Perbedaan Persamaan dan Pertidaksamaan
Matematika · Konsep Kesamaan · Konsep Ketidaksamaan · Perbandingan
1 Konsep Kesamaan (Persamaan)
📖 Materi
🔍 Mengamati
Perhatikan kalimat-kalimat matematika berikut:
- 3 + 4 = 7
- x + 2 = 5
- 2x − 1 = 9
Kalimat-kalimat di atas menggunakan tanda “=” (sama dengan). Tanda ini menunjukkan bahwa ruas kiri bernilai sama dengan ruas kanan.
❓ Menanya
Apa yang dimaksud dengan persamaan? Mengapa kita menggunakan tanda “=”? Kapan suatu kalimat matematika disebut persamaan?
💡 Menalar
Definisi: Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan ( = ). Kalimat terbuka berarti mengandung variabel (huruf) yang nilainya belum diketahui.
Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV):
Keterangan:
- a = koefisien variabel
- x = variabel (yang dicari nilainya)
- b = konstanta
Sifat-sifat Persamaan:
- Kedua ruas boleh ditambah dengan bilangan yang sama.
- Kedua ruas boleh dikurangi dengan bilangan yang sama.
- Kedua ruas boleh dikalikan dengan bilangan yang sama (≠ 0).
- Kedua ruas boleh dibagi dengan bilangan yang sama (≠ 0).
Simbol yang digunakan:
| Simbol | Dibaca | Arti |
|---|---|---|
| = | sama dengan | Ruas kiri bernilai sama dengan ruas kanan |
Contoh Garis Bilangan — Penyelesaian x = 3:
Titik biru menunjukkan penyelesaian tunggal x = 3
🧪 Mencoba
Coba tentukan apakah kalimat berikut merupakan persamaan atau bukan:
- 5 + x = 12 → Persamaan (ada tanda =, ada variabel)
- 7 > 3 → Bukan persamaan (menggunakan tanda >)
- 2y − 4 = 10 → Persamaan
🗣️ Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Persamaan adalah kalimat matematika yang menggunakan tanda = dan mengandung variabel. Penyelesaian persamaan adalah nilai variabel yang membuat kalimat tersebut bernilai benar.
📝 Contoh Soal — Konsep Kesamaan
Mudah
10 Soal1. Selesaikan: x + 3 = 7
2. Selesaikan: x − 5 = 2
3. Selesaikan: 2x = 10
4. Selesaikan: x + 1 = 9
5. Selesaikan: 3x = 12
6. Selesaikan: x − 8 = 0
7. Selesaikan: x + 10 = 15
8. Selesaikan: 5x = 25
9. Selesaikan: x − 3 = 7
10. Selesaikan: 4x = 20
Sedang
5 Soal1. Selesaikan: 2x + 3 = 11
2. Selesaikan: 3x − 7 = 14
3. Selesaikan: 5x + 2 = 3x + 10
4. Selesaikan: 4(x − 1) = 12
5. Selesaikan: x/2 + 3 = 7
Sulit
5 Soal1. Selesaikan: 3(2x − 1) + 4 = 2(x + 5) + 1
2. Selesaikan: (x + 3)/2 = (2x − 1)/3
3. Selesaikan: 5(x − 2) − 3(x + 1) = 2(x − 4)
4. Selesaikan: 2x/3 − (x − 4)/6 = 5
5. Umur Ani 3 tahun lebih tua dari Budi. Jumlah umur mereka 29 tahun. Berapa umur masing-masing?
✏️ Latihan Soal — Konsep Kesamaan
Mudah
10 Soal- Selesaikan: x + 6 = 11
- Selesaikan: x − 4 = 3
- Selesaikan: 3x = 18
- Selesaikan: x + 9 = 20
- Selesaikan: 2x = 14
- Selesaikan: x − 7 = 5
- Selesaikan: 6x = 30
- Selesaikan: x + 2 = 10
- Selesaikan: x − 1 = 8
- Selesaikan: 7x = 49
Sedang
5 Soal- Selesaikan: 4x − 5 = 15
- Selesaikan: 2x + 7 = x + 12
- Selesaikan: 3(x + 2) = 18
- Selesaikan: x/3 + 4 = 9
- Selesaikan: 5x − 3 = 2x + 9
Sulit
5 Soal- Selesaikan: 2(3x + 1) − 5 = 4(x − 2) + 3
- Selesaikan: (2x + 1)/3 = (x − 2)/2
- Selesaikan: x/4 + x/6 = 5
- Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp21.000. Jika harga 1 pensil Rp3.000, berapa harga 1 buku?
- Selesaikan: 5(x − 1)/2 = 3(x + 2)/4
2 Konsep Ketidaksamaan (Pertidaksamaan)
📖 Materi
🔍 Mengamati
Perhatikan kalimat-kalimat matematika berikut:
- x + 2 > 5
- 3x − 1 < 11
- 2x ≥ 8
- x − 4 ≤ 3
Kalimat-kalimat di atas tidak menggunakan tanda “=”. Mereka menggunakan tanda ketidaksamaan.
❓ Menanya
Apa perbedaan pertidaksamaan dengan persamaan? Apa saja tanda ketidaksamaan yang digunakan? Apakah penyelesaiannya berupa satu nilai atau banyak nilai?
💡 Menalar
Definisi: Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang dihubungkan oleh tanda ketidaksamaan: <, >, ≤, atau ≥.
Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Satu Variabel:
ax + b < 0 atau ax + b > 0
ax + b ≤ 0 atau ax + b ≥ 0
Simbol-simbol Pertidaksamaan:
| Simbol | Dibaca | Contoh |
|---|---|---|
| < | kurang dari | x < 5 |
| > | lebih dari | x > 3 |
| ≤ | kurang dari atau sama dengan | x ≤ 7 |
| ≥ | lebih dari atau sama dengan | x ≥ 2 |
Sifat-sifat Pertidaksamaan:
- Kedua ruas boleh ditambah/dikurangi bilangan yang sama, tanda tetap.
- Kedua ruas boleh dikali/dibagi bilangan positif, tanda tetap.
- Kedua ruas dikali/dibagi bilangan negatif, tanda BERBALIK. ⚠️
⚠️ PENTING: Saat mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan HARUS DIBALIK!
Contoh: −2x > 6 → bagi kedua ruas dengan −2 → x < −3 (tanda berubah dari > menjadi <)
Notasi Penyelesaian:
| Notasi Himpunan | Notasi Interval | Garis Bilangan |
|---|---|---|
| {x | x > 3} | (3, ∞) | Lingkaran terbuka di 3, arsir ke kanan |
| {x | x ≤ 5} | (−∞, 5] | Lingkaran tertutup di 5, arsir ke kiri |
Garis Bilangan — Penyelesaian x > 2:
Lingkaran terbuka (○) berarti 2 tidak termasuk penyelesaian
Garis Bilangan — Penyelesaian x ≤ 3:
Lingkaran tertutup (●) berarti 3 termasuk penyelesaian
🧪 Mencoba
Tentukan jenis kalimat matematika berikut:
- x + 1 < 6 → Pertidaksamaan (tanda <)
- 3x = 9 → Persamaan (tanda =)
- 2x − 5 ≥ 1 → Pertidaksamaan (tanda ≥)
🗣️ Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Pertidaksamaan menggunakan tanda <, >, ≤, ≥. Penyelesaiannya berupa himpunan nilai (banyak nilai), bukan nilai tunggal. Hati-hati saat mengalikan/membagi dengan bilangan negatif karena tanda harus dibalik.
📝 Contoh Soal — Konsep Ketidaksamaan
Mudah
10 Soal1. Selesaikan: x + 2 > 5
2. Selesaikan: x − 3 < 4
3. Selesaikan: 2x ≥ 6
4. Selesaikan: x + 5 ≤ 10
5. Selesaikan: 3x < 15
6. Selesaikan: x − 1 > 6
7. Selesaikan: 4x ≤ 20
8. Selesaikan: x + 8 > 12
9. Selesaikan: x − 6 ≥ 0
10. Selesaikan: 5x > 30
Sedang
5 Soal1. Selesaikan: 2x + 3 < 13
2. Selesaikan: 3x − 4 ≥ 2x + 1
3. Selesaikan: −2x > 8
4. Selesaikan: 4(x − 1) ≤ 16
5. Selesaikan: 5 − x > 2
Sulit
5 Soal1. Selesaikan: 3(2x − 1) > 2(x + 3) + 1
2. Selesaikan: −3(x + 2) ≤ 2(1 − x)
3. Selesaikan: 1 < 2x − 3 ≤ 9
4. Selesaikan: (x + 1)/3 > (2x − 1)/4
5. Seorang siswa memiliki uang Rp50.000. Ia ingin membeli buku seharga Rp8.000 per buah. Berapa buku paling banyak yang bisa dibeli?
✏️ Latihan Soal — Konsep Ketidaksamaan
Mudah
10 Soal- Selesaikan: x + 4 > 9
- Selesaikan: x − 2 < 5
- Selesaikan: 3x ≤ 21
- Selesaikan: x + 7 ≥ 15
- Selesaikan: 2x > 10
- Selesaikan: x − 9 < 1
- Selesaikan: 5x ≥ 35
- Selesaikan: x + 3 ≤ 8
- Selesaikan: x − 5 > 0
- Selesaikan: 6x < 42
Sedang
5 Soal- Selesaikan: 3x + 2 ≤ 17
- Selesaikan: −4x < 12
- Selesaikan: 2(x + 3) > 14
- Selesaikan: 7 − 2x ≥ 1
- Selesaikan: 5x − 1 < 3x + 7
Sulit
5 Soal- Selesaikan: 2(3x − 4) ≥ 3(x + 1) − 2
- Selesaikan: −2 ≤ 3x + 1 < 10
- Selesaikan: (x − 2)/5 < (x + 3)/3
- Selesaikan: −3(x − 1) > 2(x + 4)
- Seorang pedagang memiliki modal Rp200.000. Ia membeli barang seharga Rp15.000 per buah dan menjualnya Rp22.000 per buah. Berapa minimal barang yang harus dijual agar untung minimal Rp70.000?
3 Contoh Perbandingan: Persamaan vs Pertidaksamaan
📖 Materi
🔍 Mengamati
Bandingkan kedua kalimat matematika berikut:
| Persamaan | Pertidaksamaan |
|---|---|
| x + 3 = 7 | x + 3 > 7 |
| Penyelesaian: x = 4 (tunggal) | Penyelesaian: x > 4 (banyak nilai) |
❓ Menanya
Apa perbedaan utama antara persamaan dan pertidaksamaan? Bagaimana cara mengenali masing-masing? Apakah sifat-sifatnya sama?
💡 Menalar
Tabel Perbandingan Lengkap:
| Aspek | Persamaan | Pertidaksamaan |
|---|---|---|
| Tanda | = | <, >, ≤, ≥ |
| Arti | Ruas kiri = ruas kanan | Ruas kiri ≠ ruas kanan |
| Penyelesaian | Nilai tunggal | Himpunan nilai (interval) |
| Notasi HP | {4} | {x | x > 4} atau (4, ∞) |
| Garis Bilangan | Titik tunggal (●) | Arsiran garis dengan ● atau ○ |
| Kali/bagi negatif | Tidak mengubah tanda | Tanda BERBALIK ⚠️ |
Perbandingan Visual pada Garis Bilangan:
Persamaan x = 4:
Pertidaksamaan x > 4:
🧪 Mencoba
Klasifikasikan masing-masing kalimat berikut sebagai persamaan atau pertidaksamaan dan tentukan penyelesaiannya:
- 2x − 1 = 5 → Persamaan, x = 3
- 2x − 1 < 5 → Pertidaksamaan, x < 3
- 2x − 1 ≥ 5 → Pertidaksamaan, x ≥ 3
🗣️ Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Persamaan memberikan penyelesaian tunggal, sedangkan pertidaksamaan memberikan penyelesaian berupa himpunan nilai. Keduanya memiliki sifat yang mirip, kecuali saat mengalikan/membagi dengan bilangan negatif pada pertidaksamaan.
📝 Contoh Soal — Perbandingan
Mudah
10 Soal1. Tentukan apakah x + 5 = 9 merupakan persamaan atau pertidaksamaan, lalu selesaikan.
2. Tentukan apakah x + 5 > 9 merupakan persamaan atau pertidaksamaan, lalu selesaikan.
3. Selesaikan 3x = 9 dan 3x < 9. Bandingkan hasilnya.
4. Manakah yang persamaan? (a) x − 2 = 6 (b) x − 2 ≤ 6
5. Selesaikan: x + 2 = 8 dan tuliskan himpunan penyelesaiannya.
6. Selesaikan: x + 2 ≥ 8 dan tuliskan himpunan penyelesaiannya.
7. Apakah 5 = 5 merupakan persamaan? Jelaskan.
8. Tuliskan satu contoh persamaan dan satu contoh pertidaksamaan dengan variabel y.
9. Selesaikan 4x = 16 dan 4x ≤ 16.
10. Berapa banyak penyelesaian dari x − 1 = 5 dan x − 1 > 5?
Sedang
5 Soal1. Selesaikan 2x + 3 = 11 dan 2x + 3 < 11. Gambarkan pada garis bilangan.
2. Jelaskan perbedaan HP dari x − 3 = 2 dan x − 3 ≥ 2 menggunakan notasi himpunan dan interval.
3. Jika −x = 3, berapa x? Jika −x > 3, bagaimana penyelesaiannya?
4. Tentukan apakah x = 5 merupakan penyelesaian dari: (a) 2x − 1 = 9 (b) 2x − 1 > 9
5. Ubahlah kalimat berikut menjadi persamaan dan pertidaksamaan: “Dua kali suatu bilangan ditambah 5 hasilnya 17”.
Sulit
5 Soal1. Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi −3 < 2x − 1 ≤ 7, kemudian bandingkan dengan penyelesaian 2x − 1 = 7.
2. Seorang siswa mendapat nilai 70, 85, dan 78. Berapa nilai ulangan ke-4 agar rata-rata: (a) sama dengan 80? (b) minimal 80?
3. Tunjukkan bahwa persamaan 3(x − 2) = 3x − 6 memiliki tak berhingga penyelesaian. Bandingkan dengan 3(x − 2) > 3x − 6.
4. Sebuah persegi panjang memiliki panjang (2x + 1) cm dan lebar (x − 1) cm. (a) Jika keliling = 22 cm, tentukan x. (b) Jika keliling < 30 cm, tentukan nilai x.
5. Buktikan bahwa jika a > b dan c < 0, maka ac < bc. Berikan contoh numerik.
✏️ Latihan Soal — Perbandingan
Mudah
10 Soal- Klasifikasikan sebagai persamaan/pertidaksamaan: x + 7 = 12
- Klasifikasikan: x + 7 > 12
- Selesaikan 5x = 20 dan 5x ≤ 20.
- Selesaikan x − 4 = 1 dan x − 4 < 1.
- Tuliskan HP dari 2x = 8 menggunakan notasi himpunan.
- Tuliskan HP dari 2x > 8 menggunakan notasi interval.
- Manakah yang memiliki penyelesaian tunggal? (a) x = 3 (b) x ≥ 3
- Apakah x = 2 memenuhi 3x + 1 < 10?
- Selesaikan: x + 6 = 10 dan x + 6 > 10.
- Berikan satu contoh persamaan dan satu pertidaksamaan dengan jawaban x = 5 atau x < 5.
Sedang
5 Soal- Selesaikan 3x − 2 = 10 dan 3x − 2 ≥ 10. Gambarkan keduanya pada satu garis bilangan.
- Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi −2 ≤ x < 5.
- Jika −3x = 12, tentukan x. Jika −3x < 12, tentukan penyelesaiannya.
- Ubah soal cerita menjadi persamaan dan pertidaksamaan: “Tiga kali bilangan dikurangi 4 hasilnya 11”.
- Apakah x = 0 memenuhi 5x + 3 ≥ 3? Jelaskan.
Sulit
5 Soal- Tentukan bilangan bulat positif yang memenuhi 2 ≤ 3x − 1 < 14.
- Seorang pedagang membeli barang Rp5.000/buah dan menjual Rp8.000/buah. Tentukan jumlah barang agar: (a) untung = Rp60.000 (b) untung ≥ Rp60.000.
- Buktikan bahwa jika a = b maka a + c = b + c, dan jika a > b maka a + c > b + c.
- Sebuah segitiga memiliki sisi x, x + 2, dan x + 4. (a) Jika keliling = 24, tentukan x. (b) Jika keliling ≤ 30, tentukan nilai x yang mungkin.
- Tentukan penyelesaian dari |2x − 3| = 5 (persamaan) dan |2x − 3| < 5 (pertidaksamaan). Bandingkan hasilnya.