Logaritma – Penerapan Logaritma dalam Kehidupan (pH, Skala Richter, Desibel, Pertumbuhan Eksponensial)

pH Larutan • Skala Richter • Desibel • Pertumbuhan Eksponensial

1. Penerapan Logaritma pada pH Larutan

A. Materi

Dalam ilmu kimia, pH (power of Hydrogen) digunakan untuk mengukur tingkat keasaman atau kebasaan suatu larutan. Nilai pH berkisar dari 0 hingga 14.

Rumus pH:

pH = −log [H⁺]

Keterangan: [H⁺] = konsentrasi ion hidrogen dalam satuan mol/liter (M)

Klasifikasi Larutan:

Nilai pH	Sifat Larutan	Contoh
pH < 7	Asam	Cuka, jus lemon
pH = 7	Netral	Air murni
pH > 7	Basa	Sabun, pemutih

Hubungan pH dan Konsentrasi H⁺:

Jika [H⁺] = 10⁻ⁿ M, maka pH = n
Semakin kecil [H⁺], semakin besar pH (semakin basa)
Semakin besar [H⁺], semakin kecil pH (semakin asam)

Rumus Balik (mencari konsentrasi dari pH):

[H⁺] = 10^−pH

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan tabel di bawah ini yang menunjukkan konsentrasi ion H⁺ dan nilai pH beberapa larutan:

Larutan	[H⁺] (M)	pH
Asam lambung	10⁻¹	1
Jus lemon	10⁻²	2
Cuka	10⁻³	3
Air hujan	10^−5,6	5,6
Air murni	10⁻⁷	7
Darah	10^−7,4	7,4
Pemutih	10⁻¹²	12

Amati pola hubungan antara konsentrasi [H⁺] dan nilai pH.

Kegiatan: Menanya

Mengapa digunakan logaritma negatif untuk menentukan pH?
Bagaimana jika konsentrasi [H⁺] bukan pangkat bulat dari 10?
Apa hubungan perubahan pH sebesar 1 satuan terhadap konsentrasi [H⁺]?

Kegiatan: Menalar

Dari pengamatan tabel di atas, kita dapat menyimpulkan:

Logaritma digunakan karena konsentrasi [H⁺] memiliki rentang yang sangat lebar (10⁻¹ sampai 10⁻¹⁴), sehingga logaritma menyederhanakan angka-angka kecil tersebut.
Tanda negatif digunakan agar pH bernilai positif (karena log dari bilangan kurang dari 1 selalu negatif).
Setiap penurunan pH sebesar 1 satuan berarti konsentrasi [H⁺] meningkat 10 kali lipat.

Kegiatan: Mencoba

Hitunglah pH larutan berikut:

[H⁺] = 10⁻⁴ M → pH = …?
[H⁺] = 10⁻⁹ M → pH = …?
[H⁺] = 5 × 10⁻³ M → pH = …?

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa skala pH menggunakan logaritma dan bukan skala linier. Berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari yang menunjukkan pentingnya mengetahui nilai pH.

B. Contoh Soal

Tingkat Mudah

Contoh 1:

Tentukan pH larutan yang memiliki konsentrasi [H⁺] = 10⁻⁵ M.

Pembahasan

pH = −log [H⁺]

pH = −log (10⁻⁵)

pH = −(−5)

pH = 5

Karena pH < 7, maka larutan bersifat asam.

Contoh 2:

Tentukan pH larutan yang memiliki konsentrasi [H⁺] = 10⁻¹¹ M.

Pembahasan

pH = −log [H⁺]

pH = −log (10⁻¹¹)

pH = −(−11)

pH = 11

Karena pH > 7, maka larutan bersifat basa.

Contoh 3:

Jika pH suatu larutan adalah 3, tentukan konsentrasi [H⁺] larutan tersebut.

Pembahasan

[H⁺] = 10^−pH

[H⁺] = 10⁻³ M

[H⁺] = 0,001 M

Contoh 4:

Tentukan pH larutan yang memiliki [H⁺] = 10⁻⁷ M. Apa sifat larutannya?

Pembahasan

pH = −log (10⁻⁷) = 7

pH = 7, larutan bersifat netral (air murni).

Contoh 5:

Larutan A memiliki pH = 2 dan larutan B memiliki pH = 4. Larutan mana yang lebih asam? Berapa kali lipat perbedaan konsentrasi [H⁺] keduanya?

Pembahasan

Larutan A: [H⁺] = 10⁻² M

Larutan B: [H⁺] = 10⁻⁴ M

Perbandingan: 10⁻² / 10⁻⁴ = 10² = 100

Larutan A 100 kali lebih asam daripada larutan B.

Tingkat Sedang

Contoh 6:

Tentukan pH larutan yang memiliki [H⁺] = 2 × 10⁻⁴ M. (Gunakan log 2 = 0,301)

Pembahasan

pH = −log [H⁺]

pH = −log (2 × 10⁻⁴)

pH = −(log 2 + log 10⁻⁴)

pH = −(0,301 + (−4))

pH = −(0,301 − 4)

pH = −(−3,699)

pH = 3,699 ≈ 3,7

Contoh 7:

Tentukan pH larutan yang memiliki [H⁺] = 5 × 10⁻⁶ M. (log 5 = 0,699)

Pembahasan

pH = −log (5 × 10⁻⁶)

pH = −(log 5 + log 10⁻⁶)

pH = −(0,699 + (−6))

pH = −(−5,301)

pH = 5,301 ≈ 5,3

Contoh 8:

Jika pH suatu larutan = 4,5, tentukan konsentrasi [H⁺].

Pembahasan

[H⁺] = 10^−pH = 10^−4,5

10^−4,5 = 10⁻⁵ × 10^0,5

10^0,5 = √10 ≈ 3,162

[H⁺] ≈ 3,162 × 10⁻⁵ M

Contoh 9:

Larutan HCl 0,02 M terionisasi sempurna. Tentukan pH larutan tersebut. (log 2 = 0,301)

Pembahasan

HCl terionisasi sempurna: [H⁺] = 0,02 M = 2 × 10⁻² M

pH = −log (2 × 10⁻²)

pH = −(log 2 + log 10⁻²)

pH = −(0,301 − 2)

pH = −(−1,699)

pH = 1,699 ≈ 1,7

Contoh 10:

Dua larutan dicampur sehingga [H⁺] campuran = 4 × 10⁻⁸ M. Tentukan pH dan sifat larutan. (log 4 = 0,602)

Pembahasan

pH = −log (4 × 10⁻⁸)

pH = −(log 4 + log 10⁻⁸)

pH = −(0,602 − 8)

pH = −(−7,398)

pH = 7,398 ≈ 7,4

Karena pH > 7, larutan bersifat basa lemah.

Tingkat Sulit

Contoh 11:

Larutan asam asetat (CH₃COOH) 0,1 M memiliki derajat ionisasi (α) = 1%. Tentukan pH larutan tersebut.

Pembahasan

[H⁺] = C × α = 0,1 × 0,01 = 10⁻³ M

pH = −log (10⁻³)

pH = 3

Contoh 12:

Berapa mL larutan HCl 0,1 M harus ditambahkan ke 100 mL air murni agar pH campuran menjadi 2? (Abaikan perubahan volume)

Pembahasan

pH = 2 → [H⁺] = 10⁻² M = 0,01 M

Volume total ≈ (100 + V) mL

Mol H⁺ = 0,1 × V/1000

[H⁺] = (0,1V/1000) / ((100+V)/1000) = 0,01

0,1V = 0,01(100 + V)

0,1V = 1 + 0,01V

0,09V = 1

V ≈ 11,1 mL

Contoh 13:

pH larutan berubah dari 5 menjadi 3. Berapa kali lipat konsentrasi [H⁺] bertambah?

Pembahasan

[H⁺] awal = 10⁻⁵ M

[H⁺] akhir = 10⁻³ M

Perbandingan = 10⁻³ / 10⁻⁵ = 10²

Konsentrasi [H⁺] bertambah 100 kali lipat.

Contoh 14:

Suatu larutan memiliki pH = 3,52. Tentukan [H⁺] larutan tersebut. (antilog 0,48 = 3,02)

Pembahasan

[H⁺] = 10^−3,52

= 10^−4+0,48

= 10^0,48 × 10⁻⁴

= 3,02 × 10⁻⁴

[H⁺] = 3,02 × 10⁻⁴ M

Contoh 15:

50 mL larutan dengan pH = 2 dicampur dengan 50 mL larutan dengan pH = 4. Tentukan pH campuran. (log 5,05 ≈ 0,703)

Pembahasan

Larutan 1: [H⁺] = 10⁻², mol H⁺ = 10⁻² × 0,05 = 5 × 10⁻⁴

Larutan 2: [H⁺] = 10⁻⁴, mol H⁺ = 10⁻⁴ × 0,05 = 5 × 10⁻⁶

Total mol H⁺ = 5 × 10⁻⁴ + 5 × 10⁻⁶ = 5,05 × 10⁻⁴

Volume total = 100 mL = 0,1 L

[H⁺] campuran = 5,05 × 10⁻⁴ / 0,1 = 5,05 × 10⁻³

pH = −log (5,05 × 10⁻³) = −(log 5,05 + log 10⁻³)

pH = −(0,703 − 3) = 2,297

pH ≈ 2,3

C. Latihan Soal

Mudah

Tentukan pH larutan dengan [H⁺] = 10⁻⁶ M.
Tentukan pH larutan dengan [H⁺] = 10⁻⁹ M.
Jika pH = 4, tentukan [H⁺].
Jika pH = 10, apakah larutan bersifat asam, basa, atau netral?
Tentukan pH larutan dengan [H⁺] = 10⁻¹ M.

Sedang

Tentukan pH larutan dengan [H⁺] = 3 × 10⁻⁵ M. (log 3 = 0,477)
Tentukan pH larutan HCl 0,05 M. (log 5 = 0,699)
Jika pH = 5,7, tentukan [H⁺]. (antilog 0,3 = 2)
Tentukan pH larutan dengan [H⁺] = 7 × 10⁻¹⁰ M. (log 7 = 0,845)
Larutan P memiliki pH = 3 dan larutan Q memiliki pH = 6. Berapa kali konsentrasi H⁺ larutan P dibanding Q?

Sulit

100 mL larutan pH = 1 dicampur 900 mL air. Tentukan pH campuran.
Larutan asam lemah HA 0,2 M memiliki α = 5%. Tentukan pH.
pH larutan berubah dari 4,2 menjadi 2,2. Berapa kali lipat peningkatan [H⁺]?
Tentukan [H⁺] jika pH = 6,74. (antilog 0,26 = 1,82)
30 mL HCl 0,1 M dicampur 70 mL NaOH 0,02 M. Tentukan pH campuran. (log 1,6 = 0,204)

2. Penerapan Logaritma pada Skala Richter

A. Materi

Skala Richter digunakan untuk mengukur kekuatan (magnitudo) gempa bumi. Skala ini dikembangkan oleh Charles F. Richter pada tahun 1935.

Rumus Magnitudo Gempa:

M = log (A / A₀)

Keterangan:

M = magnitudo gempa (skala Richter)
A = amplitudo gelombang seismik yang terukur (dalam mikrometer, μm)
A₀ = amplitudo referensi (biasanya 1 μm pada jarak 100 km dari episentrum)

Perbandingan Dua Gempa:

M₁ − M₂ = log (A₁ / A₂)

Artinya: Setiap kenaikan 1 satuan skala Richter, amplitudo meningkat 10 kali lipat.

Energi Gempa:

log E = 11,8 + 1,5M

Keterangan: E = energi yang dilepaskan (erg). Setiap kenaikan 1 skala Richter, energi meningkat sekitar 31,6 kali lipat (10^1,5 ≈ 31,6).

Klasifikasi Gempa Berdasarkan Skala Richter:

Magnitudo	Klasifikasi	Efek
< 2,0	Mikro	Tidak terasa
2,0 – 3,9	Minor	Sering terasa, jarang merusak
4,0 – 4,9	Ringan	Getaran nyata, kerusakan minimal
5,0 – 5,9	Sedang	Kerusakan pada bangunan lemah
6,0 – 6,9	Kuat	Kerusakan di area luas
7,0 – 7,9	Mayor	Kerusakan serius
≥ 8,0	Dahsyat	Kehancuran total

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan data gempa bumi di Indonesia berikut:

Gempa	Magnitudo	Amplitudo Relatif
Gempa A	5	10⁵
Gempa B	6	10⁶
Gempa C	7	10⁷
Gempa D	8	10⁸

Kegiatan: Menanya

Mengapa skala Richter menggunakan logaritma dan bukan skala linier?
Berapa kali lebih kuat gempa 7 SR dibanding gempa 5 SR dari segi amplitudo?
Bagaimana hubungan magnitudo dengan energi yang dilepaskan?

Kegiatan: Menalar

Logaritma digunakan karena amplitudo gempa memiliki rentang sangat luas.
Gempa 7 SR memiliki amplitudo 10⁷⁻⁵ = 100 kali lebih besar dari gempa 5 SR.
Dari segi energi: 10^1,5×2 = 10³ = 1000 kali lebih besar.

Kegiatan: Mencoba

Jika amplitudo gempa A = 1000 μm dan A₀ = 1 μm, berapa magnitudo?
Gempa X bermagnitude 4 dan gempa Y bermagnitude 6. Berapa kali amplitudo Y dibanding X?

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Jelaskan mengapa gempa dengan selisih 2 skala Richter memiliki perbedaan energi yang sangat besar. Berikan analogi untuk menggambarkan hal ini kepada orang awam.

B. Contoh Soal

Tingkat Mudah

Contoh 1:

Amplitudo seismik terukur 10.000 μm dengan A₀ = 1 μm. Tentukan magnitudo gempa.

Pembahasan

M = log (A/A₀) = log (10.000/1) = log 10⁴ = 4 SR

Contoh 2:

Gempa bermagnitude 6 SR. Jika A₀ = 1 μm, tentukan amplitudonya.

Pembahasan

M = log (A/A₀) → 6 = log (A/1) → A = 10⁶ = 1.000.000 μm

Contoh 3:

Berapa kali lebih besar amplitudo gempa 5 SR dibanding gempa 3 SR?

Pembahasan

Selisih = 5 − 3 = 2 → Perbandingan amplitudo = 10² = 100 kali

Contoh 4:

Amplitudo terukur 100 μm. A₀ = 1 μm. Berapa magnitudo?

Pembahasan

M = log (100/1) = log 10² = 2 SR

Contoh 5:

Gempa bermagnitude 3 SR. Tentukan amplitudo relatif terhadap A₀.

Pembahasan

A/A₀ = 10^M = 10³ = 1000 kali A₀

Tingkat Sedang

Contoh 6:

Amplitudo terukur 5000 μm, A₀ = 1 μm. Tentukan magnitudo. (log 5 = 0,699)

Pembahasan

M = log (5000) = log (5 × 10³) = log 5 + 3 = 0,699 + 3 = 3,699 SR

Contoh 7:

Gempa A bermagnitude 4,5 SR dan gempa B bermagnitude 6,5 SR. Berapa kali amplitudo B lebih besar dari A?

Pembahasan

Selisih = 6,5 − 4,5 = 2

Perbandingan = 10² = 100 kali

Contoh 8:

Tentukan energi (dalam erg) yang dilepaskan gempa 5 SR menggunakan rumus log E = 11,8 + 1,5M.

Pembahasan

log E = 11,8 + 1,5(5) = 11,8 + 7,5 = 19,3

E = 10^19,3 erg ≈ 2 × 10¹⁹ erg

Contoh 9:

Berapa kali energi gempa 7 SR dibanding gempa 5 SR?

Pembahasan

Selisih magntiudo = 2

Rasio energi = 10^{1,5 × 2} = 10³ = 1000 kali

Contoh 10:

Gempa melepaskan energi sebesar 10²³ erg. Tentukan magnitudonya.

Pembahasan

log E = 11,8 + 1,5M

23 = 11,8 + 1,5M

1,5M = 11,2

M = 7,47 SR

Tingkat Sulit

Contoh 11:

Gempa A melepaskan energi 31,6 kali lebih besar dari gempa B. Jika magnitudo B = 5, tentukan magnitudo A.

Pembahasan

E_A/E_B = 31,6 = 10^1,5

10^{1,5(M_A − M_B)} = 10^1,5

M_A − M_B = 1

M_A = 5 + 1 = 6 SR

Contoh 12:

Amplitudo gempa X adalah 2 × 10⁴ μm dan A₀ = 1 μm. Tentukan magnitudo. (log 2 = 0,301)

Pembahasan

M = log (2 × 10⁴) = log 2 + 4 = 0,301 + 4 = 4,301 SR

Contoh 13:

Dua gempa terjadi berturutan: gempa pertama 6,2 SR, gempa kedua 7,8 SR. Berapa kali perbandingan energi keduanya?

Pembahasan

Selisih = 7,8 − 6,2 = 1,6

Rasio energi = 10^{1,5 × 1,6} = 10^2,4 ≈ 251 kali

Contoh 14:

Gempa tsunami Aceh 2004 bermagnitude 9,1 SR dan gempa Yogyakarta 2006 bermagnitude 6,3 SR. Tentukan perbandingan amplitudo dan energi kedua gempa.

Pembahasan

Selisih = 9,1 − 6,3 = 2,8

Rasio amplitudo = 10^2,8 ≈ 631 kali

Rasio energi = 10^{1,5 × 2,8} = 10^4,2 ≈ 15.849 kali

Contoh 15:

Suatu gempa melepaskan energi total sama dengan gabungan 1000 gempa bermagnitude 4 SR. Berapa magnitudo gempa tersebut?

Pembahasan

E_total = 1000 × E₄

10^{1,5(M − 4)} = 1000 = 10³

1,5(M − 4) = 3

M − 4 = 2

M = 6 SR

C. Latihan Soal

Mudah

Amplitudo terukur = 100.000 μm, A₀ = 1 μm. Tentukan magnitudo.
Gempa bermagnitude 4 SR. Tentukan amplitudo relatifnya.
Berapa kali amplitudo gempa 6 SR dibanding gempa 4 SR?
Gempa bermagnitude 8 SR. Tentukan A/A₀.
Amplitudo = 10.000.000 μm, A₀ = 1 μm. Berapa SR?

Sedang

Amplitudo = 3 × 10⁵ μm, A₀ = 1 μm. Tentukan M. (log 3 = 0,477)
Tentukan energi gempa 6 SR (log E = 11,8 + 1,5M).
Berapa kali energi gempa 8 SR dibanding 6 SR?
Gempa melepaskan energi 10²¹ erg. Tentukan magnitudonya.
Gempa A bermagnitude 5,5 dan B bermagnitude 3,5. Rasio amplitudo A/B = ?

Sulit

Gabungan energi 100 gempa 5 SR setara gempa berapa SR?
Gempa Palu 2018 (7,5 SR) vs gempa kecil 4,5 SR: bandingkan amplitudo dan energinya.
Amplitudo = 7,5 × 10⁵ μm. Tentukan magnitudo. (log 7,5 = 0,875)
Jika energi gempa A = 5.623 kali energi gempa B (5 SR), tentukan magnitudo A. (log 5623 = 3,75)
Gempa melepaskan energi setara 10¹⁵ joule. Konversikan ke erg (1 J = 10⁷ erg) dan tentukan magnitudonya.

3. Penerapan Logaritma pada Desibel (Intensitas Bunyi)

A. Materi

Desibel (dB) adalah satuan untuk mengukur tingkat intensitas bunyi. Karena rentang intensitas bunyi yang dapat didengar manusia sangat luas (dari 10⁻¹² W/m² hingga 1 W/m²), digunakan skala logaritmik.

Rumus Tingkat Intensitas Bunyi:

β = 10 log (I / I₀)

Keterangan:

β (beta) = tingkat intensitas bunyi (dalam desibel, dB)
I = intensitas bunyi yang diukur (W/m²)
I₀ = intensitas ambang pendengaran = 10⁻¹² W/m²

Rumus Mencari Intensitas dari Desibel:

I = I₀ × 10^β/10

Tabel Tingkat Kebisingan:

Sumber Bunyi	Intensitas (W/m²)	Tingkat (dB)
Ambang dengar	10⁻¹²	0
Bisikan	10⁻¹⁰	20
Percakapan normal	10⁻⁶	60
Lalu lintas ramai	10⁻⁴	80
Konser musik	10⁻¹	110
Ambang sakit	1	120
Jet lepas landas	10²	140

Sifat Penting:

Setiap kenaikan 10 dB, intensitas bunyi meningkat 10 kali lipat.
Setiap kenaikan 20 dB, intensitas meningkat 100 kali lipat.
Bunyi 80 dB terasa 2 kali lebih keras dari 70 dB bagi telinga manusia (secara persepsi).

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan tabel di atas. Amati pola hubungan antara intensitas (W/m²) dan tingkat bunyi (dB). Catat bahwa setiap kelipatan 10 pada intensitas menghasilkan penambahan 10 dB.

Kegiatan: Menanya

Mengapa digunakan faktor pengali 10 dalam rumus desibel?
Bagaimana jika dua sumber bunyi digabungkan?
Mengapa ambang dengar dipilih sebagai referensi?

Kegiatan: Menalar

Faktor 10 muncul karena satuan awal adalah bel (1 bel = 10 desibel); desi = sepersepuluh.
Dua sumber bunyi identik: I_total = 2I, maka Δβ = 10 log 2 ≈ 3 dB (bukan 2× lipat dB).
Intensitas bunyi tidak dijumlahkan secara linear pada skala dB.

Kegiatan: Mencoba

Hitung tingkat bunyi jika I = 10⁻⁵ W/m².
Jika β = 90 dB, tentukan intensitasnya.
Berapa dB kenaikan jika intensitas meningkat 1000 kali?

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buatlah penjelasan singkat untuk temanmu tentang mengapa paparan bunyi 85 dB ke atas dalam waktu lama berbahaya bagi pendengaran, dan bagaimana logaritma membantu kita memahami bahaya tersebut.

B. Contoh Soal

Tingkat Mudah

Contoh 1:

Tentukan tingkat intensitas bunyi jika I = 10⁻⁷ W/m².

Pembahasan

β = 10 log (I/I₀) = 10 log (10⁻⁷/10⁻¹²)

= 10 log (10⁵) = 10 × 5 = 50 dB

Contoh 2:

Tingkat bunyi = 80 dB. Tentukan intensitasnya.

Pembahasan

I = I₀ × 10^β/10 = 10⁻¹² × 10^80/10 = 10⁻¹² × 10⁸ = 10⁻⁴ W/m²

Contoh 3:

Tentukan tingkat bunyi jika I = 10⁻³ W/m².

Pembahasan

β = 10 log (10⁻³/10⁻¹²) = 10 log (10⁹) = 10 × 9 = 90 dB

Contoh 4:

Berapa kali intensitas bunyi 70 dB dibanding 50 dB?

Pembahasan

Selisih = 70 − 50 = 20 dB

Rasio = 10^20/10 = 10² = 100 kali

Contoh 5:

Tingkat bunyi ambang dengar adalah 0 dB. Verifikasi dengan rumus.

Pembahasan

β = 10 log (I₀/I₀) = 10 log (1) = 10 × 0 = 0 dB ✓

Tingkat Sedang

Contoh 6:

Intensitas bunyi = 5 × 10⁻⁶ W/m². Tentukan tingkat bunyi. (log 5 = 0,699)

Pembahasan

β = 10 log (5 × 10⁻⁶ / 10⁻¹²)

= 10 log (5 × 10⁶)

= 10 (log 5 + 6) = 10 (0,699 + 6) = 10 × 6,699

β = 66,99 ≈ 67 dB

Contoh 7:

Dua speaker identik masing-masing menghasilkan 60 dB. Berapa dB jika keduanya dinyalakan bersamaan?

Pembahasan

I masing-masing: I = I₀ × 10⁶ = 10⁻⁶ W/m²

I total = 2 × 10⁻⁶ W/m²

β = 10 log (2 × 10⁻⁶ / 10⁻¹²) = 10 log (2 × 10⁶)

= 10 (log 2 + 6) = 10 (0,301 + 6) = 63,01 ≈ 63 dB

Contoh 8:

Tingkat bunyi 95 dB. Tentukan intensitasnya.

Pembahasan

I = 10⁻¹² × 10^95/10 = 10⁻¹² × 10^9,5

= 10^−2,5 = 3,16 × 10⁻³ W/m²

Contoh 9:

Jika intensitas bunyi meningkat 5 kali lipat, berapa kenaikan tingkat bunyi? (log 5 = 0,699)

Pembahasan

Δβ = 10 log (I₂/I₁) = 10 log 5 = 10 × 0,699 = 6,99 ≈ 7 dB

Contoh 10:

Sebuah mesin menghasilkan 75 dB. Berapa intensitasnya, dan berapa kali dibanding percakapan normal (60 dB)?

Pembahasan

I = 10⁻¹² × 10^7,5 = 10^−4,5 ≈ 3,16 × 10⁻⁵ W/m²

Rasio = 10^(75−60)/10 = 10^1,5 ≈ 31,6 kali

Tingkat Sulit

Contoh 11:

10 mesin identik masing-masing menghasilkan 70 dB. Berapa tingkat bunyi total?

Pembahasan

I per mesin = 10⁻¹² × 10⁷ = 10⁻⁵ W/m²

I total = 10 × 10⁻⁵ = 10⁻⁴ W/m²

β = 10 log (10⁻⁴/10⁻¹²) = 10 log 10⁸ = 80 dB

Alternatif: β = 70 + 10 log 10 = 70 + 10 = 80 dB

Contoh 12:

Pada jarak 1 m dari sumber bunyi, tingkat bunyi = 100 dB. Jika intensitas berbanding terbalik dengan kuadrat jarak, berapa tingkat bunyi pada jarak 10 m?

Pembahasan

I ∝ 1/r² → I₁₀/I₁ = (1/10)² = 1/100

Δβ = 10 log (1/100) = 10 × (−2) = −20 dB

β pada 10 m = 100 − 20 = 80 dB

Contoh 13:

Intensitas bunyi = 3,5 × 10⁻⁴ W/m². Tentukan tingkat bunyi. (log 3,5 = 0,544)

Pembahasan

β = 10 log (3,5 × 10⁻⁴ / 10⁻¹²)

= 10 log (3,5 × 10⁸) = 10 (log 3,5 + 8)

= 10 (0,544 + 8) = 85,44 ≈ 85,4 dB

Contoh 14:

Seseorang mendengar bunyi 40 dB. Berapa sumber bunyi identik diperlukan agar menjadi 50 dB?

Pembahasan

Δβ = 50 − 40 = 10 dB

10 = 10 log n → log n = 1 → n = 10

Diperlukan 10 sumber bunyi identik.

Contoh 15:

Dua bunyi berbeda: 80 dB dan 74 dB. Tentukan tingkat bunyi gabungan. (log 1,251 ≈ 0,097)

Pembahasan

I₁ = 10⁻¹² × 10⁸ = 10⁻⁴ W/m²

I₂ = 10⁻¹² × 10^7,4 = 10^−4,6 ≈ 2,512 × 10⁻⁵ W/m²

I_total = 10⁻⁴ + 2,512 × 10⁻⁵ = 1,251 × 10⁻⁴

β = 10 log (1,251 × 10⁻⁴ / 10⁻¹²) = 10 log (1,251 × 10⁸)

= 10 (0,097 + 8) = 80,97 ≈ 81 dB

C. Latihan Soal

Mudah

Tentukan β jika I = 10⁻⁸ W/m².
Tentukan β jika I = 10⁻² W/m².
Tentukan I jika β = 60 dB.
Berapa kali intensitas 90 dB dibanding 70 dB?
Tentukan I jika β = 110 dB.

Sedang

I = 2 × 10⁻⁵ W/m². Tentukan β. (log 2 = 0,301)
3 speaker identik masing-masing 50 dB dinyalakan bersamaan. Berapa dB total? (log 3 = 0,477)
Berapa kenaikan dB jika intensitas meningkat 20 kali? (log 20 = 1,301)
β = 85 dB. Tentukan I.
Jarak dari sumber bunyi digandakan. Berapa penurunan dB? (I ∝ 1/r²)

Sulit

5 mesin identik menghasilkan total 77 dB. Berapa dB per mesin? (log 5 = 0,699)
Pada jarak 2 m, β = 90 dB. Pada jarak berapa β = 70 dB?
I = 4,7 × 10⁻⁷ W/m². Tentukan β. (log 4,7 = 0,672)
Gabungan bunyi 65 dB dan 62 dB. Tentukan β total. (log 2,995 ≈ 0,476)
Berapa mesin identik (masing-masing 60 dB) diperlukan untuk menghasilkan 73 dB? (10^1,3 ≈ 20)

4. Penerapan Logaritma pada Pertumbuhan Eksponensial

A. Materi

Pertumbuhan eksponensial terjadi ketika suatu kuantitas bertambah dengan laju yang sebanding dengan jumlahnya saat itu. Logaritma digunakan untuk menentukan waktu yang diperlukan agar suatu kuantitas mencapai nilai tertentu.

Rumus Pertumbuhan Eksponensial:

N(t) = N₀ × r^t

Keterangan:

N(t) = jumlah pada waktu t
N₀ = jumlah awal
r = rasio pertumbuhan per satuan waktu
t = waktu

Mencari Waktu (menggunakan logaritma):

t = log(N(t)/N₀) / log(r)

Pertumbuhan Populasi (Pembelahan):

N(t) = N₀ × 2^t/T

T = waktu penggandaan (doubling time). Waktu untuk mencapai jumlah tertentu:

t = T × log(N/N₀) / log 2

Peluruhan Eksponensial:

N(t) = N₀ × (½)^t/T½

T½ = waktu paruh (half-life). Digunakan dalam peluruhan radioaktif dan farmakologi.

Contoh Penerapan:

Pertumbuhan bakteri: Bakteri membelah diri setiap 20 menit
Pertumbuhan penduduk: Populasi bertambah dengan persentase tetap per tahun
Bunga majemuk: Uang bertumbuh dengan bunga yang juga berbunga
Peluruhan radioaktif: Zat radioaktif berkurang setengah setiap waktu paruh

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan tabel pertumbuhan bakteri yang membelah setiap 30 menit (dimulai dari 1 bakteri):

Waktu (jam)	Jumlah Bakteri	Dalam Bentuk Pangkat
0	1	2⁰
0,5	2	2¹
1	4	2²
1,5	8	2³
2	16	2⁴
3	64	2⁶
5	1024	2¹⁰
10	1.048.576	2²⁰

Kegiatan: Menanya

Berapa lama waktu yang dibutuhkan agar bakteri mencapai 1.000.000?
Bagaimana cara menentukan waktu tanpa membuat tabel yang sangat panjang?
Mengapa logaritma diperlukan dalam masalah pertumbuhan eksponensial?

Kegiatan: Menalar

Logaritma adalah invers dari eksponensial — ia “membuka” pangkat sehingga kita bisa mencari variabel waktu.
Tanpa logaritma, kita harus menebak-nebak atau membuat tabel panjang.
Untuk 1.000.000 bakteri: 2^t/0,5 = 1.000.000 → t/0,5 = log₂(1.000.000) → t diketahui.

Kegiatan: Mencoba

Bakteri awal 100, membelah setiap 20 menit. Berapa bakteri setelah 2 jam?
Populasi kota 500.000 tumbuh 2% per tahun. Berapa tahun untuk mencapai 1.000.000?
Zat radioaktif memiliki waktu paruh 5 jam. Dari 80 gram, berapa sisa setelah 15 jam?

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buat poster sederhana yang menjelaskan kepada teman-temanmu tentang “kekuatan pertumbuhan eksponensial” — misalnya, bagaimana satu bakteri bisa menjadi lebih dari satu juta hanya dalam beberapa jam. Gunakan logaritma untuk menghitung waktunya.

B. Contoh Soal

Tingkat Mudah

Contoh 1:

Bakteri awal 1, membelah setiap 1 jam. Berapa bakteri setelah 8 jam?

Pembahasan

N = 1 × 2⁸ = 256 bakteri

Contoh 2:

Populasi awal 1000, tumbuh 2 kali lipat setiap 5 tahun. Berapa setelah 15 tahun?

Pembahasan

N = 1000 × 2^15/5 = 1000 × 2³ = 1000 × 8 = 8000

Contoh 3:

Zat radioaktif 160 gram memiliki waktu paruh 4 jam. Berapa sisa setelah 12 jam?

Pembahasan

N = 160 × (½)^12/4 = 160 × (½)³ = 160 × 1/8 = 20 gram

Contoh 4:

Bakteri awal 500, berlipat ganda setiap 2 jam. Berapa setelah 10 jam?

Pembahasan

N = 500 × 2^10/2 = 500 × 2⁵ = 500 × 32 = 16.000 bakteri

Contoh 5:

Tabungan Rp1.000.000 dengan bunga 10% per tahun (bunga berbunga). Berapa setelah 3 tahun?

Pembahasan

N = 1.000.000 × (1,1)³ = 1.000.000 × 1,331 = Rp1.331.000

Tingkat Sedang

Contoh 6:

Bakteri awal 200, membelah setiap 30 menit. Berapa jam untuk mencapai 12.800? (log 2 = 0,301)

Pembahasan

12.800 = 200 × 2^t/0,5

64 = 2^2t

2⁶ = 2^2t

2t = 6 → t = 3 jam

Contoh 7:

Populasi 10.000 tumbuh 5% per tahun. Berapa tahun untuk mencapai 20.000? (log 1,05 = 0,0212, log 2 = 0,301)

Pembahasan

20.000 = 10.000 × (1,05)^t

2 = (1,05)^t

t = log 2 / log 1,05 = 0,301 / 0,0212 ≈ 14,2 tahun

Contoh 8:

Zat radioaktif 400 gram berkurang menjadi 50 gram dalam 9 jam. Tentukan waktu paruhnya.

Pembahasan

50 = 400 × (½)^9/T½

1/8 = (½)^9/T½

(½)³ = (½)^9/T½

3 = 9/T½ → T½ = 3 jam

Contoh 9:

Uang Rp5.000.000 diinvestasikan dengan bunga 8% per tahun. Berapa tahun untuk menjadi Rp10.000.000? (log 1,08 = 0,0334)

Pembahasan

10.000.000 = 5.000.000 × (1,08)^t

2 = (1,08)^t

t = log 2 / log 1,08 = 0,301 / 0,0334 ≈ 9,01 ≈ 9 tahun

Contoh 10:

Suatu virus menyebar: dari 50 orang menjadi 1600 orang dalam 8 hari. Tentukan faktor pertumbuhan per hari.

Pembahasan

1600 = 50 × r⁸

32 = r⁸

2⁵ = r⁸

r = 2^5/8 ≈ 1,542 (pertumbuhan ~54,2% per hari)

Tingkat Sulit

Contoh 11:

Populasi kota A = 200.000 (tumbuh 3%/tahun). Populasi kota B = 500.000 (tumbuh 1%/tahun). Kapan populasi A = populasi B? (log 2,5 = 0,398; log 1,03 = 0,0128; log 1,01 = 0,00432)

Pembahasan

200.000 × (1,03)^t = 500.000 × (1,01)^t

(1,03/1,01)^t = 2,5

t × log(1,03/1,01) = log 2,5

log(1,03/1,01) = log 1,03 − log 1,01 = 0,0128 − 0,00432 = 0,00848

t = 0,398 / 0,00848 ≈ 46,9 ≈ 47 tahun

Contoh 12:

Bakteri awal 100, berlipat ganda setiap 20 menit. Berapa menit untuk mencapai 1.000.000? (log 2 = 0,301)

Pembahasan

1.000.000 = 100 × 2^t/20

10.000 = 2^t/20

log 10.000 = (t/20) × log 2

4 = (t/20) × 0,301

t/20 = 4/0,301 = 13,29

t ≈ 265,8 menit ≈ 4 jam 26 menit

Contoh 13:

Suatu isotop radioaktif memiliki waktu paruh 8 tahun. Berapa lama hingga tersisa 10% dari jumlah awal? (log 2 = 0,301)

Pembahasan

0,1 N₀ = N₀ × (½)^t/8

0,1 = (½)^t/8

log 0,1 = (t/8) × log (½)

−1 = (t/8) × (−0,301)

t/8 = 1/0,301 = 3,32

t ≈ 26,6 tahun

Contoh 14:

Investasi Rp10.000.000 dengan bunga majemuk 6% per tahun, dikompon per kuartal. Berapa tahun untuk menjadi 3 kali lipat? (log 3 = 0,477; log 1,015 = 0,00646)

Pembahasan

Bunga per kuartal = 6%/4 = 1,5% = 0,015

30.000.000 = 10.000.000 × (1,015)^4t

3 = (1,015)^4t

log 3 = 4t × log 1,015

0,477 = 4t × 0,00646

4t = 73,84

t ≈ 18,46 ≈ 18,5 tahun

Contoh 15:

Obat dalam darah berkurang 25% setiap 6 jam. Dosis awal 400 mg. Berapa jam hingga tersisa kurang dari 50 mg? (log 0,75 = −0,125)

Pembahasan

50 = 400 × (0,75)^t/6

0,125 = (0,75)^t/6

log 0,125 = (t/6) × log 0,75

−0,903 = (t/6) × (−0,125)

t/6 = 7,224

t ≈ 43,3 jam

C. Latihan Soal

Mudah

Bakteri awal 1, membelah tiap 1 jam. Berapa setelah 10 jam?
Populasi awal 5000, berlipat ganda tiap 10 tahun. Berapa setelah 30 tahun?
Zat radioaktif 320 gram, waktu paruh 2 jam. Berapa sisa setelah 8 jam?
Tabungan Rp2.000.000 berbunga 10%/tahun (majemuk). Berapa setelah 2 tahun?
Bakteri awal 50, berlipat ganda tiap 3 jam. Berapa setelah 9 jam?

Sedang

Populasi 100.000 tumbuh 4%/tahun. Berapa tahun untuk 200.000? (log 1,04 = 0,017)
Bakteri awal 300, berlipat ganda tiap 40 menit. Berapa jam untuk 19.200?
Zat radioaktif tersisa 25% setelah 10 jam. Berapa waktu paruhnya?
Investasi Rp8.000.000, bunga 12%/tahun. Berapa tahun untuk Rp20.000.000? (log 2,5 = 0,398; log 1,12 = 0,049)
Virus dari 10 menjadi 10.000 dalam 6 hari. Tentukan faktor pertumbuhan per hari.

Sulit

Populasi kota X = 80.000 (5%/tahun), kota Y = 200.000 (1%/tahun). Kapan sama? (log 2,5 = 0,398; log 1,05 = 0,0212; log 1,01 = 0,00432)
Isotop waktu paruh 12 jam. Berapa lama tersisa 5%? (log 2 = 0,301; log 20 = 1,301)
Bakteri berlipat ganda tiap 25 menit dari 200. Kapan mencapai 5.000.000? (log 25000 = 4,398; log 2 = 0,301)
Investasi bunga 9%/tahun, dikompon bulanan. Berapa tahun untuk 4× lipat? (log 4 = 0,602; log 1,0075 = 0,00325)
Obat berkurang 30% tiap 4 jam dari dosis 500 mg. Kapan tersisa < 20 mg? (log 0,7 = −0,155; log 0,04 = −1,398)

Ringkasan Penerapan Logaritma

Bidang	Rumus	Alasan Logaritma
pH	pH = −log[H⁺]	Rentang [H⁺] sangat lebar
Richter	M = log(A/A₀)	Amplitudo bervariasi jutaan kali
Desibel	β = 10 log(I/I₀)	Intensitas bunyi rentang 10¹²
Pertumbuhan	t = log(N/N₀)/log r	Mencari waktu dari eksponensial

1. Penerapan Logaritma pada pH Larutan

A. Materi

B. Contoh Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

C. Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

2. Penerapan Logaritma pada Skala Richter

A. Materi

B. Contoh Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

C. Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

3. Penerapan Logaritma pada Desibel (Intensitas Bunyi)

A. Materi

B. Contoh Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

C. Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

4. Penerapan Logaritma pada Pertumbuhan Eksponensial

A. Materi

B. Contoh Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

C. Latihan Soal

Mudah

Sedang

Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed