutlak masing-masing. Kesamaan berlaku jika a dan b bertanda sama atau salah satunya nol.
Contoh: |−3 + 5| = |2| = 2 ≤ |−3| + |5| = 3 + 5 = 8 ✓
Sifat 7: Ketaksamaan Segitiga Terbalik
Penjelasan: Nilai mutlak dari selisih dua bilangan selalu lebih besar dari atau sama dengan selisih nilai mutlak masing-masing.
Sifat 8: Hubungan dengan Kuadrat
Penjelasan: Kuadrat dari nilai mutlak sama dengan kuadrat bilangan itu sendiri. Ini karena mengkuadratkan menghilangkan tanda negatif.
Sifat 9: Sifat Pangkat
Sifat 10: Sifat Perbandingan
Jika a ≤ b dan a ≥ 0, maka |a| ≤ |b|
−|a| ≤ a ≤ |a|
🧪 Mencoba
Verifikasi sifat-sifat di atas dengan bilangan berikut:
| a | b | |a·b| | |a|·|b| | |a+b| | |a|+|b| | Sifat 4? | Sifat 6? |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | −4 | 12 | 12 | 1 | 7 | ✓ | 1 ≤ 7 ✓ |
| −2 | −5 | 10 | 10 | 7 | 7 | ✓ | 7 ≤ 7 ✓ |
| 6 | 2 | 12 | 12 | 8 | 8 | ✓ | 8 ≤ 8 ✓ |
📢 Mengkomunikasikan
Rangkuman sifat-sifat nilai mutlak:
| No | Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Non-negatif | |a| ≥ 0 |
| 2 | Definit | |a| = 0 ⟺ a = 0 |
| 3 | Simetri | |−a| = |a| |
| 4 | Perkalian | |ab| = |a||b| |
| 5 | Pembagian | |a/b| = |a|/|b| |
| 6 | Segitiga | |a+b| ≤ |a|+|b| |
| 7 | Segitiga Terbalik | |a−b| ≥ ||a|−|b|| |
| 8 | Kuadrat | |a|² = a² |
| 9 | Pangkat | |an| = |a|n |
| 10 | Apit | −|a| ≤ a ≤ |a| |
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1: Buktikan bahwa |−8| = |8| menggunakan sifat simetri.
Pembahasan:
Sifat 3: |−a| = |a|
Dengan a = 8: |−8| = |8| = 8 ✓
Contoh 2: Tentukan nilai |−3 × 7| menggunakan sifat perkalian.
Pembahasan:
Sifat 4: |a × b| = |a| × |b|
|−3 × 7| = |−3| × |7| = 3 × 7 = 21
Contoh 3: Tentukan nilai |−20 / 5| menggunakan sifat pembagian.
Pembahasan:
Sifat 5: |a/b| = |a|/|b|
|−20/5| = |−20|/|5| = 20/5 = 4
Contoh 4: Tunjukkan bahwa |5|² = 5².
Pembahasan:
Sifat 8: |a|² = a²
|5|² = 5² = 25
Dan memang 5² = 25 ✓
Contoh 5: Verifikasi bahwa |−4| ≥ 0.
Pembahasan:
Sifat 1: |a| ≥ 0
|−4| = 4 ≥ 0 ✓
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 1: Verifikasi ketaksamaan segitiga untuk a = −5, b = 3.
Pembahasan:
Sifat 6: |a + b| ≤ |a| + |b|
Ruas kiri: |−5 + 3| = |−2| = 2
Ruas kanan: |−5| + |3| = 5 + 3 = 8
Karena 2 ≤ 8, maka ketaksamaan segitiga terbukti ✓
Contoh 2: Tentukan |(−2)³| menggunakan sifat pangkat.
Pembahasan:
Sifat 9: |an| = |a|n
|(−2)³| = |−2|³ = 2³ = 8
Verifikasi: (−2)³ = −8, dan |−8| = 8 ✓
Contoh 3: Buktikan bahwa |a| = √(a²) untuk a = −6.
Pembahasan:
Sifat 8: |a| = √(a²)
|−6| = 6
√((−6)²) = √(36) = 6
Karena 6 = 6, maka terbukti ✓
Contoh 4: Verifikasi ketaksamaan segitiga terbalik untuk a = 7, b = 3.
Pembahasan:
Sifat 7: |a − b| ≥ ||a| − |b||
Ruas kiri: |7 − 3| = |4| = 4
Ruas kanan: ||7| − |3|| = |7 − 3| = |4| = 4
Karena 4 ≥ 4, terbukti ✓ (kesamaan terjadi karena keduanya positif)
Contoh 5: Jika |x| = |y|, tentukan hubungan x dan y. Verifikasi dengan x = 4, y = −4.
Pembahasan:
|x| = |y| berarti x = y atau x = −y
Verifikasi: |4| = |−4| → 4 = 4 ✓
Di sini x = −y (yaitu 4 = −(−4)) ✓
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 1: Buktikan bahwa |a + b + c| ≤ |a| + |b| + |c| untuk a = −3, b = 5, c = −7.
Pembahasan:
Gunakan sifat 6 secara bertahap:
|a + b + c| = |(−3) + 5 + (−7)| = |−5| = 5
|a| + |b| + |c| = 3 + 5 + 7 = 15
Karena 5 ≤ 15, terbukti ✓
Bukti umum: |a+b+c| = |(a+b)+c| ≤ |a+b| + |c| ≤ |a| + |b| + |c| (menerapkan sifat 6 dua kali)
Contoh 2: Buktikan bahwa |a² − b²| = |a − b| · |a + b| untuk a = −3, b = 2.
Pembahasan:
Ruas kiri: |a² − b²| = |(−3)² − 2²| = |9 − 4| = |5| = 5
Ruas kanan: |a − b| · |a + b| = |−3 − 2| · |−3 + 2| = |−5| · |−1| = 5 · 1 = 5
Karena 5 = 5, terbukti ✓
Bukti umum: a² − b² = (a−b)(a+b), maka |a²−b²| = |(a−b)(a+b)| = |a−b|·|a+b| (sifat 4)
Contoh 3: Buktikan bahwa ||a| − |b|| ≤ |a − b| untuk a = 2, b = −5.
Pembahasan:
Ruas kiri: ||2| − |−5|| = |2 − 5| = |−3| = 3
Ruas kanan: |2 − (−5)| = |7| = 7
Karena 3 ≤ 7, terbukti ✓
Bukti umum:
Dari sifat 6: |a| = |(a−b)+b| ≤ |a−b| + |b|, maka |a|−|b| ≤ |a−b|
Juga: |b| = |(b−a)+a| ≤ |b−a| + |a|, maka |b|−|a| ≤ |a−b|
Gabungan: −|a−b| ≤ |a|−|b| ≤ |a−b|, artinya ||a|−|b|| ≤ |a−b| ✓
Contoh 4: Jika |x − 2| + |x + 3| = 5, tentukan himpunan penyelesaiannya menggunakan sifat-sifat nilai mutlak.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa (x−2) + (−(x+3)) = −5, sehingga (x−2) − (x+3) = −5.
Dari ketaksamaan segitiga: |a| + |b| ≥ |a − b|
|x−2| + |x+3| ≥ |(x−2) − (x+3)| = |−5| = 5
Karena soal menyatakan |x−2| + |x+3| = 5 (= batas minimum), maka kesamaan berlaku.
Kesamaan pada segitiga terjadi ketika kedua ekspresi bertanda berbeda atau salah satu nol, yaitu:
(x − 2) ≤ 0 dan (x + 3) ≥ 0, atau sebaliknya yang konsisten.
x ≤ 2 dan x ≥ −3
HP = {x | −3 ≤ x ≤ 2}
Contoh 5: Buktikan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak bahwa untuk semua bilangan real a, b: |a|·|b| ≤ ½(a² + b²).
Pembahasan:
Kita tahu bahwa (|a| − |b|)² ≥ 0 (kuadrat selalu non-negatif)
|a|² − 2|a||b| + |b|² ≥ 0
Gunakan sifat 8: |a|² = a² dan |b|² = b²
a² − 2|a||b| + b² ≥ 0
a² + b² ≥ 2|a||b|
|a|·|b| ≤ ½(a² + b²) ✓
Verifikasi numerik: a = 3, b = −4: |3|·|−4| = 12, dan ½(9+16) = 12,5. Karena 12 ≤ 12,5 ✓
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai |−15| × |3| menggunakan sifat perkalian.
2. Verifikasi bahwa |−9| = |9| dan sebutkan sifat yang digunakan.
3. Tentukan nilai |36 / (−6)| menggunakan sifat pembagian.
4. Tunjukkan bahwa |−11|² = (−11)².
5. Apakah benar |0| = 0? Sifat apa yang berlaku di sini?
🟡 Tingkat Sedang
1. Verifikasi ketaksamaan segitiga untuk a = −8, b = 3.
2. Tentukan |(−3)⁴| menggunakan sifat pangkat dan verifikasi hasilnya.
3. Verifikasi ketaksamaan segitiga terbalik untuk a = −2, b = 5.
4. Tunjukkan bahwa |a| = √(a²) untuk a = −√2.
5. Jika |x| = |2x − 6|, tentukan semua nilai x yang memenuhi.
🔴 Tingkat Sulit
1. Buktikan bahwa |a + b + c + d| ≤ |a| + |b| + |c| + |d| menggunakan penerapan berulang sifat segitiga.
2. Buktikan bahwa |ab + cd| ≤ |a||b| + |c||d| menggunakan sifat 4 dan 6.
3. Tentukan himpunan penyelesaian |x − 1| + |x − 4| = 3 menggunakan analisis sifat ketaksamaan segitiga.
4. Buktikan bahwa untuk semua bilangan real: (|a| + |b|) / (1 + |a + b|) ≤ |a|/(1+|a|) + |b|/(1+|b|).
5. Diketahui |a − b| < c dan |b − d| < e. Buktikan bahwa |a − d| < c + e menggunakan sifat-sifat nilai mutlak.