Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Solusi SPLTV dengan Metode Determinan
(Aturan Cramer)
Pengertian Metode Determinan (Aturan Cramer)
Metode Determinan atau yang dikenal dengan Aturan Cramer adalah salah satu metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan menggunakan konsep determinan matriks.
Metode ini dinamai menurut matematikawan Swiss, Gabriel Cramer (1704–1752), yang memperkenalkan aturan ini dalam karyanya pada tahun 1750.
Bentuk Umum SPLTV
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) memiliki bentuk umum:
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
Dalam bentuk matriks, SPLTV di atas dapat ditulis sebagai AX = B, dengan:
Matriks Koefisien A:
Matriks Variabel X:
Matriks Konstanta B:
Cara Menghitung Determinan Matriks 3×3
Untuk menerapkan Aturan Cramer, kita perlu menghitung determinan matriks 3×3. Ada dua cara yang umum digunakan:
Metode Sarrus
Untuk matriks:
Langkah Metode Sarrus:
1. Salin kolom 1 dan kolom 2 di sebelah kanan matriks
2. Jumlahkan hasil kali diagonal utama (↘):
= (a₁ × b₂ × c₃) + (b₁ × c₂ × a₃) + (c₁ × a₂ × b₃)
3. Jumlahkan hasil kali diagonal sekunder (↗):
= (c₁ × b₂ × a₃) + (a₁ × c₂ × b₃) + (b₁ × a₂ × c₃)
Determinan = (Jumlah diagonal utama) − (Jumlah diagonal sekunder)
Metode Ekspansi Kofaktor (Baris Pertama)
det(A) = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − b₁(a₂c₃ − a₃c₂) + c₁(a₂b₃ − a₃b₂)
Rumus Aturan Cramer untuk SPLTV
Aturan Cramer menyatakan bahwa solusi SPLTV dapat diperoleh dengan rumus:
Rumus Cramer:
x = Dx / D
y = Dy / D
z = Dz / D
Syarat: D ≠ 0 (determinan matriks koefisien tidak sama dengan nol)
Keterangan:
D = Determinan matriks koefisien A
D = det
Dx = Determinan matriks A dengan kolom 1 diganti kolom konstanta
Dx = det
Dy = Determinan matriks A dengan kolom 2 diganti kolom konstanta
Dy = det
Dz = Determinan matriks A dengan kolom 3 diganti kolom konstanta
Dz = det
Langkah-Langkah Penyelesaian SPLTV dengan Metode Determinan
Langkah 1: Tuliskan SPLTV dalam bentuk standar (semua variabel di ruas kiri, konstanta di ruas kanan).
Langkah 2: Identifikasi koefisien dan konstanta, lalu susun matriks koefisien A dan matriks konstanta B.
Langkah 3: Hitung determinan D (determinan matriks koefisien). Pastikan D ≠ 0.
Langkah 4: Hitung Dx (ganti kolom 1 dengan kolom konstanta).
Langkah 5: Hitung Dy (ganti kolom 2 dengan kolom konstanta).
Langkah 6: Hitung Dz (ganti kolom 3 dengan kolom konstanta).
Langkah 7: Hitung x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D.
Langkah 8: Periksa (substitusi) solusi ke persamaan awal untuk verifikasi.
Pertanyaan Kritis
1. Apa yang terjadi jika D = 0?
Jika D = 0, maka Aturan Cramer tidak dapat digunakan. Hal ini berarti SPLTV tersebut tidak memiliki solusi tunggal (bisa tidak memiliki solusi atau memiliki tak hingga banyak solusi).
2. Kapan sebaiknya menggunakan Metode Determinan?
Metode Determinan efektif digunakan ketika koefisien SPLTV berupa bilangan bulat sederhana dan sistem memiliki solusi tunggal (D ≠ 0).
3. Mengapa kolom diganti dengan kolom konstanta?
Penggantian kolom ini merupakan inti dari Aturan Cramer. Setiap variabel dihitung dengan mengganti kolom koefisien variabel tersebut dengan kolom konstanta, sehingga menghasilkan determinan baru yang proporsional terhadap nilai variabel tersebut.
Contoh Soal
Tingkat Mudah (1–5)
Contoh Soal 1 (Mudah)
Tentukan solusi SPLTV berikut:
x + y + z = 6
x − y + z = 2
x + y − z = 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Identifikasi koefisien
a₁=1, b₁=1, c₁=1, d₁=6
a₂=1, b₂=−1, c₂=1, d₂=2
a₃=1, b₃=1, c₃=−1, d₃=0
Langkah 2: Hitung D
D = 1((-1)(−1) − (1)(1)) − 1((1)(−1) − (1)(1)) + 1((1)(1) − (−1)(1))
D = 1(1 − 1) − 1(−1 − 1) + 1(1 + 1)
D = 0 − (−2) + 2 = 4
Langkah 3: Hitung Dx (ganti kolom 1 dengan konstanta)
Dx = 6((-1)(−1) − (1)(1)) − 1((2)(−1) − (0)(1)) + 1((2)(1) − (−1)(0))
Dx = 6(1−1) − 1(−2−0) + 1(2−0)
Dx = 0 + 2 + 2 = 4
Langkah 4: Hitung Dy (ganti kolom 2 dengan konstanta)
Dy = 1((2)(−1) − (0)(1)) − 6((1)(−1) − (1)(1)) + 1((1)(0) − (2)(1))
Dy = 1(−2−0) − 6(−1−1) + 1(0−2)
Dy = −2 + 12 − 2 = 8
Langkah 5: Hitung Dz (ganti kolom 3 dengan konstanta)
Dz = 1((−1)(0) − (2)(1)) − 1((1)(0) − (2)(1)) + 6((1)(1) − (−1)(1))
Dz = 1(0−2) − 1(0−2) + 6(1+1)
Dz = −2 + 2 + 12 = 12
Langkah 6: Hitung solusi
x = Dx/D = 4/4 = 1
y = Dy/D = 8/4 = 2
z = Dz/D = 12/4 = 3
Verifikasi: Substitusi ke persamaan 1: 1 + 2 + 3 = 6 ✓
Jadi, HP = {(1, 2, 3)}
Contoh Soal 2 (Mudah)
Tentukan solusi SPLTV berikut:
2x + y + z = 9
x + 2y + z = 8
x + y + 2z = 7
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 2(4−1) − 1(2−1) + 1(1−2)
D = 2(3) − 1(1) + 1(−1) = 6 − 1 − 1 = 4
Hitung Dx:
Dx = 9(4−1) − 1(16−7) + 1(8−14)
Dx = 9(3) − 1(9) + 1(−6) = 27 − 9 − 6 = 12
Hitung Dy:
Dy = 2(16−7) − 9(2−1) + 1(7−8)
Dy = 2(9) − 9(1) + 1(−1) = 18 − 9 − 1 = 8
Hitung Dz:
Dz = 2(14−8) − 1(7−8) + 9(1−2)
Dz = 2(6) − 1(−1) + 9(−1) = 12 + 1 − 9 = 4
Solusi:
x = 12/4 = 3
y = 8/4 = 2
z = 4/4 = 1
Verifikasi: 2(3)+2+1 = 9 ✓; 3+2(2)+1 = 8 ✓; 3+2+2(1) = 7 ✓
HP = {(3, 2, 1)}
Contoh Soal 3 (Mudah)
x + 2y + z = 10
2x + y + z = 9
x + y + 2z = 11
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 1(2−1) − 2(4−1) + 1(2−1)
D = 1(1) − 2(3) + 1(1) = 1 − 6 + 1 = −4
Hitung Dx:
Dx = 10(2−1) − 2(18−11) + 1(9−11)
Dx = 10(1) − 2(7) + 1(−2) = 10 − 14 − 2 = −6
Hitung Dy:
Dy = 1(18−11) − 10(4−1) + 1(22−9)
Dy = 7 − 30 + 13 = −10
Hitung Dz:
Dz = 1(11−9) − 2(22−9) + 10(2−1)
Dz = 2 − 26 + 10 = −14
Solusi:
x = −6/(−4) = 3/2
y = −10/(−4) = 5/2
z = −14/(−4) = 7/2
HP = {(3/2, 5/2, 7/2)}
Contoh Soal 4 (Mudah)
x + y + z = 3
2x + y − z = 3
x − y + z = 1
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 1(1−(−1)) − 1(2−(−1)) + 1(−2−1)
D = 1(2) − 1(3) + 1(−3) = 2 − 3 − 3 = −4
Hitung Dx:
Dx = 3(1−(−1)) − 1(3−(−1)) + 1(−3−1)
Dx = 3(2) − 1(4) + 1(−4) = 6 − 4 − 4 = −2
Hitung Dy:
Dy = 1(3−(−1)) − 3(2−(−1)) + 1(2−3)
Dy = 4 − 9 + (−1) = −6
Hitung Dz:
Dz = 1(1−(−3)) − 1(2−3) + 3(−2−1)
Dz = 4 − (−1) + (−9) = 4 + 1 − 9 = −4
Solusi:
x = −2/(−4) = 1/2
y = −6/(−4) = 3/2
z = −4/(−4) = 1
HP = {(1/2, 3/2, 1)}
Contoh Soal 5 (Mudah)
3x + y + z = 10
x + 3y + z = 14
x + y + 3z = 18
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 3(9−1) − 1(3−1) + 1(1−3)
D = 3(8) − 1(2) + 1(−2) = 24 − 2 − 2 = 20
Hitung Dx:
Dx = 10(9−1) − 1(42−18) + 1(14−54)
Dx = 10(8) − 24 + (−40) = 80 − 24 − 40 = 16
Hitung Dy:
Dy = 3(42−18) − 10(3−1) + 1(18−14)
Dy = 3(24) − 10(2) + 4 = 72 − 20 + 4 = 56
Hitung Dz:
Dz = 3(54−14) − 1(18−14) + 10(1−3)
Dz = 3(40) − 4 + 10(−2) = 120 − 4 − 20 = 96
Solusi:
x = 16/20 = 4/5
y = 56/20 = 14/5
z = 96/20 = 24/5
HP = {(4/5, 14/5, 24/5)}
Tingkat Sedang (6–10)
Contoh Soal 6 (Sedang)
2x + 3y − z = 5
4x − y + 2z = 11
x + 2y + 3z = 12
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 2((−1)(3) − (2)(2)) − 3((4)(3) − (2)(1)) + (−1)((4)(2) − (−1)(1))
D = 2(−3−4) − 3(12−2) + (−1)(8+1)
D = 2(−7) − 3(10) − 9 = −14 − 30 − 9 = −53
Hitung Dx:
Dx = 5(−3−4) − 3(33−24) + (−1)(22+12)
Dx = 5(−7) − 3(9) − 34 = −35 − 27 − 34 = −96
Hitung Dy:
Dy = 2(33−24) − 5(12−2) + (−1)(48−11)
Dy = 2(9) − 5(10) − 37 = 18 − 50 − 37 = −69
Hitung Dz:
Dz = 2(−12+22) − 3(48−11) + 5(8+1)
Dz = 2(10) − 3(37) + 5(9) = 20 − 111 + 45 = −46
Solusi:
x = −96/(−53) = 96/53
y = −69/(−53) = 69/53
z = −46/(−53) = 46/53
HP = {(96/53, 69/53, 46/53)}
Contoh Soal 7 (Sedang)
3x − 2y + z = 7
x + 3y − 2z = −2
2x + y + 3z = 15
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 3(9+2) − (−2)(3+4) + 1(1−6)
D = 3(11) + 2(7) + (−5) = 33 + 14 − 5 = 42
Hitung Dx:
Dx = 7(9+2) − (−2)(−6+30) + 1(−2−45)
Dx = 7(11) + 2(24) + (−47) = 77 + 48 − 47 = 78
Hitung Dy:
Dy = 3(−6+30) − 7(3+4) + 1(15+4)
Dy = 3(24) − 7(7) + 19 = 72 − 49 + 19 = 42
Hitung Dz:
Dz = 3(45+2) − (−2)(15+4) + 7(1−6)
Dz = 3(47) + 2(19) + 7(−5) = 141 + 38 − 35 = 144
Solusi:
x = 78/42 = 13/7
y = 42/42 = 1
z = 144/42 = 24/7
HP = {(13/7, 1, 24/7)}
Contoh Soal 8 (Sedang)
Harga 2 buku, 3 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp13.000. Harga 1 buku, 1 pensil, dan 2 penghapus adalah Rp8.000. Harga 3 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp15.000. Tentukan harga masing-masing!
Lihat Pembahasan
Misalkan: x = harga buku, y = harga pensil, z = harga penghapus (dalam ribuan)
2x + 3y + z = 13
x + y + 2z = 8
3x + 2y + z = 15
Hitung D:
D = 2(1−4) − 3(1−6) + 1(2−3)
D = 2(−3) − 3(−5) + (−1) = −6 + 15 − 1 = 8
Hitung Dx:
Dx = 13(1−4) − 3(8−30) + 1(16−15)
Dx = 13(−3) − 3(−22) + 1 = −39 + 66 + 1 = 28
Hitung Dy:
Dy = 2(8−30) − 13(1−6) + 1(15−24)
Dy = 2(−22) − 13(−5) + (−9) = −44 + 65 − 9 = 12
Hitung Dz:
Dz = 2(15−16) − 3(15−24) + 13(2−3)
Dz = 2(−1) − 3(−9) + 13(−1) = −2 + 27 − 13 = 12
Solusi:
x = 28/8 = 3,5 → Harga buku = Rp3.500
y = 12/8 = 1,5 → Harga pensil = Rp1.500
z = 12/8 = 1,5 → Harga penghapus = Rp1.500
Contoh Soal 9 (Sedang)
x − 3y + 2z = −1
3x + y − z = 10
2x − 2y + 3z = 5
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 1(3−2) − (−3)(9+2) + 2(−6−2)
D = 1(1) + 3(11) + 2(−8) = 1 + 33 − 16 = 18
Hitung Dx:
Dx = −1(3−2) − (−3)(30+5) + 2(−20−5)
Dx = −1(1) + 3(35) + 2(−25) = −1 + 105 − 50 = 54
Hitung Dy:
Dy = 1(30+5) − (−1)(9+2) + 2(5−20)
Dy = 35 + 11 + 2(−15) = 35 + 11 − 30 = 16
Hitung Dz:
Dz = 1(5+20) − (−3)(15−20) + (−1)(−6−2)
Dz = 25 + 3(−5) + (−1)(−8) = 25 − 15 + 8 = 18
Solusi:
x = 54/18 = 3
y = 16/18 = 8/9
z = 18/18 = 1
HP = {(3, 8/9, 1)}
Contoh Soal 10 (Sedang)
Tiga bilangan berurutan jika dijumlahkan hasilnya 30. Selisih bilangan pertama dan ketiga adalah −6. Jika bilangan pertama ditambah dua kali bilangan kedua dikurangi bilangan ketiga hasilnya 4. Tentukan ketiga bilangan tersebut!
Lihat Pembahasan
Model matematika:
x + y + z = 30
x − z = −6 → x + 0y − z = −6
x + 2y − z = 4
Hitung D:
D = 1(0+2) − 1(−1+1) + 1(0−0)
D = 2 − 0 + 0 = 2
Hitung Dx:
Dx = 30(0+2) − 1(6+4) + 1(−12−0)
Dx = 60 − 10 − 12 = 38
Perlu dicek ulang. Mari hitung dengan Sarrus.
Matriks Dx: kolom 1 diganti (30, −6, 4)
Dx = 30(0·(−1) − 2·(−1)) − 1((−6)(−1) − 4(−1)) + 1((−6)(2) − 0·4)
Dx = 30(0+2) − 1(6+4) + 1(−12−0)
Dx = 60 − 10 − 12 = 38
Hitung Dy:
Dy = 1(6+4) − 30(−1+1) + 1(4+6)
Dy = 10 − 0 + 10 = 20
Hitung Dz:
Dz = 1(0+12) − 1(4+6) + 30(0−0)
Dz = 12 − 10 + 0 = 2
Solusi:
x = 38/2 = 19
Hmm, mari verifikasi: 19 + y + z = 30, 19 − z = −6 → z = 25, y = 30−19−25 = −14
Cek: x + 2y − z = 19 + 2(−14) − 25 = 19 − 28 − 25 = −34 ≠ 4
Mari hitung ulang D dengan benar:
Koefisien: a₁=1,b₁=1,c₁=1; a₂=1,b₂=0,c₂=−1; a₃=1,b₃=2,c₃=−1
D = 1(0·(−1) − (−1)·2) − 1(1·(−1) − (−1)·1) + 1(1·2 − 0·1)
D = 1(0+2) − 1(−1+1) + 1(2) = 2 − 0 + 2 = 4
Dx:
Dx = 30(0+2) − 1((−6)(−1) − (−1)(4)) + 1((−6)(2) − 0·4)
Dx = 60 − 1(6+4) + 1(−12) = 60 − 10 − 12 = 38
Dy:
Dy = 1((−6)(−1)−(−1)(4)) − 30((1)(−1)−(−1)(1)) + 1((1)(4)−(−6)(1))
Dy = 1(6+4) − 30(−1+1) + 1(4+6) = 10 − 0 + 10 = 20
Dz:
Dz = 1(0·4 − (−6)·2) − 1(1·4 − (−6)·1) + 30(1·2 − 0·1)
Dz = 1(0+12) − 1(4+6) + 30(2) = 12 − 10 + 60 = 62
Solusi:
x = 38/4 = 9,5
y = 20/4 = 5
z = 62/4 = 15,5
Verifikasi: 9,5 + 5 + 15,5 = 30 ✓; 9,5 − 15,5 = −6 ✓; 9,5 + 10 − 15,5 = 4 ✓
Ketiga bilangan tersebut adalah 9,5; 5; dan 15,5
Tingkat Sulit (11–15)
Contoh Soal 11 (Sulit)
4x − 2y + 3z = 1
2x + 3y − z = 11
5x + y − 4z = 7
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 4(3·(−4) − (−1)·1) − (−2)(2·(−4) − (−1)·5) + 3(2·1 − 3·5)
D = 4(−12+1) + 2(−8+5) + 3(2−15)
D = 4(−11) + 2(−3) + 3(−13) = −44 − 6 − 39 = −89
Hitung Dx:
Dx = 1(−12+1) − (−2)(−44+7) + 3(11−21)
Dx = 1(−11) + 2(−37) + 3(−10) = −11 − 74 − 30 = −115
Hitung Dy:
Dy = 4(−44+7) − 1(−8+5) + 3(14−55)
Dy = 4(−37) − 1(−3) + 3(−41) = −148 + 3 − 123 = −268
Hitung Dz:
Dz = 4(21−11) − (−2)(14−55) + 1(2−15)
Dz = 4(10) + 2(−41) + (−13) = 40 − 82 − 13 = −55
Solusi:
x = −115/(−89) = 115/89
y = −268/(−89) = 268/89
z = −55/(−89) = 55/89
HP = {(115/89, 268/89, 55/89)}
Contoh Soal 12 (Sulit)
Sebuah toko menjual 3 jenis buah. Pembelian 5 kg apel, 3 kg jeruk, dan 2 kg mangga seharga Rp185.000. Pembelian 2 kg apel, 4 kg jeruk, dan 6 kg mangga seharga Rp196.000. Pembelian 3 kg apel, 2 kg jeruk, dan 4 kg mangga seharga Rp153.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah!
Lihat Pembahasan
Misalkan: x = harga apel/kg, y = harga jeruk/kg, z = harga mangga/kg (ribuan)
5x + 3y + 2z = 185
2x + 4y + 6z = 196
3x + 2y + 4z = 153
Hitung D:
D = 5(16−12) − 3(8−18) + 2(4−12)
D = 5(4) − 3(−10) + 2(−8) = 20 + 30 − 16 = 34
Hitung Dx:
Dx = 185(16−12) − 3(784−918) + 2(392−612)
Dx = 185(4) − 3(−134) + 2(−220)
Dx = 740 + 402 − 440 = 702
Hitung Dy:
Dy = 5(784−918) − 185(8−18) + 2(306−588)
Dy = 5(−134) − 185(−10) + 2(−282)
Dy = −670 + 1850 − 564 = 616
Hitung Dz:
Dz = 5(612−392) − 3(306−588) + 185(4−12)
Dz = 5(220) − 3(−282) + 185(−8)
Dz = 1100 + 846 − 1480 = 466
Solusi:
x = 702/34 ≈ Rp20.647/kg (apel)
y = 616/34 ≈ Rp18.118/kg (jeruk)
z = 466/34 ≈ Rp13.706/kg (mangga)
Contoh Soal 13 (Sulit)
3x + 5y − 4z = −7
−2x + y + 3z = 14
4x − 3y + 2z = −2
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 3(2+9) − 5(−4−12) + (−4)(6−4)
D = 3(11) − 5(−16) − 4(2) = 33 + 80 − 8 = 105
Hitung Dx:
Dx = −7(2+9) − 5(28+6) + (−4)(−42+2)
Dx = −7(11) − 5(34) − 4(−40) = −77 − 170 + 160 = −87
Hitung Dy:
Dy = 3(28+6) − (−7)(−4−12) + (−4)(4+56)
Dy = 3(34) + 7(−16) − 4(60) = 102 − 112 − 240 = −250
Hitung Dz:
Dz = 3(−2+42) − 5(4+56) + (−7)(6−4)
Dz = 3(40) − 5(60) − 7(2) = 120 − 300 − 14 = −194
Solusi:
x = −87/105 = −29/35
y = −250/105 = −50/21
z = −194/105 = −194/105
HP = {(−29/35, −50/21, −194/105)}
Contoh Soal 14 (Sulit)
2x − 5y + 3z = 1
−3x + 2y − 4z = −7
x + 4y − 2z = 8
Lihat Pembahasan
Hitung D:
D = 2((2)(−2) − (−4)(4)) − (−5)((−3)(−2) − (−4)(1)) + 3((−3)(4) − (2)(1))
D = 2(−4+16) + 5(6+4) + 3(−12−2)
D = 2(12) + 5(10) + 3(−14) = 24 + 50 − 42 = 32
Hitung Dx:
Dx = 1(−4+16) − (−5)(14+32) + 3(−28−16)
Dx = 12 + 5(46) + 3(−44) = 12 + 230 − 132 = 110
Hitung Dy:
Dy = 2(14+32) − 1(6+4) + 3(−21+7)
Dy = 2(46) − 10 + 3(−14) = 92 − 10 − 42 = 40
Hitung Dz:
Dz = 2(16+28) − (−5)(−24+7) + 1(−12−2)
Dz = 2(44) + 5(−17) − 14 = 88 − 85 − 14 = −11
Solusi:
x = 110/32 = 55/16
y = 40/32 = 5/4
z = −11/32 = −11/32
HP = {(55/16, 5/4, −11/32)}
Contoh Soal 15 (Sulit)
Suatu perusahaan memproduksi 3 jenis barang. Untuk memproduksi 1 unit A, 2 unit B, dan 3 unit C diperlukan biaya Rp46 juta. Untuk 3 unit A, 1 unit B, dan 2 unit C diperlukan Rp41 juta. Untuk 2 unit A, 3 unit B, dan 1 unit C diperlukan Rp36 juta. Tentukan biaya produksi per unit masing-masing barang!
Lihat Pembahasan
Model: x=biaya A, y=biaya B, z=biaya C (juta)
x + 2y + 3z = 46
3x + y + 2z = 41
2x + 3y + z = 36
Hitung D:
D = 1(1−6) − 2(3−4) + 3(9−2)
D = (−5) − 2(−1) + 3(7) = −5 + 2 + 21 = 18
Hitung Dx:
Dx = 46(1−6) − 2(41−72) + 3(123−36)
Dx = 46(−5) − 2(−31) + 3(87) = −230 + 62 + 261 = 93
Hitung Dy:
Dy = 1(41−72) − 46(3−4) + 3(108−82)
Dy = (−31) − 46(−1) + 3(26) = −31 + 46 + 78 = 93
Hitung Dz:
Dz = 1(36−123) − 2(108−82) + 46(9−2)
Dz = (−87) − 2(26) + 46(7) = −87 − 52 + 322 = 183
Solusi:
x = 93/18 ≈ Rp5,17 juta (biaya A)
y = 93/18 ≈ Rp5,17 juta (biaya B)
z = 183/18 ≈ Rp10,17 juta (biaya C)
Verifikasi: 5,17 + 2(5,17) + 3(10,17) ≈ 5,17 + 10,33 + 30,5 = 46 ✓
Rangkuman
1. Metode Determinan (Aturan Cramer) menyelesaikan SPLTV menggunakan perbandingan determinan.
2. Rumus: x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D dengan syarat D ≠ 0.
3. Dx, Dy, Dz diperoleh dengan mengganti kolom koefisien variabel terkait dengan kolom konstanta.
4. Determinan matriks 3×3 dapat dihitung dengan Metode Sarrus atau Ekspansi Kofaktor.
5. Selalu verifikasi jawaban dengan substitusi ke persamaan awal.
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut dengan Metode Determinan (Aturan Cramer)!
Tingkat Mudah
1. x + y + z = 9; x − y + z = 5; x + y − z = 1
2. 2x + y + z = 7; x + 2y + z = 8; x + y + 2z = 9
3. x + 2y + z = 8; 2x + y + z = 7; x + y + 2z = 9
4. 3x + y + z = 14; x + 3y + z = 12; x + y + 3z = 14
5. x + y + z = 6; 2x + y + z = 7; x + 2y + z = 8
Tingkat Sedang
6. 2x − 3y + z = −1; x + 2y − 3z = 5; 3x + y + 2z = 14
7. 3x + 2y − z = 8; x − 4y + 2z = −1; 2x + y + 3z = 11
8. Harga 3 baju, 2 celana, dan 1 topi adalah Rp350.000. Harga 1 baju, 3 celana, dan 2 topi adalah Rp370.000. Harga 2 baju, 1 celana, dan 3 topi adalah Rp280.000. Tentukan harga masing-masing!
9. 4x − y + 2z = 15; 2x + 3y − z = 7; x + 2y + 4z = 20
10. Jumlah tiga bilangan adalah 24. Bilangan pertama dikurangi bilangan kedua sama dengan bilangan ketiga dikurangi 4. Dua kali bilangan pertama sama dengan jumlah bilangan kedua dan ketiga. Tentukan ketiga bilangan!
Tingkat Sulit
11. 5x − 3y + 2z = 4; −2x + 4y − 3z = 1; 3x + 2y − 5z = −8
12. Seorang pedagang mencampur 3 jenis kopi. Campuran I: 2 kg A + 3 kg B + 1 kg C = Rp174.000. Campuran II: 4 kg A + 1 kg B + 3 kg C = Rp208.000. Campuran III: 1 kg A + 2 kg B + 4 kg C = Rp183.000. Tentukan harga per kg masing-masing jenis kopi!
13. 3x − 4y + 5z = 2; −x + 2y − 3z = 0; 4x − 3y + z = 5
14. 6x + 2y − 3z = 5; 3x − 5y + 4z = −2; 2x + 3y − 7z = 10
15. Sebuah pabrik memproduksi 3 tipe produk. Biaya bahan baku: 4A + 2B + 3C = Rp128 juta. Biaya tenaga kerja: 2A + 5B + C = Rp107 juta. Biaya overhead: 3A + B + 4C = Rp109 juta. Tentukan biaya masing-masing komponen per unit produk!