Mengubah Bentuk Eksponen ↔ Logaritma
Materi Matematika
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Memahami hubungan antara bentuk eksponen dan logaritma
- Mengubah bentuk eksponen menjadi bentuk logaritma
- Mengubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponen
- Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan konversi eksponen dan logaritma
Kegiatan 1: Mengamati
Amatilah hubungan antara bentuk eksponen dan logaritma berikut ini:
| No | Bentuk Eksponen | Bentuk Logaritma | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | 23 = 8 | 2log 8 = 3 | Basis = 2, Hasil = 8, Pangkat = 3 |
| 2 | 52 = 25 | 5log 25 = 2 | Basis = 5, Hasil = 25, Pangkat = 2 |
| 3 | 103 = 1000 | 10log 1000 = 3 | Basis = 10, Hasil = 1000, Pangkat = 3 |
| 4 | 34 = 81 | 3log 81 = 4 | Basis = 3, Hasil = 81, Pangkat = 4 |
| 5 | 71 = 7 | 7log 7 = 1 | Basis = 7, Hasil = 7, Pangkat = 1 |
Pertanyaan pengamatan: Apa hubungan yang kamu temukan antara bilangan-bilangan pada bentuk eksponen dan bentuk logaritma?
Kegiatan 2: Menanya
Setelah mengamati tabel di atas, timbul pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara mengubah bentuk eksponen menjadi logaritma?
- Bagaimana cara mengubah bentuk logaritma menjadi eksponen?
- Apa yang dimaksud dengan basis, numerus, dan hasil logaritma?
- Apakah ada syarat tertentu agar konversi bisa dilakukan?
Materi: Hubungan Eksponen dan Logaritma
A. Pengertian Dasar
Eksponen (Perpangkatan) adalah operasi matematika yang menyatakan perkalian berulang suatu bilangan.
Bentuk umum: an = b
Artinya: bilangan a dikalikan sebanyak n kali menghasilkan b.
Logaritma adalah operasi kebalikan dari eksponen. Logaritma menjawab pertanyaan: “Berapa kali bilangan basis harus dipangkatkan agar menghasilkan bilangan tertentu?”
Bentuk umum: alog b = n
Artinya: pangkat berapa bilangan a harus dipangkatkan agar menghasilkan b? Jawabannya adalah n.
B. Rumus Konversi
an = b ⟺ alog b = n
dengan syarat: a > 0, a ≠ 1, dan b > 0
Keterangan:
- a = basis (bilangan pokok pada eksponen = bilangan pokok pada logaritma)
- n = eksponen/pangkat (pangkat pada eksponen = hasil logaritma)
- b = hasil perpangkatan (hasil pada eksponen = numerus pada logaritma)
| Komponen | Pada Eksponen an = b | Pada Logaritma alog b = n |
|---|---|---|
| Basis | a (bilangan pokok) | a (ditulis kecil di kiri atas “log”) |
| Pangkat | n (eksponen) | n (hasil logaritma) |
| Hasil/Numerus | b (hasil perpangkatan) | b (numerus, angka setelah “log”) |
C. Syarat-Syarat Konversi
Agar konversi antara eksponen dan logaritma dapat dilakukan, harus memenuhi syarat:
- Basis (a) harus positif: a > 0
Alasan: Bilangan negatif yang dipangkatkan bisa menghasilkan bilangan negatif atau positif secara tidak konsisten. - Basis (a) tidak boleh 1: a ≠ 1
Alasan: 1 dipangkatkan berapapun selalu 1, sehingga logaritmanya tidak terdefinisi secara unik. - Numerus (b) harus positif: b > 0
Alasan: Tidak ada bilangan positif yang dipangkatkan menghasilkan bilangan negatif atau nol.
D. Langkah-Langkah Mengubah Eksponen → Logaritma
Diberikan: an = b
Langkah 1: Identifikasi basis (a), pangkat (n), dan hasil (b)
Langkah 2: Tulis basis sebagai angka kecil di kiri atas “log” → alog
Langkah 3: Tulis hasil perpangkatan sebagai numerus (setelah “log”) → alog b
Langkah 4: Tulis pangkat sebagai hasil logaritma → alog b = n
E. Langkah-Langkah Mengubah Logaritma → Eksponen
Diberikan: alog b = n
Langkah 1: Identifikasi basis (a), numerus (b), dan hasil logaritma (n)
Langkah 2: Tulis basis sebagai bilangan pokok → a
Langkah 3: Tulis hasil logaritma sebagai pangkat → an
Langkah 4: Tulis numerus sebagai hasil → an = b
Kegiatan 3: Menalar
Berdasarkan materi di atas, lengkapilah penalaran berikut:
- Jika 43 = 64, maka basis = …, pangkat = …, hasil = …, sehingga bentuk logaritmanya: …log … = …
- Jika 6log 36 = 2, maka basis = …, numerus = …, hasil logaritma = …, sehingga bentuk eksponennya: …… = …
- Mengapa 1log 5 tidak terdefinisi? Karena…
- Mengapa 2log (−4) tidak terdefinisi? Karena…
Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Contoh 1: Ubah 25 = 32 ke bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 25 = 32
Identifikasi: basis (a) = 2, pangkat (n) = 5, hasil (b) = 32
Konversi: an = b → alog b = n
Jawaban: 2log 32 = 5
Contoh 2: Ubah 102 = 100 ke bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 102 = 100
Identifikasi: basis = 10, pangkat = 2, hasil = 100
Konversi:
Jawaban: 10log 100 = 2
(atau ditulis log 100 = 2, karena basis 10 sering tidak ditulis)
Contoh 3: Ubah 3log 9 = 2 ke bentuk eksponen!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 3log 9 = 2
Identifikasi: basis = 3, numerus = 9, hasil logaritma = 2
Konversi: alog b = n → an = b
Jawaban: 32 = 9
Contoh 4: Ubah 53 = 125 ke bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 53 = 125
Identifikasi: basis = 5, pangkat = 3, hasil = 125
Jawaban: 5log 125 = 3
Contoh 5: Ubah 4log 16 = 2 ke bentuk eksponen!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 4log 16 = 2
Identifikasi: basis = 4, numerus = 16, hasil logaritma = 2
Jawaban: 42 = 16
Sedang
Contoh 6: Ubah 2−3 = 1/8 ke bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 2−3 = 1/8
Identifikasi: basis = 2, pangkat = −3, hasil = 1/8
Catatan: Pangkat boleh bernilai negatif
Jawaban: 2log (1/8) = −3
Verifikasi: 2−3 = 1/23 = 1/8 ✓
Contoh 7: Ubah 271/3 = 3 ke bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 271/3 = 3
Identifikasi: basis = 27, pangkat = 1/3, hasil = 3
Catatan: Pangkat pecahan berarti akar. 271/3 = ³√27 = 3
Jawaban: 27log 3 = 1/3
Contoh 8: Ubah 5log (1/25) = −2 ke bentuk eksponen!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 5log (1/25) = −2
Identifikasi: basis = 5, numerus = 1/25, hasil logaritma = −2
Jawaban: 5−2 = 1/25
Verifikasi: 5−2 = 1/52 = 1/25 ✓
Contoh 9: Ubah (1/2)4 = 1/16 ke bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: (1/2)4 = 1/16
Identifikasi: basis = 1/2, pangkat = 4, hasil = 1/16
Catatan: Basis boleh berupa pecahan (asalkan > 0 dan ≠ 1)
Jawaban: 1/2log (1/16) = 4
Verifikasi: (1/2)4 = 1/16 ✓
Contoh 10: Ubah 9log 3 = 1/2 ke bentuk eksponen!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 9log 3 = 1/2
Identifikasi: basis = 9, numerus = 3, hasil logaritma = 1/2
Jawaban: 91/2 = 3
Verifikasi: 91/2 = √9 = 3 ✓
Sulit
Contoh 11: Ubah 82/3 = 4 ke bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 82/3 = 4
Identifikasi: basis = 8, pangkat = 2/3, hasil = 4
Verifikasi: 82/3 = (81/3)2 = (³√8)2 = 22 = 4 ✓
Jawaban: 8log 4 = 2/3
Contoh 12: Jika xlog 64 = 3, tentukan nilai x dan nyatakan dalam bentuk eksponen!
Lihat Pembahasan
Diketahui: xlog 64 = 3
Konversi ke eksponen: x3 = 64
Cari x: x = ³√64 = 4
Jawaban: x = 4, bentuk eksponen: 43 = 64
Verifikasi: 43 = 4 × 4 × 4 = 64 ✓
Contoh 13: Ubah (1/3)−2 = 9 ke bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: (1/3)−2 = 9
Identifikasi: basis = 1/3, pangkat = −2, hasil = 9
Verifikasi: (1/3)−2 = (3/1)2 = 32 = 9 ✓
Jawaban: 1/3log 9 = −2
Contoh 14: Jika 4log x = −3/2, tentukan nilai x!
Lihat Pembahasan
Diketahui: 4log x = −3/2
Konversi ke eksponen: 4−3/2 = x
Hitung:
4−3/2 = 1 / 43/2
= 1 / (41/2)3
= 1 / (√4)3
= 1 / 23
= 1/8
Jawaban: x = 1/8
Contoh 15: Ubah √2log 8 = 6 ke bentuk eksponen dan verifikasi!
Lihat Pembahasan
Diketahui: √2log 8 = 6
Konversi ke eksponen: (√2)6 = 8
Verifikasi:
(√2)6 = (21/2)6
= 2(1/2)×6
= 23
= 8 ✓
Jawaban: (√2)6 = 8, terbukti benar.
Kegiatan 4: Mencoba
Cobalah mengerjakan soal-soal berikut secara mandiri sebelum melanjutkan ke latihan soal:
- Ubah 62 = 36 ke bentuk logaritma
- Ubah 7log 49 = 2 ke bentuk eksponen
- Ubah 4−1 = 1/4 ke bentuk logaritma
Cocokkan jawabanmu dengan rumus konversi di atas.
Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangkumu:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa an = b sama artinya dengan alog b = n.
- Berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan eksponen dan logaritma (misalnya: pertumbuhan bakteri, skala Richter, pH).
- Presentasikan hasilmu di depan kelas.
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri di buku tugasmu!
Mudah
1. Ubah 34 = 81 ke bentuk logaritma!
2. Ubah 2log 16 = 4 ke bentuk eksponen!
3. Ubah 72 = 49 ke bentuk logaritma!
4. Ubah 10log 10000 = 4 ke bentuk eksponen!
5. Ubah 63 = 216 ke bentuk logaritma!
Sedang
6. Ubah 3−2 = 1/9 ke bentuk logaritma!
7. Ubah 8log 2 = 1/3 ke bentuk eksponen!
8. Ubah (1/4)2 = 1/16 ke bentuk logaritma!
9. Ubah 25log 5 = 1/2 ke bentuk eksponen!
10. Ubah 163/4 = 8 ke bentuk logaritma!
Sulit
11. Jika xlog 125 = 3, tentukan nilai x!
12. Ubah (1/5)−3 = 125 ke bentuk logaritma!
13. Jika 8log x = −2/3, tentukan nilai x!
14. Ubah √3log 27 = 6 ke bentuk eksponen dan buktikan kebenarannya!
15. Jika alog (1/a3) = x, tentukan nilai x dan nyatakan dalam bentuk eksponen!
Rangkuman
an = b ⟺ alog b = n
- Basis pada eksponen = basis pada logaritma
- Pangkat pada eksponen = hasil pada logaritma
- Hasil perpangkatan pada eksponen = numerus pada logaritma
- Syarat: basis > 0, basis ≠ 1, numerus > 0
- Pangkat boleh negatif, nol, atau pecahan