Fungsi Logaritma – Pengertian Fungsi Logaritma

Pengertian Fungsi Logaritma

Materi Matematika — Kelas X SMA/SMK

A. Pendahuluan

Fungsi logaritma merupakan salah satu fungsi penting dalam matematika yang berkaitan erat dengan fungsi eksponen. Jika fungsi eksponen menjawab pertanyaan “berapa hasil pemangkatan?”, maka fungsi logaritma menjawab pertanyaan “berapa pangkat yang diperlukan?”

Secara sederhana, logaritma adalah kebalikan (invers) dari perpangkatan (eksponensial).

Hubungan Eksponen dan Logaritma: Jika a n = b, maka a log b = n dengan a > 0, a \neq 1, dan b > 0

Keterangan:

a = bilangan pokok (basis) logaritma
b = numerus (argumen), harus bernilai positif
n = hasil logaritma

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan tabel berikut yang menunjukkan hubungan antara bentuk eksponen dan logaritma:

Bentuk Eksponen	Bentuk Logaritma	Keterangan
2³ = 8	²log 8 = 3	Basis = 2, Numerus = 8
3⁴ = 81	³log 81 = 4	Basis = 3, Numerus = 81
5² = 25	⁵log 25 = 2	Basis = 5, Numerus = 25
10³ = 1000	¹⁰log 1000 = 3	Basis = 10, Numerus = 1000
4⁻¹ = ¼	⁴log ¼ = −1	Basis = 4, Numerus = ¼

Amati pola di atas. Perhatikan bagaimana basis dan hasil pangkat pada bentuk eksponen berpindah posisi saat ditulis dalam bentuk logaritma.

B. Definisi Fungsi Logaritma

Definisi: Fungsi logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai: f(x) = a log x dengan syarat: a > 0 dan a \neq 1 (basis) x > 0 (domain/numerus)

Notasi Khusus

log x = ¹⁰log x (logaritma biasa/Briggs, basis 10)
ln x = ^elog x (logaritma natural, basis e ≈ 2,718)

Domain dan Range

Domain (daerah asal): x > 0, atau ditulis {x | x > 0, x ∈ ℝ}
Range (daerah hasil): semua bilangan real, atau ℝ = (−∞, +∞)

❓ Kegiatan: Menanya

Setelah mengamati definisi di atas, cobalah menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

Mengapa basis logaritma tidak boleh sama dengan 1?
Mengapa numerus (argumen) harus bernilai positif?
Apakah ²log 0 terdefinisi? Mengapa?
Bagaimana bentuk grafik fungsi logaritma berbeda dari fungsi eksponen?

Jawaban Diskusi:

1. Jika a = 1, maka 1ⁿ = 1 untuk semua n. Artinya ¹log 1 bisa bernilai berapa saja (tidak tunggal), sehingga tidak memenuhi syarat fungsi.

2. Tidak ada bilangan real n sehingga aⁿ menghasilkan bilangan negatif atau nol (untuk a > 0). Oleh karena itu, numerus harus positif.

3. Tidak terdefinisi, karena tidak ada bilangan n sehingga 2ⁿ = 0.

4. Grafik fungsi logaritma merupakan pencerminan grafik fungsi eksponen terhadap garis y = x.

C. Sifat-Sifat Fungsi Logaritma

Berikut adalah sifat-sifat dasar logaritma yang harus dipahami:

No	Sifat	Rumus	Contoh
1	Log basis sendiri	^alog a = 1	⁵log 5 = 1
2	Log satu	^alog 1 = 0	³log 1 = 0
3	Perkalian	^alog (b·c) = ^alog b + ^alog c	²log 12 = ²log 4 + ²log 3
4	Pembagian	^alog (b/c) = ^alog b − ^alog c	²log 4 = ²log 8 − ²log 2
5	Pangkat	^alog bⁿ = n · ^alog b	²log 8 = ²log 2³ = 3
6	Perubahan basis	^alog b = ^clog b / ^clog a	⁴log 8 = ²log 8 / ²log 4 = 3/2
7	Invers	^alog b = 1 / ^blog a	²log 8 = 1 / ⁸log 2 = 3
8	Pangkat basis	^{a^m}log bⁿ = (n/m) · ^alog b	⁴log 8 = ^2²log 2³ = 3/2

💡 Kegiatan: Menalar

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk membuktikan pernyataan berikut:

Buktikan bahwa: ^alog b × ^blog c = ^alog c

Penalaran:

Misalkan ^alog b = p dan ^blog c = q

Maka: a^p = b dan b^q = c

Substitusi: c = b^q = (a^p)^q = a^pq

Sehingga: ^alog c = pq = ^alog b × ^blog c ✓

D. Grafik Fungsi Logaritma

Grafik fungsi logaritma memiliki karakteristik tertentu tergantung pada nilai basis a.

Karakteristik Grafik

Jika a > 1

• Grafik naik (monoton naik)

• Semakin besar x, semakin besar f(x)

• Melewati titik (1, 0)

• Contoh: f(x) = ²log x

Jika 0 < a < 1

• Grafik turun (monoton turun)

• Semakin besar x, semakin kecil f(x)

• Melewati titik (1, 0)

• Contoh: f(x) = ^½log x

Grafik Fungsi Logaritma

Garis putus-putus merah: asimtot vertikal (x = 0)

Tabel Nilai untuk f(x) = ²log x

x	¼	½	1	2	4	8	16
f(x) = ²log x	−2	−1	0	1	2	3	4

🧪 Kegiatan: Mencoba

Lengkapi tabel berikut untuk fungsi f(x) = ³log x, kemudian gambarkan grafiknya di buku tulis:

x	1/9	1/3	1	3	9	27	81
f(x) = ³log x	…	…	…	…	…	…	…

Petunjuk: Ingat bahwa ³log x = n berarti 3ⁿ = x

E. Contoh Soal dan Pembahasan

📗 Contoh Soal Mudah (Level 1)

Soal 1: Tentukan nilai dari ²log 32

Pembahasan:

Kita cari n sehingga 2ⁿ = 32

2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32 ✓

Jadi, ²log 32 = 5

Soal 2: Tentukan nilai dari ³log 81

Pembahasan:

Kita cari n sehingga 3ⁿ = 81

3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81 ✓

Jadi, ³log 81 = 4

Soal 3: Tentukan nilai dari ⁵log 125

Pembahasan:

Kita cari n sehingga 5ⁿ = 125

5¹ = 5, 5² = 25, 5³ = 125 ✓

Jadi, ⁵log 125 = 3

Soal 4: Tentukan nilai dari ¹⁰log 1000

Pembahasan:

Kita cari n sehingga 10ⁿ = 1000

10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000 ✓

Jadi, ¹⁰log 1000 = log 1000 = 3

Soal 5: Tentukan nilai dari ⁴log 16

Pembahasan:

Kita cari n sehingga 4ⁿ = 16

4¹ = 4, 4² = 16 ✓

Jadi, ⁴log 16 = 2

📘 Contoh Soal Sedang (Level 2)

Soal 6: Tentukan nilai dari ²log 4 + ²log 8

Pembahasan:

Menggunakan sifat perkalian: ^alog b + ^alog c = ^alog (b·c)

²log 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²log 32

Karena 2⁵ = 32, maka ²log 32 = 5

Cara lain: ²log 4 = 2 dan ²log 8 = 3, maka 2 + 3 = 5

Jadi, ²log 4 + ²log 8 = 5

Soal 7: Tentukan nilai dari ³log 54 − ³log 2

Pembahasan:

Menggunakan sifat pembagian: ^alog b − ^alog c = ^alog (b/c)

³log 54 − ³log 2 = ³log (54/2) = ³log 27

Karena 3³ = 27, maka ³log 27 = 3

Jadi, ³log 54 − ³log 2 = 3

Soal 8: Jika ²log 3 = p, nyatakan ²log 12 dalam p

Pembahasan:

²log 12 = ²log (4 × 3) = ²log 4 + ²log 3

= ²log 2² + ²log 3

= 2 + p

Jadi, ²log 12 = 2 + p

Soal 9: Tentukan nilai dari ⁴log 8

Pembahasan:

Ubah ke basis yang sama (basis 2):

⁴log 8 = ^2²log 2³

Gunakan sifat: ^{a^m}log bⁿ = (n/m) · ^alog b

= (3/2) · ²log 2 = (3/2) · 1 = 3/2

Jadi, ⁴log 8 = 3/2 = 1,5

Soal 10: Tentukan nilai dari ²log 3 × ³log 16

Pembahasan:

Gunakan sifat rantai: ^alog b × ^blog c = ^alog c

²log 3 × ³log 16 = ²log 16

Karena 2⁴ = 16, maka ²log 16 = 4

Jadi, ²log 3 × ³log 16 = 4

📕 Contoh Soal Sulit (Level 3)

Soal 11: Jika ²log 3 = a dan ²log 5 = b, nyatakan ⁶log 15 dalam a dan b

Pembahasan:

Gunakan perubahan basis ke basis 2:

⁶log 15 = ²log 15 / ²log 6

²log 15 = ²log (3 × 5) = ²log 3 + ²log 5 = a + b

²log 6 = ²log (2 × 3) = ²log 2 + ²log 3 = 1 + a

Jadi, ⁶log 15 = (a + b) / (1 + a)

Soal 12: Tentukan nilai dari ²log 3 × ³log 5 × ⁵log 7 × ⁷log 8

Pembahasan:

Gunakan sifat rantai berulang:

^alog b × ^blog c × ^clog d × ^dlog e = ^alog e

²log 3 × ³log 5 × ⁵log 7 × ⁷log 8 = ²log 8

Karena 2³ = 8, maka ²log 8 = 3

Jadi, nilainya = 3

Soal 13: Sederhanakan: ²log 12 + ²log (1/3) − ²log 2

Pembahasan:

Gunakan sifat logaritma:

= ²log 12 + ²log (1/3) − ²log 2

= ²log (12 × 1/3 ÷ 2)

= ²log (12/(3×2))

= ²log (12/6)

= ²log 2 = 1

Jadi, nilainya = 1

Soal 14: Jika ⁵log 2 = m, nyatakan ²⁵log 20 dalam m

Pembahasan:

²⁵log 20 = ^5²log 20 = ½ · ⁵log 20

= ½ · ⁵log (4 × 5)

= ½ · (⁵log 4 + ⁵log 5)

= ½ · (⁵log 2² + 1)

= ½ · (2m + 1)

Jadi, ²⁵log 20 = (2m + 1) / 2

Soal 15: Tentukan domain dari fungsi f(x) = ²log (3x − 6)

Pembahasan:

Syarat fungsi logaritma: numerus > 0

3x − 6 > 0

3x > 6

x > 2

Jadi, domain: {x | x > 2, x ∈ ℝ} atau (2, ∞)

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan teman sekelompokmu dan presentasikan hasilnya:

Jelaskan dengan bahasamu sendiri: mengapa fungsi logaritma disebut sebagai invers dari fungsi eksponen? Berikan contoh!
Buat rangkuman sifat-sifat logaritma dalam bentuk mind map atau tabel, dan berikan masing-masing 2 contoh.
Cari penerapan logaritma dalam kehidupan sehari-hari (misalnya skala Richter, desibel, pH) dan jelaskan hubungannya dengan definisi logaritma.

F. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tulis jawabanmu di buku tulis!

📗 Latihan Mudah (Level 1)

Tentukan nilai dari ²log 64
Tentukan nilai dari ³log 27
Tentukan nilai dari ⁷log 49
Tentukan nilai dari ¹⁰log 10000
Tentukan nilai dari ⁶log 36

📘 Latihan Sedang (Level 2)

Tentukan nilai dari ²log 16 + ²log 4
Tentukan nilai dari ⁵log 75 − ⁵log 3
Jika ³log 2 = a, nyatakan ³log 18 dalam a
Tentukan nilai dari ⁹log 27
Tentukan nilai dari ²log 5 × ⁵log 32

📕 Latihan Sulit (Level 3)

Jika ³log 5 = p dan ³log 2 = q, nyatakan ¹⁵log 12 dalam p dan q
Sederhanakan: 2 · ³log 4 + ³log (1/16) − ³log 9
Tentukan domain dari fungsi f(x) = ³log (x² − 5x + 6)
Tentukan nilai dari ⁴log 3 × ⁹log 32
Jika ²log 3 = a, nyatakan ¹²log 48 dalam a

G. Rangkuman

Definisi: Jika aⁿ = b, maka ^alog b = n (dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Fungsi logaritma: f(x) = ^alog x memiliki domain x > 0 dan range seluruh bilangan real
Grafik: Selalu melewati titik (1, 0), memiliki asimtot vertikal x = 0. Naik jika a > 1, turun jika 0 < a < 1
Sifat penting: ^alog a = 1, ^alog 1 = 0, sifat perkalian, pembagian, pangkat, dan perubahan basis
Fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen

Fungsi Logaritma – Pengertian Fungsi Logaritma

Pengertian Fungsi Logaritma

A. Pendahuluan

🔍 Kegiatan: Mengamati

B. Definisi Fungsi Logaritma

Notasi Khusus

Domain dan Range

❓ Kegiatan: Menanya

C. Sifat-Sifat Fungsi Logaritma

💡 Kegiatan: Menalar

D. Grafik Fungsi Logaritma

Karakteristik Grafik

Jika a > 1

Jika 0 < a < 1

Tabel Nilai untuk f(x) = ²log x

🧪 Kegiatan: Mencoba

E. Contoh Soal dan Pembahasan

📗 Contoh Soal Mudah (Level 1)

📘 Contoh Soal Sedang (Level 2)

📕 Contoh Soal Sulit (Level 3)

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

F. Latihan Soal

📗 Latihan Mudah (Level 1)

📘 Latihan Sedang (Level 2)

📕 Latihan Sulit (Level 3)

G. Rangkuman

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

SPLK – Sistem Persamaan dengan Dua Peubah, Satu Linear dan Satu Kuadrat yang Bentuk Kuadratnya Dapat Difaktorkan

SPLK – Sistem Persamaan dengan Dua Variabel, Satu Linear dan Satu Kuadrat yang Berbentuk Kuadratnya Tak Dapat Difaktorkan

Aplikasi Streaming Resmi untuk Nonton Piala Dunia 2026

ASEAN Bersatu! Misi “Zero Dengue Deaths” Jadi Fokus Utama Peringatan Hari DBD 2026

A. Pendahuluan

🔍 Kegiatan: Mengamati

B. Definisi Fungsi Logaritma

Notasi Khusus

Domain dan Range

❓ Kegiatan: Menanya

C. Sifat-Sifat Fungsi Logaritma

💡 Kegiatan: Menalar

D. Grafik Fungsi Logaritma

Karakteristik Grafik

Jika a > 1

Jika 0 < a < 1

Tabel Nilai untuk f(x) = 2log x

🧪 Kegiatan: Mencoba

E. Contoh Soal dan Pembahasan

📗 Contoh Soal Mudah (Level 1)

📘 Contoh Soal Sedang (Level 2)

📕 Contoh Soal Sulit (Level 3)

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

F. Latihan Soal

📗 Latihan Mudah (Level 1)

📘 Latihan Sedang (Level 2)

📕 Latihan Sulit (Level 3)

G. Rangkuman

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Tabel Nilai untuk f(x) = ²log x