Syarat Basis Fungsi Logaritma
Materi Matematika — Fungsi Logaritma
Pengertian Basis pada Logaritma
Perhatikan bentuk umum logaritma berikut:
Keterangan:
- a = basis (bilangan pokok)
- b = numerus (argumen)
- y = hasil logaritma
Artinya: \( {}^{a}\!\log b = y \iff a^{y} = b \)
Pada materi ini kita akan fokus membahas syarat basis (a) agar fungsi logaritma terdefinisi dengan baik.
Mengapa Basis Logaritma Memiliki Syarat?
Pertanyaan penting yang perlu dijawab:
- Mengapa basis tidak boleh bernilai 1?
- Mengapa basis tidak boleh bernilai 0 atau negatif?
- Apa yang terjadi jika syarat basis dilanggar?
Mari kita telusuri jawabannya melalui penalaran matematis berikut.
Syarat Basis Fungsi Logaritma
Syarat Basis (a):
\( a > 0 \) dan \( a \neq 1 \)
Penjelasan Detail Setiap Syarat:
1. Basis harus positif (\(a > 0\))
Alasan:
- Jika \(a = 0\), maka \(0^y = b\). Untuk \(y > 0\), hasilnya selalu 0. Untuk \(y \leq 0\), hasilnya tidak terdefinisi. Sehingga logaritma tidak bermakna.
- Jika \(a < 0\), misalnya \(a = -2\), maka \((-2)^y\) tidak selalu menghasilkan bilangan real. Contoh: \((-2)^{1/2} = \sqrt{-2}\) yang bukan bilangan real.
Kesimpulan: Basis negatif atau nol membuat logaritma tidak terdefinisi untuk semua nilai, sehingga \(a\) harus positif.
2. Basis tidak boleh sama dengan 1 (\(a \neq 1\))
Alasan:
- Jika \(a = 1\), maka \(1^y = 1\) untuk semua nilai \(y\).
- Artinya \({}^{1}\!\log b = y\) hanya berlaku jika \(b = 1\).
- Untuk \(b \neq 1\), tidak ada nilai \(y\) yang memenuhi \(1^y = b\).
- Untuk \(b = 1\), semua nilai \(y\) memenuhi, sehingga hasilnya tidak tunggal (tak tentu).
Kesimpulan: Basis = 1 membuat logaritma tidak menghasilkan jawaban yang unik/tunggal, sehingga tidak valid sebagai fungsi.
Ringkasan Syarat Basis:
| Kondisi Basis | Status | Alasan |
|---|---|---|
| \(a < 0\) | ❌ Tidak valid | Hasil pangkat tidak selalu real |
| \(a = 0\) | ❌ Tidak valid | \(0^y\) tidak bermakna |
| \(a = 1\) | ❌ Tidak valid | \(1^y = 1\) selalu, tak tunggal |
| \(0 < a < 1\) | ✅ Valid | Fungsi monoton turun |
| \(a > 1\) | ✅ Valid | Fungsi monoton naik |
Menentukan Validitas Basis
Cobalah tentukan apakah nilai-nilai berikut dapat menjadi basis logaritma:
| Nilai a | Apakah valid? | Penjelasan |
|---|---|---|
| \(a = 2\) | ✅ Ya | \(2 > 0\) dan \(2 \neq 1\) |
| \(a = \frac{1}{3}\) | ✅ Ya | \(0 < \frac{1}{3} < 1\), valid |
| \(a = 1\) | ❌ Tidak | \(a = 1\) tidak diperbolehkan |
| \(a = -5\) | ❌ Tidak | \(a < 0\), tidak valid |
| \(a = 10\) | ✅ Ya | \(10 > 0\) dan \(10 \neq 1\) |
| \(a = 0\) | ❌ Tidak | \(a = 0\), tidak valid |
Penerapan Syarat Basis pada Fungsi Logaritma
Pada fungsi logaritma \( f(x) = {}^{a}\!\log g(x) \), syarat basis yang harus dipenuhi:
Jika basis mengandung variabel, misalnya \( f(x) = {}^{(h(x))}\!\log g(x) \)
Maka syarat basis: \( h(x) > 0 \) dan \( h(x) \neq 1 \)
Langkah menentukan domain fungsi logaritma terkait basis:
- Tentukan syarat basis: \(a > 0\) dan \(a \neq 1\)
- Tentukan syarat numerus: \(b > 0\) (dibahas di materi lain)
- Cari irisan dari semua syarat
Kesimpulan Syarat Basis
Untuk logaritma \( {}^{a}\!\log b \) terdefinisi, syarat basis (a) adalah:
- \( a > 0 \) (basis harus positif)
- \( a \neq 1 \) (basis tidak boleh sama dengan 1)
Atau dapat ditulis: \( a \in (0, 1) \cup (1, +\infty) \)
Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1. Tentukan apakah \( {}^{3}\!\log 9 \) terdefinisi. Periksa syarat basisnya!
Lihat Pembahasan
Basis \(a = 3\).
Cek: \(3 > 0\) ✅ dan \(3 \neq 1\) ✅
Syarat basis terpenuhi, sehingga \( {}^{3}\!\log 9 \) terdefinisi.
Hasil: \( {}^{3}\!\log 9 = 2 \) karena \(3^2 = 9\).
Soal 2. Apakah \( {}^{1}\!\log 5 \) terdefinisi? Jelaskan!
Lihat Pembahasan
Basis \(a = 1\).
Cek: \(1 > 0\) ✅ tetapi \(1 \neq 1\) ❌
Syarat basis tidak terpenuhi karena \(a = 1\).
\( {}^{1}\!\log 5 \) tidak terdefinisi.
Soal 3. Apakah \( {}^{0{,}5}\!\log 4 \) terdefinisi?
Lihat Pembahasan
Basis \(a = 0{,}5 = \frac{1}{2}\).
Cek: \(0{,}5 > 0\) ✅ dan \(0{,}5 \neq 1\) ✅
Syarat basis terpenuhi. \( {}^{0{,}5}\!\log 4 = -2 \) karena \((0{,}5)^{-2} = 4\).
Soal 4. Apakah \( {}^{-2}\!\log 8 \) terdefinisi?
Lihat Pembahasan
Basis \(a = -2\).
Cek: \(-2 > 0\) ❌
Syarat basis tidak terpenuhi karena basis negatif.
\( {}^{-2}\!\log 8 \) tidak terdefinisi.
Soal 5. Apakah \( {}^{0}\!\log 7 \) terdefinisi?
Lihat Pembahasan
Basis \(a = 0\).
Cek: \(0 > 0\) ❌
Syarat basis tidak terpenuhi. \( {}^{0}\!\log 7 \) tidak terdefinisi.
Tingkat Sedang
Soal 1. Tentukan nilai \(x\) agar \( {}^{(x+2)}\!\log 10 \) terdefinisi (syarat basis saja).
Lihat Pembahasan
Basis = \(x + 2\). Syarat:
1) \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2\)
2) \(x + 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1\)
Jawaban: \(x > -2\) dan \(x \neq -1\), atau \(x \in (-2, -1) \cup (-1, +\infty)\)
Soal 2. Tentukan nilai \(a\) agar \( {}^{(2a-1)}\!\log 5 \) terdefinisi.
Lihat Pembahasan
Basis = \(2a – 1\). Syarat:
1) \(2a – 1 > 0 \Rightarrow a > \frac{1}{2}\)
2) \(2a – 1 \neq 1 \Rightarrow a \neq 1\)
Jawaban: \(a \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) \cup (1, +\infty)\)
Soal 3. Tentukan syarat \(x\) agar \( {}^{(x^2)}\!\log 3 \) terdefinisi.
Lihat Pembahasan
Basis = \(x^2\). Syarat:
1) \(x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0\)
2) \(x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq 1\) dan \(x \neq -1\)
Jawaban: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}\)
Soal 4. Tentukan syarat \(p\) agar \( {}^{(3-p)}\!\log (p+1) \) terdefinisi (fokus syarat basis).
Lihat Pembahasan
Basis = \(3 – p\). Syarat basis:
1) \(3 – p > 0 \Rightarrow p < 3\)
2) \(3 – p \neq 1 \Rightarrow p \neq 2\)
Jawaban (syarat basis): \(p < 3\) dan \(p \neq 2\)
Soal 5. Jika \( f(x) = {}^{(\frac{x}{2})}\!\log 8 \), tentukan domain \(f\) berdasarkan syarat basis.
Lihat Pembahasan
Basis = \(\frac{x}{2}\). Syarat:
1) \(\frac{x}{2} > 0 \Rightarrow x > 0\)
2) \(\frac{x}{2} \neq 1 \Rightarrow x \neq 2\)
Jawaban: \(x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)\)
Tingkat Sulit
Soal 1. Tentukan semua nilai \(x\) agar \( {}^{(x^2 – 4)}\!\log (x + 5) \) terdefinisi (syarat basis saja).
Lihat Pembahasan
Basis = \(x^2 – 4\). Syarat:
1) \(x^2 – 4 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) > 0\)
Penyelesaian: \(x < -2\) atau \(x > 2\)
2) \(x^2 – 4 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq 5 \Rightarrow x \neq \sqrt{5}\) dan \(x \neq -\sqrt{5}\)
Jawaban: \(x \in (-\infty, -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}, -2) \cup (2, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, +\infty)\)
Soal 2. Tentukan domain \( f(x) = {}^{(\sin x)}\!\log 2 \) untuk \(x \in [0, 2\pi]\) berdasarkan syarat basis.
Lihat Pembahasan
Basis = \(\sin x\). Syarat:
1) \(\sin x > 0 \Rightarrow x \in (0, \pi)\)
2) \(\sin x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2}\)
Jawaban: \(x \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)\)
Soal 3. Tentukan syarat \(x\) agar \( {}^{(|x|-1)}\!\log 6 \) terdefinisi.
Lihat Pembahasan
Basis = \(|x| – 1\). Syarat:
1) \(|x| – 1 > 0 \Rightarrow |x| > 1 \Rightarrow x < -1\) atau \(x > 1\)
2) \(|x| – 1 \neq 1 \Rightarrow |x| \neq 2 \Rightarrow x \neq 2\) dan \(x \neq -2\)
Jawaban: \(x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty)\)
Soal 4. Tentukan semua nilai \(m\) agar \( {}^{(m^2 – 3m + 2)}\!\log 4 \) terdefinisi.
Lihat Pembahasan
Basis = \(m^2 – 3m + 2 = (m-1)(m-2)\). Syarat:
1) \((m-1)(m-2) > 0\)
Garis bilangan: positif jika \(m < 1\) atau \(m > 2\)
2) \((m-1)(m-2) \neq 1 \Rightarrow m^2 – 3m + 2 \neq 1 \Rightarrow m^2 – 3m + 1 \neq 0\)
\(m \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Cek: \(\frac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0{,}38\) (dalam interval \(m<1\)), \(\frac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2{,}62\) (dalam interval \(m>2\))
Jawaban: \(m \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)\) dengan \(m \neq \frac{3-\sqrt{5}}{2}\) dan \(m \neq \frac{3+\sqrt{5}}{2}\)
Soal 5. Tentukan domain lengkap \( f(x) = {}^{(x-1)}\!\log (x^2 – 9) \) (syarat basis DAN numerus).
Lihat Pembahasan
Syarat basis: \(x – 1 > 0\) dan \(x – 1 \neq 1\)
→ \(x > 1\) dan \(x \neq 2\) … (i)
Syarat numerus: \(x^2 – 9 > 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) > 0\)
→ \(x < -3\) atau \(x > 3\) … (ii)
Irisan (i) dan (ii):
Dari (i): \(x > 1, x \neq 2\). Dari (ii): \(x > 3\) (karena \(x > 1\) maka \(x < -3\) tidak mungkin).
Jawaban: \(x \in (3, +\infty)\)
(Catatan: \(x = 2\) sudah tereleminasi karena \(x > 3\))
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan di atas!
Tingkat Mudah
1. Apakah \( {}^{5}\!\log 25 \) terdefinisi? Jelaskan berdasarkan syarat basis!
2. Apakah \( {}^{1}\!\log 100 \) terdefinisi? Jelaskan!
3. Apakah \( {}^{0{,}25}\!\log 16 \) terdefinisi?
4. Apakah \( {}^{-3}\!\log 27 \) terdefinisi?
5. Sebutkan dua syarat yang harus dipenuhi oleh basis logaritma!
Tingkat Sedang
1. Tentukan syarat \(x\) agar \( {}^{(x-3)}\!\log 7 \) terdefinisi.
2. Tentukan syarat \(a\) agar \( {}^{(4a+1)}\!\log 2 \) terdefinisi.
3. Tentukan domain \( f(x) = {}^{(2x)}\!\log 5 \) berdasarkan syarat basis.
4. Tentukan syarat \(t\) agar \( {}^{(5-2t)}\!\log 9 \) terdefinisi.
5. Tentukan nilai \(k\) yang membuat basis \(\frac{k+1}{3}\) memenuhi syarat logaritma.
Tingkat Sulit
1. Tentukan semua nilai \(x\) agar \( {}^{(x^2 – 1)}\!\log (2x+3) \) terdefinisi (syarat basis saja).
2. Tentukan domain lengkap \( f(x) = {}^{(x+1)}\!\log (4-x^2) \).
3. Tentukan syarat \(x\) agar \( {}^{(|2x-1|)}\!\log 3 \) terdefinisi.
4. Tentukan domain \( g(x) = {}^{(\sqrt{x}-1)}\!\log 5 \) berdasarkan syarat basis.
5. Tentukan semua nilai \(x\) agar \( {}^{(x^2-5x+6)}\!\log (x-1) \) terdefinisi (syarat basis DAN numerus).