Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Konjungsi
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
A. Pengertian Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung “dan” (dalam bahasa logika dilambangkan dengan simbol ∧).
Jika p dan q adalah dua pernyataan, maka konjungsi dari p dan q ditulis:
Dibaca: “p dan q”
Aturan nilai kebenaran konjungsi:
Konjungsi p ∧ q bernilai BENAR (B) hanya jika kedua pernyataan p dan q bernilai benar. Selain itu, konjungsi bernilai SALAH (S).
Tabel Kebenaran Konjungsi
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Kesimpulan: Konjungsi hanya bernilai benar jika kedua komponen pernyataannya benar.
📌 Kegiatan: Mengamati
Amatilah pernyataan-pernyataan berikut:
- p: 4 adalah bilangan genap. (Benar)
- q: 4 > 2. (Benar)
- p ∧ q: 4 adalah bilangan genap dan 4 > 2. (Benar)
Bandingkan dengan:
- p: 3 adalah bilangan genap. (Salah)
- q: 3 > 2. (Benar)
- p ∧ q: 3 adalah bilangan genap dan 3 > 2. (Salah)
→ Perhatikan bahwa konjungsi bernilai salah ketika salah satu atau kedua pernyataan bernilai salah.
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, cobalah ajukan pertanyaan:
- Mengapa konjungsi hanya bernilai benar jika kedua pernyataan benar?
- Bagaimana jika salah satu pernyataan tidak bisa ditentukan kebenarannya?
- Apa bedanya konjungsi dengan disjungsi?
🧠 Kegiatan: Menalar
Analisis logis:
Dalam kehidupan sehari-hari, kata “dan” menunjukkan bahwa kedua syarat harus terpenuhi. Misalnya:
“Andi lulus ujian dan mendapat beasiswa.”
Pernyataan ini benar hanya jika Andi benar-benar lulus ujian sekaligus mendapat beasiswa. Jika salah satu saja tidak terpenuhi, pernyataan keseluruhan menjadi salah.
→ Inilah prinsip dasar konjungsi dalam logika matematika.
✍️ Kegiatan: Mencoba
Tentukan nilai kebenaran konjungsi berikut:
- p: 5 + 3 = 8 (B), q: 2 × 4 = 8 (B) → p ∧ q = ?
- p: π = 3 (S), q: √4 = 2 (B) → p ∧ q = ?
- p: 10 > 7 (B), q: 6 < 3 (S) → p ∧ q = ?
Jawaban: 1) B, 2) S, 3) S
🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri mengapa p ∧ q bernilai salah jika p salah dan q benar.
- Berikan 3 contoh konjungsi dalam kehidupan sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya.
- Presentasikan hasilmu di depan kelas.
B. Sifat-Sifat Konjungsi
1. Komutatif
2. Asosiatif
3. Idempoten
4. Identitas
5. Dominasi
6. Negasi Konjungsi (Hukum De Morgan)
C. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Contoh 1:
Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi berikut:
p: 6 adalah bilangan genap (B)
q: 6 habis dibagi 3 (B)
Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
Pembahasan:
p bernilai Benar (6 memang bilangan genap).
q bernilai Benar (6 ÷ 3 = 2, habis dibagi).
Karena p = B dan q = B, maka berdasarkan tabel kebenaran:
p ∧ q = B
Contoh 2:
p: 2 + 3 = 5
q: 2 × 3 = 5
Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
Pembahasan:
p: 2 + 3 = 5 → Benar
q: 2 × 3 = 6 ≠ 5 → Salah
Karena p = B dan q = S, maka:
p ∧ q = S
Contoh 3:
p: Kucing adalah mamalia
q: Kucing bisa terbang
Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
Pembahasan:
p: Benar (kucing termasuk mamalia)
q: Salah (kucing tidak bisa terbang)
Karena q = S, maka:
p ∧ q = S
Contoh 4:
p: 7 > 10
q: 3 < 1
Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
Pembahasan:
p: 7 > 10 → Salah
q: 3 < 1 → Salah
Karena p = S dan q = S, maka:
p ∧ q = S
Contoh 5:
p: √9 = 3
q: 3² = 9
Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
Pembahasan:
p: √9 = 3 → Benar
q: 3² = 9 → Benar
Karena p = B dan q = B, maka:
p ∧ q = B
Sedang
Contoh 6:
Diketahui p ∧ q bernilai Benar. Jika p: “x adalah bilangan prima” dan q: “x adalah bilangan ganjil”, tentukan nilai x yang memenuhi (x < 10).
Pembahasan:
Agar p ∧ q = B, maka p = B dan q = B.
Bilangan prima ganjil yang kurang dari 10: 3, 5, 7
(Catatan: 2 prima tapi genap, jadi q salah untuk x=2)
x ∈ {3, 5, 7}
Contoh 7:
Buatlah tabel kebenaran untuk: (p ∧ q) ∧ r, dengan p = B, q = S, r = B.
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung p ∧ q = B ∧ S = S
Langkah 2: Hitung (p ∧ q) ∧ r = S ∧ B = S
Jadi (p ∧ q) ∧ r = S
Contoh 8:
Tentukan nilai kebenaran ~(p ∧ q), jika p = B dan q = B.
Pembahasan:
Langkah 1: p ∧ q = B ∧ B = B
Langkah 2: ~(p ∧ q) = ~B = S
Jadi ~(p ∧ q) = S
Contoh 9:
Tunjukkan bahwa ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q untuk p = B, q = S.
Pembahasan:
Ruas kiri:
p ∧ q = B ∧ S = S
~(p ∧ q) = ~S = B
Ruas kanan:
~p = ~B = S
~q = ~S = B
~p ∨ ~q = S ∨ B = B
Ruas kiri = B, Ruas kanan = B → Terbukti ekuivalen
Contoh 10:
Jika p ∧ q bernilai Salah dan diketahui p bernilai Benar, tentukan nilai kebenaran q.
Pembahasan:
Dari tabel kebenaran konjungsi:
p ∧ q = S, dengan p = B.
Lihat baris tabel: B ∧ ? = S
Satu-satunya kemungkinan: q = S (Salah)
Sulit
Contoh 11:
Buatlah tabel kebenaran lengkap untuk: (p ∧ q) ∧ (~p ∨ q)
Pembahasan:
| p | q | p∧q | ~p | ~p∨q | (p∧q)∧(~p∨q) |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | B | B |
| B | S | S | S | S | S |
| S | B | S | B | B | S |
| S | S | S | B | B | S |
Pernyataan majemuk ini bernilai B hanya saat p=B dan q=B. Ini ekuivalen dengan p ∧ q.
Contoh 12:
Tentukan apakah (p ∧ q) ∧ (~p ∧ q) merupakan kontradiksi.
Pembahasan:
| p | q | p∧q | ~p | ~p∧q | (p∧q)∧(~p∧q) |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S |
| B | S | S | S | S | S |
| S | B | S | B | B | S |
| S | S | S | B | S | S |
Semua baris bernilai S → Ya, ini adalah kontradiksi.
Penjelasan: tidak mungkin p dan ~p bernilai benar secara bersamaan.
Contoh 13:
Sederhanakan: (p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q) menggunakan sifat-sifat konjungsi dan distributif.
Pembahasan:
(p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)
= p ∧ (q ∨ ~q) [Distributif]
= p ∧ T [q ∨ ~q adalah tautologi]
= p [Identitas]
Contoh 14:
Diketahui tiga pernyataan:
p: x² = 16
q: x > 0
r: x bilangan bulat
Tentukan semua nilai x bilangan real sehingga p ∧ q ∧ r bernilai Benar.
Pembahasan:
p: x² = 16 → x = 4 atau x = -4
q: x > 0 → eliminasi x = -4, tersisa x = 4
r: x bilangan bulat → 4 adalah bilangan bulat ✓
Semua syarat terpenuhi untuk x = 4.
x = 4
Contoh 15:
Buktikan bahwa p ∧ (p → q) ≡ p ∧ q dengan menggunakan tabel kebenaran.
(Petunjuk: p → q ≡ ~p ∨ q)
Pembahasan:
Kita tahu p → q ≡ ~p ∨ q. Maka:
p ∧ (p → q) = p ∧ (~p ∨ q)
| p | q | ~p∨q | p∧(~p∨q) | p∧q |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B |
| B | S | S | S | S |
| S | B | B | S | S |
| S | S | B | S | S |
Kolom 4 dan kolom 5 identik → Terbukti: p ∧ (p → q) ≡ p ∧ q
D. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran p ∧ q jika p: 8 adalah bilangan genap (B) dan q: 8 > 5 (B).
2. Tentukan nilai kebenaran p ∧ q jika p: 5 + 2 = 8 dan q: 3 × 3 = 9.
3. p: Matahari terbit dari barat. q: Air mengalir ke tempat rendah. Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
4. Tentukan nilai kebenaran p ∧ q jika p: 12 habis dibagi 4 dan q: 12 habis dibagi 6.
5. p: √25 = 5. q: 5² = 20. Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
Sedang
6. Jika p ∧ q bernilai Salah dan q bernilai Benar, tentukan nilai kebenaran p.
7. Tentukan nilai kebenaran ~(p ∧ q) jika p = S dan q = B.
8. Tentukan nilai kebenaran (p ∧ q) ∧ r jika p = B, q = B, r = S.
9. Buktikan bahwa p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r untuk p = B, q = S, r = B.
10. Tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran p dan q sehingga p ∧ (~q) bernilai Benar.
Sulit
11. Buatlah tabel kebenaran lengkap untuk (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) dan tentukan apakah pernyataan ini tautologi, kontradiksi, atau kontigensi.
12. Sederhanakan (p ∧ q) ∨ (p ∧ q ∧ r) menggunakan hukum-hukum logika. Tunjukkan langkah-langkahnya.
13. Tentukan semua nilai x bilangan bulat sehingga pernyataan p ∧ q ∧ r bernilai Benar, dengan p: x² < 50, q: x > 0, r: x bilangan ganjil.
14. Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa ~(p ∧ q) ∧ p ≡ p ∧ ~q.
15. Diketahui (p ∧ q) → r bernilai Salah. Tentukan nilai kebenaran p, q, dan r. Jelaskan alasanmu.