Memecahkan Masalah Logaritma

Memecahkan Masalah yang Berhubungan dengan Logaritma

Matematika Kelas X — Materi Lengkap dengan Contoh dan Latihan

1. Konsep Dasar Pemecahan Masalah Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan masalah berikut:

“Sebuah bakteri membelah diri menjadi 2 setiap jam. Jika awalnya terdapat 1 bakteri, berapa jam yang dibutuhkan agar jumlah bakteri menjadi 1024?”

Secara matematis: 2^x = 1024. Untuk mencari nilai x, kita membutuhkan logaritma.

x = ²log 1024 = 10

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana langkah-langkah menyelesaikan masalah yang melibatkan logaritma?
Sifat-sifat logaritma mana yang diperlukan untuk memecahkan masalah?
Bagaimana cara mengubah masalah cerita menjadi bentuk persamaan logaritma?

💡 Kegiatan: Menalar

Untuk memecahkan masalah logaritma, kita memerlukan pemahaman tentang:

Definisi logaritma: ^alog b = c ⟺ a^c = b
Sifat-sifat logaritma yang telah dipelajari
Kemampuan mengubah masalah verbal menjadi model matematika

📐 Langkah-langkah Pemecahan Masalah Logaritma:

Identifikasi: Tentukan apa yang diketahui dan ditanyakan
Modelkan: Ubah masalah menjadi persamaan/pertidaksamaan logaritma
Selesaikan: Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikan
Periksa: Substitusi kembali untuk memeriksa kebenaran jawaban
Interpretasi: Tafsirkan jawaban sesuai konteks masalah

📋 Sifat-Sifat Logaritma yang Sering Digunakan:

No	Sifat	Rumus
1	Logaritma 1	^alog 1 = 0
2	Logaritma basis	^alog a = 1
3	Perkalian	^alog (b × c) = ^alog b + ^alog c
4	Pembagian	^alog (b/c) = ^alog b − ^alog c
5	Pangkat	^alog bⁿ = n · ^alog b
6	Ganti basis	^alog b = ^clog b / ^clog a
7	Invers	a^{^alog b} = b

✏️ Kegiatan: Mencoba

Coba selesaikan masalah ini dengan langkah-langkah di atas:

“Jika ²log x + ²log (x − 2) = 3, tentukan nilai x!”

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan teman sebangkumu:

Jelaskan langkah-langkah yang kamu gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas
Presentasikan solusi di depan kelas

Contoh Soal — Konsep Dasar Pemecahan Masalah Logaritma

Tingkat Mudah

Mudah

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika ³log x = 4

Pembahasan:

Dari definisi logaritma: ^alog b = c ⟺ a^c = b

³log x = 4 ⟺ x = 3⁴ = 81

Jadi, x = 81

Mudah

Contoh 2:

Tentukan nilai ⁵log 125

Pembahasan:

Kita cari: 5 pangkat berapa sama dengan 125?

125 = 5³

Maka ⁵log 125 = ⁵log 5³ = 3

Jadi, ⁵log 125 = 3

Mudah

Contoh 3:

Jika ²log x = 5, tentukan nilai x

Pembahasan:

²log x = 5 ⟺ x = 2⁵ = 32

Jadi, x = 32

Mudah

Contoh 4:

Sederhanakan: ²log 8 + ²log 4

Pembahasan:

Gunakan sifat: ^alog b + ^alog c = ^alog (b × c)

²log 8 + ²log 4 = ²log (8 × 4) = ²log 32 = ²log 2⁵ = 5

Jadi, hasilnya = 5

Mudah

Contoh 5:

Tentukan nilai x jika log x = 2 (basis 10)

Pembahasan:

log x = 2 (basis 10)

x = 10² = 100

Jadi, x = 100

Tingkat Sedang

Sedang

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika ²log (x + 3) = 4

Pembahasan:

Langkah 1: Ubah ke bentuk eksponen

²log (x + 3) = 4 ⟺ x + 3 = 2⁴

Langkah 2: Hitung

x + 3 = 16

x = 13

Langkah 3: Periksa syarat (numerus > 0): x + 3 = 16 > 0 ✓

Jadi, x = 13

Sedang

Contoh 2:

Sederhanakan: ³log 27 + ³log 9 − ³log 3

Pembahasan:

³log 27 = ³log 3³ = 3

³log 9 = ³log 3² = 2

³log 3 = 1

Hasil = 3 + 2 − 1 = 4

Jadi, hasilnya = 4

Sedang

Contoh 3:

Jika ²log 3 = a, nyatakan ²log 12 dalam a

Pembahasan:

²log 12 = ²log (4 × 3) = ²log 4 + ²log 3

= ²log 2² + a = 2 + a

Jadi, ²log 12 = 2 + a

Sedang

Contoh 4:

Tentukan nilai ⁴log 8

Pembahasan:

Gunakan perubahan basis ke basis 2:

⁴log 8 = ²log 8 / ²log 4 = 3/2

Jadi, ⁴log 8 = 3/2

Sedang

Contoh 5:

Tentukan nilai x jika ²log x + ²log (x − 2) = 3

Pembahasan:

Langkah 1: Gunakan sifat penjumlahan logaritma

²log [x(x − 2)] = 3

Langkah 2: Ubah ke bentuk eksponen

x(x − 2) = 2³ = 8

x² − 2x − 8 = 0

Langkah 3: Faktorkan

(x − 4)(x + 2) = 0

x = 4 atau x = −2

Langkah 4: Periksa syarat numerus > 0:

• x > 0 dan x − 2 > 0 → x > 2

• x = 4 ✓ (memenuhi), x = −2 ✗ (tidak memenuhi)

Jadi, x = 4

Tingkat Sulit

Sulit

Contoh 1:

Jika ²log 3 = a dan ³log 5 = b, nyatakan ⁶log 10 dalam a dan b

Pembahasan:

Langkah 1: ⁶log 10 = log 10 / log 6 = 1 / log 6

Langkah 2: log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3

Langkah 3: Dari ²log 3 = a → log 3 / log 2 = a → log 3 = a · log 2

Langkah 4: log 2 + log 3 = log 2 + a · log 2 = log 2 (1 + a)

Langkah 5: Kita tahu log 2 = log(10/5) = 1 − log 5

Dari ³log 5 = b → log 5 = b · log 3 = b · a · log 2

Maka log 5 = ab · log 2, sehingga log 2 + log 5 = 1 → log 2(1 + ab) = 1 → log 2 = 1/(1 + ab)

Langkah 6: log 6 = log 2(1 + a) = (1 + a)/(1 + ab)

⁶log 10 = 1/log 6 = (1 + ab)/(1 + a)

Jadi, ⁶log 10 = (1 + ab)/(1 + a)

Sulit

Contoh 2:

Selesaikan: (²log x)² − 5 · ²log x + 6 = 0

Pembahasan:

Langkah 1: Misalkan p = ²log x

p² − 5p + 6 = 0

Langkah 2: Faktorkan

(p − 2)(p − 3) = 0

p = 2 atau p = 3

Langkah 3: Kembalikan ke x

• ²log x = 2 → x = 2² = 4

• ²log x = 3 → x = 2³ = 8

Langkah 4: Periksa syarat x > 0: kedua nilai memenuhi ✓

Jadi, x = 4 atau x = 8

Sulit

Contoh 3:

Tentukan nilai x jika ^xlog 16 + ^xlog 4 = 6

Pembahasan:

Langkah 1: Tulis dalam basis 2

16 = 2⁴, 4 = 2²

^xlog 2⁴ + ^xlog 2² = 4 · ^xlog 2 + 2 · ^xlog 2 = 6 · ^xlog 2 = 6

Langkah 2: ^xlog 2 = 1

Langkah 3: x¹ = 2 → x = 2

Langkah 4: Periksa syarat basis: x > 0, x ≠ 1 → x = 2 ✓

Jadi, x = 2

Sulit

Contoh 4:

Selesaikan: ³log (x² − 4x + 3) = ³log (x − 1) + 1

Pembahasan:

Langkah 1: ³log (x² − 4x + 3) = ³log (x − 1) + ³log 3

= ³log [3(x − 1)]

Langkah 2: Samakan numerus

x² − 4x + 3 = 3(x − 1)

x² − 4x + 3 = 3x − 3

x² − 7x + 6 = 0

(x − 1)(x − 6) = 0 → x = 1 atau x = 6

Langkah 3: Periksa syarat:

• Numerus: x² − 4x + 3 > 0 dan x − 1 > 0 (berarti x > 1)

• x = 1: x − 1 = 0 ✗ (tidak memenuhi)

• x = 6: 36 − 24 + 3 = 15 > 0 ✓, 6 − 1 = 5 > 0 ✓

Jadi, x = 6

Sulit

Contoh 5:

Tentukan himpunan penyelesaian: ²log (2x + 1) + ²log (x + 1) = 2 + ²log (x + 3)

Pembahasan:

Langkah 1: Gabungkan ruas kiri

²log [(2x + 1)(x + 1)] = ²log 4 + ²log (x + 3)

= ²log [4(x + 3)]

Langkah 2: Samakan numerus

(2x + 1)(x + 1) = 4(x + 3)

2x² + 3x + 1 = 4x + 12

2x² − x − 11 = 0

Langkah 3: Gunakan rumus kuadrat

x = (1 ± √(1 + 88))/4 = (1 ± √89)/4

x = (1 + √89)/4 ≈ 2,608 atau x = (1 − √89)/4 ≈ −2,108

Langkah 4: Periksa syarat numerus > 0:

• 2x + 1 > 0 → x > −1/2

• x + 1 > 0 → x > −1

• x + 3 > 0 → x > −3

Syarat: x > −1/2. Maka x = (1 + √89)/4 ✓

Jadi, x = (1 + √89)/4

Latihan Soal — Konsep Dasar Pemecahan Masalah Logaritma

Tingkat Mudah

Tentukan nilai x jika ⁴log x = 3
Hitung nilai ⁷log 49
Tentukan nilai x jika ¹⁰log x = 3
Sederhanakan ⁵log 25 + ⁵log 5
Tentukan nilai x jika ³log x = 0

Tingkat Sedang

Tentukan nilai x jika ⁵log (2x − 1) = 2
Jika ³log 2 = p, nyatakan ³log 18 dalam p
Hitung nilai ⁹log 27
Sederhanakan: ²log 16 − ²log 2 + ²log 8
Tentukan x jika ³log (x + 5) = ³log (2x − 1)

Tingkat Sulit

Selesaikan: (³log x)² − 4 · ³log x + 3 = 0
Jika ²log 5 = m, nyatakan ⁴log 20 dalam m
Tentukan x jika ²log (x − 1) + ²log (x + 3) = 5
Selesaikan: 2 · ⁵log x − ^xlog 5 = 1
Tentukan himpunan penyelesaian: ³log (x² − 2x) = ³log (2x + 5) − ³log 1

2. Persamaan Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Persamaan logaritma adalah persamaan yang memuat logaritma dengan variabel pada numerus, basis, atau keduanya. Perhatikan bentuk-bentuk berikut:

^alog f(x) = ^alog g(x)
^alog f(x) = c
^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x)
^h(x)log f(x) = ^g(x)log f(x)

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana cara menyelesaikan masing-masing bentuk persamaan logaritma?
Syarat apa saja yang harus dipenuhi dalam persamaan logaritma?

💡 Kegiatan: Menalar

Syarat-syarat penyelesaian persamaan logaritma:

Basis > 0 dan basis ≠ 1
Numerus > 0

📐 Jenis-Jenis Persamaan Logaritma:

Jenis 1: ^alog f(x) = ^alog g(x)

Penyelesaian: f(x) = g(x), dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0

Jenis 2: ^alog f(x) = c

Penyelesaian: f(x) = a^c, dengan syarat f(x) > 0

Jenis 3: ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)

Penyelesaian: f(x) = g(x), syarat f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, h(x) ≠ 1

Jenis 4: ^h(x)log f(x) = ^g(x)log f(x)

Kemungkinan: f(x) = 1 atau h(x) = g(x) (dengan syarat terpenuhi)

✏️ Kegiatan: Mencoba

Selesaikan persamaan: ²log (3x − 5) = ²log (x + 7)

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buatlah poster yang berisi ringkasan 4 jenis persamaan logaritma beserta contohnya. Presentasikan di depan kelas.

Contoh Soal — Persamaan Logaritma

Tingkat Mudah

Mudah

Contoh 1:

Selesaikan: ⁵log (2x − 1) = ⁵log 9

Pembahasan:

Basis sama, samakan numerus:

2x − 1 = 9 → 2x = 10 → x = 5

Periksa: 2(5) − 1 = 9 > 0 ✓

Jadi, x = 5

Mudah

Contoh 2:

Selesaikan: ³log (x + 2) = 2

Pembahasan:

x + 2 = 3² = 9 → x = 7

Periksa: 7 + 2 = 9 > 0 ✓

Jadi, x = 7

Mudah

Contoh 3:

Selesaikan: ²log (4x) = ²log 20

Pembahasan:

4x = 20 → x = 5

Periksa: 4(5) = 20 > 0 ✓

Jadi, x = 5

Mudah

Contoh 4:

Selesaikan: log (x − 3) = 1 (basis 10)

Pembahasan:

x − 3 = 10¹ = 10 → x = 13

Periksa: 13 − 3 = 10 > 0 ✓

Jadi, x = 13

Mudah

Contoh 5:

Selesaikan: ⁴log (3x + 1) = ⁴log (x + 9)

Pembahasan:

3x + 1 = x + 9 → 2x = 8 → x = 4

Periksa: 3(4) + 1 = 13 > 0 ✓, 4 + 9 = 13 > 0 ✓

Jadi, x = 4

Tingkat Sedang

Sedang

Contoh 1:

Selesaikan: ²log (x² − 3x) = ²log 4

Pembahasan:

x² − 3x = 4 → x² − 3x − 4 = 0 → (x − 4)(x + 1) = 0

x = 4 atau x = −1

Periksa numerus: x² − 3x > 0

• x = 4: 16 − 12 = 4 > 0 ✓

• x = −1: 1 + 3 = 4 > 0 ✓

Jadi, x = 4 atau x = −1

Sedang

Contoh 2:

Selesaikan: ³log (x + 3) + ³log x = ³log 10

Pembahasan:

³log [x(x + 3)] = ³log 10

x² + 3x = 10 → x² + 3x − 10 = 0

(x + 5)(x − 2) = 0 → x = −5 atau x = 2

Syarat: x > 0 dan x + 3 > 0

x = 2 ✓, x = −5 ✗

Jadi, x = 2

Sedang

Contoh 3:

Selesaikan: ^(x−1)log 8 = 3

Pembahasan:

(x − 1)³ = 8 → x − 1 = 2 → x = 3

Periksa syarat basis: x − 1 > 0 dan x − 1 ≠ 1 → x > 1 dan x ≠ 2

x = 3 ✓

Jadi, x = 3

Sedang

Contoh 4:

Selesaikan: ²log (x − 1) − ²log (x − 3) = 3

Pembahasan:

²log [(x − 1)/(x − 3)] = 3

(x − 1)/(x − 3) = 2³ = 8

x − 1 = 8(x − 3) = 8x − 24

23 = 7x → x = 23/7

Periksa: x − 1 = 16/7 > 0 ✓, x − 3 = 2/7 > 0 ✓

Jadi, x = 23/7

Sedang

Contoh 5:

Selesaikan: ^(2x−3)log 9 = ^(2x−3)log (4x − 3)

Pembahasan:

Basis sama, samakan numerus: 4x − 3 = 9 → x = 3

Periksa syarat basis: 2x − 3 > 0, 2x − 3 ≠ 1

2(3) − 3 = 3 > 0 ✓, 3 ≠ 1 ✓

Jadi, x = 3

Tingkat Sulit

Sulit

Contoh 1:

Selesaikan: ^(x+1)log (x² − x − 2) = 2

Pembahasan:

Langkah 1: x² − x − 2 = (x + 1)²

x² − x − 2 = x² + 2x + 1

−3x = 3 → x = −1

Langkah 2: Periksa syarat basis: x + 1 > 0, x + 1 ≠ 1

x = −1: x + 1 = 0 (basis = 0 ✗ tidak memenuhi)

Jadi, tidak ada penyelesaian (himpunan penyelesaian kosong)

Sulit

Contoh 2:

Selesaikan: ²log² x − 3 · ²log x − 4 = 0

Pembahasan:

Misalkan p = ²log x

p² − 3p − 4 = 0 → (p − 4)(p + 1) = 0

p = 4 atau p = −1

• p = 4: ²log x = 4 → x = 16

• p = −1: ²log x = −1 → x = 2⁻¹ = 1/2

Kedua nilai memenuhi syarat x > 0 ✓

Jadi, x = 16 atau x = 1/2

Sulit

Contoh 3:

Selesaikan: ^(x²−4x+3)log (x − 1) = 1

Pembahasan:

x − 1 = (x² − 4x + 3)¹ = x² − 4x + 3

x − 1 = (x − 1)(x − 3)

Jika x ≠ 1: 1 = x − 3 → x = 4

Periksa syarat:

• Basis: x² − 4x + 3 = 16 − 16 + 3 = 3 > 0 ✓, ≠ 1 ✓

• Numerus: x − 1 = 3 > 0 ✓

Jadi, x = 4

Sulit

Contoh 4:

Selesaikan: ³log (2x − 1) · ³log (2x + 1) = ³log (2x − 1)²

Pembahasan:

Ruas kanan: 2 · ³log (2x − 1)

³log (2x − 1) · ³log (2x + 1) = 2 · ³log (2x − 1)

Jika ³log (2x − 1) ≠ 0, bagi kedua ruas:

³log (2x + 1) = 2 → 2x + 1 = 9 → x = 4

Jika ³log (2x − 1) = 0 → 2x − 1 = 1 → x = 1

Periksa x = 1: 2(1) − 1 = 1 > 0 ✓, 2(1) + 1 = 3 > 0 ✓

Periksa x = 4: 2(4) − 1 = 7 > 0 ✓, 2(4) + 1 = 9 > 0 ✓

Jadi, x = 1 atau x = 4

Sulit

Contoh 5:

Selesaikan: ^(x−2)log (2x² − 5x) = ^(x−2)log (x² + 2x − 8)

Pembahasan:

Samakan numerus: 2x² − 5x = x² + 2x − 8

x² − 7x + 8 = 0

x = (7 ± √(49 − 32))/2 = (7 ± √17)/2

Periksa syarat basis: x − 2 > 0 dan x − 2 ≠ 1 → x > 2, x ≠ 3

x₁ = (7 + √17)/2 ≈ 5,56 > 2 ✓, ≠ 3 ✓

x₂ = (7 − √17)/2 ≈ 1,44 < 2 ✗

Periksa numerus untuk x₁: 2x² − 5x > 0 dan x² + 2x − 8 > 0 → keduanya terpenuhi ✓

Jadi, x = (7 + √17)/2

Latihan Soal — Persamaan Logaritma

Tingkat Mudah

Selesaikan: ²log (3x + 1) = ²log 13
Selesaikan: ⁵log (x − 4) = 1
Selesaikan: ⁷log (2x + 5) = ⁷log 19
Selesaikan: ⁴log (x + 1) = 2
Selesaikan: ³log (5x) = ³log 15

Tingkat Sedang

Selesaikan: ²log (x² − 5x) = ²log 6
Selesaikan: ³log (x + 1) + ³log (x − 1) = ³log 8
Selesaikan: ^(x+2)log 27 = 3
Selesaikan: ²log (x + 5) − ²log (x − 1) = 2
Selesaikan: ^(3x−2)log 16 = ^(3x−2)log (2x + 6)

Tingkat Sulit

Selesaikan: (⁵log x)² + ⁵log x − 6 = 0
Selesaikan: ^(x−1)log (x² + 3x − 4) = 2
Selesaikan: ²log (x + 1) + ⁴log (x + 1)² = 3
Selesaikan: ^(x²−1)log (x + 1) = 1
Selesaikan: ³log² (x − 2) − ³log (x − 2) = 2

3. Pertidaksamaan Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma. Perhatikan perbedaan penting:

Basis (a)	Aturan
a > 1	^alog f(x) > ^alog g(x) ⟺ f(x) > g(x)
0 < a < 1	^alog f(x) > ^alog g(x) ⟺ f(x) < g(x)

Penting: Jika basis > 1, tanda tetap. Jika 0 < basis < 1, tanda berbalik!

❓ Kegiatan: Menanya

Mengapa arah tanda pertidaksamaan bisa berubah?
Bagaimana menentukan domain penyelesaian?

💡 Kegiatan: Menalar

Hal ini terjadi karena fungsi logaritma dengan basis > 1 adalah fungsi naik (monoton naik), sedangkan fungsi logaritma dengan basis antara 0 dan 1 adalah fungsi turun (monoton turun).

Pada fungsi turun, semakin besar input maka semakin kecil outputnya, sehingga tanda pertidaksamaan berbalik.

📐 Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Logaritma:

Samakan basis logaritma di kedua ruas
Tentukan arah tanda berdasarkan basis:
- Basis > 1: tanda pertidaksamaan tetap
- 0 < basis < 1: tanda pertidaksamaan berbalik
Selesaikan pertidaksamaan numerus
Tentukan syarat numerus > 0 untuk semua fungsi logaritma
Iriskan hasilnya dengan syarat

✏️ Kegiatan: Mencoba

Tentukan penyelesaian dari ²log (x − 1) < 3

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buatlah garis bilangan untuk menunjukkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di atas. Jelaskan kepada temanmu mengapa syarat numerus penting.

Contoh Soal — Pertidaksamaan Logaritma

Tingkat Mudah

Mudah

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian: ²log x < 3

Pembahasan:

Basis 2 > 1, tanda tetap:

x < 2³ → x < 8

Syarat: x > 0

HP: {x | 0 < x < 8}

Mudah

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian: ³log x ≥ 2

Pembahasan:

Basis 3 > 1, tanda tetap:

x ≥ 3² = 9

Syarat: x > 0 (sudah terpenuhi karena x ≥ 9)

HP: {x | x ≥ 9}

Mudah

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian: ⁵log x > 1

Pembahasan:

Basis 5 > 1, tanda tetap:

x > 5¹ = 5

HP: {x | x > 5}

Mudah

Contoh 4:

Tentukan penyelesaian: ^½log x > 2

Pembahasan:

Basis ½ (0 < ½ < 1), tanda berbalik:

x < (½)² = ¼

Syarat: x > 0

HP: {x | 0 < x < ¼}

Mudah

Contoh 5:

Tentukan penyelesaian: ⁴log x ≤ 2

Pembahasan:

Basis 4 > 1, tanda tetap:

x ≤ 4² = 16

Syarat: x > 0

HP: {x | 0 < x ≤ 16}

Tingkat Sedang

Sedang

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian: ²log (x − 1) < ²log (2x − 5)

Pembahasan:

Basis 2 > 1, tanda tetap: x − 1 < 2x − 5 → 4 < x → x > 4

Syarat: x − 1 > 0 → x > 1 dan 2x − 5 > 0 → x > 5/2

Irisan: x > 4

HP: {x | x > 4}

Sedang

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian: ^⅓log (x + 2) ≥ ^⅓log (3x − 4)

Pembahasan:

Basis ⅓ (0 < ⅓ < 1), tanda berbalik: x + 2 ≤ 3x − 4 → 6 ≤ 2x → x ≥ 3

Syarat: x + 2 > 0 → x > −2 dan 3x − 4 > 0 → x > 4/3

Irisan: x ≥ 3

HP: {x | x ≥ 3}

Sedang

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian: ²log (x² − 3x) > ²log (x + 5)

Pembahasan:

Basis 2 > 1: x² − 3x > x + 5 → x² − 4x − 5 > 0 → (x − 5)(x + 1) > 0

Dari garis bilangan: x < −1 atau x > 5

Syarat: x² − 3x > 0 → x(x − 3) > 0 → x < 0 atau x > 3

dan x + 5 > 0 → x > −5

Irisan: −5 < x < −1 ∩ (x < 0 atau x > 3) dan x > 5 ∩ (x > 3)

= (−5 < x < −1) ∪ (x > 5)

Tapi juga harus x < 0 atau x > 3, maka: −5 < x < −1 sudah ⊂ x < 0 ✓

HP: {x | −5 < x < −1 atau x > 5}

Sedang

Contoh 4:

Tentukan penyelesaian: ²log (2x + 1) ≤ 4

Pembahasan:

²log (2x + 1) ≤ ²log 16 (karena 4 = ²log 16)

Basis 2 > 1: 2x + 1 ≤ 16 → x ≤ 15/2

Syarat: 2x + 1 > 0 → x > −½

HP: {x | −½ < x ≤ 15/2}

Sedang

Contoh 5:

Tentukan penyelesaian: ^½log (x − 3) < ^½log (5 − x)

Pembahasan:

Basis ½ (0 < ½ < 1), tanda berbalik: x − 3 > 5 − x → 2x > 8 → x > 4

Syarat: x − 3 > 0 → x > 3 dan 5 − x > 0 → x < 5

Irisan: 4 < x < 5

HP: {x | 4 < x < 5}

Tingkat Sulit

Sulit

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian: ²log² x − 5 · ²log x + 4 ≤ 0

Pembahasan:

Misalkan p = ²log x: p² − 5p + 4 ≤ 0

(p − 1)(p − 4) ≤ 0 → 1 ≤ p ≤ 4

Kembalikan: 1 ≤ ²log x ≤ 4

2¹ ≤ x ≤ 2⁴ → 2 ≤ x ≤ 16

HP: {x | 2 ≤ x ≤ 16}

Sulit

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian: ³log (x − 2) + ³log (x + 2) > ³log (3x)

Pembahasan:

³log [(x − 2)(x + 2)] > ³log (3x)

Basis 3 > 1: (x − 2)(x + 2) > 3x → x² − 4 > 3x → x² − 3x − 4 > 0

(x − 4)(x + 1) > 0 → x < −1 atau x > 4

Syarat: x − 2 > 0 → x > 2, x + 2 > 0 → x > −2, 3x > 0 → x > 0

Irisan dengan x > 2: x > 4

HP: {x | x > 4}

Sulit

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian: ^⅓log (x² − 6x + 8) ≤ ^⅓log (x − 2)

Pembahasan:

Basis ⅓ (0 < ⅓ < 1), tanda berbalik:

x² − 6x + 8 ≥ x − 2

x² − 7x + 10 ≥ 0 → (x − 2)(x − 5) ≥ 0

Dari garis bilangan: x ≤ 2 atau x ≥ 5

Syarat: x² − 6x + 8 > 0 → (x − 2)(x − 4) > 0 → x < 2 atau x > 4

dan x − 2 > 0 → x > 2

Irisan: x > 2 ∩ (x < 2 atau x > 4) ∩ (x ≤ 2 atau x ≥ 5)

= x > 4 ∩ x ≥ 5 = x ≥ 5

HP: {x | x ≥ 5}

Sulit

Contoh 4:

Tentukan penyelesaian: ²log (x + 3) − 1 > ²log (x − 1)

Pembahasan:

²log (x + 3) − ²log 2 > ²log (x − 1)

²log [(x + 3)/2] > ²log (x − 1)

Basis 2 > 1: (x + 3)/2 > x − 1

x + 3 > 2x − 2 → 5 > x → x < 5

Syarat: x + 3 > 0 → x > −3 dan x − 1 > 0 → x > 1

Irisan: 1 < x < 5

HP: {x | 1 < x < 5}

Sulit

Contoh 5:

Tentukan penyelesaian: (²log x)² > ²log x⁴

Pembahasan:

Misalkan p = ²log x. Ruas kanan: ²log x⁴ = 4p

p² > 4p → p² − 4p > 0 → p(p − 4) > 0

p < 0 atau p > 4

Kembalikan:

• ²log x < 0 → x < 1 (dengan x > 0, maka 0 < x < 1)

• ²log x > 4 → x > 16

HP: {x | 0 < x < 1 atau x > 16}

Latihan Soal — Pertidaksamaan Logaritma

Tingkat Mudah

Tentukan HP: ²log x > 4
Tentukan HP: ⁵log x ≤ 2
Tentukan HP: ³log x < 0
Tentukan HP: ^½log x ≥ −1
Tentukan HP: ⁴log x > −1

Tingkat Sedang

Tentukan HP: ³log (2x − 1) > ³log (x + 4)
Tentukan HP: ^½log (x + 1) ≤ ^½log (3 − x)
Tentukan HP: ²log (x² − x) ≤ ²log (x + 3)
Tentukan HP: ⁵log (3x − 2) < 2
Tentukan HP: ^⅓log (x − 1) > ^⅓log (7 − x)

Tingkat Sulit

Tentukan HP: ³log² x − 2 · ³log x − 3 < 0
Tentukan HP: ²log (x − 1) + ²log (x − 3) ≥ 3
Tentukan HP: ^⅓log (x² − 4) < ^⅓log (4x − 7)
Tentukan HP: (⁵log x)² ≤ ⁵log x³ + 4
Tentukan HP: ²log (x + 3) − ²log (x − 1) < 2

4. Penerapan Logaritma dalam Kehidupan Sehari-hari

🔍 Kegiatan: Mengamati

Logaritma digunakan dalam berbagai bidang kehidupan:

Skala Richter: Mengukur kekuatan gempa bumi
Desibel (dB): Mengukur intensitas bunyi
pH: Mengukur tingkat keasaman larutan
Pertumbuhan populasi: Menghitung waktu pertumbuhan
Peluruhan radioaktif: Menentukan waktu paruh

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana cara menggunakan logaritma untuk menyelesaikan masalah nyata?
Mengapa skala logaritma lebih berguna daripada skala linear untuk data tertentu?

💡 Kegiatan: Menalar

Skala logaritma berguna ketika data memiliki rentang yang sangat besar. Misalnya, intensitas gempa bisa bervariasi dari 1 hingga miliaran kali lipat. Dengan logaritma, rentang ini “dimampatkan” menjadi angka yang lebih mudah dipahami (skala 1-10).

📐 Rumus Penerapan Logaritma:

1. Skala Richter (Gempa):

M = log (A/A₀), dimana A = amplitudo gempa, A₀ = amplitudo standar

2. Intensitas Bunyi (Desibel):

β = 10 · log (I/I₀), dimana I = intensitas bunyi, I₀ = 10⁻¹² W/m²

3. Tingkat Keasaman (pH):

pH = −log [H⁺], dimana [H⁺] = konsentrasi ion hidrogen

4. Pertumbuhan Eksponensial:

N = N₀ · r^t → t = log(N/N₀) / log r

5. Waktu Paruh:

N = N₀ · (½)^t/T → t = T · log(N₀/N) / log 2

✏️ Kegiatan: Mencoba

Hitunglah pH larutan yang memiliki konsentrasi ion H⁺ = 10⁻⁵ mol/L

pH = −log(10⁻⁵) = −(−5) = 5

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Carilah contoh penerapan logaritma di lingkungan sekitarmu. Presentasikan dalam bentuk laporan singkat berisi: masalah, model matematika, penyelesaian, dan interpretasi.

Contoh Soal — Penerapan Logaritma

Tingkat Mudah

Mudah

Contoh 1:

Tentukan pH larutan dengan [H⁺] = 10⁻³ mol/L

Pembahasan:

pH = −log [H⁺] = −log (10⁻³) = −(−3) = 3

Jadi, pH = 3 (larutan bersifat asam)

Mudah

Contoh 2:

Sebuah bakteri membelah diri menjadi 2 setiap jam. Jika mula-mula ada 100 bakteri, berapa jam untuk menjadi 3200 bakteri?

Pembahasan:

N = N₀ · 2^t → 3200 = 100 · 2^t

32 = 2^t → t = ²log 32 = 5

Jadi, dibutuhkan 5 jam

Mudah

Contoh 3:

Tentukan konsentrasi [H⁺] jika pH larutan = 7

Pembahasan:

pH = −log [H⁺] → 7 = −log [H⁺]

log [H⁺] = −7 → [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L

Jadi, [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L (larutan netral)

Mudah

Contoh 4:

Intensitas bunyi I = 10⁻⁴ W/m². Tentukan tingkat intensitas bunyi dalam desibel (I₀ = 10⁻¹² W/m²)

Pembahasan:

β = 10 · log (I/I₀) = 10 · log (10⁻⁴/10⁻¹²)

= 10 · log (10⁸) = 10 × 8 = 80 dB

Jadi, tingkat intensitas bunyi = 80 dB

Mudah

Contoh 5:

Modal Rp 1.000.000 ditabung dengan bunga 10% per tahun. Berapa tahun agar menjadi Rp 2.000.000? (log 2 = 0,301; log 1,1 = 0,041)

Pembahasan:

2.000.000 = 1.000.000 · (1,1)^t

2 = (1,1)^t → t = log 2 / log 1,1 = 0,301/0,041 ≈ 7,34

Jadi, dibutuhkan sekitar 7-8 tahun

Tingkat Sedang

Sedang

Contoh 1:

Gempa A memiliki amplitudo 1000 kali amplitudo standar. Gempa B memiliki amplitudo 100.000 kali amplitudo standar. Berapa selisih kekuatan kedua gempa pada skala Richter?

Pembahasan:

M_A = log (1000) = 3

M_B = log (100.000) = 5

Selisih = 5 − 3 = 2

Selisih kekuatan kedua gempa = 2 skala Richter

Sedang

Contoh 2:

Populasi suatu kota tumbuh 3% per tahun. Jika populasi awal 500.000 jiwa, berapa tahun untuk mencapai 1.000.000 jiwa? (log 2 = 0,301; log 1,03 = 0,013)

Pembahasan:

1.000.000 = 500.000 · (1,03)^t

2 = (1,03)^t

t = log 2 / log 1,03 = 0,301/0,013 ≈ 23,15

Jadi, dibutuhkan sekitar 23-24 tahun

Sedang

Contoh 3:

Zat radioaktif memiliki waktu paruh 8 tahun. Jika massa awal 200 gram, berapa tahun hingga tersisa 25 gram?

Pembahasan:

N = N₀ · (½)^t/T

25 = 200 · (½)^t/8

1/8 = (½)^t/8

(½)³ = (½)^t/8 → t/8 = 3 → t = 24

Jadi, dibutuhkan 24 tahun

Sedang

Contoh 4:

Dua sumber bunyi memiliki tingkat intensitas 60 dB dan 80 dB. Berapa kali intensitas sumber kedua dibanding sumber pertama?

Pembahasan:

β₁ = 10 log(I₁/I₀) = 60 → log(I₁/I₀) = 6

β₂ = 10 log(I₂/I₀) = 80 → log(I₂/I₀) = 8

log(I₂/I₀) − log(I₁/I₀) = 8 − 6 = 2

log(I₂/I₁) = 2 → I₂/I₁ = 100

Intensitas sumber kedua 100 kali sumber pertama

Sedang

Contoh 5:

pH larutan A = 3 dan pH larutan B = 5. Berapa kali konsentrasi H⁺ larutan A dibanding larutan B?

Pembahasan:

[H⁺]_A = 10⁻³, [H⁺]_B = 10⁻⁵

[H⁺]_A / [H⁺]_B = 10⁻³ / 10⁻⁵ = 10² = 100

Konsentrasi H⁺ larutan A 100 kali larutan B

Tingkat Sulit

Sulit

Contoh 1:

Suatu investasi memberikan bunga majemuk 5% per tahun. Berapa lama agar investasi menjadi 3 kali lipat? (log 3 = 0,477; log 1,05 = 0,021)

Pembahasan:

3P = P · (1,05)^t → 3 = (1,05)^t

t = log 3 / log 1,05 = 0,477/0,021 ≈ 22,71

Jadi, dibutuhkan sekitar 22-23 tahun

Sulit

Contoh 2:

Gempa berkekuatan 7 SR memiliki energi E₁. Gempa berkekuatan 5 SR memiliki energi E₂. Jika hubungan energi dan magnitudo: log E = 11,8 + 1,5M, tentukan perbandingan E₁/E₂

Pembahasan:

log E₁ = 11,8 + 1,5(7) = 22,3

log E₂ = 11,8 + 1,5(5) = 19,3

log(E₁/E₂) = 22,3 − 19,3 = 3

E₁/E₂ = 10³ = 1000

Energi gempa 7 SR adalah 1000 kali energi gempa 5 SR

Sulit

Contoh 3:

Suatu zat radioaktif meluruh sehingga massanya berkurang 20% setiap 5 tahun. Berapa tahun hingga massa tinggal 30% dari massa awal? (log 0,8 = −0,097; log 0,3 = −0,523)

Pembahasan:

N = N₀ · (0,8)^t/5

0,3 N₀ = N₀ · (0,8)^t/5

0,3 = (0,8)^t/5

log 0,3 = (t/5) · log 0,8

−0,523 = (t/5)(−0,097)

t/5 = 0,523/0,097 ≈ 5,39

t ≈ 26,96

Jadi, dibutuhkan sekitar 27 tahun

Sulit

Contoh 4:

Sebuah danau memiliki pH = 6. Setelah terkena hujan asam, pH menjadi 4. Berapa kali konsentrasi H⁺ meningkat? Jika konsentrasi H⁺ meningkat 5% setiap bulan secara eksponensial dari pH 6, berapa bulan untuk mencapai pH 4? (log 1,05 = 0,021)

Pembahasan:

Peningkatan konsentrasi: 10⁻⁴/10⁻⁶ = 100 kali

Model: [H⁺]_akhir = [H⁺]_awal · (1,05)^t

100 = (1,05)^t

t = log 100 / log 1,05 = 2/0,021 ≈ 95,2

Jadi, dibutuhkan sekitar 95 bulan (≈ 8 tahun)

Sulit

Contoh 5:

Suatu populasi bakteri tumbuh mengikuti rumus N(t) = 500 · 3^t/4 (t dalam jam). Pada saat bersamaan, antibiotik membunuh bakteri sehingga populasi juga berkurang mengikuti D(t) = 200t. Tentukan kapan populasi efektif (N − D) mencapai 10.000 (gunakan log 3 = 0,477)

Pembahasan:

Ini memerlukan pendekatan numerik. Kita cari t saat 500 · 3^t/4 − 200t = 10000

Coba t = 12: 500 · 3³ − 2400 = 13500 − 2400 = 11100 (terlalu besar)

Coba t = 10: 500 · 3^2,5 − 2000 = 500 · 15,59 − 2000 = 7795 − 2000 = 5795 (terlalu kecil)

Coba t = 11: 500 · 3^2,75 − 2200 = 500 · 21,07 − 2200 ≈ 10535 − 2200 = 8335

Coba t = 11,5: 500 · 3^2,875 − 2300 ≈ 500 · 24,3 − 2300 = 12150 − 2300 = 9850

Coba t = 11,6: ≈ 500 · 25,1 − 2320 = 12550 − 2320 = 10230 ≈ 10000

Jadi, populasi efektif mencapai 10.000 pada sekitar t ≈ 11,6 jam

Latihan Soal — Penerapan Logaritma

Tingkat Mudah

Tentukan pH larutan dengan [H⁺] = 10⁻⁸ mol/L
Bakteri membelah 2 setiap jam. Dari 50 bakteri, berapa jam untuk jadi 800?
Tentukan intensitas bunyi dalam dB jika I = 10⁻⁶ W/m²
Tentukan [H⁺] jika pH = 4
Modal 5 juta dibunga 10%/tahun. Berapa tahun jadi 10 juta? (log 2 = 0,301; log 1,1 = 0,041)

Tingkat Sedang

Gempa A berkekuatan 4 SR dan gempa B 6 SR. Berapa kali amplitudo B dibanding A?
Zat radioaktif waktu paruh 10 tahun. Berapa tahun hingga tinggal 12,5% massa awal?
Populasi tumbuh 2% per tahun dari 1 juta. Berapa tahun jadi 1,5 juta? (log 1,5 = 0,176; log 1,02 = 0,0086)
Intensitas bunyi A = 70 dB, B = 100 dB. Berapa kali intensitas B dibanding A?
pH larutan berubah dari 6 menjadi 3. Berapa kali konsentrasi H⁺ meningkat?

Tingkat Sulit

Investasi bunga 6%/tahun. Berapa tahun jadi 4 kali lipat? (log 4 = 0,602; log 1,06 = 0,025)
Zat radioaktif meluruh 15% per 3 tahun. Berapa tahun hingga tinggal 40%? (log 0,85 = −0,071; log 0,4 = −0,398)
Dua gempa berbeda 2 SR. Jika log E = 11,8 + 1,5M, berapa kali perbandingan energinya?
Populasi bakteri N = 1000 · 2^t/3 (jam). Antibiotik membunuh 100 bakteri/jam. Kapan populasi efektif = 50.000?
Suatu larutan dicampur sehingga [H⁺] menjadi rata-rata geometrik dari 10⁻² dan 10⁻⁸. Tentukan pH campuran.

1. Konsep Dasar Pemecahan Masalah Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

📐 Langkah-langkah Pemecahan Masalah Logaritma:

📋 Sifat-Sifat Logaritma yang Sering Digunakan:

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Contoh Soal — Konsep Dasar Pemecahan Masalah Logaritma

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Konsep Dasar Pemecahan Masalah Logaritma

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

2. Persamaan Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

📐 Jenis-Jenis Persamaan Logaritma:

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Contoh Soal — Persamaan Logaritma

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Persamaan Logaritma

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

3. Pertidaksamaan Logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

📐 Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Logaritma:

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Contoh Soal — Pertidaksamaan Logaritma

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Pertidaksamaan Logaritma

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

4. Penerapan Logaritma dalam Kehidupan Sehari-hari

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

📐 Rumus Penerapan Logaritma:

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Contoh Soal — Penerapan Logaritma

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Penerapan Logaritma

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed