Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Determinan Matriks Persegi Berordo 3
Materi, Contoh Soal, dan Latihan
Pengertian Determinan Matriks Ordo 3×3
Determinan matriks persegi berordo 3 adalah suatu nilai skalar (bilangan) yang diperoleh dari perhitungan khusus terhadap elemen-elemen matriks berukuran 3×3.
Jika diberikan matriks A berordo 3×3 sebagai berikut:
Maka determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau |A|.
Metode Sarrus (Aturan Sarrus)
Bagaimana cara menghitung determinan matriks ordo 3×3? Salah satu cara yang paling umum digunakan adalah Metode Sarrus.
Langkah-langkah Metode Sarrus:
- Tuliskan matriks 3×3.
- Salin kolom ke-1 dan kolom ke-2 di sebelah kanan matriks.
- Kalikan elemen-elemen pada diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) → hasilnya dijumlahkan.
- Kalikan elemen-elemen pada diagonal sekunder (dari kanan atas ke kiri bawah) → hasilnya dijumlahkan.
- Determinan = jumlah diagonal utama − jumlah diagonal sekunder.
Rumus Determinan Ordo 3×3 (Sarrus):
det(A) = (a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂)
− (a₁₃·a₂₂·a₃₁ + a₁₁·a₂₃·a₃₂ + a₁₂·a₂₁·a₃₃)
Ilustrasi Metode Sarrus:
a₁₁ a₁₂ a₁₃ │ a₁₁ a₁₂
a₂₁ a₂₂ a₂₃ │ a₂₁ a₂₂
a₃₁ a₃₂ a₃₃ │ a₃₁ a₃₂
Diagonal Utama (+): Diagonal Sekunder (−):
a₁₁·a₂₂·a₃₃ a₁₃·a₂₂·a₃₁
a₁₂·a₂₃·a₃₁ a₁₁·a₂₃·a₃₂
a₁₃·a₂₁·a₃₂ a₁₂·a₂₁·a₃₃
Metode Ekspansi Kofaktor (Laplace)
Selain Metode Sarrus, determinan matriks ordo 3×3 juga dapat dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom tertentu.
Konsep Kofaktor:
Kofaktor elemen aij adalah:
Cij = (−1)i+j · Mij
Mij = minor dari elemen aij (determinan submatriks 2×2 yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j)
Ekspansi sepanjang baris pertama:
det(A) = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃
= a₁₁(a₂₂·a₃₃ − a₂₃·a₃₂) − a₁₂(a₂₁·a₃₃ − a₂₃·a₃₁) + a₁₃(a₂₁·a₃₂ − a₂₂·a₃₁)
Sifat-Sifat Determinan Matriks Ordo 3×3
- det(A) = det(Aᵀ) — Determinan matriks sama dengan determinan transposenya.
- Jika semua elemen suatu baris atau kolom bernilai nol, maka det(A) = 0.
- Jika dua baris (atau dua kolom) identik, maka det(A) = 0.
- Jika dua baris (atau dua kolom) ditukar, maka determinan berubah tanda.
- Jika suatu baris dikalikan skalar k, maka determinan juga dikalikan k.
- det(A·B) = det(A) · det(B)
- det(kA) = k³ · det(A) untuk matriks ordo 3×3.
Contoh Penerapan Metode Sarrus
Mari kita coba menghitung determinan matriks berikut secara bertahap:
Langkah penyelesaian:
Langkah 1: Tuliskan skema Sarrus
2 1 3 │ 2 1 4 5 6 │ 4 5 7 8 9 │ 7 8
Langkah 2: Hitung diagonal utama (+)
= (2·5·9) + (1·6·7) + (3·4·8)
= 90 + 42 + 96 = 228
Langkah 3: Hitung diagonal sekunder (−)
= (3·5·7) + (2·6·8) + (1·4·9)
= 105 + 96 + 36 = 237
Langkah 4: det(A) = 228 − 237 = −9
Rangkuman
- Determinan matriks ordo 3×3 menghasilkan satu nilai skalar.
- Metode Sarrus: salin kolom 1 dan 2 ke kanan, lalu hitung selisih jumlah diagonal utama dan diagonal sekunder.
- Metode Ekspansi Kofaktor: pilih satu baris/kolom, hitung kofaktor setiap elemen, lalu jumlahkan.
- Kedua metode selalu memberikan hasil yang sama.
- Determinan bernilai nol menandakan matriks singular (tidak memiliki invers).
📝 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
🟢 Tingkat Mudah
Contoh Soal 1
Hitunglah determinan matriks berikut:
Pembahasan:
Matriks diagonal. det(A) = a₁₁·a₂₂·a₃₃ = 1·2·3 = 6
Diagonal utama: (1·2·3) + (0·0·0) + (0·0·0) = 6
Diagonal sekunder: (0·2·0) + (1·0·0) + (0·0·3) = 0
det(A) = 6 − 0 = 6
Contoh Soal 2
Hitunglah determinan matriks:
Pembahasan:
Matriks segitiga atas. det(B) = perkalian diagonal utama.
Diagonal utama: (1·1·1) + (2·4·0) + (3·0·0) = 1
Diagonal sekunder: (3·1·0) + (1·4·0) + (2·0·1) = 0
det(B) = 1 − 0 = 1
Contoh Soal 3
Hitunglah determinan matriks:
Pembahasan:
Matriks segitiga bawah. det = perkalian diagonal utama = 2·4·1 = 8
Verifikasi Sarrus:
Diagonal utama: (2·4·1) + (0·0·5) + (0·3·6) = 8
Diagonal sekunder: (0·4·5) + (2·0·6) + (0·3·1) = 0
det(C) = 8 − 0 = 8
Contoh Soal 4
Hitunglah determinan matriks:
Pembahasan:
Diagonal utama: (1·5·9) + (2·6·7) + (3·4·8) = 45 + 84 + 96 = 225
Diagonal sekunder: (3·5·7) + (1·6·8) + (2·4·9) = 105 + 48 + 72 = 225
det(D) = 225 − 225 = 0
Catatan: baris ketiga = baris pertama + baris kedua (bergantung linear), sehingga determinan = 0.
Contoh Soal 5
Hitunglah determinan matriks:
Pembahasan:
Diagonal utama: (3·4·5) + (1·1·0) + (2·0·0) = 60
Diagonal sekunder: (2·4·0) + (3·1·0) + (1·0·5) = 0
det(E) = 60 − 0 = 60
🟡 Tingkat Sedang
Contoh Soal 6
Hitunglah determinan matriks:
Pembahasan:
Diagonal utama: (2·0·7) + (−1·(−2)·1) + (3·4·5) = 0 + 2 + 60 = 62
Diagonal sekunder: (3·0·1) + (2·(−2)·5) + (−1·4·7) = 0 + (−20) + (−28) = −48
det(F) = 62 − (−48) = 62 + 48 = 110
Contoh Soal 7
Hitunglah determinan matriks:
Pembahasan:
Diagonal utama: (−1·(−2)·(−3)) + (2·1·2) + (4·3·0) = −6 + 4 + 0 = −2
Diagonal sekunder: (4·(−2)·2) + (−1·1·0) + (2·3·(−3)) = −16 + 0 + (−18) = −34
det(G) = −2 − (−34) = −2 + 34 = 32
Contoh Soal 8
Hitunglah determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama:
Pembahasan (Ekspansi Kofaktor Baris 1):
det(H) = 5·C₁₁ + (−3)·C₁₂ + 2·C₁₃
M₁₁ = det 4−103 = (4·3) − (−1·0) = 12
M₁₂ = det 1−123 = (1·3) − (−1·2) = 5
M₁₃ = det 1420 = (1·0) − (4·2) = −8
C₁₁ = (+1)·12 = 12
C₁₂ = (−1)·5 = −5
C₁₃ = (+1)·(−8) = −8
det(H) = 5(12) + (−3)(−5) + 2(−8) = 60 + 15 − 16 = 59
Contoh Soal 9
Jika det(A) = 4, tentukan det(3A) dimana A matriks ordo 3×3.
Pembahasan:
Menggunakan sifat: det(kA) = k³ · det(A) untuk matriks ordo 3×3.
det(3A) = 3³ · det(A) = 27 · 4 = 108
Contoh Soal 10
Hitunglah determinan matriks:
Pembahasan:
Perhatikan bahwa baris ke-2 = 2 × baris ke-1.
Karena dua baris proporsional, maka det(J) = 0.
Verifikasi Sarrus:
Diagonal utama: (1·(−4)·(−1)) + (−2·6·1) + (3·2·3) = 4 + (−12) + 18 = 10
Diagonal sekunder: (3·(−4)·1) + (1·6·3) + (−2·2·(−1)) = −12 + 18 + 4 = 10
det(J) = 10 − 10 = 0 ✓
🔴 Tingkat Sulit
Contoh Soal 11
Tentukan nilai x agar determinan matriks berikut sama dengan nol:
Pembahasan:
Metode Sarrus:
Diagonal utama: x·x·x + 1·1·3 + 2·2·2 = x³ + 3 + 8 = x³ + 11
Diagonal sekunder: 2·x·3 + x·1·2 + 1·2·x = 6x + 2x + 2x = 10x
det = (x³ + 11) − 10x = 0
x³ − 10x + 11 = 0
Coba x = 1: 1 − 10 + 11 = 2 ≠ 0
Coba x = −1: −1 + 10 + 11 = 20 ≠ 0
Menggunakan metode numerik atau Cardano, diperoleh akar-akar:
Faktorisasi: Coba x = − (tidak bulat). Gunakan kalkulator:
x ≈ −3,53 atau x ≈ 1,17 atau x ≈ 2,36
(Persamaan kubik ini tidak memiliki akar rasional sederhana)
Contoh Soal 12
Tentukan nilai a agar matriks berikut singular:
Pembahasan:
Matriks singular ⟹ det(K) = 0
Ekspansi baris 1:
det(K) = a[(a+1)(a−1) − 2(−1)] − 2[3(a−1) − 2·1] + 1[3(−1) − (a+1)·1]
= a[(a²−1) + 2] − 2[3a−3−2] + 1[−3−a−1]
= a[a²+1] − 2[3a−5] + [−4−a]
= a³ + a − 6a + 10 − 4 − a
= a³ − 6a + 6
a³ − 6a + 6 = 0
Coba a = −3: −27 + 18 + 6 = −3 ≠ 0
Coba a = 2: 8 − 12 + 6 = 2 ≠ 0
Coba a = −1: −1 + 6 + 6 = 11 ≠ 0
Akar-akar persamaan ini (metode Cardano/numerik):
a ≈ −2,80 atau a ≈ 0,87 atau a ≈ 1,93
Contoh Soal 13
Diketahui matriks A dan B ordo 3×3 dengan det(A) = 3 dan det(B) = −2. Tentukan det(2A·Bᵀ·A⁻¹).
Pembahasan:
Gunakan sifat-sifat determinan:
det(2A·Bᵀ·A⁻¹)
= det(2A) · det(Bᵀ) · det(A⁻¹)
• det(2A) = 2³ · det(A) = 8 · 3 = 24
• det(Bᵀ) = det(B) = −2
• det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/3
= 24 · (−2) · (1/3) = −48/3 = −16
Contoh Soal 14
Hitunglah determinan matriks berikut menggunakan operasi baris elementer:
Pembahasan:
Baris 1 bisa dibagi 3: B₁’ = B₁/3 → det dikalikan 3
Setelah B₁/3:
det(L) = 3 · det(matriks di atas)
Hitung dengan Sarrus:
Diagonal utama: (1·5·2) + (2·1·4) + (3·2·(−1)) = 10 + 8 + (−6) = 12
Diagonal sekunder: (3·5·4) + (1·1·(−1)) + (2·2·2) = 60 + (−1) + 8 = 67
det = 12 − 67 = −55
det(L) = 3 · (−55) = −165
Contoh Soal 15
Diketahui:
dengan det(M) = 5. Tentukan determinan matriks N berikut:
Pembahasan:
Analisis operasi dari M ke N:
1. Baris 1 dan baris 3 ditukar → det × (−1)
2. Kemudian baris 1 (yang sekarang baris 3: g,h,i) dan baris 2 ditukar → det × (−1)
Lebih mudah: Mari analisis langsung.
Dari M, lakukan:
• Tukar B₁ ↔ B₃: det = −5, hasilnya baris: (g,h,i), (d,e,f), (a,b,c)
• Kalikan B₂ dengan 2: det = −5·2 = −10, hasilnya: (g,h,i), (2d,2e,2f), (a,b,c)
• B₃ + B₁ → B₃ (operasi ini tidak mengubah det): hasilnya: (g,h,i), (2d,2e,2f), (a+g, b+h, c+i)
det(N) = −10
📋 LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Tingkat Mudah
Latihan 1
Hitunglah determinan matriks:
Latihan 2
Hitunglah determinan matriks:
Latihan 3
Hitunglah determinan matriks:
Latihan 4
Hitunglah determinan matriks:
Latihan 5
Hitunglah determinan matriks:
🟡 Tingkat Sedang
Latihan 6
Hitunglah determinan matriks:
Latihan 7
Hitunglah determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor kolom pertama:
Latihan 8
Jika det(P) = −3 dan P matriks ordo 3×3, tentukan det(−2P).
Latihan 9
Hitunglah determinan matriks:
Latihan 10
Tentukan nilai p jika determinan matriks berikut sama dengan 20:
🔴 Tingkat Sulit
Latihan 11
Tentukan semua nilai x yang memenuhi:
Latihan 12
Diketahui det(A) = 5 dan det(B) = −2 (keduanya matriks 3×3). Hitunglah det(A²·B⁻¹).
Latihan 13
Diketahui:
Tentukan:
Latihan 14
Hitunglah determinan matriks:
Latihan 15
Diketahui matriks A ordo 3×3 memenuhi A³ = 2A. Jika det(A) ≠ 0, tentukan det(A).