Logaritma – Operasi Hitung, Perubahan Basis, Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Operasi Hitung Logaritma

📖 Mengamati ❓ Menanya 🧠 Menalar ✏️ Mencoba 🗣️ Mengkomunikasikan

📖 Kegiatan Mengamati

Perhatikan hubungan antara bentuk eksponen dan logaritma berikut:

Bentuk Eksponen	Bentuk Logaritma	Keterangan
\(2^3 = 8\)	\({}^2\!\log 8 = 3\)	Basis 2, numerus 8, hasil 3
\(5^2 = 25\)	\({}^5\!\log 25 = 2\)	Basis 5, numerus 25, hasil 2
\(10^3 = 1000\)	\(\log 1000 = 3\)	Basis 10 (ditulis tanpa basis)

Definisi Logaritma

Jika \(a > 0\), \(a \neq 1\), dan \(b > 0\), maka:

\[{}^a\!\log b = c \iff a^c = b\]

Keterangan:

\(a\) = basis logaritma (\(a > 0, a \neq 1\))
\(b\) = numerus (argumen) (\(b > 0\))
\(c\) = hasil logaritma

Sifat-Sifat Operasi Hitung Logaritma

Sifat 1 (Penjumlahan):
\[{}^a\!\log b + {}^a\!\log c = {}^a\!\log(b \cdot c)\]

Sifat 2 (Pengurangan):
\[{}^a\!\log b – {}^a\!\log c = {}^a\!\log\frac{b}{c}\]

Sifat 3 (Pangkat pada numerus):
\[{}^a\!\log b^n = n \cdot {}^a\!\log b\]

Sifat 4 (Pangkat pada basis):
\[{}^{a^m}\!\log b = \frac{1}{m} \cdot {}^a\!\log b\]

Sifat 5:
\[{}^a\!\log a = 1\]

Sifat 6:
\[{}^a\!\log 1 = 0\]

Sifat 7:
\[a^{{}^a\!\log b} = b\]

❓ Kegiatan Menanya

Setelah mengamati sifat-sifat di atas, ajukan pertanyaan:

Mengapa basis logaritma tidak boleh sama dengan 1?
Mengapa numerus harus positif?
Bagaimana cara menyederhanakan operasi logaritma yang kompleks?
Kapan kita menggunakan masing-masing sifat?

Jawaban:

Jika \(a = 1\), maka \(1^c = 1\) untuk semua \(c\), sehingga tidak bisa menghasilkan nilai selain 1.
Numerus harus positif karena bilangan positif berapapun yang dipangkatkan selalu menghasilkan bilangan positif.

🧠 Kegiatan Menalar

Mari kita buktikan Sifat 1: \({}^a\!\log b + {}^a\!\log c = {}^a\!\log(b \cdot c)\)

Bukti:

Misalkan \({}^a\!\log b = p\) dan \({}^a\!\log c = q\)

Maka \(a^p = b\) dan \(a^q = c\)

Sehingga \(b \cdot c = a^p \cdot a^q = a^{p+q}\)

Maka \({}^a\!\log(b \cdot c) = p + q = {}^a\!\log b + {}^a\!\log c\) ∎

✏️ Kegiatan Mencoba

Sekarang coba terapkan sifat-sifat logaritma pada perhitungan berikut:

Hitunglah: \({}^2\!\log 4 + {}^2\!\log 8\)

Langkah:

\(= {}^2\!\log(4 \times 8) = {}^2\!\log 32 = {}^2\!\log 2^5 = 5\)

🗣️ Kegiatan Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan teman sekelompokmu:

Jelaskan dengan bahasamu sendiri mengapa \({}^a\!\log 1 = 0\)
Berikan contoh penerapan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma dalam kehidupan sehari-hari (misalnya skala Richter, desibel)
Presentasikan hasil diskusimu di depan kelas

Contoh Soal – Operasi Hitung Logaritma

🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)

Soal 1. Hitunglah \({}^2\!\log 16\)

Pembahasan:
\({}^2\!\log 16 = {}^2\!\log 2^4 = 4\)
Karena \(2^4 = 16\), maka hasilnya 4.

Soal 2. Hitunglah \({}^3\!\log 27\)

Pembahasan:
\({}^3\!\log 27 = {}^3\!\log 3^3 = 3\)
Karena \(3^3 = 27\).

Soal 3. Hitunglah \({}^5\!\log 125\)

Pembahasan:
\({}^5\!\log 125 = {}^5\!\log 5^3 = 3\)

Soal 4. Hitunglah \({}^2\!\log 8 + {}^2\!\log 4\)

Pembahasan:
\(= {}^2\!\log(8 \times 4) = {}^2\!\log 32 = {}^2\!\log 2^5 = 5\)

Soal 5. Hitunglah \({}^3\!\log 81 – {}^3\!\log 3\)

Pembahasan:
\(= {}^3\!\log\frac{81}{3} = {}^3\!\log 27 = {}^3\!\log 3^3 = 3\)

Soal 6. Hitunglah \(\log 100\)

Pembahasan:
\(\log 100 = \log 10^2 = 2\) (basis 10)

Soal 7. Hitunglah \({}^4\!\log 64\)

Pembahasan:
\({}^4\!\log 64 = {}^4\!\log 4^3 = 3\)

Soal 8. Hitunglah \({}^2\!\log 1\)

Pembahasan:
\({}^2\!\log 1 = 0\) (karena \(2^0 = 1\), sifat 6)

Soal 9. Hitunglah \({}^7\!\log 49\)

Pembahasan:
\({}^7\!\log 49 = {}^7\!\log 7^2 = 2\)

Soal 10. Sederhanakan \({}^2\!\log 4 + {}^2\!\log 2\)

Pembahasan:
\(= {}^2\!\log(4 \times 2) = {}^2\!\log 8 = {}^2\!\log 2^3 = 3\)

🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)

Soal 11. Hitunglah \({}^2\!\log 12 – {}^2\!\log 3 + {}^2\!\log 8\)

Pembahasan:
\(= {}^2\!\log\frac{12}{3} + {}^2\!\log 8\)
\(= {}^2\!\log 4 + {}^2\!\log 8\)
\(= {}^2\!\log(4 \times 8) = {}^2\!\log 32 = 5\)

Soal 12. Hitunglah \({}^3\!\log 9^4\)

Pembahasan:
\(= {}^3\!\log (3^2)^4 = {}^3\!\log 3^8 = 8\)

Soal 13. Jika \({}^2\!\log 3 = a\), nyatakan \({}^2\!\log 72\) dalam \(a\)

Pembahasan:
\({}^2\!\log 72 = {}^2\!\log(8 \times 9) = {}^2\!\log 8 + {}^2\!\log 9\)
\(= 3 + {}^2\!\log 3^2 = 3 + 2 \cdot {}^2\!\log 3 = 3 + 2a\)

Soal 14. Sederhanakan \({}^{4}\!\log 8\)

Pembahasan:
\({}^4\!\log 8 = {}^{2^2}\!\log 2^3 = \frac{3}{2}\)
Menggunakan: \({}^{a^m}\!\log b^n = \frac{n}{m}\) jika basis dan numerus sama.

Soal 15. Hitunglah \(2^{{}^2\!\log 5} \cdot 2^{{}^2\!\log 3}\)

Pembahasan:
Gunakan sifat \(a^{{}^a\!\log b} = b\):
\(= 2^{{}^2\!\log 5 + {}^2\!\log 3} = 2^{{}^2\!\log 15} = 15\)

🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)

Soal 16. Jika \({}^2\!\log 3 = p\) dan \({}^2\!\log 5 = q\), nyatakan \({}^2\!\log 0{,}12\) dalam \(p\) dan \(q\)

Pembahasan:
\(0{,}12 = \frac{12}{100} = \frac{4 \times 3}{4 \times 25} = \frac{3}{25}\)
\({}^2\!\log 0{,}12 = {}^2\!\log 3 – {}^2\!\log 25 = p – {}^2\!\log 5^2 = p – 2q\)

Soal 17. Sederhanakan \(\frac{{}^2\!\log 27 \cdot {}^3\!\log 16}{{}^2\!\log 9}\)

Pembahasan:
\({}^2\!\log 27 = {}^2\!\log 3^3 = 3 \cdot {}^2\!\log 3\)
\({}^3\!\log 16 = {}^3\!\log 2^4 = 4 \cdot {}^3\!\log 2 = \frac{4}{{}^2\!\log 3}\)
\({}^2\!\log 9 = 2 \cdot {}^2\!\log 3\)
\(\frac{3 \cdot {}^2\!\log 3 \cdot \frac{4}{{}^2\!\log 3}}{2 \cdot {}^2\!\log 3} = \frac{12}{2 \cdot {}^2\!\log 3} = \frac{6}{{}^2\!\log 3}\)
Jika numerik: \(= \frac{6}{\log_2 3} \approx 3{,}79\)

Soal 18. Hitunglah \({}^4\!\log 3 \cdot {}^9\!\log 32 \cdot {}^8\!\log 81\)

Pembahasan:
Ubah semua ke basis 2. Misalkan \({}^2\!\log 3 = k\).
\({}^4\!\log 3 = \frac{k}{2}\), \({}^9\!\log 32 = \frac{5}{2k}\), \({}^8\!\log 81 = \frac{4k}{3}\)
\(= \frac{k}{2} \cdot \frac{5}{2k} \cdot \frac{4k}{3} = \frac{20k}{12k} \cdot \frac{k}{1}\)…
Koreksi: \(= \frac{k}{2} \times \frac{5}{2k} \times \frac{4k}{3} = \frac{5 \cdot 4k^2}{2 \cdot 2k \cdot 3}\). Cek ulang:
\({}^4\!\log 3 = \frac{\log 3}{2\log 2}\), \({}^9\!\log 32 = \frac{5\log 2}{2\log 3}\), \({}^8\!\log 81 = \frac{4\log 3}{3\log 2}\)
\(= \frac{\log 3}{2\log 2} \cdot \frac{5\log 2}{2\log 3} \cdot \frac{4\log 3}{3\log 2} = \frac{20 \log 3}{12 \log 2} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\log 3}{\log 2} = \frac{5}{3} \cdot {}^2\!\log 3\)
Numerik ≈ \(\frac{5}{3} \times 1{,}585 = 2{,}642\)

Soal 19. Buktikan bahwa \({}^a\!\log b \cdot {}^b\!\log c \cdot {}^c\!\log a = 1\)

Pembahasan:
Gunakan perubahan basis: \({}^a\!\log b = \frac{\ln b}{\ln a}\)
\(\frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln c}{\ln b} \cdot \frac{\ln a}{\ln c} = \frac{\ln b \cdot \ln c \cdot \ln a}{\ln a \cdot \ln b \cdot \ln c} = 1\) ∎

Soal 20. Jika \({}^2\!\log 3 = a\), \({}^3\!\log 5 = b\), hitunglah \({}^{30}\!\log 45\)

Pembahasan:
\({}^{30}\!\log 45 = \frac{\log 45}{\log 30} = \frac{\log(9 \times 5)}{\log(2 \times 3 \times 5)}\)
Misalkan \(\log 2 = x\). Maka \(\log 3 = ax\) dan \(\log 5 = ab \cdot x \cdot \frac{\log 3}{\log 3}\)…
Langkah: \(\log 3 = a\log 2\), \(\log 5 = b\log 3 = ab\log 2\)
\(\log 45 = 2\log 3 + \log 5 = 2a\log 2 + ab\log 2 = (2a + ab)\log 2\)
\(\log 30 = \log 2 + \log 3 + \log 5 = \log 2 + a\log 2 + ab\log 2 = (1 + a + ab)\log 2\)
\({}^{30}\!\log 45 = \frac{2a + ab}{1 + a + ab} = \frac{a(2+b)}{1+a+ab}\)

Latihan Soal – Operasi Hitung Logaritma

🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)

1. Hitunglah \({}^2\!\log 64\)

2. Hitunglah \({}^3\!\log 81\)

3. Hitunglah \({}^5\!\log 625\)

4. Hitunglah \(\log 10000\)

5. Hitunglah \({}^6\!\log 36\)

6. Hitunglah \({}^2\!\log 16 + {}^2\!\log 2\)

7. Hitunglah \({}^3\!\log 243\)

8. Hitunglah \({}^5\!\log 25 – {}^5\!\log 5\)

9. Hitunglah \({}^{10}\!\log 1000\)

10. Hitunglah \({}^2\!\log 2^7\)

🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)

11. Sederhanakan \({}^2\!\log 48 – {}^2\!\log 6 + {}^2\!\log 4\)

12. Jika \({}^3\!\log 2 = m\), nyatakan \({}^3\!\log 48\) dalam \(m\)

13. Hitunglah \({}^{9}\!\log 27\)

14. Sederhanakan \(3 \cdot {}^2\!\log 4 + {}^2\!\log 2 – {}^2\!\log 16\)

15. Hitunglah \(5^{{}^5\!\log 7} + 3^{{}^3\!\log 4}\)

🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)

16. Jika \({}^2\!\log 3 = a\) dan \({}^2\!\log 7 = b\), nyatakan \({}^{14}\!\log 12\) dalam \(a\) dan \(b\)

17. Sederhanakan \({}^4\!\log 9 \cdot {}^{27}\!\log 8\)

18. Hitunglah \(\frac{1}{{}^2\!\log 6} + \frac{1}{{}^3\!\log 6}\)

19. Jika \(\log 2 = 0{,}301\) dan \(\log 3 = 0{,}477\), hitunglah \({}^{12}\!\log 18\)

20. Buktikan bahwa \({}^{a^2}\!\log b^3 + {}^{b^3}\!\log a^2 \geq 2\)

Persamaan Logaritma

📖 Mengamati ❓ Menanya 🧠 Menalar ✏️ Mencoba 🗣️ Mengkomunikasikan

📖 Kegiatan Mengamati

Persamaan logaritma adalah persamaan yang memuat bentuk logaritma dengan variabel yang belum diketahui.

Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma

Bentuk 1: \({}^a\!\log f(x) = {}^a\!\log g(x)\)

Syarat: \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\), \(a > 0\), \(a \neq 1\)

Penyelesaian: \(f(x) = g(x)\)

Bentuk 2: \({}^a\!\log f(x) = c\)

Syarat: \(f(x) > 0\)

Penyelesaian: \(f(x) = a^c\)

Bentuk 3: \({}^{h(x)}\!\log f(x) = {}^{h(x)}\!\log g(x)\)

Syarat: \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\), \(h(x) > 0\), \(h(x) \neq 1\)

Penyelesaian: \(f(x) = g(x)\) dengan semua syarat dipenuhi

Bentuk 4: \({}^{f(x)}\!\log g(x) = {}^{f(x)}\!\log h(x)\)

Penyelesaian:

\(g(x) = h(x)\), atau
\(f(x) = 1\) (tidak valid karena basis ≠ 1)

Bentuk 5: Persamaan logaritma yang dapat diubah ke bentuk kuadrat

Misalkan \({}^a\!\log f(x) = t\), lalu selesaikan persamaan kuadrat dalam \(t\)

❓ Kegiatan Menanya

Mengapa syarat penyelesaian persamaan logaritma penting?
Bagaimana jika solusi tidak memenuhi syarat?
Apa perbedaan antara penyelesaian persamaan dan pemeriksaan syarat?

Jawaban:

Syarat penting karena logaritma hanya terdefinisi untuk numerus positif dan basis positif (≠1).
Jika solusi tidak memenuhi syarat, maka solusi tersebut bukan penyelesaian (harus dibuang).
Penyelesaian: mencari nilai \(x\). Pemeriksaan: memastikan nilai \(x\) memenuhi domain.

🧠 Kegiatan Menalar

Langkah Sistematis Menyelesaikan Persamaan Logaritma:

Identifikasi bentuk persamaan
Tentukan syarat-syarat yang harus dipenuhi
Selesaikan persamaan berdasarkan bentuknya
Periksa apakah solusi memenuhi semua syarat
Tuliskan himpunan penyelesaian

✏️ Kegiatan Mencoba

Selesaikan: \({}^2\!\log(x+3) = {}^2\!\log(2x-1)\)

Langkah:

1. Bentuk 1: \(f(x) = g(x) \Rightarrow x + 3 = 2x – 1 \Rightarrow x = 4\)

2. Cek syarat: \(x+3 = 7 > 0\) ✓ dan \(2x-1 = 7 > 0\) ✓

3. HP = \(\{4\}\)

🗣️ Kegiatan Mengkomunikasikan

Buat langkah-langkah penyelesaian yang sistematis dan presentasikan:

Buat diagram alir penyelesaian persamaan logaritma
Jelaskan pentingnya memeriksa syarat pada setiap solusi
Berikan contoh soal dimana solusi yang diperoleh tidak memenuhi syarat

Contoh Soal – Persamaan Logaritma

🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)

Soal 1. Selesaikan \({}^3\!\log x = 2\)

Pembahasan:
Bentuk 2: \(x = 3^2 = 9\)
Cek: \(x = 9 > 0\) ✓
HP = \(\{9\}\)

Soal 2. Selesaikan \({}^2\!\log(x-1) = 3\)

Pembahasan:
\(x – 1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 9\)
Cek: \(x – 1 = 8 > 0\) ✓
HP = \(\{9\}\)

Soal 3. Selesaikan \({}^5\!\log(2x+1) = 1\)

Pembahasan:
\(2x + 1 = 5^1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\)
Cek: \(2(2)+1 = 5 > 0\) ✓
HP = \(\{2\}\)

Soal 4. Selesaikan \({}^2\!\log(x+5) = {}^2\!\log(3x-1)\)

Pembahasan:
\(x + 5 = 3x – 1 \Rightarrow 6 = 2x \Rightarrow x = 3\)
Cek: \(3+5=8>0\) ✓, \(3(3)-1=8>0\) ✓
HP = \(\{3\}\)

Soal 5. Selesaikan \(\log(x-2) = 1\)

Pembahasan:
\(x – 2 = 10^1 = 10 \Rightarrow x = 12\)
Cek: \(12 – 2 = 10 > 0\) ✓
HP = \(\{12\}\)

Soal 6. Selesaikan \({}^4\!\log(x^2) = 2\)

Pembahasan:
\(x^2 = 4^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4\)
Cek: \(x^2 = 16 > 0\) untuk kedua nilai ✓
HP = \(\{-4, 4\}\)

Soal 7. Selesaikan \({}^3\!\log(x+2) = {}^3\!\log 7\)

Pembahasan:
\(x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5\)
Cek: \(5+2=7>0\) ✓
HP = \(\{5\}\)

Soal 8. Selesaikan \({}^2\!\log(3x) = 4\)

Pembahasan:
\(3x = 2^4 = 16 \Rightarrow x = \frac{16}{3}\)
Cek: \(3 \cdot \frac{16}{3} = 16 > 0\) ✓
HP = \(\left\{\frac{16}{3}\right\}\)

Soal 9. Selesaikan \({}^5\!\log(x^2 – 4) = {}^5\!\log(4x – 4)\)

Pembahasan:
\(x^2 – 4 = 4x – 4 \Rightarrow x^2 – 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0\)
\(x = 0\) atau \(x = 4\)
Cek \(x=0\): \(0-4=-4 < 0\) ✗ (tidak memenuhi)
Cek \(x=4\): \(16-4=12>0\) ✓, \(16-4=12>0\) ✓
HP = \(\{4\}\)

Soal 10. Selesaikan \({}^2\!\log(x-3) + {}^2\!\log(x+1) = 3\)

Pembahasan:
\({}^2\!\log[(x-3)(x+1)] = 3\)
\((x-3)(x+1) = 2^3 = 8\)
\(x^2 – 2x – 3 = 8 \Rightarrow x^2 – 2x – 11 = 0\)
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4+44}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{3}\)
Cek \(x = 1 + 2\sqrt{3} \approx 4{,}46\): \(x-3>0\) ✓, \(x+1>0\) ✓
Cek \(x = 1 – 2\sqrt{3} \approx -2{,}46\): \(x-3<0\) ✗
HP = \(\{1 + 2\sqrt{3}\}\)

🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)

Soal 11. Selesaikan \(({}^3\!\log x)^2 – 4 \cdot {}^3\!\log x + 3 = 0\)

Pembahasan:
Misalkan \(t = {}^3\!\log x\)
\(t^2 – 4t + 3 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-3) = 0\)
\(t = 1 \Rightarrow x = 3^1 = 3\)
\(t = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27\)
Cek: kedua nilai positif ✓
HP = \(\{3, 27\}\)

Soal 12. Selesaikan \({}^{(x-1)}\!\log(x+5) = 2\)

Pembahasan:
\(x + 5 = (x-1)^2\)
\(x + 5 = x^2 – 2x + 1\)
\(x^2 – 3x – 4 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) = 0\)
\(x = 4\) atau \(x = -1\)
Cek \(x=4\): basis \(= 3 > 0\), \(\neq 1\) ✓; numerus \(= 9 > 0\) ✓
Cek \(x=-1\): basis \(= -2 < 0\) ✗
HP = \(\{4\}\)

Soal 13. Selesaikan \({}^2\!\log(x^2 – 3x) = {}^2\!\log(x + 5)\)

Pembahasan:
\(x^2 – 3x = x + 5 \Rightarrow x^2 – 4x – 5 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+1) = 0\)
\(x = 5\) atau \(x = -1\)
Cek \(x=5\): \(25-15=10>0\) ✓, \(5+5=10>0\) ✓
Cek \(x=-1\): \(1+3=4>0\) ✓, \(-1+5=4>0\) ✓
HP = \(\{-1, 5\}\)

Soal 14. Selesaikan \(\log x + \log(x-3) = 1\)

Pembahasan:
\(\log[x(x-3)] = 1 \Rightarrow x(x-3) = 10\)
\(x^2 – 3x – 10 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+2) = 0\)
\(x = 5\) atau \(x = -2\)
Cek \(x=5\): \(5>0\) ✓, \(5-3=2>0\) ✓
Cek \(x=-2\): \(-2<0\) ✗
HP = \(\{5\}\)

Soal 15. Selesaikan \({}^3\!\log(x-1) + {}^3\!\log(x+1) = {}^3\!\log 8\)

Pembahasan:
\({}^3\!\log[(x-1)(x+1)] = {}^3\!\log 8\)
\((x-1)(x+1) = 8 \Rightarrow x^2 – 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\)
Cek \(x=3\): \(2>0\) ✓, \(4>0\) ✓
Cek \(x=-3\): \(-4<0\) ✗
HP = \(\{3\}\)

🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)

Soal 16. Selesaikan \({}^x\!\log(3x-2) = 2\)

Pembahasan:
\(3x – 2 = x^2 \Rightarrow x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 2\)
Cek \(x=1\): basis = 1 ✗ (basis tidak boleh 1)
Cek \(x=2\): basis = 2 > 0, ≠ 1 ✓; numerus = 4 > 0 ✓; \(2^2 = 4 = 3(2)-2\) ✓
HP = \(\{2\}\)

Soal 17. Selesaikan \(({}^2\!\log x)^2 = {}^2\!\log x^4 – 4\)

Pembahasan:
Misalkan \(t = {}^2\!\log x\)
\(t^2 = 4t – 4 \Rightarrow t^2 – 4t + 4 = 0 \Rightarrow (t-2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2\)
\({}^2\!\log x = 2 \Rightarrow x = 4\)
Cek: \(x = 4 > 0\) ✓
HP = \(\{4\}\)

Soal 18. Selesaikan \({}^2\!\log(4^x + 4) = x + {}^2\!\log(2^{x+1} – 3)\)

Pembahasan:
\({}^2\!\log(4^x + 4) = {}^2\!\log 2^x + {}^2\!\log(2^{x+1} – 3)\)
\({}^2\!\log(4^x + 4) = {}^2\!\log[2^x(2^{x+1} – 3)]\)
\(4^x + 4 = 2^x(2^{x+1} – 3)\)
\(2^{2x} + 4 = 2^{2x+1} – 3 \cdot 2^x\)
Misalkan \(u = 2^x\): \(u^2 + 4 = 2u^2 – 3u\)
\(u^2 – 3u – 4 = 0 \Rightarrow (u-4)(u+1) = 0\)
\(u = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2\) (u = -1 tidak valid)
Cek: \(4^2 + 4 = 20\), \(2^3 – 3 = 5\), \(2^2 \cdot 5 = 20\) ✓
HP = \(\{2\}\)

Soal 19. Selesaikan \({}^{(x+2)}\!\log(2x^2 + 5x – 3) = 2\)

Pembahasan:
\(2x^2 + 5x – 3 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\)
\(x^2 + x – 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}\)
\(x_1 = \frac{-1+\sqrt{29}}{2} \approx 2{,}19\), \(x_2 = \frac{-1-\sqrt{29}}{2} \approx -3{,}19\)
Cek \(x_1\): basis = 4.19 > 0, ≠ 1 ✓; numerus = \(2(4.8)+5(2.19)-3 \approx 17.55 > 0\) ✓
Cek \(x_2\): basis = -1.19 < 0 ✗
HP = \(\left\{\frac{-1+\sqrt{29}}{2}\right\}\)

Soal 20. Selesaikan \(\log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11\)

Pembahasan:
Ubah ke basis 2:
\({}^2\!\log x + {}^{2^2}\!\log x + {}^{2^3}\!\log x = 11\)
\({}^2\!\log x + \frac{1}{2}{}^2\!\log x + \frac{1}{3}{}^2\!\log x = 11\)
\({}^2\!\log x\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = 11\)
\({}^2\!\log x \cdot \frac{11}{6} = 11\)
\({}^2\!\log x = 6 \Rightarrow x = 2^6 = 64\)
HP = \(\{64\}\)

Latihan Soal – Persamaan Logaritma

🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)

1. Selesaikan \({}^2\!\log x = 5\)

2. Selesaikan \({}^3\!\log(2x+1) = 2\)

3. Selesaikan \({}^5\!\log(x-4) = 1\)

4. Selesaikan \(\log(3x) = 2\)

5. Selesaikan \({}^2\!\log(x+1) = {}^2\!\log 9\)

6. Selesaikan \({}^4\!\log(2x-3) = 1\)

7. Selesaikan \({}^3\!\log(x^2) = 4\)

8. Selesaikan \({}^2\!\log(5x-1) = {}^2\!\log(2x+8)\)

9. Selesaikan \({}^7\!\log(x+6) = 1\)

10. Selesaikan \(\log(x^2 – 1) = \log 8\)

🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)

11. Selesaikan \(({}^2\!\log x)^2 – 5 \cdot {}^2\!\log x + 6 = 0\)

12. Selesaikan \({}^{(x+3)}\!\log(2x+5) = 2\)

13. Selesaikan \({}^3\!\log(x+3) – {}^3\!\log(x-1) = 1\)

14. Selesaikan \(\log(x-1) + \log(x+2) = \log 10\)

15. Selesaikan \({}^2\!\log x + {}^4\!\log x = 6\)

🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)

16. Selesaikan \({}^{(2x-1)}\!\log(x^2 – 5x + 10) = 2\)

17. Selesaikan \(({}^3\!\log x)({}^x\!\log 3) – {}^3\!\log x + 6 \cdot {}^x\!\log 3 – 6 = 0\)

18. Selesaikan \(2\log_3 x – \log_x 9 = 1\)

19. Selesaikan \(\log_2(4^x + 4) = x + \log_2(2^{x+2} – 5)\)

20. Selesaikan \(\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{2}\)

Operasi Hitung Logaritma

📖 Kegiatan Mengamati

Definisi Logaritma

Sifat-Sifat Operasi Hitung Logaritma

❓ Kegiatan Menanya

🧠 Kegiatan Menalar

✏️ Kegiatan Mencoba

🗣️ Kegiatan Mengkomunikasikan

Contoh Soal – Operasi Hitung Logaritma

Latihan Soal – Operasi Hitung Logaritma

Perubahan Basis Logaritma

📖 Kegiatan Mengamati

Rumus Perubahan Basis

Rumus-Rumus Turunan Penting

❓ Kegiatan Menanya

🧠 Kegiatan Menalar

✏️ Kegiatan Mencoba

🗣️ Kegiatan Mengkomunikasikan

Contoh Soal – Perubahan Basis Logaritma

Latihan Soal – Perubahan Basis Logaritma

Persamaan Logaritma

📖 Kegiatan Mengamati

Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma

❓ Kegiatan Menanya

🧠 Kegiatan Menalar

✏️ Kegiatan Mencoba

🗣️ Kegiatan Mengkomunikasikan

Contoh Soal – Persamaan Logaritma

Latihan Soal – Persamaan Logaritma

Pertidaksamaan Logaritma

📖 Kegiatan Mengamati

Aturan Utama

Syarat yang Harus Dipenuhi

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan Logaritma

❓ Kegiatan Menanya

🧠 Kegiatan Menalar

✏️ Kegiatan Mencoba

🗣️ Kegiatan Mengkomunikasikan

Contoh Soal – Pertidaksamaan Logaritma

Latihan Soal – Pertidaksamaan Logaritma

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed