Perubahan Basis Logaritma
Materi Matematika — Logaritma
📚 Materi
1. Pengertian Perubahan Basis Logaritma
🔍 Mengamati
Perhatikan logaritma berikut:
- \(\log_2 8 = 3\) karena \(2^3 = 8\)
- \(\log_4 8 = ?\) — Bagaimana jika kita ingin menghitung logaritma ini menggunakan basis 2?
Kita memerlukan cara untuk mengubah basis logaritma dari satu basis ke basis lain.
❓ Menanya
- Bagaimana cara mengubah basis logaritma?
- Mengapa kita perlu mengubah basis logaritma?
- Kapan rumus perubahan basis digunakan?
💡 Menalar
Misalkan kita memiliki \(\log_a b\) dan ingin mengubahnya ke basis \(c\). Kita mulai dari definisi:
Misalkan \(\log_a b = x\), maka \(a^x = b\).
Ambil logaritma basis \(c\) pada kedua ruas:
\(\log_c a^x = \log_c b\)
\(x \cdot \log_c a = \log_c b\)
\(x = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)
Karena \(x = \log_a b\), maka diperoleh rumus:
Rumus Perubahan Basis Logaritma
\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]
dengan \(a > 0,\; a \neq 1,\; b > 0,\; c > 0,\; c \neq 1\)
Keterangan:
- \(a\) = basis awal
- \(b\) = numerus (bilangan yang di-logaritma-kan)
- \(c\) = basis baru (basis yang kita pilih)
2. Rumus-Rumus Turunan Penting
💡 Menalar
Dari rumus utama, kita dapat menurunkan beberapa rumus penting:
Rumus 1: Perubahan ke basis 10 atau basis \(e\)
\[\log_a b = \frac{\log b}{\log a} = \frac{\ln b}{\ln a}\]
Rumus 2: Pembalikan (Invers)
\[\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\]
Pembuktian: \(\log_a b = \dfrac{\log_b b}{\log_b a} = \dfrac{1}{\log_b a}\)
Rumus 3: Rantai Logaritma
\[\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\]
Pembuktian: \(\dfrac{\log c}{\log a} \cdot \dfrac{\log c}{\log b} \cdot \dfrac{\log b}{\log a}\) … → hasilnya \(\dfrac{\log c}{\log a} = \log_a c\)
Rumus 4: Perpangkatan
\[\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \cdot \log_a b\]
3. Kapan Menggunakan Perubahan Basis?
🧪 Mencoba
Perubahan basis digunakan ketika:
- Kalkulator hanya menyediakan \(\log\) (basis 10) atau \(\ln\) (basis \(e\))
- Menyederhanakan ekspresi yang memiliki basis berbeda
- Menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis berbeda
- Membuktikan identitas logaritma
📢 Mengkomunikasikan
Contoh sederhana: Hitung \(\log_4 8\)
Ubah ke basis 2:
\(\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}\)
Jadi, \(\log_4 8 = \dfrac{3}{2}\) ✓
4. Tabel Ringkasan Rumus
| No | Rumus | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) | Rumus umum perubahan basis |
| 2 | \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\) | Pembalikan basis |
| 3 | \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\) | Rantai logaritma |
| 4 | \(\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m} \log_a b\) | Perpangkatan basis & numerus |
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal 1–5
1. Hitunglah \(\log_4 8\) menggunakan perubahan basis!
Lihat Pembahasan
Ubah ke basis 2:
\(\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}\)
Jawaban: \(\dfrac{3}{2}\)
2. Hitunglah \(\log_9 27\)!
Lihat Pembahasan
Ubah ke basis 3:
\(\log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2}\)
Jawaban: \(\dfrac{3}{2}\)
3. Hitunglah \(\log_8 4\)!
Lihat Pembahasan
Ubah ke basis 2:
\(\log_8 4 = \dfrac{\log_2 4}{\log_2 8} = \dfrac{2}{3}\)
Jawaban: \(\dfrac{2}{3}\)
4. Jika \(\log_5 3 = a\), nyatakan \(\log_3 5\) dalam \(a\)!
Lihat Pembahasan
Gunakan rumus pembalikan:
\(\log_3 5 = \dfrac{1}{\log_5 3} = \dfrac{1}{a}\)
Jawaban: \(\dfrac{1}{a}\)
5. Hitunglah \(\log_{25} 5\)!
Lihat Pembahasan
Ubah ke basis 5:
\(\log_{25} 5 = \dfrac{\log_5 5}{\log_5 25} = \dfrac{1}{2}\)
Jawaban: \(\dfrac{1}{2}\)
Sedang Contoh Soal 6–10
6. Hitunglah \(\log_2 3 \cdot \log_3 8\)!
Lihat Pembahasan
Gunakan rantai logaritma:
\(\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_2 8 = 3\)
Jawaban: 3
7. Hitunglah \(\log_4 9 \cdot \log_3 2\)!
Lihat Pembahasan
\(\log_4 9 = \dfrac{\log 9}{\log 4} = \dfrac{2\log 3}{2\log 2} = \dfrac{\log 3}{\log 2}\)
\(\log_3 2 = \dfrac{\log 2}{\log 3}\)
Maka: \(\dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 2}{\log 3} = 1\)
Jawaban: 1
8. Jika \(\log 2 = 0{,}301\) dan \(\log 3 = 0{,}477\), hitunglah \(\log_2 6\)!
Lihat Pembahasan
\(\log_2 6 = \dfrac{\log 6}{\log 2} = \dfrac{\log 2 + \log 3}{\log 2}\)
\(= \dfrac{0{,}301 + 0{,}477}{0{,}301} = \dfrac{0{,}778}{0{,}301} \approx 2{,}585\)
Jawaban: ≈ 2,585
9. Sederhanakan \(\log_{27} 9\)!
Lihat Pembahasan
Gunakan rumus perpangkatan: \(\log_{3^3} 3^2 = \dfrac{2}{3} \cdot \log_3 3 = \dfrac{2}{3}\)
Jawaban: \(\dfrac{2}{3}\)
10. Hitunglah \(\log_2 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 4\)!
Lihat Pembahasan
Gunakan rantai: \(\log_2 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 4 = \log_2 4 = 2\)
Jawaban: 2
Sulit Contoh Soal 11–15
11. Jika \(\log_2 3 = a\) dan \(\log_2 5 = b\), nyatakan \(\log_6 15\) dalam \(a\) dan \(b\)!
Lihat Pembahasan
\(\log_6 15 = \dfrac{\log_2 15}{\log_2 6}\)
\(\log_2 15 = \log_2 (3 \cdot 5) = \log_2 3 + \log_2 5 = a + b\)
\(\log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = 1 + \log_2 3 = 1 + a\)
Maka: \(\log_6 15 = \dfrac{a + b}{1 + a}\)
Jawaban: \(\dfrac{a+b}{1+a}\)
12. Hitunglah \(\dfrac{1}{\log_2 36} + \dfrac{1}{\log_3 36}\)!
Lihat Pembahasan
Gunakan pembalikan: \(\dfrac{1}{\log_2 36} = \log_{36} 2\) dan \(\dfrac{1}{\log_3 36} = \log_{36} 3\)
\(\log_{36} 2 + \log_{36} 3 = \log_{36} (2 \cdot 3) = \log_{36} 6\)
\(\log_{36} 6 = \dfrac{\log 6}{\log 36} = \dfrac{\log 6}{2\log 6} = \dfrac{1}{2}\)
Jawaban: \(\dfrac{1}{2}\)
13. Selesaikan persamaan: \(\log_4 x + \log_2 x = 6\)!
Lihat Pembahasan
Ubah \(\log_4 x\) ke basis 2:
\(\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{\log_2 x}{2}\)
Substitusi: \(\dfrac{\log_2 x}{2} + \log_2 x = 6\)
Misalkan \(\log_2 x = t\): \(\dfrac{t}{2} + t = 6 \Rightarrow \dfrac{3t}{2} = 6 \Rightarrow t = 4\)
\(\log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16\)
Jawaban: \(x = 16\)
14. Buktikan bahwa \(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1\)!
Lihat Pembahasan
Ubah semua ke basis 10:
\(\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}\), \(\log_b c = \dfrac{\log c}{\log b}\), \(\log_c a = \dfrac{\log a}{\log c}\)
Kalikan: \(\dfrac{\log b}{\log a} \cdot \dfrac{\log c}{\log b} \cdot \dfrac{\log a}{\log c} = \dfrac{\log b \cdot \log c \cdot \log a}{\log a \cdot \log b \cdot \log c} = 1\)
Terbukti. ∎
15. Jika \(\log_3 5 = p\), nyatakan \(\log_{75} 45\) dalam \(p\)!
Lihat Pembahasan
\(\log_{75} 45 = \dfrac{\log_3 45}{\log_3 75}\)
\(\log_3 45 = \log_3 (9 \cdot 5) = 2 + \log_3 5 = 2 + p\)
\(\log_3 75 = \log_3 (25 \cdot 3) = \log_3 25 + 1 = 2\log_3 5 + 1 = 2p + 1\)
Maka: \(\log_{75} 45 = \dfrac{2 + p}{2p + 1}\)
Jawaban: \(\dfrac{2+p}{2p+1}\)
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Mudah Soal 1–5
- Hitunglah \(\log_{16} 8\) menggunakan perubahan basis!
- Hitunglah \(\log_{49} 7\)!
- Jika \(\log_7 2 = m\), nyatakan \(\log_2 7\) dalam \(m\)!
- Hitunglah \(\log_{32} 4\)!
- Hitunglah \(\log_{125} 25\)!
Sedang Soal 6–10
- Hitunglah \(\log_3 4 \cdot \log_4 9\)!
- Jika \(\log 2 = 0{,}301\), hitunglah \(\log_5 8\)!
- Sederhanakan \(\log_2 9 \cdot \log_{27} 4\)!
- Hitunglah \(\dfrac{1}{\log_3 12} + \dfrac{1}{\log_4 12}\)!
- Hitunglah \(\log_8 27 \cdot \log_9 4\)!
Sulit Soal 11–15
- Jika \(\log_2 3 = a\) dan \(\log_2 7 = b\), nyatakan \(\log_{12} 21\) dalam \(a\) dan \(b\)!
- Selesaikan persamaan: \(\log_9 x + \log_3 x = 12\)!
- Hitunglah \(\dfrac{1}{\log_2 60} + \dfrac{1}{\log_3 60} + \dfrac{1}{\log_5 60}\)!
- Jika \(\log_4 7 = n\), nyatakan \(\log_{28} 16\) dalam \(n\)!
- Buktikan bahwa \(\log_{a^2} b^3 \cdot \log_{b^3} a^4 = 2\)! (petunjuk: gunakan rumus perpangkatan)