Logaritma – Pengertian, Bentuk Umum, dan Sifat-sifat Logartima serta Hubungan Logaritma dengan Eksponen

📘 1. Pengertian Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan pertanyaan berikut:

Berapa kali angka 2 harus dikalikan dengan dirinya sendiri agar menghasilkan 8?
Berapa kali angka 3 harus dikalikan dengan dirinya sendiri agar menghasilkan 81?
Berapa kali angka 10 harus dikalikan dengan dirinya sendiri agar menghasilkan 1000?

Jawaban dari pertanyaan-pertanyaan di atas dapat dicari menggunakan logaritma.

Definisi Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari operasi eksponen (pemangkatan). Logaritma digunakan untuk mencari pangkat (eksponen) dari suatu bilangan pokok (basis) yang menghasilkan bilangan tertentu.

Secara sederhana:

Jika a n = b, maka a log b = n Dibaca: “logaritma b dengan basis a sama dengan n”

Keterangan:

a = bilangan pokok (basis), dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1
b = bilangan yang dicari logaritmanya (numerus), dengan syarat b > 0
n = hasil logaritma (eksponen)

❓ Kegiatan: Menanya

Setelah mengamati definisi di atas, coba pikirkan:

Mengapa basis logaritma tidak boleh sama dengan 1?
Mengapa numerus harus positif?
Apa hubungan antara logaritma dengan eksponen?

Jawaban:

• Jika basis = 1, maka 1ⁿ = 1 untuk semua n, sehingga logaritma menjadi tidak terdefinisi untuk numerus selain 1.

• Numerus harus positif karena tidak ada bilangan real yang jika dipangkatkan menghasilkan bilangan negatif atau nol (dengan basis positif).

• Logaritma adalah kebalikan dari eksponen — jika eksponen mencari hasil pemangkatan, logaritma mencari pangkatnya.

🧠 Kegiatan: Menalar

Perhatikan tabel berikut yang menunjukkan hubungan eksponen dan logaritma:

Bentuk Eksponen	Bentuk Logaritma	Penjelasan
2³ = 8	²log 8 = 3	2 dikali 3 kali = 8
3⁴ = 81	³log 81 = 4	3 dikali 4 kali = 81
10³ = 1000	¹⁰log 1000 = 3	10 dikali 3 kali = 1000
5² = 25	⁵log 25 = 2	5 dikali 2 kali = 25
7¹ = 7	⁷log 7 = 1	7 dikali 1 kali = 7
4⁰ = 1	⁴log 1 = 0	4 pangkat 0 = 1

Kesimpulan dari tabel:

Logaritma dari bilangan yang sama dengan basisnya selalu = 1 (contoh: ⁷log 7 = 1)
Logaritma dari 1 dengan basis berapapun selalu = 0 (contoh: ⁴log 1 = 0)

✏️ Kegiatan: Mencoba

Cobalah ubah bentuk eksponen berikut menjadi bentuk logaritma:

6² = 36 → ⁶log 36 = 2
2⁵ = 32 → ²log 32 = 5
10⁴ = 10.000 → ¹⁰log 10.000 = 4

Sekarang coba sendiri: ubah 9² = 81 menjadi bentuk logaritma!

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Jelaskan dengan kata-katamu sendiri:

Apa itu logaritma dan bagaimana cara membacanya?
Syarat apa saja yang harus dipenuhi agar logaritma terdefinisi?

Contoh penjelasan: “Logaritma adalah cara untuk mencari berapa kali suatu bilangan harus dipangkatkan agar menghasilkan bilangan tertentu. Misalnya ²log 8 = 3, artinya bilangan 2 harus dipangkatkan 3 agar menghasilkan 8.”

📝 Notasi Khusus Logaritma

log b (tanpa basis tertulis) = ¹⁰log b → logaritma basis 10 (logaritma umum / common logarithm)
ln b = ^elog b → logaritma basis e ≈ 2,718 (logaritma natural)
^alog b → logaritma b dengan basis a

📗 Contoh Soal — Pengertian Logaritma

Mudah Soal 1–10

1. Ubahlah 2⁴ = 16 menjadi bentuk logaritma!

Pembahasan:

Bentuk eksponen: 2⁴ = 16

Basis = 2, pangkat = 4, hasil = 16

Bentuk logaritma: ²log 16 = 4

2. Ubahlah 5³ = 125 menjadi bentuk logaritma!

Pembahasan:

Bentuk eksponen: 5³ = 125

Basis = 5, pangkat = 3, hasil = 125

Bentuk logaritma: ⁵log 125 = 3

3. Tentukan nilai dari ³log 9!

Pembahasan:

Kita cari n sehingga 3ⁿ = 9

3² = 9, maka n = 2

Jadi ³log 9 = 2

4. Tentukan nilai dari ²log 32!

Pembahasan:

2ⁿ = 32 → 2⁵ = 32, maka n = 5

Jadi ²log 32 = 5

5. Tentukan nilai dari ¹⁰log 100!

Pembahasan:

10ⁿ = 100 → 10² = 100, maka n = 2

Jadi ¹⁰log 100 = 2 atau log 100 = 2

6. Tentukan nilai dari ⁴log 64!

Pembahasan:

4ⁿ = 64 → 4³ = 64, maka n = 3

Jadi ⁴log 64 = 3

7. Tentukan nilai dari ⁶log 1!

Pembahasan:

6ⁿ = 1 → Bilangan apapun pangkat 0 = 1, maka n = 0

Jadi ⁶log 1 = 0

8. Tentukan nilai dari ⁷log 7!

Pembahasan:

7ⁿ = 7 → 7¹ = 7, maka n = 1

Jadi ⁷log 7 = 1

9. Ubahlah 10⁵ = 100.000 menjadi bentuk logaritma!

Pembahasan:

Basis = 10, pangkat = 5, hasil = 100.000

Bentuk logaritma: ¹⁰log 100.000 = 5 atau log 100.000 = 5

10. Tentukan nilai dari ²log 64!

Pembahasan:

2ⁿ = 64 → 2⁶ = 64, maka n = 6

Jadi ²log 64 = 6

Sedang Soal 11–15

11. Tentukan nilai dari ²log 1/8!

Pembahasan:

1/8 = 2⁻³ (karena 2³ = 8)

Maka ²log (1/8) = ²log 2⁻³ = −3

Jadi ²log (1/8) = −3

12. Tentukan nilai dari ⁹log 27!

Pembahasan:

Ubah ke basis yang sama: 9 = 3² dan 27 = 3³

⁹log 27 = ^3²log 3³

Gunakan rumus: ^{a^m}log bⁿ = (n/m) × ^alog b

= (3/2) × ³log 3 = (3/2) × 1 = 3/2

Jadi ⁹log 27 = 3/2 = 1,5

13. Tentukan nilai dari ⁴log 32!

Pembahasan:

4 = 2² dan 32 = 2⁵

⁴log 32 = ^2²log 2⁵ = 5/2

Jadi ⁴log 32 = 5/2 = 2,5

14. Tentukan nilai dari ²⁵log 125!

Pembahasan:

25 = 5² dan 125 = 5³

²⁵log 125 = ^5²log 5³ = 3/2

Jadi ²⁵log 125 = 3/2 = 1,5

15. Tentukan nilai dari ⁸log 4!

Pembahasan:

8 = 2³ dan 4 = 2²

⁸log 4 = ^2³log 2² = 2/3

Jadi ⁸log 4 = 2/3

Sulit Soal 16–20

16. Tentukan nilai x jika ²log x = 7!

Pembahasan:

Dari definisi: ²log x = 7 berarti 2⁷ = x

x = 2⁷ = 128

Jadi x = 128

17. Tentukan nilai x jika ^xlog 64 = 3!

Pembahasan:

^xlog 64 = 3 berarti x³ = 64

x = ∛64 = 4

Jadi x = 4

18. Tentukan nilai dari ²log 4 + ²log 8!

Pembahasan:

²log 4 = 2 (karena 2² = 4)

²log 8 = 3 (karena 2³ = 8)

²log 4 + ²log 8 = 2 + 3 = 5

Cara cepat: ²log 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²log 32 = 5

Jadi jawabannya 5

19. Tentukan nilai x jika ³log (2x − 1) = 2!

Pembahasan:

³log (2x − 1) = 2 berarti 3² = 2x − 1

9 = 2x − 1

2x = 10

x = 5

Cek: numerus = 2(5) − 1 = 9 > 0 ✓

Jadi x = 5

20. Jika ²log 3 = a, nyatakan ²log 12 dalam a!

Pembahasan:

12 = 4 × 3 = 2² × 3

²log 12 = ²log (2² × 3) = ²log 2² + ²log 3 = 2 + a

Jadi ²log 12 = 2 + a

📝 Latihan Soal — Pengertian Logaritma

Mudah

1. Ubahlah 3³ = 27 menjadi bentuk logaritma!

2. Ubahlah 7² = 49 menjadi bentuk logaritma!

3. Tentukan nilai ⁵log 125!

4. Tentukan nilai ²log 16!

5. Tentukan nilai ¹⁰log 10.000!

6. Tentukan nilai ³log 1!

7. Tentukan nilai ⁸log 8!

8. Ubahlah 4³ = 64 menjadi bentuk logaritma!

9. Tentukan nilai ⁶log 36!

10. Tentukan nilai ²log 128!

Sedang

11. Tentukan nilai ⁴log (1/16)!

12. Tentukan nilai ²⁷log 9!

13. Tentukan nilai ¹⁶log 8!

14. Tentukan nilai x jika ⁵log x = 3!

15. Tentukan nilai ³log (1/27)!

Sulit

16. Tentukan nilai x jika ^xlog 125 = 3!

17. Jika ²log 5 = p, nyatakan ²log 20 dalam p!

18. Tentukan nilai x jika ⁴log (3x + 1) = 2!

19. Tentukan nilai ²log 4 × ⁴log 8!

20. Tentukan semua nilai x yang memenuhi ²log (x² − 3) = 3!

📘 2. Hubungan Logaritma dan Eksponen

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan dua operasi matematika berikut dan temukan hubungannya:

Eksponen (Pemangkatan)	Logaritma
2³ = 8	²log 8 = 3
5⁴ = 625	⁵log 625 = 4
10⁻² = 0,01	¹⁰log 0,01 = −2
3⁰ = 1	³log 1 = 0

Hubungan Fundamental

Eksponen dan logaritma adalah operasi invers (kebalikan) satu sama lain, seperti penjumlahan dan pengurangan, atau perkalian dan pembagian.

Bentuk Eksponen \to Bentuk Logaritma: a n = b ⟺ a log b = n

Analogi sederhana:

🔄 Eksponen menjawab: “Berapa hasilnya jika basis dipangkatkan?”

🔄 Logaritma menjawab: “Berapa pangkatnya agar basis menghasilkan bilangan tertentu?”

Sifat-sifat Penting dari Hubungan Ini:

1. a a log b = b Jika kita memangkatkan basis a dengan logaritma-nya, hasilnya adalah numerus b. Contoh: 2 2 log 8 = 2 3 = 8 ✓

2. a log a n = n Logaritma dari a pangkat n (dengan basis a) sama dengan n. Contoh: 3 log 3 4 = 4 ✓

❓ Kegiatan: Menanya

Jika eksponen menghasilkan bilangan besar dari bilangan kecil, apakah logaritma bisa menghasilkan bilangan kecil dari bilangan besar?
Apakah setiap bentuk eksponen bisa diubah ke logaritma? Kapan tidak bisa?

Jawaban:

1. Ya! Misalnya 2¹⁰ = 1024, maka ²log 1024 = 10. Bilangan besar 1024 menjadi angka kecil 10.

2. Bisa, asalkan syarat logaritma terpenuhi: basis > 0, basis ≠ 1, dan numerus > 0.

🧠 Kegiatan: Menalar

Perhatikan grafik hubungan antara fungsi eksponen y = 2^x dan fungsi logaritma y = ²log x:

Grafik fungsi eksponen y = 2^x (biru) dan logaritma y = ²log x (merah) saling dicerminkan terhadap garis y = x

Kesimpulan: Grafik fungsi logaritma adalah pencerminan dari grafik fungsi eksponen terhadap garis y = x.

✏️ Kegiatan: Mencoba

Lengkapi tabel konversi berikut:

No	Bentuk Eksponen	Bentuk Logaritma
1	4² = 16	…
2	…	³log 243 = 5
3	2⁻⁴ = 1/16	…
4	…	¹⁰log 0,001 = −3
5	5⁰ = 1	…

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buatlah diagram atau peta konsep yang menunjukkan hubungan antara eksponen dan logaritma. Jelaskan mengapa keduanya disebut operasi invers.

📗 Contoh Soal — Hubungan Log & Eksponen

Mudah Soal 1–10

1. Ubah 3⁴ = 81 ke bentuk logaritma!

Pembahasan: Basis=3, pangkat=4, hasil=81. Jadi ³log 81 = 4

2. Ubah ⁵log 25 = 2 ke bentuk eksponen!

Pembahasan: Basis=5, eksponen=2, numerus=25. Jadi 5² = 25

3. Ubah 7³ = 343 ke bentuk logaritma!

Pembahasan: ⁷log 343 = 3

4. Ubah ⁴log 256 = 4 ke bentuk eksponen!

Pembahasan: 4⁴ = 256

5. Ubah 10⁶ = 1.000.000 ke bentuk logaritma!

Pembahasan: log 1.000.000 = 6

6. Ubah ²log 1 = 0 ke bentuk eksponen!

Pembahasan: 2⁰ = 1 ✓

7. Ubah 6¹ = 6 ke bentuk logaritma!

Pembahasan: ⁶log 6 = 1

8. Tentukan nilai 5^{⁵log 7}!

Pembahasan: Gunakan sifat a^{^alog b} = b. Jadi 5^{⁵log 7} = 7

9. Tentukan nilai ³log 3⁵!

Pembahasan: Gunakan sifat ^alog aⁿ = n. Jadi ³log 3⁵ = 5

10. Ubah ¹⁰log 0,1 = −1 ke bentuk eksponen!

Pembahasan: 10⁻¹ = 0,1 ✓

Sedang Soal 11–15

11. Tentukan nilai 2^{²log 5 + ²log 3}!

Pembahasan:

2^{²log 5 + ²log 3} = 2^{²log (5×3)} = 2^{²log 15} = 15

12. Tentukan nilai ²log (2³ × 2⁴)!

Pembahasan:

2³ × 2⁴ = 2⁷

²log 2⁷ = 7

13. Jika 3^x = 15, tentukan nilai ³log 15!

Pembahasan:

Dari 3^x = 15, langsung ³log 15 = x

14. Tentukan nilai ⁵log (5² / 5⁻¹)!

Pembahasan:

5² / 5⁻¹ = 5²⁻⁽⁻¹⁾ = 5³

⁵log 5³ = 3

15. Tentukan nilai 10^{2 + log 3}!

Pembahasan:

10^{2 + log 3} = 10² × 10^{log 3} = 100 × 3 = 300

Sulit Soal 16–20

16. Jika 2^x = 3 dan 2^y = 5, tentukan 2^x+y!

Pembahasan:

2^x+y = 2^x × 2^y = 3 × 5 = 15

17. Jika ²log 3 = a dan ²log 5 = b, nyatakan ²log 45 dalam a dan b!

Pembahasan:

45 = 9 × 5 = 3² × 5

²log 45 = ²log 3² + ²log 5 = 2a + b

Jadi ²log 45 = 2a + b

18. Tentukan nilai dari 3^{2 + ³log 5} − 2 × 3^{³log 5}!

Pembahasan:

3^{2 + ³log 5} = 3² × 3^{³log 5} = 9 × 5 = 45

2 × 3^{³log 5} = 2 × 5 = 10

Hasil = 45 − 10 = 35

19. Tentukan nilai x jika 4^x−1 = 8^x+2!

Pembahasan:

4^x−1 = (2²)^x−1 = 2^2(x−1) = 2^2x−2

8^x+2 = (2³)^x+2 = 2^3(x+2) = 2^3x+6

2x − 2 = 3x + 6 → x = −8

Jadi x = −8

20. Jika ^alog b = 3 dan ^alog c = −2, tentukan ^alog (b² × c)!

Pembahasan:

^alog (b² × c) = ^alog b² + ^alog c = 2 × ^alog b + ^alog c

= 2(3) + (−2) = 6 − 2 = 4

📝 Latihan Soal — Hubungan Log & Eksponen

Mudah

1. Ubah 9² = 81 ke bentuk logaritma!

2. Ubah ⁷log 49 = 2 ke bentuk eksponen!

3. Tentukan nilai 4^{⁴log 9}!

4. Tentukan nilai ⁶log 6³!

5. Ubah 2⁻³ = 1/8 ke bentuk logaritma!

6. Ubah ¹⁰log 10 = 1 ke bentuk eksponen!

7. Tentukan nilai 7^{⁷log 2}!

8. Tentukan nilai ⁵log 5⁰!

9. Ubah 11² = 121 ke bentuk logaritma!

10. Ubah ⁸log 512 = 3 ke bentuk eksponen!

Sedang

11. Tentukan nilai 3^{1 + ³log 4}!

12. Tentukan nilai ²log (4³ ÷ 2²)!

13. Jika 5^x = 12, tentukan nilai ⁵log 12!

14. Tentukan nilai 10^{3 − log 5}!

15. Tentukan nilai ⁴log (4^a × 4^b)!

Sulit

16. Jika ³log 2 = m dan ³log 7 = n, nyatakan ³log 28 dalam m dan n!

17. Tentukan nilai 2^{3 + ²log 3} − 3 × 2^{²log 3}!

18. Tentukan x jika 9^x−1 = 27^x+1!

19. Jika ^alog b = 4 dan ^alog c = −1, tentukan ^alog (b³/c²)!

20. Tentukan nilai ²log 3 × ³log 5 × ⁵log 2!

📘 3. Bentuk Umum Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan berbagai cara penulisan logaritma yang sering ditemui:

Penulisan	Arti	Keterangan
^alog b	Logaritma b basis a	Bentuk umum
log b	¹⁰log b	Logaritma umum (basis 10)
ln b	^elog b	Logaritma natural (basis e ≈ 2,718)
lg b	¹⁰log b	Notasi lain untuk log basis 10

Bentuk Umum Logaritma

a log b = c Artinya: a c = b

Komponen bentuk umum:

a

Basis

a > 0 dan a ≠ 1

b

Numerus

b > 0

c

Hasil

c ∈ bilangan real

Syarat-syarat Logaritma Terdefinisi:

Basis (a): a > 0 dan a \neq 1 Basis harus bilangan positif dan tidak boleh 1 Numerus (b): b > 0 Bilangan yang dilogaritmakan harus positif

Contoh bilangan yang TIDAK bisa dilogaritmakan:

❌ 1 log 5 \to basis = 1, tidak boleh! ❌ -2 log 8 \to basis negatif, tidak boleh! ❌ 3 log 0 \to numerus = 0, tidak boleh! ❌ 2 log (-4) \to numerus negatif, tidak boleh! ❌ 0 log 5 \to basis = 0, tidak boleh!

❓ Kegiatan: Menanya

Apakah ^0,5log 4 terdefinisi? Berapa nilainya?
Kapan kita menggunakan logaritma natural (ln) dan kapan menggunakan logaritma umum (log)?

Jawaban:

1. Ya, terdefinisi! 0,5 > 0 dan 0,5 ≠ 1. ^0,5log 4 = n → (0,5)ⁿ = 4 → (1/2)ⁿ = 4 → 2⁻ⁿ = 2² → n = −2

2. log (basis 10) digunakan dalam perhitungan umum, sains, dan teknik. ln (basis e) digunakan dalam kalkulus, pertumbuhan/peluruhan, dan fisika.

🧠 Kegiatan: Menalar

Lengkapi tabel berikut dan tentukan apakah logaritma terdefinisi:

Logaritma	Basis (a)	Numerus (b)	Syarat Terpenuhi?
³log 27	3 (>0, ≠1) ✓	27 (>0) ✓	✅ Ya
¹log 5	1 (=1) ✗	5 (>0) ✓	❌ Tidak
²log (−8)	2 (>0, ≠1) ✓	−8 (<0) ✗	❌ Tidak
^0,5log 2	0,5 (>0, ≠1) ✓	2 (>0) ✓	✅ Ya
log 100	10 (>0, ≠1) ✓	100 (>0) ✓	✅ Ya

✏️ Kegiatan: Mencoba

Tentukan mana di antara logaritma berikut yang terdefinisi dan mana yang tidak:

⁵log 0,2 → Terdefinisi (5>0, 5≠1, 0,2>0)
⁻³log 9 → Tidak terdefinisi (basis negatif)
ln 1 → Terdefinisi (e>0, e≠1, 1>0). Nilainya = 0
¹log 10 → Tidak terdefinisi (basis = 1)

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Jelaskan kepada temanmu mengapa syarat basis ≠ 1 dan numerus > 0 sangat penting dalam logaritma. Berikan contoh akibatnya jika syarat ini dilanggar.

📗 Contoh Soal — Bentuk Umum Logaritma

Mudah Soal 1–10

1. Sebutkan basis, numerus, dan hasil dari ⁵log 25 = 2!

Pembahasan: Basis = 5, Numerus = 25, Hasil = 2

2. Apakah ³log 81 terdefinisi? Jika ya, tentukan nilainya!

Pembahasan: Terdefinisi (3>0, 3≠1, 81>0). 3⁴ = 81, jadi ³log 81 = 4

3. Apakah ¹log 7 terdefinisi?

Pembahasan: Tidak terdefinisi karena basis = 1.

4. Tentukan nilai log 1000!

Pembahasan: log 1000 = ¹⁰log 1000. 10³ = 1000. Jadi log 1000 = 3

5. Apakah ²log 0 terdefinisi?

Pembahasan: Tidak terdefinisi karena numerus = 0.

6. Tentukan nilai log 0,01!

Pembahasan: 0,01 = 10⁻². Jadi log 0,01 = −2

7. Tentukan nilai ln e!

Pembahasan: ln e = ^elog e = 1

8. Tentukan nilai ln 1!

Pembahasan: ln 1 = ^elog 1 = 0 (karena e⁰ = 1)

9. Tentukan basis, numerus dari log 500!

Pembahasan: log 500 = ¹⁰log 500. Basis = 10, Numerus = 500

10. Apakah ⁻⁵log 25 terdefinisi?

Pembahasan: Tidak terdefinisi karena basis = −5 (negatif).

Sedang Soal 11–15

11. Tentukan nilai ^0,5log 8!

Pembahasan:

(0,5)ⁿ = 8 → (1/2)ⁿ = 8 → 2⁻ⁿ = 2³

−n = 3, maka n = −3

Jadi ^0,5log 8 = −3

12. Tentukan nilai ^0,1log 1000!

Pembahasan:

(0,1)ⁿ = 1000 → (10⁻¹)ⁿ = 10³ → 10⁻ⁿ = 10³

−n = 3, maka n = −3

Jadi ^0,1log 1000 = −3

13. Tentukan nilai x agar ²log (x − 3) terdefinisi!

Pembahasan:

Syarat numerus > 0: x − 3 > 0 → x > 3

Jadi x > 3

14. Tentukan nilai x agar ^xlog 10 terdefinisi!

Pembahasan:

Syarat basis: x > 0 dan x ≠ 1

Jadi x > 0 dan x ≠ 1

15. Tentukan nilai ln e³!

Pembahasan:

ln e³ = ^elog e³ = 3

Sulit Soal 16–20

16. Tentukan semua nilai x agar ^(x−1)log (x² − 4) terdefinisi!

Pembahasan:

Syarat basis: x − 1 > 0 → x > 1, dan x − 1 ≠ 1 → x ≠ 2

Syarat numerus: x² − 4 > 0 → (x−2)(x+2) > 0 → x < −2 atau x > 2

Gabungan: x > 1 DAN x ≠ 2 DAN (x < −2 atau x > 2)

Irisan: x > 2 (tanpa x = 2 karena basis ≠ 1)

17. Tentukan nilai ^(1/3)log 27!

Pembahasan:

(1/3)ⁿ = 27 → (3⁻¹)ⁿ = 3³ → 3⁻ⁿ = 3³

−n = 3 → n = −3

Jadi ^(1/3)log 27 = −3

18. Jika ln x = 2, tentukan nilai x!

Pembahasan:

ln x = 2 → ^elog x = 2 → x = e²

Jadi x = e² ≈ 7,389

19. Tentukan nilai x agar ²log (x² − 5x + 6) terdefinisi!

Pembahasan:

Syarat: x² − 5x + 6 > 0 → (x−2)(x−3) > 0

Garis bilangan: positif jika x < 2 atau x > 3

Jadi x < 2 atau x > 3

20. Tentukan nilai ^(1/4)log 32!

Pembahasan:

(1/4)ⁿ = 32 → (2⁻²)ⁿ = 2⁵ → 2⁻²ⁿ = 2⁵

−2n = 5 → n = −5/2

Jadi ^(1/4)log 32 = −5/2 = −2,5

📝 Latihan Soal — Bentuk Umum Logaritma

Mudah

1. Sebutkan basis dan numerus dari ⁴log 16!

2. Apakah ⁰log 5 terdefinisi? Jelaskan!

3. Tentukan nilai log 10!

4. Tentukan nilai ln e²!

5. Apakah ²log (−3) terdefinisi? Jelaskan!

6. Tentukan nilai log 0,001!

7. Sebutkan basis dan numerus dari ln 5!

8. Tentukan nilai ¹⁰log 10⁷!

9. Apakah ¹log 100 terdefinisi?

10. Tentukan nilai log 1!

Sedang

11. Tentukan nilai ^0,25log 16!

12. Tentukan nilai x agar ³log (2x + 1) terdefinisi!

13. Tentukan nilai ^(1/5)log 125!

14. Tentukan nilai x agar ^(x+2)log 7 terdefinisi!

15. Tentukan nilai ln (1/e)!

Sulit

16. Tentukan semua nilai x agar ^(x+1)log (x² − 1) terdefinisi!

17. Tentukan nilai ^(1/8)log 64!

18. Tentukan semua nilai x agar ³log (x² − 4x + 3) terdefinisi!

19. Jika ln x² = 6, tentukan semua nilai x!

20. Tentukan nilai ^(2/3)log (27/8)!

📘 4. Sifat-Sifat Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan perhitungan berikut dan temukan polanya:

²log 4 + ²log 8 = 2 + 3 = 5 = ²log 32 = ²log (4 × 8)
³log 27 − ³log 3 = 3 − 1 = 2 = ³log 9 = ³log (27 ÷ 3)
2 × ⁵log 5 = 2 × 1 = 2 = ⁵log 25 = ⁵log 5²

Apa pola yang kamu temukan?

Daftar Sifat-Sifat Logaritma

Sifat 1: Logaritma dari 1 a log 1 = 0 Karena a 0 = 1 untuk semua a > 0, a \neq 1 Contoh: 5 log 1 = 0, 100 log 1 = 0, ln 1 = 0

Sifat 2: Logaritma dari basis itu sendiri a log a = 1 Karena a 1 = a Contoh: 3 log 3 = 1, log 10 = 1, ln e = 1

Sifat 3: Logaritma Perkalian a log (b \times c) = a log b + a log c Logaritma dari perkalian = jumlah logaritma masing-masing Contoh: 2 log (4 \times 8) = 2 log 4 + 2 log 8 = 2 + 3 = 5

Sifat 4: Logaritma Pembagian a log (b / c) = a log b - a log c Logaritma dari pembagian = selisih logaritma Contoh: 3 log (81/3) = 3 log 81 - 3 log 3 = 4 - 1 = 3

Sifat 5: Logaritma Pangkat a log b n = n \times a log b Pangkat pada numerus bisa ditarik keluar sebagai pengali Contoh: 2 log 8 2 = 2 \times 2 log 8 = 2 \times 3 = 6

Sifat 6: Perubahan Basis a log b = c log b / c log a Logaritma bisa diubah ke basis lain Contoh: 4 log 8 = 2 log 8 / 2 log 4 = 3/2

Sifat 7: Rantai Logaritma a log b \times b log c = a log c Perkalian logaritma berantai, basis tengah saling menghilangkan Contoh: 2 log 3 \times 3 log 8 = 2 log 8 = 3

Sifat 8: Kebalikan Logaritma a log b = 1 / b log a Membalik basis dan numerus = kebalikan nilai Contoh: 2 log 8 = 1 / 8 log 2 \to 3 = 1/(1/3) ✓

Sifat 9: Pangkat pada Basis a m log b n = (n/m) \times a log b Pangkat pada basis dan numerus bisa disederhanakan Contoh: 4 log 8 = 2² log 2 3 = (3/2) \times 2 log 2 = 3/2

❓ Kegiatan: Menanya

Apakah sifat perkalian berlaku untuk basis yang berbeda? Misalnya ²log 3 + ³log 5 = ?
Bagaimana cara menghitung logaritma dengan basis yang bukan bilangan sederhana?

Jawaban:

1. Tidak! Sifat ^alog b + ^alog c = ^alog (bc) hanya berlaku jika basisnya sama.

2. Gunakan sifat perubahan basis (Sifat 6). Ubah ke basis yang lebih mudah dihitung (biasanya 10 atau e).

🧠 Kegiatan: Menalar

Ringkasan Sifat dalam Tabel:

No	Sifat	Rumus
1	Log dari 1	^alog 1 = 0
2	Log dari basis	^alog a = 1
3	Perkalian	^alog (bc) = ^alog b + ^alog c
4	Pembagian	^alog (b/c) = ^alog b − ^alog c
5	Pangkat	^alog bⁿ = n · ^alog b
6	Ubah basis	^alog b = ^clog b / ^clog a
7	Rantai	^alog b · ^blog c = ^alog c
8	Kebalikan	^alog b = 1 / ^blog a
9	Pangkat basis	^{a^m}log bⁿ = (n/m) · ^alog b

✏️ Kegiatan: Mencoba

Sederhanakan menggunakan sifat-sifat logaritma:

²log 16 + ²log 4 = ²log (16 × 4) = ²log 64 = 6
⁵log 50 − ⁵log 2 = ⁵log (50/2) = ⁵log 25 = 2
3 × ²log 4 = ²log 4³ = ²log 64 = 6

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buatlah mind map yang menghubungkan semua sifat logaritma. Berikan minimal 2 contoh untuk setiap sifat dan presentasikan di depan kelas atau kepada teman.

📗 Contoh Soal — Sifat-Sifat Logaritma

Mudah Soal 1–10

1. Hitunglah ²log 8 + ²log 4!

Pembahasan: Sifat 3: ²log 8 + ²log 4 = ²log (8×4) = ²log 32 = 5

2. Hitunglah ³log 54 − ³log 2!

Pembahasan: Sifat 4: ³log 54 − ³log 2 = ³log (54/2) = ³log 27 = 3

3. Hitunglah ⁵log 5⁴!

Pembahasan: Sifat 5: ⁵log 5⁴ = 4 × ⁵log 5 = 4 × 1 = 4

4. Sederhanakan 2 × ³log 9!

Pembahasan: ³log 9 = 2. Maka 2 × 2 = 4. Atau: 2 × ³log 9 = ³log 9² = ³log 81 = 4

5. Hitunglah ¹⁰log 2 + ¹⁰log 50!

Pembahasan: log 2 + log 50 = log (2×50) = log 100 = 2

6. Hitunglah ²log 64 − ²log 2!

Pembahasan: ²log (64/2) = ²log 32 = 5

7. Hitunglah ⁷log 1!

Pembahasan: Sifat 1: ^alog 1 = 0. Jadi ⁷log 1 = 0

8. Hitunglah ⁴log 4!

Pembahasan: Sifat 2: ^alog a = 1. Jadi ⁴log 4 = 1

9. Sederhanakan ³log 3⁵!

Pembahasan: ³log 3⁵ = 5 × ³log 3 = 5 × 1 = 5

10. Hitunglah log 4 + log 25!

Pembahasan: log 4 + log 25 = log (4×25) = log 100 = 2

Sedang Soal 11–15

11. Hitunglah ²log 3 × ³log 16!

Pembahasan:

Sifat 7: ²log 3 × ³log 16 = ²log 16 = 4

12. Sederhanakan ²log 12 − ²log 3 + ²log 8!

Pembahasan:

= ²log (12/3) + ²log 8 = ²log 4 + ²log 8 = ²log (4×8) = ²log 32 = 5

13. Jika ²log 3 = p, nyatakan ⁴log 9 dalam p!

Pembahasan:

⁴log 9 = ^2²log 3² = (2/2) × ²log 3 = 1 × p = p

14. Hitunglah ⁹log 3 + ⁹log 27!

Pembahasan:

⁹log 3 + ⁹log 27 = ⁹log (3×27) = ⁹log 81 = ⁹log 9² = 2

15. Tentukan nilai ⁸log 2 + ⁸log 32!

Pembahasan:

⁸log 2 + ⁸log 32 = ⁸log (2×32) = ⁸log 64 = ⁸log 8² = 2

Sulit Soal 16–20

16. Jika log 2 = 0,301 dan log 3 = 0,477, tentukan log 72!

Pembahasan:

72 = 8 × 9 = 2³ × 3²

log 72 = log 2³ + log 3² = 3 log 2 + 2 log 3

= 3(0,301) + 2(0,477) = 0,903 + 0,954 = 1,857

17. Sederhanakan ²log 3 × ³log 5 × ⁵log 64!

Pembahasan:

Sifat rantai: ²log 3 × ³log 5 × ⁵log 64 = ²log 64 = ²log 2⁶ = 6

18. Jika ²log 3 = a dan ³log 5 = b, nyatakan ²log 75 dalam a dan b!

Pembahasan:

75 = 3 × 25 = 3 × 5²

²log 75 = ²log 3 + ²log 5² = ²log 3 + 2 × ²log 5

Kita perlu ²log 5. Dari sifat rantai: ²log 5 = ²log 3 × ³log 5 = ab

Jadi: ²log 75 = a + 2ab = a + 2ab = a(1 + 2b)

19. Hitunglah (⁴log 9) × (²⁷log 8)!

Pembahasan:

⁴log 9 = ^2²log 3² = (2/2) × ²log 3 = ²log 3

²⁷log 8 = ^3³log 2³ = (3/3) × ³log 2 = ³log 2

(²log 3) × (³log 2) = ²log 2 = 1 (sifat rantai)

20. Jika log 2 = 0,301, tentukan berapa digit bilangan 2¹⁰⁰!

Pembahasan:

Banyak digit = ⌊log N⌋ + 1

log (2¹⁰⁰) = 100 × log 2 = 100 × 0,301 = 30,1

Banyak digit = ⌊30,1⌋ + 1 = 30 + 1 = 31 digit

📝 Latihan Soal — Sifat-Sifat Logaritma

Mudah

1. Hitunglah ³log 9 + ³log 3!

2. Hitunglah ²log 48 − ²log 3!

3. Sederhanakan 3 × ²log 2!

4. Hitunglah log 5 + log 20!

5. Hitunglah ⁵log 50 − ⁵log 10!

6. Sederhanakan ⁴log 4⁷!

7. Hitunglah ⁶log 12 + ⁶log 3!

8. Hitunglah ²log 128 − ²log 4!

9. Sederhanakan 4 × ¹⁰log 10!

10. Hitunglah ³log 1 + ³log 27!

Sedang

11. Hitunglah ³log 5 × ⁵log 81!

12. Sederhanakan ²log 6 + ²log 8 − ²log 3!

13. Jika ⁵log 2 = m, nyatakan ²⁵log 8 dalam m!

14. Hitunglah ⁴log 2 × ²log 64!

15. Tentukan nilai ¹⁶log 32!

Sulit

16. Jika log 3 = 0,477, tentukan log 270!

17. Jika ³log 2 = a dan ²log 5 = b, nyatakan ³log 50 dalam a dan b!

18. Hitunglah (⁹log 4) × (⁸log 27)!

19. Sederhanakan ²log 5 × ⁵log 7 × ⁷log 3 × ³log 32!

20. Jika log 2 = 0,301, tentukan berapa digit bilangan 5⁵⁰!

📘 1. Pengertian Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Definisi Logaritma

❓ Kegiatan: Menanya

🧠 Kegiatan: Menalar

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Notasi Khusus Logaritma

📗 Contoh Soal — Pengertian Logaritma

Mudah Soal 1–10

Sedang Soal 11–15

Sulit Soal 16–20

📝 Latihan Soal — Pengertian Logaritma

Mudah

Sedang

Sulit

📘 2. Hubungan Logaritma dan Eksponen

🔍 Kegiatan: Mengamati

Hubungan Fundamental

Sifat-sifat Penting dari Hubungan Ini:

❓ Kegiatan: Menanya

🧠 Kegiatan: Menalar

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📗 Contoh Soal — Hubungan Log & Eksponen

Mudah Soal 1–10

Sedang Soal 11–15

Sulit Soal 16–20

📝 Latihan Soal — Hubungan Log & Eksponen

Mudah

Sedang

Sulit

📘 3. Bentuk Umum Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Bentuk Umum Logaritma

Syarat-syarat Logaritma Terdefinisi:

Contoh bilangan yang TIDAK bisa dilogaritmakan:

❓ Kegiatan: Menanya

🧠 Kegiatan: Menalar

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📗 Contoh Soal — Bentuk Umum Logaritma

Mudah Soal 1–10

Sedang Soal 11–15

Sulit Soal 16–20

📝 Latihan Soal — Bentuk Umum Logaritma

Mudah

Sedang

Sulit

📘 4. Sifat-Sifat Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Daftar Sifat-Sifat Logaritma

❓ Kegiatan: Menanya

🧠 Kegiatan: Menalar

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📗 Contoh Soal — Sifat-Sifat Logaritma

Mudah Soal 1–10

Sedang Soal 11–15

Sulit Soal 16–20

📝 Latihan Soal — Sifat-Sifat Logaritma

Mudah

Sedang

Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed