Hubungan Eksponen dan Logaritma
Materi Matematika
A. Materi: Hubungan Eksponen dan Logaritma
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pernyataan berikut:
- 23 = 8
- 102 = 100
- 53 = 125
Dari pernyataan-pernyataan di atas, kita bisa menuliskannya dalam bentuk lain:
- 2log 8 = 3
- 10log 100 = 2
- 5log 125 = 3
Amati: Apa hubungan antara bentuk eksponen dan bentuk logaritma di atas?
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, muncul pertanyaan-pertanyaan:
- Bagaimana cara mengubah bentuk eksponen menjadi logaritma?
- Bagaimana cara mengubah bentuk logaritma menjadi eksponen?
- Mengapa logaritma disebut sebagai “kebalikan” dari eksponen?
- Kapan kita menggunakan eksponen dan kapan menggunakan logaritma?
Kegiatan: Menalar
Mari kita nalar hubungan keduanya secara logis:
1. Definisi Dasar
Definisi Eksponen:
Jika an = b, maka:
- a = bilangan pokok (basis), a > 0, a ≠ 1
- n = pangkat (eksponen)
- b = hasil pemangkatan, b > 0
Definisi Logaritma:
alog b = n
dibaca: “logaritma b dengan basis a sama dengan n“
- a = basis logaritma, a > 0, a ≠ 1
- b = numerus (argumen), b > 0
- n = hasil logaritma
2. Hubungan Fundamental Eksponen dan Logaritma
an = b ⟺ alog b = n
Eksponen dan logaritma adalah operasi invers (kebalikan) satu sama lain.
Penjelasan detail:
- Eksponen menjawab: “Berapa hasil dari a dipangkatkan n?”
- Logaritma menjawab: “Berapa pangkat yang dibutuhkan pada a agar hasilnya b?”
3. Tabel Hubungan Eksponen dan Logaritma
| Bentuk Eksponen | Bentuk Logaritma | Keterangan |
|---|---|---|
| 23 = 8 | 2log 8 = 3 | basis = 2, pangkat = 3, hasil = 8 |
| 34 = 81 | 3log 81 = 4 | basis = 3, pangkat = 4, hasil = 81 |
| 103 = 1000 | 10log 1000 = 3 | basis = 10 (logaritma umum) |
| 5−2 = 1/25 | 5log (1/25) = −2 | pangkat negatif → numerus pecahan |
| 41/2 = 2 | 4log 2 = 1/2 | pangkat pecahan → akar |
| e1 = e ≈ 2,718 | ln e = 1 | basis = e (logaritma natural) |
4. Sifat-Sifat Penting dari Hubungan Ini
Sifat 1: alog an = n
Logaritma dari bentuk eksponen dengan basis yang sama = pangkatnya
Sifat 2: a(alog b) = b
Eksponen dengan pangkat berupa logaritma basis sama = numerusnya
Sifat 3: alog 1 = 0 karena a0 = 1
Sifat 4: alog a = 1 karena a1 = a
5. Konversi Eksponen ke Logaritma dan Sebaliknya
Langkah mengubah eksponen → logaritma:
- Identifikasi basis (a), pangkat (n), dan hasil (b) pada an = b
- Tulis dalam bentuk: alog b = n
Langkah mengubah logaritma → eksponen:
- Identifikasi basis (a), numerus (b), dan hasil (n) pada alog b = n
- Tulis dalam bentuk: an = b
6. Grafik Hubungan Eksponen dan Logaritma
Grafik fungsi eksponensial y = ax dan fungsi logaritma y = alog x saling pencerminan terhadap garis y = x.
Grafik y = 2x (biru) dan y = 2log x (merah) saling cermin terhadap y = x
Kegiatan: Mencoba
Lengkapi tabel berikut dengan mengubah bentuk eksponen menjadi logaritma atau sebaliknya:
| No | Bentuk Eksponen | Bentuk Logaritma |
|---|---|---|
| 1 | 43 = 64 | … (jawab sendiri) |
| 2 | … (jawab sendiri) | 7log 49 = 2 |
| 3 | 91/2 = 3 | … (jawab sendiri) |
| 4 | … (jawab sendiri) | 2log 32 = 5 |
| 5 | 6−1 = 1/6 | … (jawab sendiri) |
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangku:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa alog an = n.
- Berikan contoh penerapan hubungan eksponen-logaritma dalam kehidupan sehari-hari (misalnya skala Richter, pH, desibel).
- Presentasikan hasilnya di depan kelas.
B. Contoh Soal dan Pembahasan
● Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1: Ubahlah 34 = 81 ke dalam bentuk logaritma!
Pembahasan:
Diketahui: a = 3, n = 4, b = 81
Rumus: an = b ⟺ alog b = n
Jadi: 3log 81 = 4
Soal 2: Ubahlah 2log 16 = 4 ke dalam bentuk eksponen!
Pembahasan:
Diketahui: a = 2, b = 16, n = 4
Rumus: alog b = n ⟺ an = b
Jadi: 24 = 16
Soal 3: Tentukan nilai dari 5log 25!
Pembahasan:
Kita cari n sehingga 5n = 25
Karena 52 = 25, maka n = 2
Jadi: 5log 25 = 2
Soal 4: Tentukan nilai dari 10log 1000!
Pembahasan:
Cari n sehingga 10n = 1000
Karena 103 = 1000, maka n = 3
Jadi: 10log 1000 = 3
Soal 5: Ubahlah 72 = 49 ke bentuk logaritma!
Pembahasan:
a = 7, n = 2, b = 49
Jadi: 7log 49 = 2
● Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6: Tentukan nilai dari 4log 1/16!
Pembahasan:
Cari n sehingga 4n = 1/16
1/16 = 1/42 = 4−2
Jadi n = −2, maka 4log (1/16) = −2
Soal 7: Tentukan nilai dari 9log 3!
Pembahasan:
Cari n sehingga 9n = 3
9 = 32, jadi (32)n = 31
32n = 31 → 2n = 1 → n = 1/2
Jadi: 9log 3 = 1/2
Soal 8: Jika 2log x = 5, tentukan nilai x!
Pembahasan:
Ubah ke bentuk eksponen: 25 = x
x = 32
Jadi: x = 32
Soal 9: Tentukan nilai dari 8log 2!
Pembahasan:
Cari n sehingga 8n = 2
8 = 23, jadi (23)n = 21
23n = 21 → 3n = 1 → n = 1/3
Jadi: 8log 2 = 1/3
Soal 10: Buktikan bahwa 3(3log 7) = 7!
Pembahasan:
Misalkan 3log 7 = n, maka menurut definisi: 3n = 7
Substitusi kembali: 3(3log 7) = 3n = 7
Terbukti. (Ini merupakan Sifat 2: a(alog b) = b)
● Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11: Tentukan nilai dari 27log 9!
Pembahasan:
27 = 33 dan 9 = 32
Cari n: (33)n = 32
33n = 32 → 3n = 2 → n = 2/3
Jadi: 27log 9 = 2/3
Soal 12: Jika alog 5 = p dan alog 3 = q, nyatakan alog 45 dalam p dan q!
Pembahasan:
45 = 9 × 5 = 32 × 5
alog 45 = alog (32 × 5) = alog 32 + alog 5
= 2 · alog 3 + alog 5 = 2q + p
Jadi: alog 45 = 2q + p
Soal 13: Tentukan nilai x jika 22x−1 = 2log 16 + 3!
Pembahasan:
2log 16 = 4 (karena 24 = 16)
Ruas kanan: 4 + 3 = 7
Jadi: 22x−1 = 7
Ambil 2log kedua ruas: 2x − 1 = 2log 7
2x = 2log 7 + 1
x = (2log 7 + 1) / 2
Jadi: x = (2log 7 + 1) / 2 ≈ (2,807 + 1)/2 ≈ 1,904
Soal 14: Sederhanakan: 2log 8 + 3log 81 − 5log 125!
Pembahasan:
2log 8 = 2log 23 = 3
3log 81 = 3log 34 = 4
5log 125 = 5log 53 = 3
Hasil: 3 + 4 − 3 = 4
Soal 15: Jika 5x = 12, tentukan nilai x menggunakan hubungan eksponen-logaritma!
Pembahasan:
5x = 12
Ubah ke logaritma: x = 5log 12
Gunakan rumus perubahan basis: x = log 12 / log 5 = 1,079 / 0,699 ≈ 1,544
Verifikasi: 51,544 ≈ 12 ✓
Jadi: x = 5log 12 ≈ 1,544
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
● Latihan Mudah (1–5)
- Ubahlah 62 = 36 ke dalam bentuk logaritma!
- Ubahlah 4log 64 = 3 ke dalam bentuk eksponen!
- Tentukan nilai dari 2log 64!
- Tentukan nilai dari 10log 10.000!
- Ubahlah 81 = 8 ke bentuk logaritma!
● Latihan Sedang (6–10)
- Tentukan nilai dari 25log 5!
- Jika 3log x = 4, tentukan nilai x!
- Tentukan nilai dari 16log 4!
- Buktikan bahwa 7log 75 = 5!
- Tentukan nilai dari 2log (1/8)!
● Latihan Sulit (11–15)
- Tentukan nilai dari 32log 8!
- Jika alog 2 = m dan alog 7 = n, nyatakan alog 28 dalam m dan n!
- Sederhanakan: 4log 64 + 9log 27 − 6log 36!
- Tentukan nilai x jika 3x+2 = 243 menggunakan hubungan eksponen-logaritma!
- Jika 7x = 50, tentukan nilai x dalam bentuk logaritma dan hitung nilai pendekatannya!
Domain dan Range Fungsi Logaritma
Materi Matematika
📘 Pendahuluan
Fungsi logaritma merupakan salah satu fungsi penting dalam matematika. Untuk dapat menggambar grafik dan menganalisis sifat-sifat fungsi logaritma, kita perlu memahami domain (daerah asal) dan range (daerah hasil) dari fungsi tersebut.
Pada pembahasan ini, kita akan fokus mempelajari cara menentukan domain dan range fungsi logaritma secara sistematis.
📖 Materi: Domain dan Range Fungsi Logaritma
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan fungsi logaritma berikut:
f(x) = alog(x)
Amati beberapa nilai berikut:
| x | 0,01 | 0,1 | 1 | 10 | 100 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 10log(x) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Pengamatan:
- Nilai x yang dimasukkan selalu positif (x > 0)
- Hasil logaritma bisa bernilai negatif, nol, maupun positif
- Tidak ada nilai x ≤ 0 yang bisa dimasukkan
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Mengapa nilai x harus positif?
- Bagaimana menentukan domain jika numerus logaritma berupa ekspresi aljabar?
- Apakah range fungsi logaritma selalu semua bilangan real?
- Bagaimana jika fungsi logaritma memiliki transformasi (pergeseran, peregangan)?
Kegiatan: Menalar
1. Definisi Domain Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma f(x) = alog(g(x)) terdefinisi jika dan hanya jika:
Syarat 1: Numerus > 0 → g(x) > 0
Syarat 2: Basis > 0 dan basis ≠ 1 → a > 0, a ≠ 1
Domain adalah himpunan semua nilai x yang memenuhi syarat numerus > 0 (dan syarat basis jika basis mengandung variabel).
2. Aturan Menentukan Domain
Bentuk Umum: f(x) = alog(g(x))
Domain: Df = {x ∈ ℝ | g(x) > 0}
Langkah-langkah menentukan domain:
- Identifikasi numerus (argumen) dari logaritma, yaitu g(x)
- Selesaikan pertidaksamaan g(x) > 0
- Jika basis juga mengandung x, tambahkan syarat basis > 0 dan basis ≠ 1
- Irisan dari semua syarat adalah domain fungsi
3. Definisi Range Fungsi Logaritma
Range (daerah hasil) adalah himpunan semua nilai y = f(x) yang mungkin dihasilkan untuk x dalam domain.
Fungsi logaritma dasar: f(x) = alog(x)
Range: Rf = ℝ = (−∞, +∞)
Fungsi logaritma dengan transformasi: f(x) = alog(g(x)) + c
Range bergantung pada range dari g(x) pada domain yang diberikan.
4. Aturan Menentukan Range
- Fungsi logaritma tanpa batasan tambahan: Range = ℝ (semua bilangan real)
- Fungsi logaritma dengan numerus berbentuk kuadrat atau ekspresi terbatas: Analisis range numerus terlebih dahulu, lalu tentukan range logaritma
- Fungsi dengan transformasi vertikal: Geser range dasar sesuai transformasi
5. Grafik Fungsi Logaritma dan Domain-Range
Grafik fungsi logaritma dasar — Domain: (0, +∞), Range: (−∞, +∞)
6. Ringkasan Rumus Penting
| Fungsi | Syarat Domain | Domain | Range |
|---|---|---|---|
| alog(x) | x > 0 | (0, +∞) | ℝ |
| alog(x − h) | x − h > 0 | (h, +∞) | ℝ |
| alog(x) + k | x > 0 | (0, +∞) | ℝ |
| alog(ax+b) | ax+b > 0 | (−b/a, +∞) jika a>0 | ℝ |
| alog(x2) | x2 > 0 | ℝ \ {0} | ℝ |
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan domain dari fungsi-fungsi berikut sebelum melihat pembahasan contoh soal:
- f(x) = 2log(x − 3)
- f(x) = log(5 − x)
- f(x) = 3log(x2 − 4)
💡 Petunjuk: Pastikan numerus (isi dari logaritma) bernilai positif!
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah memahami konsep domain dan range, tuliskan dengan kalimatmu sendiri:
- Apa syarat agar fungsi logaritma terdefinisi?
- Mengapa range fungsi logaritma dasar adalah semua bilangan real?
- Jelaskan langkah-langkah menentukan domain fungsi logaritma yang numerusnya berupa ekspresi kuadrat.
✏️ Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal — Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(x)
Lihat Pembahasan
Langkah:
Numerus = x
Syarat: x > 0
Domain: Df = {x ∈ ℝ | x > 0} = (0, +∞)
Range: Rf = ℝ = (−∞, +∞)
Soal 2:
Tentukan domain dari f(x) = log(x − 2)
Lihat Pembahasan
Numerus = x − 2
Syarat: x − 2 > 0 → x > 2
Domain: Df = {x ∈ ℝ | x > 2} = (2, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 3:
Tentukan domain dari f(x) = 5log(x + 4)
Lihat Pembahasan
Numerus = x + 4
Syarat: x + 4 > 0 → x > −4
Domain: Df = (−4, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 4:
Tentukan domain dari f(x) = log(3x)
Lihat Pembahasan
Numerus = 3x
Syarat: 3x > 0 → x > 0
Domain: Df = (0, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 5:
Tentukan domain dari f(x) = 3log(7 − x)
Lihat Pembahasan
Numerus = 7 − x
Syarat: 7 − x > 0 → −x > −7 → x < 7
Domain: Df = (−∞, 7)
Range: Rf = ℝ
🟡 Contoh Soal — Tingkat Sedang
Soal 1:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(2x − 6)
Lihat Pembahasan
Numerus = 2x − 6
Syarat: 2x − 6 > 0 → 2x > 6 → x > 3
Domain: Df = (3, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 2:
Tentukan domain dari f(x) = log(x2 − 9)
Lihat Pembahasan
Numerus = x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)
Syarat: (x − 3)(x + 3) > 0
Menggunakan garis bilangan:
Titik kritis: x = −3, x = 3
Uji interval: positif di (−∞, −3) ∪ (3, +∞)
Domain: Df = (−∞, −3) ∪ (3, +∞)
Range: Rf = ℝ (karena ketika x → 3+ atau x → −3−, numerus → 0+, sehingga log → −∞; dan numerus bisa tumbuh tanpa batas)
Soal 3:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(x2 − 4x + 3)
Lihat Pembahasan
Numerus = x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
Syarat: (x − 1)(x − 3) > 0
Titik kritis: x = 1, x = 3
Positif di: (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
Domain: Df = (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 4:
Tentukan domain dan range dari f(x) = log(x + 1) − 2
Lihat Pembahasan
Numerus = x + 1
Syarat: x + 1 > 0 → x > −1
Domain: Df = (−1, +∞)
Range: Karena log(x + 1) memiliki range ℝ, maka log(x + 1) − 2 juga memiliki range ℝ.
Rf = ℝ = (−∞, +∞)
Soal 5:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(x) + 2log(6 − x)
Lihat Pembahasan
Numerus pertama: x > 0
Numerus kedua: 6 − x > 0 → x < 6
Irisan: 0 < x < 6
Domain: Df = (0, 6)
Range: Menggunakan sifat log, f(x) = 2log(x(6 − x)) = 2log(6x − x2)
Misalkan u = 6x − x2 = −(x − 3)2 + 9
Nilai maksimum u = 9 (saat x = 3), dan u → 0+ saat x → 0+ atau x → 6−
Jadi 0 < u ≤ 9, sehingga 2log(u) ∈ (−∞, 2log 9] = (−∞, log29]
Range: Rf = (−∞, log29] ≈ (−∞, 3,17]
🔴 Contoh Soal — Tingkat Sulit
Soal 1:
Tentukan domain dari f(x) = (x−1)log(x2 − 5x + 6)
Lihat Pembahasan
Syarat-syarat:
1. Numerus > 0: x2 − 5x + 6 > 0 → (x − 2)(x − 3) > 0 → x < 2 atau x > 3
2. Basis > 0: x − 1 > 0 → x > 1
3. Basis ≠ 1: x − 1 ≠ 1 → x ≠ 2
Irisan: (x < 2 atau x > 3) ∩ (x > 1) ∩ (x ≠ 2)
= (1, 2) ∪ (3, +∞)
Domain: Df = (1, 2) ∪ (3, +∞)
Soal 2:
Tentukan domain dan range dari f(x) = 2log(4 − x2)
Lihat Pembahasan
Domain:
Numerus = 4 − x2 = (2 − x)(2 + x)
Syarat: 4 − x2 > 0 → x2 < 4 → −2 < x < 2
Domain: Df = (−2, 2)
Range:
Misalkan u = 4 − x2
Untuk x ∈ (−2, 2): u ∈ (0, 4]
Nilai maksimum u = 4 saat x = 0
Nilai u → 0+ saat x → ±2
2log(u) untuk u ∈ (0, 4]: 2log → −∞ saat u → 0+ dan 2log(4) = 2
Range: Rf = (−∞, 2]
Soal 3:
Tentukan domain dari f(x) = √(3log(x − 1))
Lihat Pembahasan
Syarat-syarat:
1. Numerus logaritma > 0: x − 1 > 0 → x > 1
2. Ekspresi di dalam akar ≥ 0: 3log(x − 1) ≥ 0
→ x − 1 ≥ 30 = 1 → x ≥ 2 (karena basis 3 > 1)
Irisan syarat 1 dan 2: x > 1 ∩ x ≥ 2 = x ≥ 2
Domain: Df = [2, +∞)
Range: Untuk x ≥ 2: 3log(x−1) ≥ 0 dan bisa menuju +∞
√(3log(x−1)) ∈ [0, +∞)
Range: Rf = [0, +∞)
Soal 4:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(log(x))
Lihat Pembahasan
Syarat-syarat (dari dalam ke luar):
1. Logaritma dalam: x > 0
2. Numerus logaritma luar > 0: log(x) > 0
→ x > 100 = 1 (karena log = log basis 10)
Irisan: x > 0 ∩ x > 1 = x > 1
Domain: Df = (1, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 5:
Tentukan domain dan range dari f(x) = ½log(|x| − 1)
Lihat Pembahasan
Syarat basis: ½ > 0 dan ½ ≠ 1 ✓
Syarat numerus: |x| − 1 > 0 → |x| > 1 → x > 1 atau x < −1
Domain: Df = (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
Range:
Untuk x dalam domain: |x| − 1 ∈ (0, +∞)
½log(u) untuk u ∈ (0, +∞) memiliki range ℝ
(Catatan: basis ½ < 1, jadi fungsi monoton turun, tetapi range tetap ℝ)
Range: Rf = ℝ
📝 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tentukan domain dan range (jika diminta) dari masing-masing fungsi.
🟢 Latihan — Tingkat Mudah
- Tentukan domain dari f(x) = 3log(x)
- Tentukan domain dari f(x) = log(x − 5)
- Tentukan domain dari f(x) = 4log(x + 7)
- Tentukan domain dari f(x) = log(10 − x)
- Tentukan domain dari f(x) = 2log(2x)
🟡 Latihan — Tingkat Sedang
- Tentukan domain dari f(x) = log(x2 − 16)
- Tentukan domain dari f(x) = 2log(x2 − 6x + 8)
- Tentukan domain dan range dari f(x) = 3log(9 − x2)
- Tentukan domain dari f(x) = log(x) + log(4 − x)
- Tentukan domain dari f(x) = 2log(3x − x2)
🔴 Latihan — Tingkat Sulit
- Tentukan domain dari f(x) = (x+2)log(x2 − 1)
- Tentukan domain dan range dari f(x) = 2log(8 − 2x − x2)
- Tentukan domain dari f(x) = √(2log(x − 2))
- Tentukan domain dari f(x) = 3log(2log(x))
- Tentukan domain dan range dari f(x) = ⅓log(|x − 2| − 3)