Matriks – Determinan Matriks Persegi Berordo 3

🔍 Mengamati

Pengertian Determinan Matriks Ordo 3×3

Determinan matriks persegi berordo 3 adalah suatu nilai skalar (bilangan) yang diperoleh dari perhitungan khusus terhadap elemen-elemen matriks berukuran 3×3.

Jika diberikan matriks A berordo 3×3 sebagai berikut:

A = a₁₁a₁₂a₁₃ a₂₁a₂₂a₂₃ a₃₁a₃₂a₃₃

Maka determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau |A|.

❓ Menanya

Metode Sarrus (Aturan Sarrus)

Bagaimana cara menghitung determinan matriks ordo 3×3? Salah satu cara yang paling umum digunakan adalah Metode Sarrus.

Langkah-langkah Metode Sarrus:

Tuliskan matriks 3×3.
Salin kolom ke-1 dan kolom ke-2 di sebelah kanan matriks.
Kalikan elemen-elemen pada diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) → hasilnya dijumlahkan.
Kalikan elemen-elemen pada diagonal sekunder (dari kanan atas ke kiri bawah) → hasilnya dijumlahkan.
Determinan = jumlah diagonal utama − jumlah diagonal sekunder.

Rumus Determinan Ordo 3×3 (Sarrus):

det(A) = (a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂)

− (a₁₃·a₂₂·a₃₁ + a₁₁·a₂₃·a₃₂ + a₁₂·a₂₁·a₃₃)

Ilustrasi Metode Sarrus:

  a₁₁  a₁₂  a₁₃ │ a₁₁  a₁₂
  a₂₁  a₂₂  a₂₃ │ a₂₁  a₂₂
  a₃₁  a₃₂  a₃₃ │ a₃₁  a₃₂

  Diagonal Utama (+):         Diagonal Sekunder (−):
  a₁₁·a₂₂·a₃₃               a₁₃·a₂₂·a₃₁
  a₁₂·a₂₃·a₃₁               a₁₁·a₂₃·a₃₂
  a₁₃·a₂₁·a₃₂               a₁₂·a₂₁·a₃₃

💡 Menalar

Metode Ekspansi Kofaktor (Laplace)

Selain Metode Sarrus, determinan matriks ordo 3×3 juga dapat dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom tertentu.

Konsep Kofaktor:

Kofaktor elemen a_ij adalah:

C_ij = (−1)^i+j · M_ij

M_ij = minor dari elemen a_ij (determinan submatriks 2×2 yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j)

Ekspansi sepanjang baris pertama:

det(A) = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃

= a₁₁(a₂₂·a₃₃ − a₂₃·a₃₂) − a₁₂(a₂₁·a₃₃ − a₂₃·a₃₁) + a₁₃(a₂₁·a₃₂ − a₂₂·a₃₁)

💡 Menalar

Sifat-Sifat Determinan Matriks Ordo 3×3

det(A) = det(Aᵀ) — Determinan matriks sama dengan determinan transposenya.
Jika semua elemen suatu baris atau kolom bernilai nol, maka det(A) = 0.
Jika dua baris (atau dua kolom) identik, maka det(A) = 0.
Jika dua baris (atau dua kolom) ditukar, maka determinan berubah tanda.
Jika suatu baris dikalikan skalar k, maka determinan juga dikalikan k.
det(A·B) = det(A) · det(B)
det(kA) = k³ · det(A) untuk matriks ordo 3×3.

✏️ Mencoba

Contoh Penerapan Metode Sarrus

Mari kita coba menghitung determinan matriks berikut secara bertahap:

A = 213 456 789

Langkah penyelesaian:

Langkah 1: Tuliskan skema Sarrus

  2  1  3 │ 2  1
  4  5  6 │ 4  5
  7  8  9 │ 7  8

Langkah 2: Hitung diagonal utama (+)

= (2·5·9) + (1·6·7) + (3·4·8)

= 90 + 42 + 96 = 228

Langkah 3: Hitung diagonal sekunder (−)

= (3·5·7) + (2·6·8) + (1·4·9)

= 105 + 96 + 36 = 237

Langkah 4: det(A) = 228 − 237 = −9

📢 Mengkomunikasikan

Rangkuman

Determinan matriks ordo 3×3 menghasilkan satu nilai skalar.
Metode Sarrus: salin kolom 1 dan 2 ke kanan, lalu hitung selisih jumlah diagonal utama dan diagonal sekunder.
Metode Ekspansi Kofaktor: pilih satu baris/kolom, hitung kofaktor setiap elemen, lalu jumlahkan.
Kedua metode selalu memberikan hasil yang sama.
Determinan bernilai nol menandakan matriks singular (tidak memiliki invers).

📝 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

🟢 Tingkat Mudah

Contoh Soal 1

Hitunglah determinan matriks berikut:

A = 100 020 003

Pembahasan:

Matriks diagonal. det(A) = a₁₁·a₂₂·a₃₃ = 1·2·3 = 6

Diagonal utama: (1·2·3) + (0·0·0) + (0·0·0) = 6

Diagonal sekunder: (0·2·0) + (1·0·0) + (0·0·3) = 0

det(A) = 6 − 0 = 6

Contoh Soal 2

Hitunglah determinan matriks:

B = 123 014 001

Pembahasan:

Matriks segitiga atas. det(B) = perkalian diagonal utama.

Diagonal utama: (1·1·1) + (2·4·0) + (3·0·0) = 1

Diagonal sekunder: (3·1·0) + (1·4·0) + (2·0·1) = 0

det(B) = 1 − 0 = 1

Contoh Soal 3

Hitunglah determinan matriks:

C = 200 340 561

Pembahasan:

Matriks segitiga bawah. det = perkalian diagonal utama = 2·4·1 = 8

Verifikasi Sarrus:

Diagonal utama: (2·4·1) + (0·0·5) + (0·3·6) = 8

Diagonal sekunder: (0·4·5) + (2·0·6) + (0·3·1) = 0

det(C) = 8 − 0 = 8

Contoh Soal 4

Hitunglah determinan matriks:

D = 123 456 789

Pembahasan:

Diagonal utama: (1·5·9) + (2·6·7) + (3·4·8) = 45 + 84 + 96 = 225

Diagonal sekunder: (3·5·7) + (1·6·8) + (2·4·9) = 105 + 48 + 72 = 225

det(D) = 225 − 225 = 0

Catatan: baris ketiga = baris pertama + baris kedua (bergantung linear), sehingga determinan = 0.

Contoh Soal 5

Hitunglah determinan matriks:

E = 312 041 005

Pembahasan:

Diagonal utama: (3·4·5) + (1·1·0) + (2·0·0) = 60

Diagonal sekunder: (2·4·0) + (3·1·0) + (1·0·5) = 0

det(E) = 60 − 0 = 60

🟡 Tingkat Sedang

Contoh Soal 6

Hitunglah determinan matriks:

F = 2−13 40−2 157

Pembahasan:

Diagonal utama: (2·0·7) + (−1·(−2)·1) + (3·4·5) = 0 + 2 + 60 = 62

Diagonal sekunder: (3·0·1) + (2·(−2)·5) + (−1·4·7) = 0 + (−20) + (−28) = −48

det(F) = 62 − (−48) = 62 + 48 = 110

Contoh Soal 7

Hitunglah determinan matriks:

G = −124 3−21 20−3

Pembahasan:

Diagonal utama: (−1·(−2)·(−3)) + (2·1·2) + (4·3·0) = −6 + 4 + 0 = −2

Diagonal sekunder: (4·(−2)·2) + (−1·1·0) + (2·3·(−3)) = −16 + 0 + (−18) = −34

det(G) = −2 − (−34) = −2 + 34 = 32

Contoh Soal 8

Hitunglah determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama:

H = 5−32 14−1 203

Pembahasan (Ekspansi Kofaktor Baris 1):

det(H) = 5·C₁₁ + (−3)·C₁₂ + 2·C₁₃

M₁₁ = det 4−103 = (4·3) − (−1·0) = 12

M₁₂ = det 1−123 = (1·3) − (−1·2) = 5

M₁₃ = det 1420 = (1·0) − (4·2) = −8

C₁₁ = (+1)·12 = 12

C₁₂ = (−1)·5 = −5

C₁₃ = (+1)·(−8) = −8

det(H) = 5(12) + (−3)(−5) + 2(−8) = 60 + 15 − 16 = 59

Contoh Soal 9

Jika det(A) = 4, tentukan det(3A) dimana A matriks ordo 3×3.

Pembahasan:

Menggunakan sifat: det(kA) = k³ · det(A) untuk matriks ordo 3×3.

det(3A) = 3³ · det(A) = 27 · 4 = 108

Contoh Soal 10

Hitunglah determinan matriks:

J = 1−23 2−46 13−1

Pembahasan:

Perhatikan bahwa baris ke-2 = 2 × baris ke-1.

Karena dua baris proporsional, maka det(J) = 0.

Verifikasi Sarrus:

Diagonal utama: (1·(−4)·(−1)) + (−2·6·1) + (3·2·3) = 4 + (−12) + 18 = 10

Diagonal sekunder: (3·(−4)·1) + (1·6·3) + (−2·2·(−1)) = −12 + 18 + 4 = 10

det(J) = 10 − 10 = 0 ✓

🔴 Tingkat Sulit

Contoh Soal 11

Tentukan nilai x agar determinan matriks berikut sama dengan nol:

x12 2x1 32x

Pembahasan:

Metode Sarrus:

Diagonal utama: x·x·x + 1·1·3 + 2·2·2 = x³ + 3 + 8 = x³ + 11

Diagonal sekunder: 2·x·3 + x·1·2 + 1·2·x = 6x + 2x + 2x = 10x

det = (x³ + 11) − 10x = 0

x³ − 10x + 11 = 0

Coba x = 1: 1 − 10 + 11 = 2 ≠ 0

Coba x = −1: −1 + 10 + 11 = 20 ≠ 0

Menggunakan metode numerik atau Cardano, diperoleh akar-akar:

Faktorisasi: Coba x = − (tidak bulat). Gunakan kalkulator:

x ≈ −3,53 atau x ≈ 1,17 atau x ≈ 2,36

(Persamaan kubik ini tidak memiliki akar rasional sederhana)

Contoh Soal 12

Tentukan nilai a agar matriks berikut singular:

K = a21 3a+12 1−1a−1

Pembahasan:

Matriks singular ⟹ det(K) = 0

Ekspansi baris 1:

det(K) = a[(a+1)(a−1) − 2(−1)] − 2[3(a−1) − 2·1] + 1[3(−1) − (a+1)·1]

= a[(a²−1) + 2] − 2[3a−3−2] + 1[−3−a−1]

= a[a²+1] − 2[3a−5] + [−4−a]

= a³ + a − 6a + 10 − 4 − a

= a³ − 6a + 6

a³ − 6a + 6 = 0

Coba a = −3: −27 + 18 + 6 = −3 ≠ 0

Coba a = 2: 8 − 12 + 6 = 2 ≠ 0

Coba a = −1: −1 + 6 + 6 = 11 ≠ 0

Akar-akar persamaan ini (metode Cardano/numerik):

a ≈ −2,80 atau a ≈ 0,87 atau a ≈ 1,93

Contoh Soal 13

Diketahui matriks A dan B ordo 3×3 dengan det(A) = 3 dan det(B) = −2. Tentukan det(2A·Bᵀ·A⁻¹).

Pembahasan:

Gunakan sifat-sifat determinan:

det(2A·Bᵀ·A⁻¹)

= det(2A) · det(Bᵀ) · det(A⁻¹)

• det(2A) = 2³ · det(A) = 8 · 3 = 24

• det(Bᵀ) = det(B) = −2

• det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/3

= 24 · (−2) · (1/3) = −48/3 = −16

Contoh Soal 14

Hitunglah determinan matriks berikut menggunakan operasi baris elementer:

L = 369 251 4−12

Pembahasan:

Baris 1 bisa dibagi 3: B₁’ = B₁/3 → det dikalikan 3

Setelah B₁/3:

123 251 4−12

det(L) = 3 · det(matriks di atas)

Hitung dengan Sarrus:

Diagonal utama: (1·5·2) + (2·1·4) + (3·2·(−1)) = 10 + 8 + (−6) = 12

Diagonal sekunder: (3·5·4) + (1·1·(−1)) + (2·2·2) = 60 + (−1) + 8 = 67

det = 12 − 67 = −55

det(L) = 3 · (−55) = −165

Contoh Soal 15

Diketahui:

M = abc def ghi

dengan det(M) = 5. Tentukan determinan matriks N berikut:

N = ghi 2d2e2f a+gb+hc+i

Pembahasan:

Analisis operasi dari M ke N:

1. Baris 1 dan baris 3 ditukar → det × (−1)

2. Kemudian baris 1 (yang sekarang baris 3: g,h,i) dan baris 2 ditukar → det × (−1)

Lebih mudah: Mari analisis langsung.

Dari M, lakukan:

• Tukar B₁ ↔ B₃: det = −5, hasilnya baris: (g,h,i), (d,e,f), (a,b,c)

• Kalikan B₂ dengan 2: det = −5·2 = −10, hasilnya: (g,h,i), (2d,2e,2f), (a,b,c)

• B₃ + B₁ → B₃ (operasi ini tidak mengubah det): hasilnya: (g,h,i), (2d,2e,2f), (a+g, b+h, c+i)

det(N) = −10

📋 LATIHAN SOAL

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!

🟢 Tingkat Mudah

Latihan 1

Hitunglah determinan matriks:

400 020 005

Latihan 2

Hitunglah determinan matriks:

132 021 004

Latihan 3

Hitunglah determinan matriks:

500 130 242

Latihan 4

Hitunglah determinan matriks:

210 321 102

Latihan 5

Hitunglah determinan matriks:

111 234 345

🟡 Tingkat Sedang

Latihan 6

Hitunglah determinan matriks:

3−24 15−3 2−16

Latihan 7

Hitunglah determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor kolom pertama:

4−12 03−5 −217

Latihan 8

Jika det(P) = −3 dan P matriks ordo 3×3, tentukan det(−2P).

Latihan 9

Hitunglah determinan matriks:

−231 4−15 −693

Latihan 10

Tentukan nilai p jika determinan matriks berikut sama dengan 20:

p12 321 104

🔴 Tingkat Sulit

Latihan 11

Tentukan semua nilai x yang memenuhi:

det x−120 3x+21 04x = 0

Latihan 12

Diketahui det(A) = 5 dan det(B) = −2 (keduanya matriks 3×3). Hitunglah det(A²·B⁻¹).

Latihan 13

Diketahui:

det abc def ghi = 7

Tentukan:

det def 3a3b3c g−dh−ei−f

Latihan 14

Hitunglah determinan matriks:

sin30°cos60°1 cos30°sin60°0 tan45°12

Latihan 15

Diketahui matriks A ordo 3×3 memenuhi A³ = 2A. Jika det(A) ≠ 0, tentukan det(A).

Matriks – Determinan Matriks Persegi Berordo 3

Determinan Matriks Persegi Berordo 3

Pengertian Determinan Matriks Ordo 3×3

Metode Sarrus (Aturan Sarrus)

Langkah-langkah Metode Sarrus:

Ilustrasi Metode Sarrus:

Metode Ekspansi Kofaktor (Laplace)

Konsep Kofaktor:

Ekspansi sepanjang baris pertama:

Sifat-Sifat Determinan Matriks Ordo 3×3

Contoh Penerapan Metode Sarrus

Rangkuman

📝 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

📋 LATIHAN SOAL

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

SPLK – Sistem Persamaan dengan Dua Peubah, Satu Linear dan Satu Kuadrat yang Bentuk Kuadratnya Dapat Difaktorkan

SPLK – Sistem Persamaan dengan Dua Variabel, Satu Linear dan Satu Kuadrat yang Berbentuk Kuadratnya Tak Dapat Difaktorkan

Aplikasi Streaming Resmi untuk Nonton Piala Dunia 2026

ASEAN Bersatu! Misi “Zero Dengue Deaths” Jadi Fokus Utama Peringatan Hari DBD 2026

Pengertian Determinan Matriks Ordo 3×3

Metode Sarrus (Aturan Sarrus)

Langkah-langkah Metode Sarrus:

Ilustrasi Metode Sarrus:

Metode Ekspansi Kofaktor (Laplace)

Konsep Kofaktor:

Ekspansi sepanjang baris pertama:

Sifat-Sifat Determinan Matriks Ordo 3×3

Contoh Penerapan Metode Sarrus

Rangkuman

📝 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

📋 LATIHAN SOAL

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed