Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Disjungsi
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
A. Pengertian Disjungsi
Dalam logika matematika, disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung “atau”.
Jika p dan q adalah dua pernyataan, maka disjungsi dari p dan q ditulis:
Dibaca: “p atau q“
Simbol ∨ adalah lambang disjungsi (dibaca “atau”).
📌 Catatan Penting:
Kata “atau” dalam disjungsi bersifat inklusif, artinya salah satu atau keduanya bisa bernilai benar.
B. Nilai Kebenaran Disjungsi
Kapan disjungsi bernilai benar dan kapan bernilai salah?
Aturan: Disjungsi p ∨ q bernilai SALAH hanya jika kedua pernyataan p dan q bernilai salah. Selain itu, disjungsi bernilai BENAR.
Tabel Kebenaran Disjungsi
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
B = Benar, S = Salah
💡 Cara Mudah Mengingat:
Disjungsi hanya salah ketika keduanya salah (S ∨ S = S). Jika ada minimal satu yang benar, hasilnya pasti benar.
C. Sifat-Sifat Disjungsi
- Komutatif: p ∨ q ≡ q ∨ p
- Asosiatif: (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
- Idempoten: p ∨ p ≡ p
- Identitas: p ∨ F ≡ p (F = pernyataan yang selalu salah)
- Dominasi: p ∨ T ≡ T (T = pernyataan yang selalu benar)
- Komplemen: p ∨ ~p ≡ T (selalu benar / tautologi)
D. Langkah Menentukan Nilai Kebenaran Disjungsi
- Tentukan pernyataan p dan q
- Tentukan nilai kebenaran masing-masing pernyataan
- Gunakan tabel kebenaran untuk menentukan nilai p ∨ q
- Ingat: Hanya S ∨ S = S, lainnya Benar
📝 Contoh Soal — Mudah
Contoh 1
Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:
p: 2 + 3 = 5 (Benar)
q: 4 > 7 (Salah)
Tentukan nilai p ∨ q!
Pembahasan
p = B, q = S
Berdasarkan tabel kebenaran: B ∨ S = B (Benar)
Karena minimal satu pernyataan bernilai benar, maka disjungsinya benar.
Contoh 2
p: 5 adalah bilangan ganjil (Benar)
q: 6 adalah bilangan genap (Benar)
Tentukan nilai p ∨ q!
Pembahasan
p = B, q = B
B ∨ B = B (Benar)
Contoh 3
p: 3 + 4 = 8 (Salah)
q: 10 < 5 (Salah)
Tentukan nilai p ∨ q!
Pembahasan
p = S, q = S
S ∨ S = S (Salah)
Kedua pernyataan salah, maka disjungsinya salah.
Contoh 4
Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk simbolik:
“Hari ini hujan atau hari ini panas”
Pembahasan
Misalkan:
p: Hari ini hujan
q: Hari ini panas
Bentuk simbolik: p ∨ q
Contoh 5
p: 9 adalah bilangan prima (Salah)
q: 9 adalah bilangan ganjil (Benar)
Tentukan nilai p ∨ q!
Pembahasan
p = S, q = B
S ∨ B = B (Benar)
📝 Contoh Soal — Sedang
Contoh 6
Diketahui p ∨ q bernilai Salah. Tentukan nilai kebenaran p dan q!
Pembahasan
Disjungsi bernilai salah hanya jika kedua pernyataan bernilai salah.
Jadi: p = S dan q = S
Contoh 7
Tentukan nilai kebenaran (p ∨ q) ∨ r jika p = S, q = S, r = B.
Pembahasan
Langkah 1: p ∨ q = S ∨ S = S
Langkah 2: (p ∨ q) ∨ r = S ∨ B = B (Benar)
Contoh 8
Tentukan nilai kebenaran ~p ∨ q jika p = B dan q = S.
Pembahasan
~p = ~B = S
~p ∨ q = S ∨ S = S (Salah)
Contoh 9
Tentukan nilai kebenaran p ∨ ~q jika p = S dan q = B.
Pembahasan
~q = ~B = S
p ∨ ~q = S ∨ S = S (Salah)
Contoh 10
Buatlah tabel kebenaran untuk ~p ∨ ~q!
Pembahasan
| p | q | ~p | ~q | ~p ∨ ~q |
|---|---|---|---|---|
| B | B | S | S | S |
| B | S | S | B | B |
| S | B | B | S | B |
| S | S | B | B | B |
📝 Contoh Soal — Sulit
Contoh 11
Buktikan bahwa p ∨ ~p adalah tautologi!
Pembahasan
| p | ~p | p ∨ ~p |
|---|---|---|
| B | S | B |
| S | B | B |
Semua nilai pada kolom terakhir adalah B, maka p ∨ ~p adalah tautologi.
Contoh 12
Tentukan nilai kebenaran (p ∨ q) ∨ (~p ∨ ~q) untuk semua kemungkinan nilai p dan q!
Pembahasan
| p | q | p∨q | ~p∨~q | (p∨q)∨(~p∨~q) |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | B |
| B | S | B | B | B |
| S | B | B | B | B |
| S | S | S | B | B |
Selalu bernilai Benar → Tautologi
Contoh 13
Diketahui (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) bernilai Benar. Tentukan kemungkinan nilai p dan q!
Pembahasan
Agar konjungsi benar, kedua bagian harus benar:
Kita periksa semua kemungkinan:
| p | q | ~p∨q | p∨~q | Hasil ∧ |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B ✓ |
| B | S | S | B | S |
| S | B | B | S | S |
| S | S | B | B | B ✓ |
Jadi: p = B dan q = B, atau p = S dan q = S.
Contoh 14
Buktikan Hukum De Morgan: ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
Pembahasan
| p | q | p∨q | ~(p∨q) | ~p | ~q | ~p∧~q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S | S |
| B | S | B | S | S | B | S |
| S | B | B | S | B | S | S |
| S | S | S | B | B | B | B |
Kolom ~(p ∨ q) dan ~p ∧ ~q identik, maka keduanya ekuivalen (terbukti).
Contoh 15
Tentukan semua nilai p, q, r agar (p ∨ q) ∨ r bernilai Salah!
Pembahasan
Agar (p ∨ q) ∨ r = S, maka:
• (p ∨ q) = S → berarti p = S dan q = S
• r = S
Jadi satu-satunya kemungkinan: p = S, q = S, r = S
Ini konsisten: disjungsi dari sejumlah pernyataan bernilai salah hanya jika semua pernyataan bernilai salah.
E. Rangkuman
- Disjungsi dilambangkan dengan ∨ dan dibaca “atau”.
- Disjungsi p ∨ q bernilai Salah hanya jika keduanya Salah.
- Disjungsi bersifat komutatif, asosiatif, dan idempoten.
- p ∨ ~p selalu benar (tautologi).
- Hukum De Morgan: ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
✏️ Latihan Soal — Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran p ∨ q jika p: 7 > 3 (Benar) dan q: 2 + 2 = 5 (Salah).
2. Tentukan nilai kebenaran p ∨ q jika p: 1 + 1 = 3 (Salah) dan q: 8 adalah bilangan genap (Benar).
3. Nyatakan dalam bentuk simbolik: “Kucing adalah mamalia atau burung adalah reptil.”
4. Tentukan nilai kebenaran p ∨ q jika p = B dan q = B.
5. Tentukan nilai kebenaran p ∨ q jika p: 12 < 5 (Salah) dan q: 0 > 1 (Salah).
✏️ Latihan Soal — Sedang
6. Tentukan nilai kebenaran ~p ∨ q jika p = S dan q = S.
7. Tentukan nilai kebenaran p ∨ ~q jika p = B dan q = B.
8. Buatlah tabel kebenaran untuk p ∨ ~p dan tentukan apakah tautologi, kontradiksi, atau kontingensi!
9. Jika p ∨ q bernilai Benar dan p = Salah, tentukan nilai q!
10. Tentukan nilai kebenaran (p ∨ q) ∨ r jika p = S, q = B, r = S.
✏️ Latihan Soal — Sulit
11. Buatlah tabel kebenaran untuk (p ∨ q) ∧ (~p ∨ ~q) dan tentukan jenis pernyataannya!
12. Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Hukum Distributif)!
13. Tentukan semua nilai p dan q agar (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) bernilai Salah!
14. Buktikan bahwa ~(~p ∨ ~q) ≡ p ∧ q menggunakan tabel kebenaran!
15. Tentukan apakah (p ∨ q) ∨ (~p ∧ ~q) merupakan tautologi, kontradiksi, atau kontingensi! Buktikan dengan tabel kebenaran!