Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Ingkaran dari Suatu Pernyataan
Logika Matematika
A. Materi: Ingkaran (Negasi) dari Suatu Pernyataan
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut:
- Pernyataan: “Jakarta adalah ibu kota Indonesia.” (Bernilai Benar)
- Pernyataan: “5 adalah bilangan genap.” (Bernilai Salah)
Jika kita menyangkal pernyataan tersebut, maka:
- “Jakarta bukan ibu kota Indonesia.” (Bernilai Salah)
- “5 bukan bilangan genap.” (Bernilai Benar)
Perhatikan bahwa penyangkalan (ingkaran) selalu menghasilkan nilai kebenaran yang berlawanan dari pernyataan aslinya.
📖 Definisi Ingkaran (Negasi)
Ingkaran (negasi) dari suatu pernyataan p adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan p, dilambangkan dengan:
~p atau ¬p
Dibaca: “negasi p” atau “tidak p” atau “bukan p“.
Sifat utama: Jika p bernilai Benar (B), maka ~p bernilai Salah (S), dan sebaliknya.
❓ Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menentukan ingkaran dari berbagai bentuk pernyataan?
- Apakah ingkaran dari pernyataan berkuantor sama dengan menambahkan kata “tidak”?
- Bagaimana tabel kebenaran dari negasi?
📊 Tabel Kebenaran Negasi
| p | ~p |
|---|---|
| B | S |
| S | B |
Keterangan: B = Benar, S = Salah
💡 Kegiatan: Menalar
Dari tabel kebenaran di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Negasi dari negasi suatu pernyataan akan menghasilkan pernyataan semula: ~(~p) ≡ p
- Pernyataan dan ingkarannya selalu memiliki nilai kebenaran yang berlawanan.
📋 Aturan-Aturan Ingkaran
1. Ingkaran Pernyataan Sederhana
Tambahkan kata “tidak” atau “bukan” pada pernyataan.
Pernyataan: “Andi rajin belajar.”
Ingkaran: “Andi tidak rajin belajar.”
2. Ingkaran Pernyataan Berkuantor
| Pernyataan | Ingkaran |
|---|---|
| Semua A adalah B | Ada (Beberapa) A yang bukan B |
| Ada (Beberapa) A adalah B | Semua A bukan B |
| Tidak ada A yang B | Ada (Beberapa) A yang B |
Simbol kuantor: ∀ (untuk semua), ∃ (ada/terdapat)
~(∀x, p(x)) ≡ ∃x, ~p(x)
~(∃x, p(x)) ≡ ∀x, ~p(x)
3. Ingkaran Pernyataan Majemuk (Hukum De Morgan)
| Pernyataan Majemuk | Ingkaran |
|---|---|
| p ∧ q (p dan q) | ~p ∨ ~q (tidak p atau tidak q) |
| p ∨ q (p atau q) | ~p ∧ ~q (tidak p dan tidak q) |
| p → q (jika p maka q) | p ∧ ~q (p dan tidak q) |
| p ↔ q (p jika dan hanya jika q) | (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) |
4. Ingkaran Pernyataan dengan Tanda Pertidaksamaan
| Pernyataan | Ingkaran |
|---|---|
| x = a | x ≠ a |
| x > a | x ≤ a |
| x < a | x ≥ a |
| x ≥ a | x < a |
| x ≤ a | x > a |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut:
- “Semua siswa lulus ujian.”
- “Andi pandai dan Budi rajin.”
- “Jika hujan turun maka jalanan basah.”
Jawaban:
- “Ada siswa yang tidak lulus ujian.”
- “Andi tidak pandai atau Budi tidak rajin.”
- “Hujan turun dan jalanan tidak basah.”
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulan yang dapat kamu ambil tentang ingkaran pernyataan:
- Ingkaran selalu membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan.
- Ingkaran pernyataan berkuantor: “semua” menjadi “ada yang tidak” dan sebaliknya.
- Ingkaran konjungsi (∧) menjadi disjungsi (∨) dari ingkaran masing-masing (Hukum De Morgan).
- Ingkaran disjungsi (∨) menjadi konjungsi (∧) dari ingkaran masing-masing.
- Ingkaran implikasi (→) adalah pernyataan anteseden dan ingkaran konsekuen.
B. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH
Contoh 1. Tentukan ingkaran dari pernyataan: “7 adalah bilangan prima.”
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Pernyataan p: “7 adalah bilangan prima.” (Bernilai B)
Ingkaran ~p: “7 bukan bilangan prima.” (Bernilai S)
Contoh 2. Tentukan ingkaran dari: “Matahari terbit dari barat.”
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Pernyataan p: “Matahari terbit dari barat.” (Bernilai S)
Ingkaran ~p: “Matahari tidak terbit dari barat.” (Bernilai B)
Contoh 3. Tentukan ingkaran dari: “5 > 3”
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Pernyataan: 5 > 3 (Bernilai B)
Ingkaran: 5 ≤ 3 (Bernilai S)
Ingkaran dari “>” adalah “≤”.
Contoh 4. Tentukan ingkaran dari: “x = 10″
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Ingkaran dari x = 10 adalah x ≠ 10.
Contoh 5. Jika p bernilai Salah, tentukan nilai kebenaran ~p.
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Karena p bernilai S, maka ~p bernilai B (Benar).
Negasi selalu membalikkan nilai kebenaran.
SEDANG
Contoh 6. Tentukan ingkaran dari: “Semua siswa kelas ini rajin belajar.”
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Pernyataan berkuantor universal: “Semua A adalah B”
Ingkaran: “Ada (beberapa) A yang bukan B”
Jadi ingkarannya: “Ada siswa kelas ini yang tidak rajin belajar.“
Contoh 7. Tentukan ingkaran dari: “Andi pandai dan Budi rajin.” (bentuk p ∧ q)
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Gunakan Hukum De Morgan: ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
p: Andi pandai → ~p: Andi tidak pandai
q: Budi rajin → ~q: Budi tidak rajin
Ingkaran: “Andi tidak pandai atau Budi tidak rajin.“
Contoh 8. Tentukan ingkaran dari: “Ani cantik atau Siti pintar.” (bentuk p ∨ q)
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Hukum De Morgan: ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
Ingkaran: “Ani tidak cantik dan Siti tidak pintar.“
Contoh 9. Tentukan ingkaran dari: “Ada bilangan bulat yang lebih besar dari 100.”
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Pernyataan berkuantor eksistensial: “Ada A yang B”
Ingkaran: “Semua A bukan B”
Jadi: “Semua bilangan bulat tidak lebih besar dari 100.” atau “Semua bilangan bulat ≤ 100.”
Contoh 10. Tentukan nilai kebenaran ~(~p) jika p bernilai Benar.
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
p = B
~p = S
~(~p) = ~(S) = B (Benar)
Ini membuktikan bahwa ~(~p) ≡ p.
SULIT
Contoh 11. Tentukan ingkaran dari: “Jika hujan turun maka jalanan basah.” (bentuk p → q)
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Rumus: ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
p: Hujan turun
q: Jalanan basah → ~q: Jalanan tidak basah
Ingkaran: “Hujan turun dan jalanan tidak basah.“
Catatan: Ingkaran implikasi bukan implikasi lagi, melainkan konjungsi antara anteseden dengan negasi konsekuen.
Contoh 12. Tentukan ingkaran dari: “Andi lulus jika dan hanya jika ia rajin belajar.” (bentuk p ↔ q)
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Rumus: ~(p ↔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)
p: Andi lulus, q: Andi rajin belajar
Ingkaran: “Andi lulus dan tidak rajin belajar, atau Andi tidak lulus dan rajin belajar.“
Contoh 13. Tentukan ingkaran dari: “Semua bilangan prima yang lebih besar dari 2 adalah bilangan ganjil.”
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Bentuk: ∀x (jika x prima dan x > 2, maka x ganjil)
Ingkaran kuantor universal → kuantor eksistensial:
“Ada bilangan prima yang lebih besar dari 2 yang bukan bilangan ganjil.“
(Catatan: Pernyataan asli bernilai B, sehingga ingkarannya bernilai S.)
Contoh 14. Tentukan ingkaran dan nilai kebenarannya: “Jika x2 = 9 maka x = 3 atau x = −3.” (bentuk p → (q ∨ r))
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
Rumus: ~(p → (q ∨ r)) ≡ p ∧ ~(q ∨ r) ≡ p ∧ ~q ∧ ~r
Ingkaran: “x2 = 9 dan x ≠ 3 dan x ≠ −3.“
Nilai kebenaran: Pernyataan asli bernilai B, maka ingkarannya bernilai S (Salah).
Contoh 15. Tentukan ingkaran dari: “Tidak ada bilangan real x sehingga x2 < 0.”
Lihat Pembahasan
Penyelesaian:
“Tidak ada A yang B” secara logika sama dengan ∀x, ~B(x)
Ingkaran dari “Tidak ada … yang …”: “Ada … yang …”
Ingkaran: “Ada bilangan real x sehingga x2 < 0.“
Pernyataan asli bernilai B (tidak ada bilangan real yang kuadratnya negatif), sehingga ingkarannya bernilai S.
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan.
MUDAH
- Tentukan ingkaran dari: “10 adalah bilangan genap.”
- Tentukan ingkaran dari: “Bumi berbentuk datar.”
- Tentukan ingkaran dan nilai kebenarannya dari: “x < 5″ untuk x = 3.
- Jika p bernilai Benar, tentukan nilai kebenaran ~p.
- Tentukan ingkaran dari: “π adalah bilangan rasional.”
SEDANG
- Tentukan ingkaran dari: “Semua burung bisa terbang.”
- Tentukan ingkaran dari: “Rini cantik dan Tono tampan.”
- Tentukan ingkaran dari: “Hari ini cerah atau mendung.”
- Tentukan ingkaran dari: “Ada bilangan bulat yang habis dibagi 5.”
- Tentukan nilai kebenaran ~(~(~p)) jika p bernilai Benar.
SULIT
- Tentukan ingkaran dari: “Jika Andi belajar maka ia lulus ujian.”
- Tentukan ingkaran dari: “Saya pergi jika dan hanya jika cuaca cerah.”
- Tentukan ingkaran dari: “Semua siswa yang rajin belajar akan mendapat nilai baik.”
- Tentukan ingkaran dari: “Jika x > 0 dan y > 0 maka x + y > 0.”
- Tentukan ingkaran dan nilai kebenaran dari: “Tidak ada bilangan prima genap selain 2.”