Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Nilai Determinan Matriks Persegi Berordo 3
Materi lengkap disertai contoh soal dan latihan
📘 Materi
Pengertian Determinan Matriks Ordo 3×3
Determinan matriks persegi berordo 3 adalah suatu nilai skalar (bilangan) yang dihitung dari elemen-elemen matriks berukuran 3×3. Jika kita memiliki matriks:
Maka determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau |A|.
Nilai determinan matriks ordo 3×3 dapat dihitung menggunakan dua metode utama:
- Metode Sarrus
- Metode Ekspansi Kofaktor (Laplace)
Pertanyaan Kunci
- Bagaimana cara menghitung determinan matriks ordo 3×3 dengan metode Sarrus?
- Bagaimana cara menghitung determinan matriks ordo 3×3 dengan ekspansi kofaktor?
- Apa makna dari nilai determinan yang bernilai nol?
- Bagaimana menentukan tanda positif dan negatif pada diagonal Sarrus?
Metode Sarrus
Metode Sarrus adalah cara praktis menghitung determinan matriks ordo 3×3. Langkah-langkahnya:
Langkah 1: Tulis ulang kolom 1 dan kolom 2 di sebelah kanan matriks.
Langkah 2: Hitung hasil kali diagonal.
Diagonal Utama (+):
d₁ = a₁₁ × a₂₂ × a₃₃
d₂ = a₁₂ × a₂₃ × a₃₁
d₃ = a₁₃ × a₂₁ × a₃₂
Diagonal Sekunder (−):
d₄ = a₁₃ × a₂₂ × a₃₁
d₅ = a₁₁ × a₂₃ × a₃₂
d₆ = a₁₂ × a₂₁ × a₃₃
Langkah 3: Hitung determinan.
det(A) = (d₁ + d₂ + d₃) − (d₄ + d₅ + d₆)
Metode Ekspansi Kofaktor (Laplace)
Ekspansi kofaktor dilakukan sepanjang baris atau kolom tertentu. Untuk ekspansi sepanjang baris pertama:
det(A) = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃
dengan Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ · Mᵢⱼ (kofaktor), dan Mᵢⱼ adalah minor (determinan submatriks 2×2 setelah menghapus baris i dan kolom j).
Rumus lengkap ekspansi baris 1:
det(A) = a₁₁(a₂₂·a₃₃ − a₂₃·a₃₂) − a₁₂(a₂₁·a₃₃ − a₂₃·a₃₁) + a₁₃(a₂₁·a₃₂ − a₂₂·a₃₁)
Sifat-sifat Determinan Matriks Ordo 3
- Jika det(A) = 0, maka matriks A disebut singular (tidak memiliki invers).
- Jika det(A) ≠ 0, maka matriks A disebut non-singular (memiliki invers).
- det(Aᵀ) = det(A)
- det(A·B) = det(A) × det(B)
- Jika satu baris/kolom seluruhnya nol, maka det(A) = 0.
- Menukar dua baris/kolom akan mengubah tanda determinan.
Contoh Perhitungan Langkah demi Langkah
Hitunglah determinan matriks berikut menggunakan metode Sarrus:
Penyelesaian:
Diagonal (+):
- 2 × 0 × 5 = 0
- 1 × 1 × 1 = 1
- 3 × 4 × 2 = 24
Jumlah diagonal (+) = 0 + 1 + 24 = 25
Diagonal (−):
- 3 × 0 × 1 = 0
- 2 × 1 × 2 = 4
- 1 × 4 × 5 = 20
Jumlah diagonal (−) = 0 + 4 + 20 = 24
det(A) = 25 − 24 = 1
Ringkasan
- ✅ Determinan matriks ordo 3×3 menghasilkan satu nilai skalar.
- ✅ Metode Sarrus: Salin kolom 1 & 2 ke kanan, hitung diagonal (+) dikurangi diagonal (−).
- ✅ Metode Kofaktor: Ekspansi sepanjang baris/kolom pilihan menggunakan minor dan kofaktor.
- ✅ Kedua metode selalu menghasilkan nilai determinan yang sama.
- ✅ det(A) = 0 berarti matriks singular (tidak punya invers).
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Hitunglah determinan matriks berikut!
Pembahasan:
Matriks diagonal, det = hasil kali elemen diagonal utama.
Diagonal (+): 1×2×3 = 6, 0×0×0 = 0, 0×0×0 = 0 → Jumlah = 6
Diagonal (−): 0×2×0 = 0, 1×0×0 = 0, 0×0×3 = 0 → Jumlah = 0
det(A) = 6 − 0 = 6
Contoh 2:
Hitunglah determinan matriks berikut!
Pembahasan:
Diagonal (+): 1×1×1 = 1, 2×0×0 = 0, 3×0×0 = 0 → Jumlah = 1
Diagonal (−): 3×1×0 = 0, 1×0×0 = 0, 2×0×1 = 0 → Jumlah = 0
det(A) = 1 − 0 = 1
Contoh 3:
Hitunglah determinan matriks berikut!
Pembahasan:
Matriks diagonal: det = 2 × 3 × 4 = 24
Contoh 4:
Hitunglah determinan matriks berikut!
Pembahasan:
Baris kedua seluruhnya nol, maka:
det(A) = 0
(Sifat: jika satu baris/kolom seluruhnya nol, determinan = 0)
Contoh 5:
Hitunglah determinan matriks berikut!
Pembahasan:
Diagonal (+): 1×1×1 = 1, 0×0×3 = 0, 2×0×0 = 0 → Jumlah = 1
Diagonal (−): 2×1×3 = 6, 1×0×0 = 0, 0×0×1 = 0 → Jumlah = 6
det(A) = 1 − 6 = −5
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Hitunglah determinan matriks berikut!
Pembahasan (Metode Sarrus):
Diagonal (+):
- 2 × 1 × 3 = 6
- 3 × (−2) × 1 = −6
- 1 × 4 × 2 = 8
Jumlah = 6 + (−6) + 8 = 8
Diagonal (−):
- 1 × 1 × 1 = 1
- 2 × (−2) × 2 = −8
- 3 × 4 × 3 = 36
Jumlah = 1 + (−8) + 36 = 29
det(A) = 8 − 29 = −21
Contoh 7:
Hitunglah determinan matriks berikut!
Pembahasan:
Diagonal (+): 3×4×3 = 36, (−1)×(−1)×2 = 2, 2×0×1 = 0 → Jumlah = 38
Diagonal (−): 2×4×2 = 16, 3×(−1)×1 = −3, (−1)×0×3 = 0 → Jumlah = 13
det(A) = 38 − 13 = 25
Contoh 8:
Hitunglah determinan matriks berikut!
Pembahasan:
Diagonal (+): (−1)×(−2)×(−1) = −2, 2×1×2 = 4, 3×4×3 = 36 → Jumlah = 38
Diagonal (−): 3×(−2)×2 = −12, (−1)×1×3 = −3, 2×4×(−1) = −8 → Jumlah = −23
det(A) = 38 − (−23) = 38 + 23 = 61
Contoh 9:
Tentukan nilai x jika determinan matriks berikut sama dengan 0!
Pembahasan:
Diagonal (+): 1×5×x = 5x, 2×6×7 = 84, 3×4×8 = 96 → Jumlah = 5x + 180
Diagonal (−): 3×5×7 = 105, 1×6×8 = 48, 2×4×x = 8x → Jumlah = 153 + 8x
det = (5x + 180) − (153 + 8x) = 0
5x + 180 − 153 − 8x = 0
−3x + 27 = 0
x = 9
Contoh 10:
Hitunglah determinan matriks berikut menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama!
Pembahasan (Ekspansi Kofaktor Baris 1):
det(A) = 2·[(0)(−1) − (2)(1)] − (−1)·[(1)(−1) − (2)(4)] + 3·[(1)(1) − (0)(4)]
= 2·[0 − 2] − (−1)·[−1 − 8] + 3·[1 − 0]
= 2·(−2) − (−1)·(−9) + 3·(1)
= −4 − 9 + 3
det(A) = −10
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Jika det(A) = 5, tentukan det(2A) untuk matriks A berordo 3×3!
Pembahasan:
Sifat determinan: det(kA) = kⁿ · det(A), dengan n = ordo matriks.
Untuk matriks ordo 3: det(2A) = 2³ × det(A) = 8 × 5
det(2A) = 40
Contoh 12:
Tentukan nilai a + b jika determinan matriks berikut bernilai 0!
dengan diketahui a = b.
Pembahasan:
Substitusi b = a:
Diagonal (+): a·a·a = a³, 1·1·2 = 2, 2·3·1 = 6 → Jumlah = a³ + 8
Diagonal (−): 2·a·2 = 4a, a·1·1 = a, 1·3·a = 3a → Jumlah = 8a
det = a³ + 8 − 8a = 0
a³ − 8a + 8 = 0
Coba a = 2: 8 − 16 + 8 = 0 ✓
Jadi a = 2, b = 2
a + b = 4
Contoh 13:
Diketahui matriks A dan B berordo 3×3 dengan det(A) = 3 dan det(B) = −2. Tentukan det(A²·B⁻¹)!
Pembahasan:
Gunakan sifat determinan:
det(A²·B⁻¹) = det(A²) × det(B⁻¹)
= [det(A)]² × 1/det(B)
= 3² × 1/(−2)
= 9 × (−1/2)
det(A²·B⁻¹) = −9/2
Contoh 14:
Hitunglah determinan matriks berikut!
Pembahasan:
Diagonal (+):
- (−2)×(−7)×(−4) = −56
- 3×2×(−3) = −18
- (−5)×4×6 = −120
Jumlah = −56 + (−18) + (−120) = −194
Diagonal (−):
- (−5)×(−7)×(−3) = −105
- (−2)×2×6 = −24
- 3×4×(−4) = −48
Jumlah = −105 + (−24) + (−48) = −177
det(A) = −194 − (−177) = −194 + 177 = −17
Contoh 15:
Jika matriks A berordo 3×3 memenuhi A·Aᵀ = I (matriks orthogonal), tentukan kemungkinan nilai det(A)!
Pembahasan:
Dari A·Aᵀ = I, ambil determinan kedua ruas:
det(A·Aᵀ) = det(I)
det(A) × det(Aᵀ) = 1
Karena det(Aᵀ) = det(A), maka:
[det(A)]² = 1
det(A) = ±1
Kemungkinan nilai det(A) = 1 atau det(A) = −1
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Tingkat Mudah
1. Hitunglah determinan matriks:
2. Hitunglah determinan matriks:
3. Hitunglah determinan matriks:
4. Hitunglah determinan matriks:
5. Hitunglah determinan matriks:
🟡 Tingkat Sedang
6. Hitunglah determinan matriks:
7. Hitunglah determinan matriks:
8. Tentukan nilai x jika determinan matriks berikut sama dengan 10:
9. Hitunglah determinan matriks:
10. Hitunglah determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama:
🔴 Tingkat Sulit
11. Diketahui det(A) = 4 untuk matriks A berordo 3×3. Tentukan det(3A⁻¹)!
12. Tentukan semua nilai m agar determinan matriks berikut bernilai 0:
13. Diketahui det(A) = 2 dan det(B) = −3 untuk matriks A dan B berordo 3×3. Tentukan det(A³·B²)!
14. Hitunglah determinan matriks:
15. Jika matriks A berordo 3×3 memenuhi A² = 4A, dan det(A) ≠ 0, tentukan det(A)!