Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pernyataan Majemuk
Logika Matematika
1. Pengertian Pernyataan Majemuk
Dalam logika matematika, kita mengenal dua jenis pernyataan:
- Pernyataan tunggal (sederhana): pernyataan yang tidak dapat diuraikan menjadi pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana.
- Pernyataan majemuk (gabungan): pernyataan yang dibentuk dari dua atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung logika (operator logika).
Definisi: Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terbentuk dari gabungan dua atau lebih pernyataan tunggal menggunakan kata hubung logika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, atau negasi).
Contoh:
- Pernyataan tunggal: p = “2 adalah bilangan prima”
- Pernyataan tunggal: q = “2 adalah bilangan genap”
- Pernyataan majemuk: “2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan genap” → p ∧ q
2. Jenis-Jenis Kata Hubung (Operator) Logika
Berikut adalah lima kata hubung logika yang digunakan untuk membentuk pernyataan majemuk:
| No | Nama | Kata Hubung | Simbol | Notasi |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Negasi | Tidak / Bukan | ~ | ~p |
| 2 | Konjungsi | Dan | ∧ | p ∧ q |
| 3 | Disjungsi | Atau | ∨ | p ∨ q |
| 4 | Implikasi | Jika … maka … | → | p → q |
| 5 | Biimplikasi | … jika dan hanya jika … | ↔ | p ↔ q |
3. Konjungsi (p ∧ q)
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “dan“. Konjungsi dilambangkan dengan ∧.
Aturan: Konjungsi p ∧ q bernilai BENAR hanya jika kedua komponen pernyataan bernilai benar. Selain itu bernilai SALAH.
Tabel Kebenaran Konjungsi:
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Contoh: p = “5 > 3” (B), q = “4 adalah bilangan genap” (B). Maka p ∧ q = “5 > 3 dan 4 adalah bilangan genap” bernilai Benar.
4. Disjungsi (p ∨ q)
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “atau“. Disjungsi dilambangkan dengan ∨.
Aturan: Disjungsi p ∨ q bernilai SALAH hanya jika kedua komponen pernyataan bernilai salah. Selain itu bernilai BENAR.
Tabel Kebenaran Disjungsi:
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Contoh: p = “3 > 7” (S), q = “6 adalah bilangan genap” (B). Maka p ∨ q bernilai Benar.
5. Implikasi (p → q)
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “jika … maka …“. Dilambangkan dengan →.
Dalam p → q:
- p disebut anteseden (hipotesis/sebab)
- q disebut konsekuen (kesimpulan/akibat)
Aturan: Implikasi p → q bernilai SALAH hanya jika anteseden (p) bernilai BENAR dan konsekuen (q) bernilai SALAH. Selain itu bernilai BENAR.
Tabel Kebenaran Implikasi:
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Ingat: “Dari yang salah, bisa menghasilkan apa saja (benar).” Hanya “Benar → Salah” yang menghasilkan Salah.
6. Biimplikasi (p ↔ q)
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika“. Dilambangkan dengan ↔.
Aturan: Biimplikasi p ↔ q bernilai BENAR jika kedua komponen memiliki nilai kebenaran yang sama (sama-sama Benar atau sama-sama Salah).
Tabel Kebenaran Biimplikasi:
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Contoh: p = “4 + 4 = 8” (B), q = “Jakarta ibu kota Indonesia” (B). Maka p ↔ q bernilai Benar karena keduanya sama-sama benar.
7. Negasi Pernyataan Majemuk
Negasi pernyataan majemuk memiliki aturan khusus:
| Pernyataan | Negasi |
|---|---|
| ~(~p) | p |
| ~(p ∧ q) | ~p ∨ ~q |
| ~(p ∨ q) | ~p ∧ ~q |
| ~(p → q) | p ∧ ~q |
| ~(p ↔ q) | (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) |
Catatan penting:
- Negasi konjungsi dan disjungsi mengikuti Hukum De Morgan.
- Negasi implikasi: tetap antesedennya, negasikan konsekuennya, ubah menjadi konjungsi.
8. Menyusun Tabel Kebenaran Pernyataan Majemuk Gabungan
Untuk pernyataan majemuk yang lebih kompleks, kita menyusun tabel kebenaran langkah demi langkah.
Contoh: Tentukan tabel kebenaran (p ∧ q) → ~p
| p | q | p ∧ q | ~p | (p ∧ q) → ~p |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S |
| B | S | S | S | B |
| S | B | S | B | B |
| S | S | S | B | B |
Langkah: (1) Tulis semua kemungkinan p dan q. (2) Hitung kolom-kolom antara. (3) Hitung kolom akhir menggunakan aturan operator terakhir yang dikerjakan.
📝 Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah
1. Diketahui p = “7 adalah bilangan ganjil” (B) dan q = “7 > 10” (S). Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
Pembahasan:
p = B, q = S
p ∧ q = B ∧ S = S (Salah)
Konjungsi bernilai benar hanya jika kedua komponen benar. Karena q salah, maka hasilnya salah.
2. Diketahui p = “3 + 2 = 6” (S) dan q = “10 > 5” (B). Tentukan nilai kebenaran p ∨ q.
Pembahasan:
p = S, q = B
p ∨ q = S ∨ B = B (Benar)
Disjungsi bernilai salah hanya jika kedua komponen salah. Karena q benar, maka hasilnya benar.
3. Diketahui p = “4 × 3 = 12” (B) dan q = “5 adalah bilangan genap” (S). Tentukan nilai kebenaran p → q.
Pembahasan:
p = B, q = S
p → q = B → S = S (Salah)
Implikasi bernilai salah hanya jika anteseden benar dan konsekuen salah. Ini persis kondisinya.
4. Diketahui p = “6 > 8” (S) dan q = “2 + 2 = 5” (S). Tentukan nilai kebenaran p ↔ q.
Pembahasan:
p = S, q = S
p ↔ q = S ↔ S = B (Benar)
Biimplikasi bernilai benar jika kedua komponen memiliki nilai kebenaran sama. Keduanya salah, maka hasilnya benar.
5. Tentukan negasi dari pernyataan: “5 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan ganjil”.
Pembahasan:
Pernyataan: p ∧ q
Negasi: ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
Jawaban: “5 bukan bilangan prima atau 5 bukan bilangan ganjil.”
🟡 Contoh Soal Sedang
1. Diketahui p bernilai Benar dan q bernilai Salah. Tentukan nilai kebenaran (p ∨ q) ∧ (p → q).
Pembahasan:
p = B, q = S
p ∨ q = B ∨ S = B
p → q = B → S = S
(p ∨ q) ∧ (p → q) = B ∧ S = S (Salah)
2. Tentukan negasi dari: “Jika hujan turun maka jalanan basah” (p → q).
Pembahasan:
Negasi implikasi: ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
Jawaban: “Hujan turun dan jalanan tidak basah.”
Perhatikan: negasi implikasi menjadi konjungsi antara anteseden dengan negasi konsekuen.
3. Buatlah tabel kebenaran untuk ~p ∨ q.
Pembahasan:
| p | q | ~p | ~p ∨ q |
|---|---|---|---|
| B | B | S | B |
| B | S | S | S |
| S | B | B | B |
| S | S | B | B |
Catatan: Perhatikan bahwa ~p ∨ q memiliki tabel kebenaran yang sama dengan p → q. Ini menunjukkan keduanya ekuivalen!
4. Diketahui p bernilai Salah dan q bernilai Benar. Tentukan nilai kebenaran (p → q) ↔ (~q → ~p).
Pembahasan:
p = S, q = B, ~p = B, ~q = S
p → q = S → B = B
~q → ~p = S → B = B
(p → q) ↔ (~q → ~p) = B ↔ B = B (Benar)
Catatan: ~q → ~p adalah kontraposisi dari p → q dan selalu ekuivalen.
5. Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk: “Jika 2 + 2 = 4 maka 3 × 3 = 9” ∧ “6 adalah bilangan ganjil atau 8 adalah bilangan genap”.
Pembahasan:
Bagian 1: p = “2+2=4” (B), q = “3×3=9” (B) → p → q = B → B = B
Bagian 2: r = “6 ganjil” (S), s = “8 genap” (B) → r ∨ s = S ∨ B = B
Gabungan: (p → q) ∧ (r ∨ s) = B ∧ B = B (Benar)
🔴 Contoh Soal Sulit
1. Buatlah tabel kebenaran untuk (p → q) ∧ (q → r) lalu tentukan apakah bernilai tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.
Pembahasan:
| p | q | r | p→q | q→r | (p→q)∧(q→r) |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B | B |
| B | B | S | B | S | S |
| B | S | B | S | B | S |
| B | S | S | S | B | S |
| S | B | B | B | B | B |
| S | B | S | B | S | S |
| S | S | B | B | B | B |
| S | S | S | B | B | B |
Hasilnya ada B dan S → Kontingensi (bukan tautologi dan bukan kontradiksi).
2. Tunjukkan bahwa (p → q) ↔ (~p ∨ q) adalah tautologi menggunakan tabel kebenaran.
Pembahasan:
| p | q | p→q | ~p | ~p∨q | (p→q)↔(~p∨q) |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | B | B |
| B | S | S | S | S | B |
| S | B | B | B | B | B |
| S | S | B | B | B | B |
Semua baris menghasilkan B → Terbukti tautologi. Artinya p → q ≡ ~p ∨ q.
3. Diketahui (p ∧ q) → r bernilai Salah. Tentukan nilai kebenaran p, q, dan r.
Pembahasan:
Implikasi bernilai Salah hanya jika anteseden Benar dan konsekuen Salah.
Maka: p ∧ q = B dan r = S
Agar p ∧ q = B, maka p = B dan q = B.
Jawaban: p = B, q = B, r = S
4. Tentukan negasi dari (p ∨ q) → (p ∧ r) dan sederhanakan.
Pembahasan:
Langkah 1: Negasi implikasi → ~[(p ∨ q) → (p ∧ r)] ≡ (p ∨ q) ∧ ~(p ∧ r)
Langkah 2: Negasi konjungsi (De Morgan) → ~(p ∧ r) ≡ ~p ∨ ~r
Langkah 3: Hasil akhir → (p ∨ q) ∧ (~p ∨ ~r)
5. Tentukan semua kemungkinan nilai p dan q jika (p → q) ∧ (q → p) bernilai Salah.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa (p → q) ∧ (q → p) ≡ p ↔ q
Biimplikasi bernilai Salah jika p dan q nilainya berbeda.
Kita verifikasi dengan tabel:
| p | q | p→q | q→p | (p→q)∧(q→p) |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S ✓ |
| S | B | B | S | S ✓ |
| S | S | B | B | B |
Jawaban: (p = B, q = S) atau (p = S, q = B).
✍️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Latihan Soal Mudah
1. Diketahui p = “9 adalah bilangan ganjil” dan q = “9 > 12”. Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
2. Diketahui p = “2 + 3 = 6” dan q = “10 adalah bilangan genap”. Tentukan nilai kebenaran p ∨ q.
3. Diketahui p bernilai Salah dan q bernilai Benar. Tentukan nilai kebenaran p → q.
4. Diketahui p bernilai Benar dan q bernilai Benar. Tentukan nilai kebenaran p ↔ q.
5. Tentukan negasi dari: “12 adalah bilangan genap atau 12 habis dibagi 3″.
🟡 Latihan Soal Sedang
1. Diketahui p = B dan q = S. Tentukan nilai kebenaran (p ∧ ~q) → p.
2. Tentukan negasi dari pernyataan: “Jika saya belajar maka saya lulus ujian”.
3. Buatlah tabel kebenaran untuk p ∧ (p → q).
4. Diketahui p = S, q = B, r = B. Tentukan nilai kebenaran (p ∨ q) ∧ (q → r).
5. Tentukan apakah (p ∧ q) → p merupakan tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.
🔴 Latihan Soal Sulit
1. Buatlah tabel kebenaran untuk [(p → q) ∧ p] → q dan tentukan jenis pernyataannya.
2. Tentukan semua kemungkinan nilai p, q, dan r jika (p ∨ q) ∧ (~q ∧ r) bernilai Benar.
3. Buktikan bahwa ~(p → q) ∨ (~p ∧ q) ekuivalen dengan ~p ∨ ~q ∨ q menggunakan tabel kebenaran.
4. Tentukan negasi dari (p ↔ q) → (r ∨ ~p) dan tuliskan dalam bentuk yang paling sederhana.
5. Diketahui pernyataan majemuk [p → (q ∨ r)] ∧ [~q ∧ ~r] bernilai Benar. Tentukan nilai kebenaran p.