Mengubah Bentuk Akar ke Bentuk Penjumlahan Akar
Matematika Kelas X | Bentuk Akar
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa mampu:
- Memahami konsep mengubah bentuk akar menjadi bentuk penjumlahan akar.
- Menerapkan rumus untuk mengubah √(a ± b√c) menjadi bentuk √p ± √q.
- Menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan perubahan bentuk akar.
Materi: Mengubah Bentuk Akar ke Penjumlahan Akar
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan bentuk-bentuk akar berikut:
√(5 + 2√6) = √3 + √2
√(7 − 2√10) = √5 − √2
√(8 + 2√15) = √5 + √3
Perhatikan bahwa bentuk akar di ruas kiri yang tampak rumit ternyata bisa disederhanakan menjadi bentuk penjumlahan atau pengurangan akar di ruas kanan.
❓ Kegiatan 2: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara mengubah √(a + b√c) menjadi bentuk √p + √q?
- Apa syarat agar bentuk akar tersebut bisa diubah?
- Bagaimana menemukan nilai p dan q?
💡 Kegiatan 3: Menalar
Mari kita buktikan secara aljabar. Misalkan:
√(a + 2√b) = √p + √q
Kuadratkan kedua ruas:
a + 2√b = (√p + √q)²
a + 2√b = p + q + 2√(pq)
Dengan menyamakan bagian rasional dan irasional:
p + q = a
p × q = b
📌 Rumus Utama
Untuk bentuk √(a + 2√b):
√(a + 2√b) = √p + √q
dengan syarat: p + q = a dan p × q = b
Untuk bentuk √(a − 2√b):
√(a − 2√b) = √p − √q
dengan syarat: p + q = a dan p × q = b, serta p > q
📌 Langkah-langkah Penyelesaian
- Ubah ke bentuk baku: Pastikan bentuk akar sudah dalam bentuk √(a ± 2√b). Jika koefisien √b bukan 2, manipulasi agar menjadi 2.
- Identifikasi a dan b: Tentukan nilai a (bagian rasional) dan b (bilangan di dalam akar setelah koefisien 2).
- Cari p dan q: Cari dua bilangan p dan q yang memenuhi p + q = a dan p × q = b.
- Tuliskan hasil: √(a + 2√b) = √p + √q atau √(a − 2√b) = √p − √q (dengan p > q).
⚠️ Catatan Penting
Jika koefisien akar bukan 2, kita perlu memanipulasi terlebih dahulu:
√(a + 3√b) → ubah 3√b menjadi 2√(…)
Contoh: 3√5 = 2√(9×5/4) = 2√(45/4) — tidak selalu bisa disederhanakan dengan rapi.
Dalam praktik soal, biasanya koefisien sudah dalam bentuk yang bisa dimanipulasi dengan mudah.
✏️ Kegiatan 4: Mencoba
Cobalah sederhanakan √(5 + 2√6) dengan langkah berikut:
Langkah 1: Bentuk sudah baku: √(5 + 2√6), maka a = 5, b = 6
Langkah 2: Cari p dan q sehingga p + q = 5 dan p × q = 6
Langkah 3: p = 3, q = 2 (karena 3 + 2 = 5 dan 3 × 2 = 6)
Langkah 4: √(5 + 2√6) = √3 + √2 ✓
Verifikasi: (√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6 ✓
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulanmu tentang materi ini:
Kesimpulan:
- Bentuk √(a + 2√b) dapat diubah menjadi √p + √q jika kita bisa menemukan p dan q yang memenuhi p + q = a dan p × q = b.
- Bentuk √(a − 2√b) dapat diubah menjadi √p − √q (p > q) dengan syarat yang sama.
- Kunci penyelesaian adalah mencari dua bilangan yang jumlah dan hasil kalinya sesuai.
Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1: Sederhanakan √(5 + 2√6)
Lihat Pembahasan
Bentuk: √(a + 2√b) dengan a = 5, b = 6
Cari p + q = 5 dan p × q = 6
p = 3, q = 2 (karena 3+2=5 dan 3×2=6)
Jawaban: √(5 + 2√6) = √3 + √2
Contoh 2: Sederhanakan √(7 + 2√10)
Lihat Pembahasan
a = 7, b = 10
Cari p + q = 7 dan p × q = 10
p = 5, q = 2 (karena 5+2=7 dan 5×2=10)
Jawaban: √(7 + 2√10) = √5 + √2
Contoh 3: Sederhanakan √(8 + 2√15)
Lihat Pembahasan
a = 8, b = 15
Cari p + q = 8 dan p × q = 15
p = 5, q = 3 (karena 5+3=8 dan 5×3=15)
Jawaban: √(8 + 2√15) = √5 + √3
Contoh 4: Sederhanakan √(3 + 2√2)
Lihat Pembahasan
a = 3, b = 2
Cari p + q = 3 dan p × q = 2
p = 2, q = 1 (karena 2+1=3 dan 2×1=2)
Jawaban: √(3 + 2√2) = √2 + √1 = √2 + 1
Contoh 5: Sederhanakan √(6 + 2√5)
Lihat Pembahasan
a = 6, b = 5
Cari p + q = 6 dan p × q = 5
p = 5, q = 1 (karena 5+1=6 dan 5×1=5)
Jawaban: √(6 + 2√5) = √5 + 1
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6: Sederhanakan √(7 − 2√10)
Lihat Pembahasan
Bentuk: √(a − 2√b) dengan a = 7, b = 10
Cari p + q = 7 dan p × q = 10
p = 5, q = 2 (karena tanda minus, p > q)
Jawaban: √(7 − 2√10) = √5 − √2
Contoh 7: Sederhanakan √(9 + 4√2)
Lihat Pembahasan
Ubah ke bentuk baku: 4√2 = 2×2√2 = 2√(4×2) = 2√8
Maka: √(9 + 2√8), a = 9, b = 8
Cari p + q = 9 dan p × q = 8
p = 8, q = 1 (karena 8+1=9 dan 8×1=8)
Jawaban: √(9 + 4√2) = √8 + 1 = 2√2 + 1
Contoh 8: Sederhanakan √(11 − 4√7)
Lihat Pembahasan
Ubah ke bentuk baku: 4√7 = 2×2√7 = 2√(4×7) = 2√28
Maka: √(11 − 2√28), a = 11, b = 28
Cari p + q = 11 dan p × q = 28
p = 7, q = 4 (karena 7+4=11 dan 7×4=28)
Jawaban: √(11 − 4√7) = √7 − √4 = √7 − 2
Contoh 9: Sederhanakan √(6 − 4√2)
Lihat Pembahasan
Ubah: 4√2 = 2√(4×2) = 2√8
Maka: √(6 − 2√8), a = 6, b = 8
Cari p + q = 6 dan p × q = 8
p = 4, q = 2 (karena 4+2=6 dan 4×2=8)
Jawaban: √(6 − 4√2) = √4 − √2 = 2 − √2
Contoh 10: Sederhanakan √(10 + 2√21)
Lihat Pembahasan
a = 10, b = 21
Cari p + q = 10 dan p × q = 21
p = 7, q = 3 (karena 7+3=10 dan 7×3=21)
Jawaban: √(10 + 2√21) = √7 + √3
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11: Sederhanakan √(16 − 6√7)
Lihat Pembahasan
Ubah: 6√7 = 2×3√7 = 2√(9×7) = 2√63
Maka: √(16 − 2√63), a = 16, b = 63
Cari p + q = 16 dan p × q = 63
p = 9, q = 7 (karena 9+7=16 dan 9×7=63)
Jawaban: √(16 − 6√7) = √9 − √7 = 3 − √7
Contoh 12: Sederhanakan √(21 + 4√5)
Lihat Pembahasan
Ubah: 4√5 = 2×2√5 = 2√(4×5) = 2√20
Maka: √(21 + 2√20), a = 21, b = 20
Cari p + q = 21 dan p × q = 20
p = 20, q = 1 (karena 20+1=21 dan 20×1=20)
Jawaban: √(21 + 4√5) = √20 + 1 = 2√5 + 1
Contoh 13: Sederhanakan √(14 − 6√5)
Lihat Pembahasan
Ubah: 6√5 = 2×3√5 = 2√(9×5) = 2√45
Maka: √(14 − 2√45), a = 14, b = 45
Cari p + q = 14 dan p × q = 45
p = 9, q = 5 (karena 9+5=14 dan 9×5=45)
Jawaban: √(14 − 6√5) = √9 − √5 = 3 − √5
Contoh 14: Sederhanakan √(23 + 8√7)
Lihat Pembahasan
Ubah: 8√7 = 2×4√7 = 2√(16×7) = 2√112
Maka: √(23 + 2√112), a = 23, b = 112
Cari p + q = 23 dan p × q = 112
p = 16, q = 7 (karena 16+7=23 dan 16×7=112)
Jawaban: √(23 + 8√7) = √16 + √7 = 4 + √7
Contoh 15: Sederhanakan √(28 − 10√3)
Lihat Pembahasan
Ubah: 10√3 = 2×5√3 = 2√(25×3) = 2√75
Maka: √(28 − 2√75), a = 28, b = 75
Cari p + q = 28 dan p × q = 75
p = 25, q = 3 (karena 25+3=28 dan 25×3=75)
Jawaban: √(28 − 10√3) = √25 − √3 = 5 − √3
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Tingkat Mudah
1. Sederhanakan √(5 + 2√4)
2. Sederhanakan √(9 + 2√14)
3. Sederhanakan √(4 + 2√3)
4. Sederhanakan √(11 + 2√30)
5. Sederhanakan √(7 + 2√6)
🟡 Tingkat Sedang
6. Sederhanakan √(8 − 2√15)
7. Sederhanakan √(13 + 4√3)
8. Sederhanakan √(9 − 4√5)
9. Sederhanakan √(12 + 2√35)
10. Sederhanakan √(11 − 2√28)
🔴 Tingkat Sulit
11. Sederhanakan √(18 − 8√2)
12. Sederhanakan √(22 + 6√13)
13. Sederhanakan √(31 − 12√5)
14. Sederhanakan √(17 + 12√2)
15. Sederhanakan √(33 − 8√11)