Pengertian Logaritma
Materi Matematika — Kelas X SMA/SMK
A. Materi: Pengertian Logaritma
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan hubungan berikut:
23 = 8 → Kita tahu bahwa 2 dipangkatkan 3 menghasilkan 8.
52 = 25 → 5 dipangkatkan 2 menghasilkan 25.
104 = 10.000 → 10 dipangkatkan 4 menghasilkan 10.000.
Pertanyaan: Jika kita tahu hasilnya (misalnya 8) dan bilangan pokoknya (misalnya 2), bagaimana cara mencari pangkatnya (yaitu 3)?
Jawaban dari pertanyaan inilah yang disebut logaritma.
❓ Kegiatan 2: Menanya
- Apa itu logaritma?
- Bagaimana hubungan logaritma dengan bilangan berpangkat (eksponen)?
- Apa syarat-syarat logaritma?
- Bagaimana cara menghitung nilai logaritma?
1. Definisi Logaritma
Jika an = b, maka alog b = n
Keterangan:
- a = bilangan pokok (basis), dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1
- b = bilangan yang dicari logaritmanya (numerus), dengan syarat b > 0
- n = hasil logaritma (eksponen/pangkat)
Dengan kata lain: Logaritma adalah operasi kebalikan (invers) dari perpangkatan. Logaritma menjawab pertanyaan: “Berapa kali bilangan pokok harus dipangkatkan agar menghasilkan bilangan tertentu?“
💡 Kegiatan 3: Menalar
Dari definisi di atas, kita bisa memahami hubungan:
| Bentuk Eksponen | Bentuk Logaritma | Penjelasan |
|---|---|---|
| 23 = 8 | 2log 8 = 3 | 2 dipangkatkan berapa agar = 8? Jawab: 3 |
| 34 = 81 | 3log 81 = 4 | 3 dipangkatkan berapa agar = 81? Jawab: 4 |
| 52 = 25 | 5log 25 = 2 | 5 dipangkatkan berapa agar = 25? Jawab: 2 |
| 103 = 1000 | 10log 1000 = 3 | 10 dipangkatkan berapa agar = 1000? Jawab: 3 |
| 41/2 = 2 | 4log 2 = ½ | 4 dipangkatkan berapa agar = 2? Jawab: ½ |
2. Syarat-Syarat Logaritma
Agar alog b terdefinisi, harus dipenuhi:
- Basis (a): a > 0 dan a ≠ 1
- Numerus (b): b > 0
Mengapa a ≠ 1? Karena 1n = 1 untuk semua n, sehingga 1log b tidak punya jawaban tunggal.
Mengapa b > 0? Karena bilangan positif berapapun yang dipangkatkan bilangan real tidak pernah menghasilkan bilangan negatif atau nol.
3. Notasi Khusus Logaritma
- log b (tanpa basis tertulis) = 10log b → Logaritma biasa (basis 10)
- ln b = elog b → Logaritma natural (basis e ≈ 2,718)
🧪 Kegiatan 4: Mencoba
Ubahlah bentuk eksponen berikut ke dalam bentuk logaritma:
- 72 = 49 → 7log 49 = 2 ✓
- 25 = 32 → 2log 32 = 5 ✓
- 91/2 = 3 → 9log 3 = ½ ✓
- 10−2 = 0,01 → 10log 0,01 = −2 ✓
Sekarang, ubahlah bentuk logaritma ke bentuk eksponen:
- 3log 27 = 3 → 33 = 27 ✓
- 4log 64 = 3 → 43 = 64 ✓
- 2log ½ = −1 → 2−1 = ½ ✓
4. Nilai-Nilai Logaritma Khusus
- alog 1 = 0 (karena a0 = 1 untuk semua a yang memenuhi syarat)
- alog a = 1 (karena a1 = a)
- alog an = n (karena an = an)
- aalog b = b (sifat invers)
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Rangkuman dengan bahasa sendiri:
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari perpangkatan. Jika kita mengetahui bilangan pokok (basis) dan hasilnya, logaritma membantu kita mencari pangkatnya.
Secara simbolis: Jika an = b, maka alog b = n
Syaratnya: basis a > 0 dan a ≠ 1, serta numerus b > 0.
5. Grafik Fungsi Logaritma
Berikut ilustrasi grafik y = 2log x:
Sifat grafik logaritma:
- Grafik selalu melewati titik (1, 0) karena alog 1 = 0
- Grafik melewati titik (a, 1) karena alog a = 1
- Sumbu y (x = 0) merupakan asimtot tegak
- Jika a > 1, grafik naik (monoton naik)
- Jika 0 < a < 1, grafik turun (monoton turun)
B. Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1: Tentukan nilai dari 2log 8
Lihat Pembahasan
Kita cari n sehingga 2n = 8
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 ✓
Jadi 2log 8 = 3
Soal 2: Tentukan nilai dari 5log 25
Lihat Pembahasan
Kita cari n sehingga 5n = 25
52 = 25 ✓
Jadi 5log 25 = 2
Soal 3: Tentukan nilai dari 10log 1000
Lihat Pembahasan
10n = 1000
103 = 1000 ✓
Jadi 10log 1000 = log 1000 = 3
Soal 4: Tentukan nilai dari 3log 1
Lihat Pembahasan
Ingat sifat: alog 1 = 0 untuk semua basis a yang memenuhi syarat.
Karena 30 = 1
Jadi 3log 1 = 0
Soal 5: Ubahlah 43 = 64 ke bentuk logaritma
Lihat Pembahasan
Bentuk an = b menjadi alog b = n
43 = 64 → 4log 64 = 3
Jawaban: 4log 64 = 3
Tingkat Sedang
Soal 1: Tentukan nilai dari 4log 32
Lihat Pembahasan
Cari n sehingga 4n = 32
Ubah ke basis 2: 4 = 22 dan 32 = 25
(22)n = 25
22n = 25
2n = 5 → n = 5/2
Jadi 4log 32 = 5/2
Soal 2: Tentukan nilai dari 9log 27
Lihat Pembahasan
9 = 32 dan 27 = 33
(32)n = 33
32n = 33 → 2n = 3 → n = 3/2
Jadi 9log 27 = 3/2
Soal 3: Tentukan nilai dari 2log (1/16)
Lihat Pembahasan
1/16 = 1/24 = 2−4
2n = 2−4 → n = −4
Jadi 2log (1/16) = −4
Soal 4: Tentukan nilai dari 25log 125
Lihat Pembahasan
25 = 52 dan 125 = 53
(52)n = 53
52n = 53 → 2n = 3 → n = 3/2
Jadi 25log 125 = 3/2
Soal 5: Jika 3log x = 4, tentukan nilai x
Lihat Pembahasan
Dari definisi: 3log x = 4 berarti 34 = x
x = 34 = 81
Jadi x = 81
Tingkat Sulit
Soal 1: Tentukan nilai dari 8log 4 + 8log 16
Lihat Pembahasan
Ubah semua ke basis 2: 8 = 23, 4 = 22, 16 = 24
8log 4: (23)n = 22 → 3n = 2 → n = 2/3
8log 16: (23)n = 24 → 3n = 4 → n = 4/3
8log 4 + 8log 16 = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2
Soal 2: Jika 2log 3 = a, nyatakan 4log 9 dalam a
Lihat Pembahasan
4log 9 = 4log 32
Cari n: 4n = 9 → (22)n = 32 → 22n = 32
Ambil 2log kedua ruas: 2n = 2 · 2log 3 = 2a
n = a
Jadi 4log 9 = a
Soal 3: Tentukan nilai x jika 3log (2x − 1) = 2
Lihat Pembahasan
Dari definisi: 32 = 2x − 1
9 = 2x − 1
2x = 10 → x = 5
Cek syarat numerus: 2(5) − 1 = 9 > 0 ✓
Jadi x = 5
Soal 4: Tentukan nilai dari 27log (1/9)
Lihat Pembahasan
27 = 33 dan 1/9 = 3−2
(33)n = 3−2
33n = 3−2 → 3n = −2 → n = −2/3
Jadi 27log (1/9) = −2/3
Soal 5: Jika 2log 5 = p, nyatakan 4log 20 dalam p
Lihat Pembahasan
4log 20 = 2²log 20 = (2log 20) / (2log 4) = (2log 20) / 2
2log 20 = 2log (4 × 5) = 2log 4 + 2log 5 = 2 + p
4log 20 = (2 + p) / 2
Jadi 4log 20 = (2 + p) / 2
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan!
Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai dari 2log 16
2. Tentukan nilai dari 5log 125
3. Tentukan nilai dari 10log 100
4. Ubahlah 62 = 36 ke bentuk logaritma
5. Tentukan nilai dari 7log 7
Tingkat Sedang
1. Tentukan nilai dari 8log 32
2. Tentukan nilai dari 3log (1/27)
3. Jika 5log x = 3, tentukan nilai x
4. Tentukan nilai dari 16log 8
5. Tentukan nilai dari 49log 343
Tingkat Sulit
1. Jika 3log 2 = a, nyatakan 9log 8 dalam a
2. Tentukan nilai x jika 2log (3x + 1) = 5
3. Tentukan nilai dari 32log (1/8)
4. Jika 2log 3 = m, nyatakan 8log 27 dalam m
5. Tentukan nilai x jika 5log (x2 − 4) = 2