Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pernyataan dalam Logika Matematika
Materi Lengkap: Pengertian, Contoh Soal & Latihan
A. Pengertian Pernyataan
Dalam logika matematika, pernyataan (proposisi) adalah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu benar (B) atau salah (S), tetapi tidak keduanya sekaligus.
📌 Definisi Formal:
Pernyataan adalah kalimat tertutup yang dapat ditentukan nilai kebenarannya secara pasti (benar atau salah, tidak keduanya).
Ciri-ciri Pernyataan:
- Berupa kalimat deklaratif (kalimat berita)
- Bernilai benar saja atau salah saja
- Dilambangkan dengan huruf kecil: p, q, r, s, …
Kalimat yang BUKAN Pernyataan:
- Kalimat terbuka — mengandung variabel (contoh: “x + 3 = 7”)
- Kalimat perintah — (contoh: “Tutup pintu itu!”)
- Kalimat tanya — (contoh: “Berapa umurmu?”)
- Kalimat harapan/doa — (contoh: “Semoga kamu berhasil”)
- Kalimat seru — (contoh: “Aduh, sakit sekali!”)
Contoh Pernyataan dan Bukan Pernyataan:
| Kalimat | Pernyataan? | Nilai Kebenaran | Alasan |
|---|---|---|---|
| 2 + 3 = 5 | ✅ Ya | Benar (B) | Kalimat deklaratif, bernilai benar |
| Jakarta adalah ibu kota Jepang | ✅ Ya | Salah (S) | Kalimat deklaratif, bernilai salah |
| x + 5 = 10 | ❌ Tidak | — | Kalimat terbuka (ada variabel x) |
| Belajarlah dengan giat! | ❌ Tidak | — | Kalimat perintah |
| Apakah bumi itu bulat? | ❌ Tidak | — | Kalimat tanya |
B. Pertanyaan Kritis
1. Mengapa kalimat tanya tidak termasuk pernyataan?
→ Karena kalimat tanya tidak menyatakan sesuatu, melainkan menanyakan. Tidak ada nilai kebenaran yang bisa ditentukan.
2. Apakah kalimat “Matematika itu sulit” merupakan pernyataan?
→ Tidak, karena bersifat subjektif (pendapat). Nilai kebenarannya tidak dapat ditentukan secara pasti untuk semua orang.
3. Bagaimana membedakan kalimat terbuka dan pernyataan?
→ Kalimat terbuka mengandung variabel yang belum diketahui nilainya. Jika variabel diganti nilai tertentu, baru menjadi pernyataan.
C. Penalaran Lebih Dalam
1. Notasi dan Lambang Pernyataan
Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil:
Contoh penulisan:
- p : 5 adalah bilangan prima → Nilai kebenaran: B (Benar)
- q : 8 adalah bilangan ganjil → Nilai kebenaran: S (Salah)
- r : Semua persegi adalah persegi panjang → Nilai kebenaran: B (Benar)
2. Kalimat Terbuka vs Pernyataan
Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan:
- Mengganti variabel dengan nilai tertentu
- Menambahkan kuantor (untuk semua ∀ atau ada ∃)
| Kalimat Terbuka | Substitusi | Menjadi Pernyataan | Nilai |
|---|---|---|---|
| x + 3 = 7 | x = 4 | 4 + 3 = 7 | B |
| x + 3 = 7 | x = 2 | 2 + 3 = 7 | S |
| y > 0 | y = 5 | 5 > 0 | B |
| n genap | ∀n ∈ bilangan bulat | Semua bilangan bulat genap | S |
3. Pernyataan Berkuantor
Kuantor Universal (∀) — “Untuk setiap” / “Untuk semua”
Contoh: ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 → Benar
Kuantor Eksistensial (∃) — “Ada” / “Terdapat”
Contoh: ∃x ∈ ℤ, x + 5 = 3 → Benar (x = −2)
D. Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan apakah kalimat berikut merupakan pernyataan atau bukan: “7 adalah bilangan prima”
Lihat Pembahasan
Jawab:
Kalimat “7 adalah bilangan prima” adalah kalimat deklaratif.
7 memang bilangan prima (hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri).
∴ Kalimat tersebut adalah pernyataan bernilai Benar (B).
Soal 2:
Tentukan apakah kalimat berikut merupakan pernyataan atau bukan: “Tolong ambilkan buku itu!”
Lihat Pembahasan
Jawab:
Kalimat tersebut adalah kalimat perintah (imperatif).
Kalimat perintah tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.
∴ Bukan pernyataan.
Soal 3:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan: “10 + 5 = 16”
Lihat Pembahasan
Jawab:
10 + 5 = 15 ≠ 16
Kalimat tersebut adalah pernyataan karena bersifat deklaratif dan dapat ditentukan nilai kebenarannya.
∴ Pernyataan bernilai Salah (S).
Soal 4:
Apakah kalimat “Siapa namamu?” merupakan pernyataan?
Lihat Pembahasan
Jawab:
Kalimat tersebut adalah kalimat tanya (interogatif).
Kalimat tanya tidak menyatakan sesuatu sehingga tidak memiliki nilai kebenaran.
∴ Bukan pernyataan.
Soal 5:
Tentukan apakah kalimat “Matahari terbit dari arah timur” merupakan pernyataan dan tentukan nilai kebenarannya.
Lihat Pembahasan
Jawab:
Kalimat tersebut bersifat deklaratif dan merupakan fakta yang dapat dibuktikan.
Matahari memang terbit dari arah timur.
∴ Pernyataan bernilai Benar (B).
Tingkat Sedang
Soal 1:
Diketahui kalimat terbuka “x² = 9”. Ubahlah menjadi pernyataan yang bernilai benar dan pernyataan yang bernilai salah.
Lihat Pembahasan
Jawab:
Kalimat terbuka: x² = 9
• Substitusi x = 3 → 3² = 9 → 9 = 9 ✓ → Pernyataan bernilai Benar
• Substitusi x = −3 → (−3)² = 9 → 9 = 9 ✓ → Pernyataan bernilai Benar
• Substitusi x = 2 → 2² = 9 → 4 = 9 ✗ → Pernyataan bernilai Salah
Soal 2:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor: “Untuk setiap bilangan bulat n, n² ≥ 0”
Lihat Pembahasan
Jawab:
Pernyataan: ∀n ∈ ℤ, n² ≥ 0
Kuadrat dari bilangan bulat apapun selalu menghasilkan bilangan non-negatif:
• Jika n positif: n² > 0 ✓
• Jika n negatif: n² > 0 ✓
• Jika n = 0: 0² = 0 ≥ 0 ✓
∴ Pernyataan bernilai Benar (B).
Soal 3:
Dari kalimat-kalimat berikut, identifikasi mana yang pernyataan dan tentukan nilai kebenarannya:
(a) 3 + 4 = 12
(b) Semoga hari ini cerah
(c) π adalah bilangan rasional
(d) Ada bilangan prima yang genap
Lihat Pembahasan
Jawab:
(a) 3 + 4 = 12 → Pernyataan, bernilai Salah (karena 3+4=7)
(b) Semoga hari ini cerah → Bukan pernyataan (kalimat harapan)
(c) π adalah bilangan rasional → Pernyataan, bernilai Salah (π irasional)
(d) Ada bilangan prima yang genap → Pernyataan, bernilai Benar (yaitu 2)
Soal 4:
Tuliskan pernyataan berkuantor berikut dalam bentuk simbol dan tentukan nilai kebenarannya: “Terdapat bilangan asli yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 25”
Lihat Pembahasan
Jawab:
Simbol: ∃n ∈ ℕ, n² = 25
Cek: n = 5 → 5² = 25 ✓
Karena ada bilangan asli (yaitu 5) yang memenuhi, maka:
∴ Pernyataan bernilai Benar (B).
Soal 5:
Tentukan nilai kebenaran: “Semua bilangan genap habis dibagi 4”
Lihat Pembahasan
Jawab:
Simbol: ∀n genap, 4 | n
Cek contoh penyangkal (kontra-contoh):
• n = 6 → 6 ÷ 4 = 1 sisa 2 → tidak habis dibagi 4 ✗
Cukup satu kontra-contoh untuk membuktikan pernyataan universal salah.
∴ Pernyataan bernilai Salah (S).
Tingkat Sulit
Soal 1:
Tentukan apakah kalimat berikut pernyataan dan tentukan nilai kebenarannya: “Untuk setiap bilangan real x, berlaku x² + 1 > 0”
Lihat Pembahasan
Jawab:
Simbol: ∀x ∈ ℝ, x² + 1 > 0
Analisis: x² ≥ 0 untuk setiap x ∈ ℝ
Maka x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
Tidak ada nilai x real yang membuat x² + 1 ≤ 0
∴ Ini adalah pernyataan bernilai Benar (B).
Soal 2:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan: “Terdapat bilangan rasional r sehingga r² = 2”
Lihat Pembahasan
Jawab:
Simbol: ∃r ∈ ℚ, r² = 2
Kita tahu bahwa √2 adalah bilangan irasional (telah dibuktikan sejak zaman Pythagoras).
Artinya tidak ada bilangan rasional r yang jika dikuadratkan menghasilkan 2.
∴ Pernyataan bernilai Salah (S).
Soal 3:
Perhatikan kalimat: “Jika n² genap maka n genap”. Apakah kalimat ini pernyataan? Tentukan nilai kebenarannya.
Lihat Pembahasan
Jawab:
Kalimat ini merupakan pernyataan berkuantor universal (tersirat): ∀n ∈ ℤ, jika n² genap maka n genap.
Bukti dengan kontrapositif:
Kontrapositif: “Jika n ganjil maka n² ganjil”
Misalkan n ganjil, maka n = 2k + 1 untuk suatu k ∈ ℤ
n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2k) + 1 → ganjil ✓
Kontrapositif terbukti benar, maka pernyataan asli juga benar.
∴ Pernyataan bernilai Benar (B).
Soal 4:
Tentukan nilai kebenaran: “Untuk setiap bilangan asli n, berlaku n² + n + 41 adalah bilangan prima”
Lihat Pembahasan
Jawab:
Simbol: ∀n ∈ ℕ, (n² + n + 41) prima
Cek beberapa nilai:
• n=1: 1+1+41=43 (prima ✓)
• n=2: 4+2+41=47 (prima ✓)
• n=39: 1521+39+41=1601 (prima ✓)
Namun untuk n=40:
• n=40: 1600+40+41=1681 = 41² (bukan prima ✗)
Cukup satu kontra-contoh untuk membuat pernyataan universal salah.
∴ Pernyataan bernilai Salah (S).
Soal 5:
Diberikan kalimat: “Ada bilangan real x sehingga x < x² < x³”. Tentukan apakah ini pernyataan dan nilai kebenarannya.
Lihat Pembahasan
Jawab:
Simbol: ∃x ∈ ℝ, x < x² < x³
Coba x = 2:
• x = 2, x² = 4, x³ = 8
• 2 < 4 < 8 ✓
Karena ditemukan setidaknya satu x yang memenuhi (yaitu x=2), maka pernyataan eksistensial ini benar.
∴ Ini adalah pernyataan bernilai Benar (B).
E. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tuliskan jawaban lengkap beserta alasannya.
Tingkat Mudah
1. Tentukan apakah kalimat berikut merupakan pernyataan atau bukan: “12 adalah bilangan genap”
2. Tentukan apakah kalimat berikut merupakan pernyataan atau bukan: “Ayo kita pergi!”
3. Tentukan nilai kebenaran pernyataan: “9 − 4 = 6”
4. Tentukan apakah kalimat “Semua kucing adalah hewan” merupakan pernyataan dan tentukan nilai kebenarannya.
5. Apakah kalimat “x + 2 = 10” merupakan pernyataan? Jelaskan alasanmu.
Tingkat Sedang
1. Ubahlah kalimat terbuka “2x − 1 = 7” menjadi pernyataan bernilai benar dan pernyataan bernilai salah.
2. Tentukan nilai kebenaran: “Untuk setiap bilangan asli n, n + 1 > n”
3. Identifikasi mana yang pernyataan dan tentukan nilainya:
(a) √4 = 2
(b) Andai saja aku bisa terbang
(c) 0 adalah bilangan asli
(d) Ada segitiga yang ketiga sisinya sama panjang
4. Tuliskan pernyataan berikut dalam simbol kuantor: “Terdapat bilangan bulat yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri hasilnya 49”
5. Tentukan nilai kebenaran: “Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil”
Tingkat Sulit
1. Tentukan nilai kebenaran: “Untuk setiap bilangan real x, berlaku |x| ≥ 0”
2. Tentukan nilai kebenaran: “Terdapat bilangan bulat n sehingga n³ = −27”
3. Tentukan apakah kalimat berikut pernyataan dan tentukan nilainya: “Untuk setiap bilangan real x, jika x > 0 maka 1/x > 0”
4. Berikan contoh kalimat yang merupakan pernyataan berkuantor universal bernilai salah, lengkap dengan kontra-contohnya.
5. Tentukan nilai kebenaran: “Ada bilangan real x sehingga x² + x + 1 = 0”