Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Kalimat Terbuka
Logika Matematika
📘 Materi: Kalimat Terbuka
A. Pengertian Kalimat Terbuka
Dalam logika matematika, kalimat dibedakan menjadi dua jenis utama:
- Kalimat tertutup (pernyataan/proposisi): kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah), tetapi tidak keduanya sekaligus.
- Kalimat terbuka: kalimat yang memuat variabel (peubah) sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya sebelum variabel tersebut diganti dengan nilai tertentu.
Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang mengandung variabel (peubah) dan belum dapat ditentukan benar atau salahnya sebelum variabel tersebut diganti dengan suatu nilai dari semesta pembicaraan.
Ciri-ciri kalimat terbuka:
- Memuat variabel (biasanya dilambangkan x, y, z, n, …)
- Belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (belum pasti benar atau salah)
- Akan menjadi kalimat tertutup (pernyataan) jika variabelnya diganti dengan nilai tertentu
Notasi:
Kalimat terbuka sering ditulis sebagai p(x), q(x, y), dan sebagainya, di mana x dan y adalah variabel.
Contoh Kalimat Terbuka vs Kalimat Tertutup:
| Kalimat | Jenis | Alasan |
|---|---|---|
| x + 3 = 7 | Terbuka | Memuat variabel x |
| 5 + 3 = 8 | Tertutup (Benar) | Tidak ada variabel |
| 2y > 10 | Terbuka | Memuat variabel y |
| 4 × 2 = 9 | Tertutup (Salah) | Tidak ada variabel |
| n adalah bilangan genap | Terbuka | Memuat variabel n |
B. Semesta Pembicaraan dan Himpunan Penyelesaian
Ketika variabel dalam kalimat terbuka diganti dengan nilai dari semesta pembicaraan (himpunan semesta), kalimat terbuka akan menjadi kalimat tertutup.
Himpunan semua nilai pengganti variabel yang membuat kalimat terbuka menjadi kalimat benar disebut himpunan penyelesaian.
Contoh:
Kalimat terbuka: x + 3 = 7, semesta pembicaraan = bilangan asli
- Jika x = 4 → 4 + 3 = 7 ✓ (Benar)
- Jika x = 2 → 2 + 3 = 5 ✗ (Salah)
Maka HP = {4}
C. Kalimat Terbuka dengan Satu Variabel
Bentuk umum: p(x)
Contoh-contoh:
- x + 5 = 12
- 3x − 2 = 10
- x² = 25
- x < 8
- x adalah bilangan prima
D. Kalimat Terbuka dengan Dua Variabel
Bentuk umum: p(x, y)
Contoh-contoh:
- x + y = 10
- 2x − y = 3
- x² + y² = 25
Kalimat ini membutuhkan dua nilai pengganti agar menjadi kalimat tertutup.
E. Mengubah Kalimat Terbuka Menjadi Pernyataan (Kalimat Tertutup)
Ada dua cara mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan:
- Substitusi (Penggantian Variabel)
Mengganti variabel dengan nilai tertentu dari semesta.
Contoh: x + 3 = 7 → substitusi x = 4 → 4 + 3 = 7 (Benar) - Penggunaan Kuantor
- Kuantor universal (∀) : “untuk setiap” / “untuk semua”
Notasi: ∀x, p(x) → dibaca “untuk setiap x, berlaku p(x)“ - Kuantor eksistensial (∃) : “ada” / “terdapat”
Notasi: ∃x, p(x) → dibaca “ada x sehingga p(x)“
- Kuantor universal (∀) : “untuk setiap” / “untuk semua”
Tabel Kuantor:
| Simbol | Nama | Dibaca | Contoh |
|---|---|---|---|
| ∀ | Kuantor Universal | Untuk setiap / untuk semua | ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 |
| ∃ | Kuantor Eksistensial | Ada / Terdapat | ∃x ∈ ℤ, x + 3 = 7 |
🔍 Kegiatan Pembelajaran (5M)
1. Mengamati
Perhatikan kalimat-kalimat berikut:
- “5 + 3 = 8” → Kita langsung tahu ini benar.
- “x + 3 = 8″ → Kita belum tahu benar atau salah karena ada variabel x.
- “Hari ini hari Senin” → Tergantung kapan dibaca (bukan kalimat matematika).
Amati perbedaannya: kalimat yang memuat variabel tidak bisa langsung ditentukan nilai kebenarannya.
2. Menanya
- Apa yang membedakan kalimat terbuka dan kalimat tertutup?
- Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran kalimat terbuka?
- Apa itu himpunan penyelesaian?
- Kapan kalimat terbuka menjadi benar dan kapan menjadi salah?
3. Menalar
Mari bernalar tentang kalimat: x² − 4 = 0, semesta = bilangan bulat.
- x² = 4
- x = 2 atau x = −2
- Cek: (2)² − 4 = 0 ✓ dan (−2)² − 4 = 0 ✓
- Kesimpulan: HP = {−2, 2}
Jadi satu kalimat terbuka bisa memiliki lebih dari satu penyelesaian.
4. Mencoba
Tentukan apakah kalimat berikut terbuka atau tertutup, lalu cari HP-nya jika terbuka (semesta = bilangan asli):
- 3 + 4 = 7
- x + 5 = 9
- 2n = 12
- 10 > 15
- y − 1 < 5
5. Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulanmu dalam bentuk tabel:
| No | Kalimat | Jenis | Variabel | HP (jika terbuka) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 + 4 = 7 | Tertutup (Benar) | — | — |
| 2 | x + 5 = 9 | Terbuka | x | {4} |
| 3 | 2n = 12 | Terbuka | n | {6} |
| 4 | 10 > 15 | Tertutup (Salah) | — | — |
| 5 | y − 1 < 5 | Terbuka | y | {1,2,3,4,5} |
📗 Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH
Soal 1. Tentukan apakah kalimat berikut merupakan kalimat terbuka atau kalimat tertutup: “x + 2 = 5″
Kalimat “x + 2 = 5″ memuat variabel x. Karena ada variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan sebelum x diganti nilai tertentu.
Jawaban: Kalimat terbuka.
Soal 2. Tentukan apakah “7 + 1 = 8” merupakan kalimat terbuka atau tertutup!
Kalimat “7 + 1 = 8” tidak memuat variabel. Nilainya dapat langsung ditentukan: 7 + 1 = 8 (Benar).
Jawaban: Kalimat tertutup (pernyataan bernilai benar).
Soal 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 4 = 9 jika semesta pembicaraan = bilangan asli.
x + 4 = 9
x = 9 − 4
x = 5
Karena 5 ∈ bilangan asli, maka HP = {5}.
Jawaban: HP = {5}
Soal 4. Sebutkan variabel pada kalimat terbuka: “2y − 3 = 7″
Pada kalimat “2y − 3 = 7″, huruf y merupakan variabel karena nilainya belum diketahui.
Jawaban: Variabelnya adalah y.
Soal 5. Jika x = 3, tentukan nilai kebenaran kalimat “x + 1 = 4″.
Substitusi x = 3:
3 + 1 = 4 → 4 = 4 (Benar)
Jawaban: Bernilai benar.
SEDANG
Soal 6. Tentukan HP dari x² = 16, semesta = bilangan bulat.
x² = 16
x = 4 atau x = −4
Cek: (4)² = 16 ✓ dan (−4)² = 16 ✓
Keduanya ∈ bilangan bulat.
Jawaban: HP = {−4, 4}
Soal 7. Tentukan HP dari 2x + 1 < 9, semesta = bilangan asli.
2x + 1 < 9
2x < 8
x < 4
Bilangan asli yang kurang dari 4: 1, 2, 3
Jawaban: HP = {1, 2, 3}
Soal 8. Ubahlah kalimat terbuka “x + 5 = 12″ menjadi pernyataan bernilai benar menggunakan kuantor eksistensial!
Kalimat terbuka: x + 5 = 12
HP: x = 7
Dengan kuantor eksistensial: ∃x ∈ ℤ, x + 5 = 12
Dibaca: “Ada bilangan bulat x sehingga x + 5 = 12″
Karena x = 7 memenuhi, pernyataan ini benar.
Jawaban: ∃x ∈ ℤ, x + 5 = 12 (Bernilai benar)
Soal 9. Tentukan nilai kebenaran: ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
Kuantor universal “∀x ∈ ℝ” berarti “untuk setiap bilangan real x“.
Apakah kuadrat setiap bilangan real selalu ≥ 0?
– Jika x positif: misal (3)² = 9 ≥ 0 ✓
– Jika x negatif: misal (−3)² = 9 ≥ 0 ✓
– Jika x = 0: (0)² = 0 ≥ 0 ✓
Jawaban: Bernilai benar.
Soal 10. Tentukan HP dari x² − 5x + 6 = 0, semesta = bilangan real.
Faktorkan: x² − 5x + 6 = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 atau x = 3
Cek: (2)² − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓
(3)² − 5(3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓
Jawaban: HP = {2, 3}
SULIT
Soal 11. Tentukan nilai kebenaran: ∀x ∈ ℝ, x² + 1 > 0
Untuk setiap x ∈ ℝ:
x² ≥ 0 (kuadrat bilangan real selalu ≥ 0)
x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
Karena berlaku untuk semua bilangan real tanpa kecuali,
Jawaban: Bernilai benar.
Soal 12. Tentukan nilai kebenaran: ∃x ∈ ℝ, x² + 2x + 2 = 0
Cari diskriminan: D = b² − 4ac = (2)² − 4(1)(2) = 4 − 8 = −4
Karena D < 0, persamaan tidak memiliki akar real.
Tidak ada x ∈ ℝ yang memenuhi.
Jawaban: Bernilai salah.
Soal 13. Tentukan HP dari |2x − 3| = 7, semesta = bilangan real.
|2x − 3| = 7
Kasus 1: 2x − 3 = 7 → 2x = 10 → x = 5
Kasus 2: 2x − 3 = −7 → 2x = −4 → x = −2
Cek: |2(5) − 3| = |7| = 7 ✓ dan |2(−2) − 3| = |−7| = 7 ✓
Jawaban: HP = {−2, 5}
Soal 14. Tentukan negasi dari: ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0, lalu tentukan nilai kebenarannya.
Pernyataan awal: ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 (Benar)
Negasi: ∃x ∈ ℝ, x² < 0
Dibaca: “Ada bilangan real x sehingga x² < 0″
Apakah ada bilangan real yang kuadratnya negatif? Tidak ada.
Jawaban: Negasi = ∃x ∈ ℝ, x² < 0. Bernilai salah.
Soal 15. Diberikan kalimat terbuka p(x, y): “x² + y² = 25″ dengan semesta = bilangan bulat. Tentukan 3 pasangan (x, y) yang merupakan anggota HP!
x² + y² = 25
Kita cari pasangan bilangan bulat:
– x = 0: y² = 25 → y = ±5 → (0, 5) dan (0, −5) ✓
– x = 3: 9 + y² = 25 → y² = 16 → y = ±4 → (3, 4) dan (3, −4) ✓
– x = 4: 16 + y² = 25 → y² = 9 → y = ±3 → (4, 3) dan (4, −3) ✓
– x = 5: 25 + y² = 25 → y = 0 → (5, 0) ✓
Jawaban: Contoh 3 pasangan: (0, 5), (3, 4), (4, 3)
📙 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
MUDAH
- Tentukan apakah kalimat berikut terbuka atau tertutup: “3x = 15″
- Tentukan apakah “9 − 4 = 5” merupakan kalimat terbuka atau tertutup!
- Tentukan HP dari x − 7 = 3, semesta = bilangan asli.
- Sebutkan variabel pada kalimat: “n + 8 = 20″
- Jika x = 6, tentukan nilai kebenaran “x − 2 = 4″.
SEDANG
- Tentukan HP dari x² = 9, semesta = bilangan bulat.
- Tentukan HP dari 3x − 2 ≤ 10, semesta = bilangan asli.
- Ubahlah “x² = 4″ menjadi pernyataan benar menggunakan kuantor eksistensial!
- Tentukan nilai kebenaran: ∀x ∈ ℕ, x + 1 > x
- Tentukan HP dari x² + x − 6 = 0, semesta = bilangan real.
SULIT
- Tentukan nilai kebenaran: ∀x ∈ ℝ, x³ ≥ 0. Jelaskan!
- Tentukan negasi dari ∃x ∈ ℕ, x + 3 = 1, lalu tentukan nilai kebenaran negasinya.
- Tentukan HP dari |x + 4| ≤ 3, semesta = bilangan bulat.
- Tentukan nilai kebenaran: ∃x ∈ ℝ, x² − 4x + 5 = 0
- Diberikan p(x, y): “x + y = 7 dan x − y = 1″, semesta = bilangan asli. Tentukan HP!