Syarat Logaritma
Materi Matematika
📖 Pengertian Logaritma
Logaritma adalah operasi kebalikan (invers) dari perpangkatan. Jika kita memiliki:
Maka bentuk logaritmanya adalah:
Dibaca: “logaritma c dengan basis a sama dengan b.”
Keterangan:
- \(a\) = basis (bilangan pokok)
- \(c\) = numerus (bilangan yang dilogaritmakan)
- \(b\) = hasil logaritma
📌 Syarat-Syarat Logaritma
Agar bentuk \(^a\!\log b\) terdefinisi (memiliki nilai), maka harus memenuhi tiga syarat berikut secara bersamaan:
Syarat Logaritma \(^a\!\log b\)
1. Basis: \(a > 0\) dan \(a \neq 1\)
2. Numerus: \(b > 0\)
3. Hasil logaritma: bilangan real
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tabel berikut dan amati kapan logaritma terdefinisi dan kapan tidak terdefinisi:
| Bentuk Logaritma | Basis (a) | Numerus (b) | Terdefinisi? | Alasan |
|---|---|---|---|---|
| \(^2\!\log 8\) | 2 | 8 | ✅ Ya | a>0, a≠1, b>0 |
| \(^1\!\log 5\) | 1 | 5 | ❌ Tidak | a = 1 (tidak boleh) |
| \(^{-3}\!\log 9\) | −3 | 9 | ❌ Tidak | a < 0 (tidak boleh) |
| \(^3\!\log(-9)\) | 3 | −9 | ❌ Tidak | b < 0 (tidak boleh) |
| \(^5\!\log 0\) | 5 | 0 | ❌ Tidak | b = 0 (tidak boleh) |
| \(^{0{,}5}\!\log 4\) | 0,5 | 4 | ✅ Ya | a>0, a≠1, b>0 |
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati tabel di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Mengapa basis logaritma tidak boleh sama dengan 1?
- Mengapa basis logaritma tidak boleh negatif?
- Mengapa numerus logaritma harus positif (lebih dari nol)?
- Apakah basis boleh berupa bilangan pecahan (misalnya \(\frac{1}{2}\))?
💡 Kegiatan: Menalar
Mari kita pahami alasan di balik setiap syarat:
Syarat 1: Basis \(a > 0\) dan \(a \neq 1\)
Mengapa \(a > 0\)?
Karena logaritma adalah invers perpangkatan. Jika \(a < 0\), maka \(a^x\) akan menghasilkan nilai positif dan negatif bergantian (misalnya \((-2)^2 = 4\), \((-2)^3 = -8\)), sehingga fungsinya tidak konsisten dan tidak bisa dijadikan basis.
Mengapa \(a \neq 1\)?
Karena \(1^x = 1\) untuk semua nilai \(x\). Artinya jika basis = 1, maka \(1^x\) selalu menghasilkan 1, tidak pernah bisa menghasilkan bilangan lain. Misalnya \(^1\!\log 5\) berarti mencari \(x\) agar \(1^x = 5\), yang mustahil.
Syarat 2: Numerus \(b > 0\)
Mengapa \(b > 0\)?
Karena \(a^x\) dengan \(a > 0\) selalu menghasilkan bilangan positif untuk sembarang \(x\) real. Maka hasil perpangkatan tidak pernah menghasilkan bilangan negatif atau nol, sehingga numerus harus positif.
Mengapa \(b \neq 0\)?
Karena tidak ada bilangan \(x\) yang memenuhi \(a^x = 0\) ketika \(a > 0\). Berapapun pangkatnya, hasilnya tidak akan pernah tepat sama dengan nol.
✍️ Kegiatan: Mencoba
Tentukan apakah bentuk logaritma berikut terdefinisi atau tidak. Jelaskan alasannya!
- \(^4\!\log 16\) → Basis = 4 (>0, ≠1), Numerus = 16 (>0) → Terdefinisi
- \(^0\!\log 7\) → Basis = 0 (tidak memenuhi a > 0) → Tidak terdefinisi
- \(^2\!\log(-4)\) → Numerus = −4 (tidak memenuhi b > 0) → Tidak terdefinisi
- \(^{\frac{1}{3}}\!\log 27\) → Basis = \(\frac{1}{3}\) (>0, ≠1), Numerus = 27 (>0) → Terdefinisi
- \(^1\!\log 1\) → Basis = 1 (tidak memenuhi a ≠ 1) → Tidak terdefinisi
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Buatlah rangkuman dalam bahasamu sendiri tentang:
- Apa saja syarat agar logaritma terdefinisi?
- Berikan masing-masing 2 contoh logaritma yang terdefinisi dan tidak terdefinisi.
- Jelaskan mengapa setiap syarat itu diperlukan menggunakan kata-katamu sendiri.
📐 Penerapan Syarat Logaritma pada Persamaan
Ketika menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan logaritma, kita wajib memeriksa syarat sebelum menentukan himpunan penyelesaian.
Untuk \(^{a}\!\log f(x) = c\), syarat yang harus dipenuhi:
1. Basis: \(a > 0\) dan \(a \neq 1\)
2. Numerus: \(f(x) > 0\)
Untuk \(^{g(x)}\!\log f(x) = c\), syarat yang harus dipenuhi:
1. Basis: \(g(x) > 0\) dan \(g(x) \neq 1\)
2. Numerus: \(f(x) > 0\)
Langkah Penyelesaian:
- Tulis syarat logaritma (basis dan numerus).
- Selesaikan persamaan/pertidaksamaan untuk mendapatkan nilai \(x\).
- Periksa apakah nilai \(x\) memenuhi semua syarat.
- Buang solusi yang tidak memenuhi syarat.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
1. Tentukan apakah \(^3\!\log 27\) terdefinisi atau tidak!
Pembahasan:
Basis \(a = 3\): Cek \(a > 0\) → \(3 > 0\) ✅, Cek \(a \neq 1\) → \(3 \neq 1\) ✅
Numerus \(b = 27\): Cek \(b > 0\) → \(27 > 0\) ✅
Semua syarat terpenuhi, maka \(^3\!\log 27\) terdefinisi.
Nilainya: \(3^x = 27 = 3^3\), jadi \(^3\!\log 27 = 3\).
2. Tentukan apakah \(^1\!\log 10\) terdefinisi atau tidak!
Pembahasan:
Basis \(a = 1\): Cek \(a \neq 1\) → \(1 = 1\) ❌
Syarat basis tidak terpenuhi (basis tidak boleh 1), maka \(^1\!\log 10\) tidak terdefinisi.
3. Tentukan apakah \(^5\!\log 0\) terdefinisi atau tidak!
Pembahasan:
Basis \(a = 5\): \(5 > 0\) ✅, \(5 \neq 1\) ✅
Numerus \(b = 0\): Cek \(b > 0\) → \(0 > 0\) ❌
Syarat numerus tidak terpenuhi (numerus harus lebih dari 0), maka \(^5\!\log 0\) tidak terdefinisi.
4. Tentukan apakah \(^{0{,}5}\!\log 8\) terdefinisi atau tidak!
Pembahasan:
Basis \(a = 0{,}5\): \(0{,}5 > 0\) ✅, \(0{,}5 \neq 1\) ✅
Numerus \(b = 8\): \(8 > 0\) ✅
Semua syarat terpenuhi, maka \(^{0{,}5}\!\log 8\) terdefinisi.
Nilainya: \((0{,}5)^x = 8\) → \((\tfrac{1}{2})^x = 8 = 2^3\) → \(2^{-x} = 2^3\) → \(x = -3\).
5. Tentukan apakah \(^{-2}\!\log 4\) terdefinisi atau tidak!
Pembahasan:
Basis \(a = -2\): Cek \(a > 0\) → \(-2 > 0\) ❌
Syarat basis tidak terpenuhi (basis harus positif), maka \(^{-2}\!\log 4\) tidak terdefinisi.
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
1. Tentukan syarat agar \(^2\!\log(x – 3)\) terdefinisi!
Pembahasan:
Basis \(a = 2\): \(2 > 0\) ✅, \(2 \neq 1\) ✅ (sudah memenuhi).
Numerus: \(x – 3 > 0\)
\(x > 3\)
Syarat: \(x > 3\) atau dalam notasi interval: \(x \in (3, \infty)\).
2. Tentukan syarat agar \(^{(x-1)}\!\log 5\) terdefinisi!
Pembahasan:
Basis \(a = x – 1\):
- \(x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1\)
- \(x – 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2\)
Numerus \(b = 5\): \(5 > 0\) ✅
Syarat: \(x > 1\) dan \(x \neq 2\), atau \(x \in (1, 2) \cup (2, \infty)\).
3. Tentukan syarat agar \(^3\!\log(x^2 – 4)\) terdefinisi!
Pembahasan:
Basis = 3: sudah memenuhi syarat.
Numerus: \(x^2 – 4 > 0\)
\((x-2)(x+2) > 0\)
Menggunakan garis bilangan: tanda positif saat \(x < -2\) atau \(x > 2\).
Syarat: \(x < -2\) atau \(x > 2\), yaitu \(x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)\).
4. Tentukan syarat agar \(^{(x+2)}\!\log(3x – 1)\) terdefinisi!
Pembahasan:
Syarat basis:
- \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2\)
- \(x + 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1\)
Syarat numerus:
- \(3x – 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3}\)
Gabungan: \(x > \frac{1}{3}\) (karena \(\frac{1}{3} > -2\) dan \(\frac{1}{3} > -1\)).
Cek: \(x \neq -1\) sudah otomatis terpenuhi karena \(x > \frac{1}{3}\).
Syarat: \(x > \dfrac{1}{3}\) atau \(x \in \left(\dfrac{1}{3}, \infty\right)\).
5. Tentukan nilai \(x\) agar \(\log(2x + 6)\) terdefinisi! (basis 10)
Pembahasan:
Basis = 10: \(10 > 0\) ✅, \(10 \neq 1\) ✅
Numerus: \(2x + 6 > 0\)
\(2x > -6\)
\(x > -3\)
Syarat: \(x > -3\) atau \(x \in (-3, \infty)\).
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
1. Tentukan syarat agar \(^{(x^2 – 4)}\!\log(2x + 1)\) terdefinisi!
Pembahasan:
Syarat basis: \(x^2 – 4 > 0\) dan \(x^2 – 4 \neq 1\)
\(x^2 – 4 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) > 0 \Rightarrow x < -2\) atau \(x > 2\) … (i)
\(x^2 – 4 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq 5 \Rightarrow x \neq \pm\sqrt{5}\) … (ii)
Syarat numerus: \(2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}\) … (iii)
Gabungan (i) ∩ (ii) ∩ (iii):
Dari (i): \(x < -2\) atau \(x > 2\)
Dari (iii): \(x > -\frac{1}{2}\)
Irisan: \(x > 2\) (karena \(x < -2\) tidak beririsan dengan \(x > -\frac{1}{2}\))
Dari (ii): kecualikan \(x = \sqrt{5} \approx 2{,}24\)
Syarat: \(x > 2\) dan \(x \neq \sqrt{5}\), yaitu \(x \in (2, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)\).
2. Tentukan domain dari \(f(x) = {^2\!\log(x^2 – 5x + 6)}\)!
Pembahasan:
Basis = 2: sudah memenuhi.
Numerus: \(x^2 – 5x + 6 > 0\)
Faktorkan: \((x-2)(x-3) > 0\)
Uji tanda pada garis bilangan dengan akar \(x = 2\) dan \(x = 3\):
- \(x < 2\): \((-)(-) = (+) > 0\) ✅
- \(2 < x < 3\): \((+)(-) = (-) < 0\) ❌
- \(x > 3\): \((+)(+) = (+) > 0\) ✅
Domain: \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)\).
3. Tentukan domain dari \(f(x) = {^{(x-3)}\!\log(6-x)}\)!
Pembahasan:
Syarat basis:
- \(x – 3 > 0 \Rightarrow x > 3\) … (i)
- \(x – 3 \neq 1 \Rightarrow x \neq 4\) … (ii)
Syarat numerus:
- \(6 – x > 0 \Rightarrow x < 6\) … (iii)
Gabungan (i) ∩ (ii) ∩ (iii):
\(3 < x < 6\) dan \(x \neq 4\)
Domain: \(x \in (3, 4) \cup (4, 6)\).
4. Selesaikan persamaan \(^2\!\log(x^2 – 3x) = 2\) dengan memperhatikan syarat!
Pembahasan:
Langkah 1 – Tulis syarat:
Numerus: \(x^2 – 3x > 0 \Rightarrow x(x-3) > 0 \Rightarrow x < 0\) atau \(x > 3\) … (syarat)
Langkah 2 – Selesaikan persamaan:
\(^2\!\log(x^2 – 3x) = 2\)
\(x^2 – 3x = 2^2 = 4\)
\(x^2 – 3x – 4 = 0\)
\((x-4)(x+1) = 0\)
\(x = 4\) atau \(x = -1\)
Langkah 3 – Cek syarat:
- \(x = 4\): Cek \(x > 3\) → \(4 > 3\) ✅ (memenuhi)
- \(x = -1\): Cek \(x < 0\) → \(-1 < 0\) ✅ (memenuhi)
HP = \(\{-1, 4\}\)
5. Tentukan domain dari \(f(x) = {^{(x^2-1)}\!\log\left(\dfrac{x+3}{x-1}\right)}\)!
Pembahasan:
Syarat basis: \(x^2 – 1 > 0\) dan \(x^2 – 1 \neq 1\)
\(x^2 – 1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0 \Rightarrow x < -1\) atau \(x > 1\) … (i)
\(x^2 – 1 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq 2 \Rightarrow x \neq \pm\sqrt{2}\) … (ii)
Syarat numerus: \(\dfrac{x+3}{x-1} > 0\)
Pembilang = 0 saat \(x = -3\), penyebut = 0 saat \(x = 1\).
Uji tanda:
- \(x < -3\): \(\frac{(-)}{(-)} = (+) > 0\) ✅
- \(-3 < x < 1\): \(\frac{(+)}{(-)} = (-) < 0\) ❌
- \(x > 1\): \(\frac{(+)}{(+)} = (+) > 0\) ✅
Numerus > 0 saat: \(x < -3\) atau \(x > 1\) … (iii)
Gabungan (i) ∩ (ii) ∩ (iii):
Dari (i): \(x < -1\) atau \(x > 1\)
Dari (iii): \(x < -3\) atau \(x > 1\)
Irisan: \(x < -3\) atau \(x > 1\) (perhatikan \(x \neq 1\) sudah dari (i))
Dari (ii): kecualikan \(x = \sqrt{2}\) (karena \(-\sqrt{2}\) tidak ada di domain).
Domain: \(x \in (-\infty, -3) \cup (1, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)\).
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Mudah
- Tentukan apakah \(^7\!\log 49\) terdefinisi atau tidak! Jelaskan!
- Tentukan apakah \(^{-5}\!\log 25\) terdefinisi atau tidak! Jelaskan!
- Tentukan apakah \(^4\!\log(-16)\) terdefinisi atau tidak! Jelaskan!
- Tentukan apakah \(^{0{,}25}\!\log 16\) terdefinisi atau tidak! Jelaskan!
- Tentukan apakah \(^1\!\log 100\) terdefinisi atau tidak! Jelaskan!
Sedang
- Tentukan syarat agar \(^5\!\log(2x – 7)\) terdefinisi!
- Tentukan syarat agar \(^{(x+3)}\!\log 10\) terdefinisi!
- Tentukan domain dari \(f(x) = \log(x^2 – 9)\)!
- Tentukan syarat agar \(^2\!\log(x^2 – x – 6)\) terdefinisi!
- Tentukan syarat agar \(^{(2x-1)}\!\log(x+4)\) terdefinisi!
Sulit
- Tentukan domain dari \(f(x) = {^{(x-2)}\!\log(x^2 – 7x + 10)}\)!
- Selesaikan persamaan \(^3\!\log(x^2 – 2x) = 1\) dengan memperhatikan syarat!
- Tentukan domain dari \(f(x) = {^{(x^2 – 9)}\!\log(5 – x)}\)!
- Selesaikan: \(^{(x-1)}\!\log(2x + 3) = 2\) dan periksa syaratnya!
- Tentukan domain dari \(f(x) = {^{(x+1)}\!\log\left(\dfrac{x-2}{x+4}\right)}\)!
📋 Rangkuman
Syarat Logaritma \(^a\!\log b\)
| Syarat | Keterangan |
|---|---|
| \(a > 0\) | Basis harus bilangan positif |
| \(a \neq 1\) | Basis tidak boleh sama dengan 1 |
| \(b > 0\) | Numerus harus bilangan positif |
Selalu periksa ketiga syarat ini sebelum menyelesaikan soal logaritma!