Penerapan Bentuk Akar
Matematika
Pendahuluan
Bentuk akar banyak dijumpai dalam berbagai bidang kehidupan, mulai dari geometri, fisika, teknik, hingga masalah sehari-hari. Memahami penerapan bentuk akar akan membantu kita menyelesaikan permasalahan nyata dengan tepat dan efisien.
Pada materi ini, kita akan mempelajari bagaimana bentuk akar diterapkan dalam berbagai konteks. Pastikan kamu sudah memahami konsep dasar bentuk akar, operasi bentuk akar, serta penyederhanaan bentuk akar sebelum mempelajari materi ini.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan situasi berikut:
- Seorang tukang kayu ingin memotong papan secara diagonal. Panjang papan 3 m dan lebar 4 m. Berapa panjang potongan diagonal?
- Seorang arsitek menghitung luas segitiga sama sisi dengan sisi 6 cm.
- Seorang teknisi menghitung kecepatan benda jatuh bebas dari ketinggian 20 m.
→ Semua situasi di atas memerlukan bentuk akar dalam penyelesaiannya!
1. Penerapan Bentuk Akar dalam Geometri
A. Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya:
c = √(a² + b²)
dengan c = hipotenusa, a dan b = sisi siku-siku
B. Luas Segitiga dengan Rumus Heron
Untuk segitiga dengan sisi a, b, dan c, luas dapat dihitung dengan:
L = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
dengan s = ½(a + b + c)
C. Tinggi Segitiga Sama Sisi
t = ½a√3
dengan a = panjang sisi segitiga sama sisi
D. Luas Segitiga Sama Sisi
L = ¼a²√3
E. Diagonal Ruang Balok dan Kubus
Diagonal ruang balok:
d = √(p² + l² + t²)
Diagonal ruang kubus (sisi a):
d = a√3
F. Jarak Antara Dua Titik
Jarak dua titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂):
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati rumus-rumus di atas, cobalah ajukan pertanyaan:
- Mengapa hasil perhitungan panjang diagonal sering menghasilkan bilangan irasional (bentuk akar)?
- Bagaimana cara menentukan apakah hasil akhir perlu disederhanakan atau dibiarkan dalam bentuk akar?
- Dalam kondisi apa kita perlu menghampiri (mengaproksimasi) nilai bentuk akar?
Kegiatan: Menalar
Perhatikan bahwa:
- √2 ≈ 1,414 → muncul pada diagonal persegi
- √3 ≈ 1,732 → muncul pada segitiga sama sisi dan kubus
- √5 ≈ 2,236 → muncul pada persegi panjang 1 × 2
Buatlah kesimpulan: mengapa bilangan-bilangan tersebut sering muncul dalam geometri?
Tabel Nilai Akar yang Sering Muncul dalam Geometri:
| Bentuk Akar | Nilai Hampiran | Konteks Geometri |
|---|---|---|
| √2 | 1,414 | Diagonal persegi satuan |
| √3 | 1,732 | Tinggi segitiga sama sisi sisi 2 |
| √5 | 2,236 | Diagonal persegi panjang 1×2 |
| √10 | 3,162 | Diagonal persegi panjang 1×3 |
| 2√2 | 2,828 | Diagonal persegi sisi 2 |
| 2√3 | 3,464 | Tinggi segitiga sama sisi sisi 4 |
Contoh Soal – Penerapan dalam Geometri
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Sebuah persegi memiliki sisi 5 cm. Hitunglah panjang diagonalnya!
Lihat Pembahasan
Diagonal persegi = sisi × √2
= 5 × √2
= 5√2 cm
≈ 5 × 1,414 = 7,07 cm
Jadi, panjang diagonal = 5√2 cm ≈ 7,07 cm
Contoh 2:
Hitunglah tinggi segitiga sama sisi dengan panjang sisi 8 cm!
Lihat Pembahasan
Tinggi segitiga sama sisi = ½ × sisi × √3
= ½ × 8 × √3
= 4√3 cm
≈ 4 × 1,732 = 6,928 cm
Jadi, tinggi = 4√3 cm ≈ 6,93 cm
Contoh 3:
Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku 6 cm dan 8 cm. Hitunglah panjang hipotenusa!
Lihat Pembahasan
c = √(a² + b²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm
Jadi, panjang hipotenusa = 10 cm
Contoh 4:
Hitunglah luas segitiga sama sisi dengan sisi 6 cm!
Lihat Pembahasan
L = ¼ × a² × √3 = ¼ × 36 × √3 = 9√3 cm²
≈ 9 × 1,732 = 15,588 cm²
Jadi, luas = 9√3 cm² ≈ 15,59 cm²
Contoh 5:
Hitunglah jarak antara titik A(1, 2) dan B(4, 6)!
Lihat Pembahasan
d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Jadi, jarak AB = 5 satuan
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Sebuah balok memiliki panjang 3 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 12 cm. Hitunglah panjang diagonal ruang balok!
Lihat Pembahasan
d = √(p² + l² + t²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm
Jadi, diagonal ruang = 13 cm
Contoh 7:
Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 4 cm. Hitunglah panjang diagonal sisi dan diagonal ruangnya!
Lihat Pembahasan
Diagonal sisi = a√2 = 4√2 cm ≈ 5,66 cm
Diagonal ruang = a√3 = 4√3 cm ≈ 6,93 cm
Jadi, diagonal sisi = 4√2 cm dan diagonal ruang = 4√3 cm
Contoh 8:
Hitunglah luas segitiga dengan sisi-sisi 5 cm, 6 cm, dan 7 cm menggunakan rumus Heron!
Lihat Pembahasan
s = ½(5 + 6 + 7) = 9
L = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216
= √(36 × 6) = 6√6 cm²
≈ 6 × 2,449 = 14,70 cm²
Jadi, luas segitiga = 6√6 cm² ≈ 14,70 cm²
Contoh 9:
Segitiga siku-siku memiliki hipotenusa 10 cm dan salah satu sisi siku-siku 6 cm. Hitunglah sisi lainnya dan luas segitiga!
Lihat Pembahasan
b = √(c² − a²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm
Luas = ½ × 6 × 8 = 24 cm²
Jadi, sisi lainnya = 8 cm dan luas = 24 cm²
Contoh 10:
Hitunglah jarak antara titik P(−2, 3) dan Q(4, −1)!
Lihat Pembahasan
d = √((4−(−2))² + (−1−3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52
= √(4 × 13) = 2√13
≈ 2 × 3,606 = 7,21 satuan
Jadi, jarak PQ = 2√13 ≈ 7,21 satuan
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Sebuah limas segiempat beraturan memiliki alas persegi dengan sisi 6 cm dan tinggi limas 4 cm. Hitunglah panjang rusuk tegak limas!
Lihat Pembahasan
Setengah diagonal alas = ½ × 6√2 = 3√2 cm
Rusuk tegak = √(tinggi² + (½ diagonal alas)²)
= √(4² + (3√2)²) = √(16 + 18) = √34 cm
≈ 5,83 cm
Jadi, panjang rusuk tegak = √34 cm ≈ 5,83 cm
Contoh 12:
Segitiga ABC memiliki A(0, 0), B(6, 0), dan C(3, 3√3). Buktikan bahwa segitiga tersebut sama sisi dan hitunglah luasnya!
Lihat Pembahasan
AB = √((6−0)² + (0−0)²) = √36 = 6
AC = √((3−0)² + (3√3−0)²) = √(9 + 27) = √36 = 6
BC = √((3−6)² + (3√3−0)²) = √(9 + 27) = √36 = 6
AB = AC = BC = 6, jadi segitiga sama sisi ✓
Luas = ¼ × 6² × √3 = 9√3 satuan luas ≈ 15,59
Jadi, terbukti sama sisi dan luas = 9√3 satuan luas
Contoh 13:
Sebuah kerucut memiliki jari-jari alas 7 cm dan tinggi 24 cm. Hitunglah panjang garis pelukis dan luas selimut kerucut!
Lihat Pembahasan
Garis pelukis (s) = √(r² + t²) = √(49 + 576) = √625 = 25 cm
Luas selimut = π × r × s = π × 7 × 25 = 175π cm²
≈ 549,78 cm²
Jadi, garis pelukis = 25 cm dan luas selimut = 175π cm²
Contoh 14:
Hitunglah luas segitiga dengan sisi-sisi 13 cm, 14 cm, dan 15 cm menggunakan rumus Heron!
Lihat Pembahasan
s = ½(13 + 14 + 15) = 21
L = √(21 × (21−13) × (21−14) × (21−15))
= √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 cm²
Jadi, luas segitiga = 84 cm²
Contoh 15:
Titik P terletak pada sumbu-x sehingga jarak P ke titik A(3, 4) sama dengan jarak P ke titik B(−1, 2). Tentukan koordinat P!
Lihat Pembahasan
Misalkan P(x, 0)
PA = PB
√((x−3)² + 16) = √((x+1)² + 4)
Kuadratkan kedua ruas:
(x−3)² + 16 = (x+1)² + 4
x² − 6x + 9 + 16 = x² + 2x + 1 + 4
25 − 6x = 5 + 2x
20 = 8x → x = 5/2
Jadi, P(5/2, 0) atau P(2,5; 0)
Latihan Soal – Penerapan dalam Geometri
📗 Tingkat Mudah
- Hitunglah panjang diagonal persegi dengan sisi 10 cm!
- Hitunglah tinggi segitiga sama sisi dengan sisi 12 cm!
- Segitiga siku-siku memiliki sisi 5 cm dan 12 cm. Hitunglah hipotenusanya!
- Hitunglah luas segitiga sama sisi dengan sisi 10 cm!
- Hitunglah jarak antara titik (0, 0) dan (3, 4)!
📙 Tingkat Sedang
- Hitunglah diagonal ruang balok dengan ukuran 2 cm × 3 cm × 6 cm!
- Hitunglah panjang diagonal ruang kubus dengan rusuk 5 cm!
- Hitunglah luas segitiga dengan sisi 8 cm, 10 cm, dan 12 cm menggunakan rumus Heron!
- Hitunglah jarak antara titik M(−3, 5) dan N(2, −7)!
- Sebuah tiang listrik setinggi 12 m disangga kawat dari puncak ke tanah sejauh 5 m dari kaki tiang. Berapa panjang kawat?
📕 Tingkat Sulit
- Sebuah limas segiempat beraturan memiliki alas persegi sisi 10 cm dan rusuk tegak 13 cm. Hitunglah tinggi limas!
- Hitunglah luas segitiga dengan titik sudut A(1, 1), B(5, 1), dan C(3, 5)!
- Sebuah kerucut memiliki garis pelukis 15 cm dan tinggi 12 cm. Hitunglah volume kerucut!
- Tentukan koordinat titik pada sumbu-y yang berjarak sama dari A(4, 1) dan B(−2, 3)!
- Sebuah bola tepat berada di dalam kubus berusuk 10 cm. Hitunglah jarak dari pusat bola ke salah satu sudut kubus!
2. Penerapan Bentuk Akar dalam Fisika
Banyak rumus fisika menghasilkan bentuk akar. Berikut beberapa penerapan penting:
A. Gerak Jatuh Bebas
Waktu jatuh bebas dari ketinggian h:
t = √(2h/g)
dengan g = 10 m/s² (percepatan gravitasi)
B. Kecepatan Benda Jatuh Bebas
v = √(2gh)
C. Periode Bandul Sederhana
T = 2π√(L/g)
dengan L = panjang tali, g = percepatan gravitasi
D. Kecepatan Gelombang pada Tali
v = √(F/μ)
dengan F = gaya tegangan, μ = massa per satuan panjang
E. Resultan Dua Vektor
R = √(F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos θ)
Jika tegak lurus (θ = 90°): R = √(F₁² + F₂²)
Kegiatan: Mencoba
Lakukan percobaan sederhana berikut:
- Ambil sebuah bola kecil dan jatuhkan dari ketinggian 1,8 m. Hitung waktu teoritisnya: t = √(2 × 1,8 / 10) = √0,36 = 0,6 detik. Bandingkan dengan stopwatch!
- Buat bandul dari tali 1 m. Hitung periode teoritisnya: T = 2π√(1/10) ≈ 2 × 3,14 × 0,316 ≈ 1,99 detik. Ukur 10 ayunan dan bandingkan!
Contoh Soal – Penerapan dalam Fisika
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Sebuah batu dijatuhkan dari ketinggian 20 m. Hitunglah waktu yang dibutuhkan batu untuk sampai ke tanah! (g = 10 m/s²)
Lihat Pembahasan
t = √(2h/g) = √(2 × 20/10) = √4 = 2 detik
Jadi, waktu = 2 detik
Contoh 2:
Hitunglah kecepatan benda saat menyentuh tanah jika dijatuhkan dari ketinggian 5 m! (g = 10 m/s²)
Lihat Pembahasan
v = √(2gh) = √(2 × 10 × 5) = √100 = 10 m/s
Jadi, kecepatan = 10 m/s
Contoh 3:
Sebuah buah jatuh dari pohon setinggi 3,2 m. Berapa waktu jatuhnya? (g = 10 m/s²)
Lihat Pembahasan
t = √(2h/g) = √(2 × 3,2/10) = √0,64 = 0,8 detik
Jadi, waktu = 0,8 detik
Contoh 4:
Dua gaya saling tegak lurus: F₁ = 3 N dan F₂ = 4 N. Hitunglah resultannya!
Lihat Pembahasan
R = √(F₁² + F₂²) = √(9 + 16) = √25 = 5 N
Jadi, resultan = 5 N
Contoh 5:
Hitunglah kecepatan benda jatuh bebas dari ketinggian 45 m! (g = 10 m/s²)
Lihat Pembahasan
v = √(2gh) = √(2 × 10 × 45) = √900 = 30 m/s
Jadi, kecepatan = 30 m/s
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Sebuah bandul sederhana memiliki panjang tali 0,4 m. Hitunglah periodenya! (g = 10 m/s², π = 3,14)
Lihat Pembahasan
T = 2π√(L/g) = 2 × 3,14 × √(0,4/10) = 6,28 × √0,04 = 6,28 × 0,2 = 1,256 detik
Jadi, periode ≈ 1,26 detik
Contoh 7:
Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian h dan tiba di tanah dengan kecepatan 20 m/s. Berapakah ketinggian h? (g = 10 m/s²)
Lihat Pembahasan
v = √(2gh) → v² = 2gh → h = v²/(2g)
h = 400/20 = 20 m
Jadi, ketinggian = 20 m
Contoh 8:
Dua gaya F₁ = 5 N dan F₂ = 8 N membentuk sudut 60°. Hitunglah resultannya!
Lihat Pembahasan
R = √(F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos 60°)
= √(25 + 64 + 2 × 5 × 8 × 0,5)
= √(25 + 64 + 40) = √129
≈ 11,36 N
Jadi, resultan ≈ √129 ≈ 11,36 N
Contoh 9:
Berapa panjang tali bandul agar periodenya tepat 2 detik? (g = 10 m/s², π ≈ 3,14)
Lihat Pembahasan
T = 2π√(L/g) → 2 = 6,28 × √(L/10)
√(L/10) = 2/6,28 ≈ 0,3185
L/10 = 0,1014 → L ≈ 1,014 m
Jadi, panjang tali ≈ 1,01 m
Contoh 10:
Kecepatan gelombang pada tali v = 20 m/s, massa per satuan panjang μ = 0,05 kg/m. Hitunglah gaya tegangan tali!
Lihat Pembahasan
v = √(F/μ) → v² = F/μ → F = v² × μ
F = 400 × 0,05 = 20 N
Jadi, gaya tegangan = 20 N
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Sebuah batu dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan awal v₀ = 30 m/s. Pada ketinggian berapa kecepatan batu menjadi 10 m/s? (g = 10 m/s²)
Lihat Pembahasan
v² = v₀² − 2gh → h = (v₀² − v²)/(2g)
h = (900 − 100)/20 = 800/20 = 40 m
Jadi, pada ketinggian 40 m
Contoh 12:
Tiga gaya bekerja pada suatu titik: F₁ = 6 N ke kanan, F₂ = 4 N ke atas, F₃ = 3 N ke kanan. Hitunglah resultan ketiga gaya!
Lihat Pembahasan
Komponen horizontal: Fx = 6 + 3 = 9 N
Komponen vertikal: Fy = 4 N
R = √(Fx² + Fy²) = √(81 + 16) = √97 ≈ 9,85 N
Jadi, resultan = √97 ≈ 9,85 N
Contoh 13:
Dua bandul memiliki periode T₁ dan T₂ dengan perbandingan panjang tali L₁ : L₂ = 1 : 4. Tentukan perbandingan T₁ : T₂!
Lihat Pembahasan
T = 2π√(L/g), sehingga T ∝ √L
T₁/T₂ = √(L₁/L₂) = √(1/4) = 1/2
Jadi, T₁ : T₂ = 1 : 2
Contoh 14:
Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian 80 m. Berapa kecepatan benda saat berada pada ketinggian 35 m dari tanah? (g = 10 m/s²)
Lihat Pembahasan
Benda telah jatuh sejauh: 80 − 35 = 45 m
v = √(2gh) = √(2 × 10 × 45) = √900 = 30 m/s
Jadi, kecepatan = 30 m/s
Contoh 15:
Sebuah satelit mengorbit Bumi. Kecepatan orbit diberikan oleh v = √(GM/r) dengan GM = 4 × 10¹⁴ m³/s². Jika r = 6,4 × 10⁶ m (permukaan Bumi), hitunglah kecepatan orbit!
Lihat Pembahasan
v = √(GM/r) = √(4 × 10¹⁴ / 6,4 × 10⁶)
= √(6,25 × 10⁷) = √(625 × 10⁵)
= 25 × √(10⁵) = 25 × 10² × √10
= 2500√10 ≈ 2500 × 3,162 ≈ 7905 m/s
≈ 7,9 km/s
Jadi, kecepatan orbit ≈ 7,9 km/s
Latihan Soal – Penerapan dalam Fisika
📗 Tingkat Mudah
- Hitunglah waktu jatuh bebas dari ketinggian 45 m! (g = 10 m/s²)
- Hitunglah kecepatan benda saat menyentuh tanah dari ketinggian 12,5 m!
- Dua gaya tegak lurus: 5 N dan 12 N. Hitunglah resultannya!
- Sebuah batu dijatuhkan dari ketinggian 31,25 m. Berapa kecepatannya saat menyentuh tanah?
- Hitunglah waktu jatuh bebas dari ketinggian 5 m!
📙 Tingkat Sedang
- Hitunglah periode bandul dengan panjang tali 0,9 m! (g = 10 m/s²)
- Dua gaya 10 N dan 10 N membentuk sudut 120°. Hitunglah resultannya!
- Kecepatan gelombang pada tali 30 m/s dan μ = 0,02 kg/m. Hitunglah tegangan tali!
- Sebuah benda dilempar ke atas dengan v₀ = 40 m/s. Pada ketinggian berapa kecepatan menjadi 20 m/s?
- Berapa panjang tali bandul agar periodenya 3 detik?
📕 Tingkat Sulit
- Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian 125 m. Berapa kecepatan saat ketinggian 45 m dari tanah?
- Tiga gaya bekerja pada titik: 8 N ke kanan, 6 N ke atas, dan 3 N membentuk sudut 45° terhadap horizontal. Hitunglah resultan!
- Perbandingan periode dua bandul T₁ : T₂ = 2 : 3. Tentukan perbandingan panjang talinya!
- Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan v₀. Jika kecepatan pada ketinggian 30 m adalah √200 m/s, tentukan v₀!
- Kecepatan orbit satelit pada ketinggian 2r dari permukaan Bumi (r = jari-jari Bumi). Jika v di permukaan = v₀, nyatakan kecepatan orbit dalam v₀!
3. Penerapan Bentuk Akar dalam Kehidupan Sehari-hari
Bentuk akar muncul dalam berbagai konteks praktis kehidupan sehari-hari:
A. Konstruksi dan Bangunan
Dalam konstruksi, pekerja sering perlu menghitung panjang diagonal, kemiringan atap, atau panjang kuda-kuda.
Panjang kuda-kuda atap: Jika lebar rumah = l dan tinggi atap = t, maka:
Panjang sisi atap = √((½l)² + t²)
B. Navigasi dan Penerbangan
Jarak pandang ke horison dari ketinggian h:
d ≈ √(2Rh)
dengan R = jari-jari Bumi ≈ 6.371 km
C. Keuangan (Rata-rata Geometrik)
Rata-rata pertumbuhan dua periode:
Rata-rata = √(r₁ × r₂)
dengan r₁ dan r₂ = faktor pertumbuhan tiap periode
D. Skala Richter (Gempa Bumi)
Energi gempa bumi meningkat secara eksponensial. Perbandingan energi dua gempa dengan selisih 1 skala Richter melibatkan √1000 ≈ 31,6 kali lebih besar.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Buatlah poster atau presentasi singkat tentang salah satu penerapan bentuk akar dalam kehidupan sehari-hari. Jelaskan:
- Situasi atau masalah yang dihadapi
- Rumus yang digunakan (jelaskan mengapa melibatkan bentuk akar)
- Contoh perhitungan dengan angka nyata
- Manfaat mengetahui penerapan ini
Contoh Soal – Penerapan Sehari-hari
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Sebuah tangga bersandar pada dinding. Kaki tangga berjarak 3 m dari dinding dan ujung atas tangga mencapai ketinggian 4 m. Berapa panjang tangga?
Lihat Pembahasan
Panjang tangga = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 m
Jadi, panjang tangga = 5 m
Contoh 2:
Sebuah layar TV diagonal 50 inci dengan perbandingan lebar:tinggi = 4:3. Hitunglah lebar TV!
Lihat Pembahasan
Misalkan lebar = 4x, tinggi = 3x
Diagonal = √((4x)² + (3x)²) = √(16x² + 9x²) = √(25x²) = 5x
5x = 50 → x = 10
Lebar = 4 × 10 = 40 inci
Jadi, lebar TV = 40 inci
Contoh 3:
Seorang petani ingin membuat pagar diagonal di ladang persegi panjang berukuran 12 m × 5 m. Berapa panjang pagar diagonal?
Lihat Pembahasan
Panjang diagonal = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 m
Jadi, panjang pagar = 13 m
Contoh 4:
Jarak pandang dari puncak mercusuar setinggi 50 m ke horison. (R = 6.371 km)
Lihat Pembahasan
h = 50 m = 0,05 km
d = √(2 × 6371 × 0,05) = √637,1 ≈ 25,24 km
Jadi, jarak pandang ≈ 25,2 km
Contoh 5:
Sebuah taman berbentuk persegi memiliki luas 200 m². Berapa panjang sisi taman?
Lihat Pembahasan
sisi = √luas = √200 = √(100 × 2) = 10√2 m ≈ 14,14 m
Jadi, panjang sisi = 10√2 m ≈ 14,14 m
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Atap sebuah rumah berbentuk segitiga sama kaki. Lebar rumah 8 m dan tinggi atap 3 m. Berapa panjang sisi miring atap?
Lihat Pembahasan
Setengah lebar = 4 m, tinggi = 3 m
Sisi miring = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 m
Jadi, sisi miring atap = 5 m
Contoh 7:
Investasi tumbuh 44% dalam 2 tahun (faktor 1,44). Berapa rata-rata pertumbuhan per tahun?
Lihat Pembahasan
Faktor pertumbuhan tahunan = √1,44 = 1,2
Pertumbuhan per tahun = 1,2 − 1 = 0,2 = 20%
Jadi, rata-rata pertumbuhan = 20% per tahun
Contoh 8:
Sebuah drone terbang dari titik A ke B dengan perpindahan 5 km ke timur dan 5 km ke utara. Berapa jarak langsung A ke B?
Lihat Pembahasan
Jarak = √(5² + 5²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2 km ≈ 7,07 km
Jadi, jarak langsung = 5√2 ≈ 7,07 km
Contoh 9:
Sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang berukuran 25 m × 10 m. Perenang berenang diagonal dari sudut ke sudut. Berapa jarak yang ditempuh?
Lihat Pembahasan
d = √(25² + 10²) = √(625 + 100) = √725 = √(25 × 29) = 5√29 m
≈ 5 × 5,385 = 26,93 m
Jadi, jarak = 5√29 ≈ 26,93 m
Contoh 10:
Seorang pilot pesawat di ketinggian 10 km. Berapa jarak pandangnya ke horison? (R = 6.371 km)
Lihat Pembahasan
d = √(2Rh) = √(2 × 6371 × 10) = √127.420 ≈ 357 km
Jadi, jarak pandang ≈ 357 km
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Sebuah layar TV 16:9 memiliki diagonal 55 inci. Hitunglah lebar dan tinggi layar!
Lihat Pembahasan
Lebar = 16x, Tinggi = 9x
Diagonal = √((16x)² + (9x)²) = √(256x² + 81x²) = √(337x²) = x√337
x√337 = 55 → x = 55/√337 = 55/18,36 ≈ 2,996
Lebar = 16 × 2,996 ≈ 47,9 inci
Tinggi = 9 × 2,996 ≈ 27,0 inci
Jadi, lebar ≈ 47,9 inci dan tinggi ≈ 27,0 inci
Contoh 12:
Sebuah menara pemancar setinggi 200 m. Kawat penyangga dipasang dari puncak ke tanah dengan sudut 60° terhadap tanah. Hitunglah panjang kawat!
Lihat Pembahasan
sin 60° = tinggi/kawat → √3/2 = 200/kawat
kawat = 200 × 2/√3 = 400/√3 = 400√3/3 ≈ 230,9 m
Jadi, panjang kawat = 400√3/3 ≈ 230,9 m
Contoh 13:
Harga saham naik 21% pada tahun pertama dan turun ke nilai awal pada tahun kedua (turun sekitar 17,36%). Tunjukkan bahwa rata-rata geometrik pertumbuhannya adalah 0%!
Lihat Pembahasan
Faktor tahun 1 = 1,21; Faktor tahun 2 = 1/1,21 ≈ 0,8264
Rata-rata geometrik = √(1,21 × 0,8264) = √1 = 1
Pertumbuhan rata-rata = 1 − 1 = 0%
Terbukti, rata-rata geometrik = 0%
Contoh 14:
Sebuah helikopter berada 3 km di atas tanah dan 4 km ke timur dari titik A, serta 5 km ke utara dari titik A. Hitunglah jarak langsung helikopter ke A!
Lihat Pembahasan
Jarak 3D = √(4² + 5² + 3²) = √(16 + 25 + 9) = √50 = 5√2 km ≈ 7,07 km
Jadi, jarak = 5√2 ≈ 7,07 km
Contoh 15:
Luas tanah berbentuk segitiga dengan sisi-sisi 20 m, 21 m, dan 13 m. Hitunglah luas tanah dan harganya jika Rp 500.000/m²!
Lihat Pembahasan
s = ½(20 + 21 + 13) = 27
L = √(27 × 7 × 6 × 14) = √(27 × 7 × 6 × 14)
= √(27 × 588) = √15.876 = 126 m²
Harga = 126 × Rp 500.000 = Rp 63.000.000
Jadi, luas = 126 m² dan harga = Rp 63.000.000
Latihan Soal – Penerapan Sehari-hari
📗 Tingkat Mudah
- Tangga 13 m bersandar pada dinding. Kaki tangga 5 m dari dinding. Berapa tinggi yang dicapai?
- Taman persegi memiliki luas 450 m². Berapa panjang sisinya?
- Layar HP diagonal 6,5 inci dengan rasio 16:9. Berapa lebarnya?
- Pagar diagonal lapangan 15 m × 20 m. Berapa panjang pagar?
- Jarak pandang dari gedung 32 m ke horison? (R = 6.371 km)
📙 Tingkat Sedang
- Atap rumah: lebar 10 m, tinggi atap 5 m. Berapa panjang sisi miring?
- Investasi tumbuh 96% dalam 2 tahun. Berapa pertumbuhan rata-rata per tahun?
- Kapal berlayar 8 km ke timur lalu 15 km ke utara. Berapa jarak langsung dari titik awal?
- Kabel listrik dipasang dari tiang 12 m ke tanah sejauh 9 m. Berapa panjang kabel?
- Lapangan berbentuk persegi panjang 100 m × 75 m. Pemain berlari diagonal. Berapa jaraknya?
📕 Tingkat Sulit
- Layar bioskop 21:9 dengan diagonal 300 inci. Hitunglah lebar dan tingginya!
- Menara 150 m dengan kawat penyangga sudut 45°. Berapa panjang kawat?
- Harga saham naik 44% tahun 1, naik 21% tahun 2. Berapa rata-rata geometrik pertumbuhan?
- Pesawat di ketinggian 12 km, 5 km ke timur dan 8 km ke utara dari bandara. Jarak langsung?
- Tanah segitiga sisi 30 m, 40 m, 50 m. Harga Rp 750.000/m². Total harga?
4. Penerapan Bentuk Akar dalam Persamaan dan Pertidaksamaan
Bentuk akar sering muncul dalam penyelesaian persamaan kuadrat dan masalah optimasi.
A. Rumus ABC (Kuadratik)
Untuk persamaan ax² + bx + c = 0:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Diskriminan D = b² − 4ac menentukan jenis akar
| Kondisi | Jenis Akar | Keterangan |
|---|---|---|
| D > 0 (kuadrat sempurna) | 2 akar real rasional berbeda | Tanpa bentuk akar |
| D > 0 (bukan kuadrat sempurna) | 2 akar real irasional berbeda | Mengandung bentuk akar |
| D = 0 | 2 akar real sama (kembar) | Tanpa bentuk akar |
| D < 0 | Tidak ada akar real | Bentuk akar bilangan negatif |
B. Persamaan yang Memuat Bentuk Akar
Langkah penyelesaian:
- Isolasi bentuk akar di satu ruas
- Kuadratkan kedua ruas
- Selesaikan persamaan yang diperoleh
- Periksa kembali semua solusi ke persamaan awal (wajib!)
⚠️ Penting: Proses mengkuadratkan dapat menghasilkan solusi ekstra (ekstraneous solution) yang tidak memenuhi persamaan awal. Selalu substitusi kembali!
C. Penerapan dalam Optimasi
Contoh: Menentukan dimensi optimal suatu bangun dengan kendala tertentu sering menghasilkan bentuk akar.
Kegiatan: Menalar
Perhatikan persamaan √(x + 3) = x − 3. Jika kita kuadratkan:
x + 3 = (x − 3)² = x² − 6x + 9
x² − 7x + 6 = 0 → (x − 1)(x − 6) = 0 → x = 1 atau x = 6
Cek x = 1: √(1+3) = √4 = 2, dan 1−3 = −2. Karena 2 ≠ −2, maka x = 1 BUKAN solusi!
Cek x = 6: √(6+3) = √9 = 3, dan 6−3 = 3. Karena 3 = 3 ✓
Kesimpulan: Hanya x = 6 yang memenuhi. Inilah mengapa pengecekan itu WAJIB!
Contoh Soal – Persamaan dan Pertidaksamaan
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Selesaikan persamaan kuadrat x² − 5x + 2 = 0 dengan rumus ABC!
Lihat Pembahasan
a = 1, b = −5, c = 2
D = b² − 4ac = 25 − 8 = 17
x = (5 ± √17) / 2
x₁ = (5 + √17)/2 ≈ 4,56
x₂ = (5 − √17)/2 ≈ 0,44
Jadi, x = (5 ± √17)/2
Contoh 2:
Selesaikan: √x = 4
Lihat Pembahasan
Kuadratkan kedua ruas: x = 16
Cek: √16 = 4 ✓
Jadi, x = 16
Contoh 3:
Selesaikan: √(x + 5) = 3
Lihat Pembahasan
Kuadratkan: x + 5 = 9 → x = 4
Cek: √(4+5) = √9 = 3 ✓
Jadi, x = 4
Contoh 4:
Selesaikan persamaan kuadrat 2x² + 3x − 1 = 0!
Lihat Pembahasan
D = 9 + 8 = 17
x = (−3 ± √17) / 4
x₁ = (−3 + √17)/4 ≈ 0,28
x₂ = (−3 − √17)/4 ≈ −1,78
Jadi, x = (−3 ± √17)/4
Contoh 5:
Selesaikan: √(2x − 1) = 5
Lihat Pembahasan
Kuadratkan: 2x − 1 = 25 → 2x = 26 → x = 13
Cek: √(26−1) = √25 = 5 ✓
Jadi, x = 13
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Selesaikan: √(x + 3) = x − 3
Lihat Pembahasan
Syarat: x + 3 ≥ 0 dan x − 3 ≥ 0, jadi x ≥ 3
Kuadratkan: x + 3 = x² − 6x + 9
x² − 7x + 6 = 0 → (x−1)(x−6) = 0 → x = 1 atau x = 6
x = 1: tidak memenuhi syarat x ≥ 3 ✗
x = 6: √9 = 3 = 6−3 ✓
Jadi, x = 6
Contoh 7:
Selesaikan: √(3x + 1) − √(x − 1) = 2
Lihat Pembahasan
Pindahkan: √(3x+1) = 2 + √(x−1)
Kuadratkan: 3x + 1 = 4 + 4√(x−1) + (x−1)
3x + 1 = x + 3 + 4√(x−1)
2x − 2 = 4√(x−1) → x − 1 = 2√(x−1)
Misalkan u = √(x−1), maka u² = 2u → u² − 2u = 0 → u(u−2) = 0
u = 0 → x = 1 atau u = 2 → x − 1 = 4 → x = 5
Cek x = 1: √4 − √0 = 2 − 0 = 2 ✓
Cek x = 5: √16 − √4 = 4 − 2 = 2 ✓
Jadi, x = 1 atau x = 5
Contoh 8:
Panjang dan lebar persegi panjang memenuhi persamaan x² − 10x + 18 = 0. Tentukan panjang diagonal!
Lihat Pembahasan
x = (10 ± √(100−72))/2 = (10 ± √28)/2 = 5 ± √7
Panjang = 5 + √7, Lebar = 5 − √7
Diagonal = √(p² + l²) = √((5+√7)² + (5−√7)²)
= √(25 + 10√7 + 7 + 25 − 10√7 + 7) = √64 = 8
Jadi, panjang diagonal = 8
Contoh 9:
Selesaikan persamaan kuadrat: x² − 6x + 4 = 0. Nyatakan hasilnya dalam bentuk akar sederhana!
Lihat Pembahasan
D = 36 − 16 = 20
x = (6 ± √20)/2 = (6 ± 2√5)/2 = 3 ± √5
Jadi, x = 3 + √5 atau x = 3 − √5
Contoh 10:
Tentukan nilai x jika √(x² + 12) = x + 2!
Lihat Pembahasan
Syarat: x + 2 ≥ 0, jadi x ≥ −2
Kuadratkan: x² + 12 = x² + 4x + 4
12 = 4x + 4 → 4x = 8 → x = 2
Cek: √(4+12) = √16 = 4 = 2+2 ✓
Jadi, x = 2
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Selesaikan: √(2x + 3) + √(x − 2) = 4
Lihat Pembahasan
Syarat: x ≥ 2
√(2x+3) = 4 − √(x−2)
Kuadratkan: 2x + 3 = 16 − 8√(x−2) + (x−2)
2x + 3 = x + 14 − 8√(x−2)
x − 11 = −8√(x−2)
11 − x = 8√(x−2) (syarat: x ≤ 11)
Kuadratkan: (11−x)² = 64(x−2)
121 − 22x + x² = 64x − 128
x² − 86x + 249 = 0
x = (86 ± √(7396 − 996))/2 = (86 ± √6400)/2 = (86 ± 80)/2
x = 83 atau x = 3
Cek x = 83: √169 + √81 = 13 + 9 = 22 ≠ 4 ✗
Cek x = 3: √9 + √1 = 3 + 1 = 4 ✓
Jadi, x = 3
Contoh 12:
Tentukan semua nilai x yang memenuhi: x + √(x + 1) = 5
Lihat Pembahasan
√(x+1) = 5 − x (syarat: 5 − x ≥ 0, jadi x ≤ 5)
Kuadratkan: x + 1 = 25 − 10x + x²
x² − 11x + 24 = 0 → (x−3)(x−8) = 0
x = 3 atau x = 8
Cek x = 3: 3 + √4 = 3 + 2 = 5 ✓
Cek x = 8: 8 + √9 = 8 + 3 = 11 ≠ 5 ✗
Jadi, x = 3
Contoh 13:
Jumlah dua bilangan positif adalah 10. Jika jumlah akar kuadrat keduanya adalah √10 + √(10 − √10), tentukan kedua bilangan tersebut… (Alternatif: Jumlah dua bilangan = 10, hasil kali = 23. Tentukan kedua bilangan!)
Lihat Pembahasan
Misalkan dua bilangan x dan 10 − x, dengan xy = 23 (x + y = 10)
x² − 10x + 23 = 0
x = (10 ± √(100−92))/2 = (10 ± √8)/2 = (10 ± 2√2)/2 = 5 ± √2
Jadi, bilangan tersebut adalah 5 + √2 dan 5 − √2
Contoh 14:
Selesaikan: √(x + 5) − √(x − 3) = 2
Lihat Pembahasan
Syarat: x ≥ 3
√(x+5) = 2 + √(x−3)
Kuadratkan: x + 5 = 4 + 4√(x−3) + x − 3
x + 5 = x + 1 + 4√(x−3)
4 = 4√(x−3) → √(x−3) = 1 → x − 3 = 1 → x = 4
Cek: √9 − √1 = 3 − 1 = 2 ✓
Jadi, x = 4
Contoh 15:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 + √3 dan 2 − √3!
Lihat Pembahasan
Jumlah akar = (2+√3) + (2−√3) = 4
Hasil kali akar = (2+√3)(2−√3) = 4 − 3 = 1
Persamaan: x² − (jumlah)x + (hasil kali) = 0
x² − 4x + 1 = 0
Jadi, persamaannya: x² − 4x + 1 = 0
Latihan Soal – Persamaan dan Pertidaksamaan
📗 Tingkat Mudah
- Selesaikan: x² − 4x + 1 = 0 (nyatakan dalam bentuk akar)
- Selesaikan: √(x + 7) = 5
- Selesaikan: √(3x − 2) = 4
- Selesaikan: x² + 2x − 5 = 0
- Selesaikan: √(2x + 1) = 3
📙 Tingkat Sedang
- Selesaikan: √(x + 1) = x − 1
- Selesaikan: x² − 8x + 11 = 0 dan hitunglah selisih kedua akarnya!
- Selesaikan: √(2x + 5) − √(x + 1) = 1
- Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 + √5 dan 3 − √5!
- Jika x = 1 + √2, hitunglah nilai x² − 2x + 1!
📕 Tingkat Sulit
- Selesaikan: √(3x + 4) + √(x + 1) = 5
- Selesaikan: x + √(2x + 3) = 6
- Jumlah dua bilangan 8 dan hasil kali 13. Tentukan kedua bilangan!
- Selesaikan: √(x + 8) − √(x − 1) = 3
- Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (1+√7)/2 dan (1−√7)/2!
Ringkasan
- Geometri: Bentuk akar muncul dalam perhitungan diagonal, tinggi segitiga sama sisi, jarak dua titik, dan rumus Heron.
- Fisika: Bentuk akar muncul dalam gerak jatuh bebas, periode bandul, kecepatan gelombang, dan resultan vektor.
- Kehidupan Sehari-hari: Konstruksi bangunan, navigasi, keuangan, dan pengukuran praktis.
- Persamaan: Rumus ABC menghasilkan bentuk akar, dan persamaan irasional diselesaikan dengan mengkuadratkan (wajib cek!).
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Buatlah rangkuman materi ini dengan kata-katamu sendiri. Sertakan:
- Minimal 3 bidang kehidupan yang menggunakan bentuk akar
- Satu contoh perhitungan dari masing-masing bidang
- Mengapa pengecekan solusi penting dalam persamaan akar