Model Matematika
Mengubah Kalimat ke Bentuk Linear, Menentukan Variabel, dan Menyusun Model Matematika Sederhana
1. Mengubah Kalimat ke Bentuk Linear
🔍 Mengamati
Perhatikan kalimat-kalimat berikut dalam kehidupan sehari-hari:
- “Harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp25.000”
- “Umur Ani 5 tahun lebih tua dari umur Budi”
- “Jumlah dua bilangan adalah 20”
- “Panjang suatu persegi panjang 3 cm lebih dari lebarnya”
Kalimat-kalimat di atas dapat diubah menjadi bentuk matematika yang disebut persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
❓ Menanya
- Bagaimana cara mengubah kalimat verbal menjadi bentuk matematika?
- Kata-kata kunci apa yang menunjukkan operasi matematika tertentu?
- Apa perbedaan persamaan dan pertidaksamaan?
💡 Menalar
A. Kata Kunci dalam Kalimat Matematika
| Kata/Frasa | Simbol Matematika | Contoh |
|---|---|---|
| ditambah, jumlah, lebih dari, dan | + | “jumlah x dan y” → x + y |
| dikurangi, selisih, kurang dari | − | “x kurang 5” → x − 5 |
| dikalikan, kali, dari | × | “3 kali x” → 3x |
| dibagi, per, bagi | ÷ | “x dibagi 2” → x/2 |
| sama dengan, adalah, yaitu | = | “hasilnya 10” → = 10 |
| kurang dari | < | “x kurang dari 5” → x < 5 |
| lebih dari | > | “x lebih dari 3” → x > 3 |
| tidak lebih dari, paling banyak | ≤ | “paling banyak 10” → ≤ 10 |
| tidak kurang dari, paling sedikit | ≥ | “paling sedikit 5” → ≥ 5 |
B. Langkah Mengubah Kalimat ke Bentuk Linear
- Baca dan pahami kalimat — identifikasi apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan.
- Tentukan variabel — gunakan huruf (misal x, y) untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.
- Identifikasi kata kunci — temukan kata yang menunjukkan operasi matematika.
- Tulis bentuk matematika — susun persamaan atau pertidaksamaan berdasarkan langkah di atas.
C. Contoh Proses Pengubahan
Langkah:
• Misalkan bilangan tersebut = x
• “Dua kali suatu bilangan” → 2x
• “ditambah 5” → 2x + 5
• “sama dengan 17” → 2x + 5 = 17
Hasil: 2x + 5 = 17
✋ Mencoba
Cobalah ubah kalimat berikut ke bentuk matematika:
- “Tiga kali suatu bilangan dikurangi 7 sama dengan 20”
- “Jumlah dua bilangan adalah 15, bilangan pertama 3 lebih dari bilangan kedua”
1. Misal bilangan = x, maka: 3x − 7 = 20
2. Misal bilangan pertama = x, bilangan kedua = y
x + y = 15 dan x = y + 3
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Kalimat verbal dapat diubah menjadi bentuk linear dengan mengidentifikasi kata kunci operasi matematika.
- Persamaan linear menggunakan tanda “=” sedangkan pertidaksamaan menggunakan tanda “<“, “>”, “≤”, atau “≥”.
- Setiap besaran yang belum diketahui diwakili oleh variabel.
📝 Contoh Soal — Mengubah Kalimat ke Bentuk Linear
Mudah
1. “Suatu bilangan ditambah 4 sama dengan 10”. Ubah ke bentuk matematika!
Misalkan bilangan = x
“ditambah 4” → x + 4
“sama dengan 10” → x + 4 = 10
Jawaban: x + 4 = 10
2. “Suatu bilangan dikurangi 3 sama dengan 7”.
Misal bilangan = x
x − 3 = 7
Jawaban: x − 3 = 7
3. “Dua kali suatu bilangan sama dengan 12”.
Misal bilangan = x
“Dua kali” → 2x
Jawaban: 2x = 12
4. “Setengah dari suatu bilangan adalah 8”.
Misal bilangan = x
“Setengah dari” → x/2
Jawaban: x/2 = 8
5. “Jumlah suatu bilangan dan 6 adalah 15”.
Misal bilangan = x
Jawaban: x + 6 = 15
6. “Suatu bilangan ditambah 10 sama dengan 25”.
Misal bilangan = x
Jawaban: x + 10 = 25
7. “Tiga kali suatu bilangan adalah 21”.
Misal bilangan = x
Jawaban: 3x = 21
8. “Suatu bilangan dikurangi 9 sama dengan 1”.
Misal bilangan = x
Jawaban: x − 9 = 1
9. “Empat kali suatu bilangan sama dengan 28”.
Misal bilangan = x
Jawaban: 4x = 28
10. “Suatu bilangan ditambah 2 sama dengan 9”.
Misal bilangan = x
Jawaban: x + 2 = 9
Sedang
1. “Dua kali suatu bilangan ditambah 5 sama dengan 19”.
Misal bilangan = x
“Dua kali suatu bilangan” → 2x
“ditambah 5” → 2x + 5
Jawaban: 2x + 5 = 19
2. “Selisih tiga kali suatu bilangan dan 4 adalah 14”.
Misal bilangan = x
“Tiga kali suatu bilangan” → 3x
“Selisih … dan 4” → 3x − 4
Jawaban: 3x − 4 = 14
3. “Jumlah dua bilangan adalah 20. Bilangan pertama dua kali bilangan kedua”.
Misal bilangan pertama = x, kedua = y
x + y = 20
x = 2y
Jawaban: x + y = 20 dan x = 2y
4. “Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp21.000”.
Misal harga buku = x, harga pensil = y
“3 buku” → 3x, “2 pensil” → 2y
Jawaban: 3x + 2y = 21.000
5. “Lima kali suatu bilangan dikurangi 8 tidak kurang dari 22”.
Misal bilangan = x
“Lima kali suatu bilangan dikurangi 8” → 5x − 8
“tidak kurang dari” → ≥
Jawaban: 5x − 8 ≥ 22
Sulit
1. “Umur ayah 4 kali umur anak. Lima tahun lagi, umur ayah menjadi 3 kali umur anak. Buatlah model matematikanya!”
Misal umur anak sekarang = x, umur ayah = y
Kondisi 1: y = 4x
Lima tahun lagi: umur anak = x + 5, umur ayah = y + 5
Kondisi 2: y + 5 = 3(x + 5)
Jawaban: y = 4x dan y + 5 = 3(x + 5)
2. “Sebuah toko menjual baju dan celana. Harga 2 baju dan 3 celana Rp350.000. Harga 4 baju dan 1 celana Rp250.000. Buatlah model matematikanya!”
Misal harga baju = x, harga celana = y
Persamaan 1: 2x + 3y = 350.000
Persamaan 2: 4x + y = 250.000
Jawaban: Sistem persamaan linear dua variabel di atas.
3. “Seorang petani memiliki lahan paling luas 1000 m². Ia ingin menanam padi dan jagung. Luas lahan padi paling sedikit 200 m² dan luas lahan jagung paling sedikit 100 m². Buatlah model matematikanya!”
Misal luas padi = x, luas jagung = y
x + y ≤ 1000
x ≥ 200
y ≥ 100
Jawaban: Sistem pertidaksamaan di atas.
4. “Suatu bilangan jika ditambah 1/3 dari bilangan itu menghasilkan bilangan yang kurang dari 20”.
Misal bilangan = x
“ditambah 1/3 dari bilangan itu” → x + x/3 = 4x/3
“kurang dari 20” → < 20
Jawaban: 4x/3 < 20
5. “Keliling suatu persegi panjang tidak lebih dari 60 cm. Panjangnya 5 cm lebih dari lebarnya. Buatlah model matematikanya!”
Misal lebar = x, maka panjang = x + 5
Keliling = 2(x + x + 5) = 2(2x + 5) = 4x + 10
“tidak lebih dari 60” → ≤ 60
Jawaban: 4x + 10 ≤ 60
✏️ Latihan Soal — Mengubah Kalimat ke Bentuk Linear
Mudah
- Suatu bilangan ditambah 7 sama dengan 18.
- Suatu bilangan dikurangi 5 sama dengan 12.
- Empat kali suatu bilangan sama dengan 36.
- Sepertiga suatu bilangan sama dengan 9.
- Jumlah suatu bilangan dan 11 adalah 20.
- Suatu bilangan ditambah 3 sama dengan 14.
- Dua kali suatu bilangan sama dengan 18.
- Suatu bilangan dikurangi 8 sama dengan 2.
- Lima kali suatu bilangan adalah 45.
- Suatu bilangan ditambah 1 sama dengan 6.
Sedang
- Tiga kali suatu bilangan ditambah 4 sama dengan 25.
- Selisih dua kali suatu bilangan dan 7 adalah 13.
- Jumlah dua bilangan adalah 30. Bilangan pertama 6 lebih dari bilangan kedua.
- Harga 5 buku dan 2 pensil adalah Rp35.000.
- Empat kali suatu bilangan dikurangi 10 tidak lebih dari 30.
Sulit
- Umur ibu 3 kali umur anak. Sepuluh tahun lagi umur ibu 2 kali umur anak. Buatlah modelnya!
- Sebuah kolam memiliki kapasitas paling banyak 500 liter. Air mengalir masuk 10 liter per menit dan bocor 2 liter per menit. Berapa lama sampai penuh? Buatlah modelnya!
- Seorang pedagang membeli apel dan jeruk. Harga 4 kg apel dan 3 kg jeruk Rp120.000. Harga 2 kg apel dan 5 kg jeruk Rp110.000. Modelkan!
- Jumlah tiga bilangan berurutan jika dikalikan 2 hasilnya kurang dari 42.
- Luas kebun tidak lebih dari 800 m². Panjang kebun 10 m lebih dari 2 kali lebarnya. Buatlah modelnya!
2. Menentukan Variabel
🔍 Mengamati
Dalam masalah sehari-hari, sering terdapat nilai yang belum diketahui. Perhatikan contoh:
- “Banyak siswa laki-laki di kelas belum diketahui” → bisa diwakili x
- “Harga satu kilogram beras” → bisa diwakili p
- “Kecepatan mobil” → bisa diwakili v
Huruf-huruf yang mewakili nilai yang belum diketahui disebut variabel.
❓ Menanya
- Apa itu variabel, konstanta, dan koefisien?
- Bagaimana cara menentukan variabel yang tepat dari suatu masalah?
- Apakah pemilihan huruf variabel mempengaruhi penyelesaian?
💡 Menalar
A. Pengertian
| Istilah | Pengertian | Contoh pada 3x + 5 = 20 |
|---|---|---|
| Variabel | Simbol (huruf) yang mewakili nilai belum diketahui | x |
| Koefisien | Bilangan yang mengalikan variabel | 3 (koefisien dari x) |
| Konstanta | Bilangan tetap (tanpa variabel) | 5 dan 20 |
B. Langkah Menentukan Variabel
- Identifikasi nilai yang belum diketahui — apa yang dicari dalam soal?
- Pilih simbol huruf — biasanya menggunakan huruf yang relevan (x, y, z atau huruf awal kata).
- Definisikan variabel dengan jelas — tuliskan “Misalkan x = …” secara eksplisit.
- Tentukan satuan — jika ada satuan, cantumkan (cm, kg, Rp, dsb).
- Pastikan variabel tidak ambigu — setiap variabel hanya mewakili satu besaran.
C. Tips Memilih Variabel
- Gunakan huruf awal: harga → h, umur → u, panjang → p
- Untuk dua variabel atau lebih, gunakan huruf yang berbeda dan mudah dibedakan
- Pilihan huruf tidak mempengaruhi hasil akhir, tapi memudahkan pembacaan
Masalah: “Seorang pedagang membeli mangga dan apel. Berapa harga masing-masing?”
Variabel:
• Misal harga 1 kg mangga = m (rupiah)
• Misal harga 1 kg apel = a (rupiah)
Kedua variabel didefinisikan jelas, menggunakan huruf awal, dan memiliki satuan.
✋ Mencoba
Tentukan variabel yang tepat untuk masalah berikut:
- “Banyak permen yang dimiliki Andi dan Budi tidak diketahui”
- “Kecepatan sepeda motor dan mobil belum diketahui”
1. Misal permen Andi = a, permen Budi = b
2. Misal kecepatan motor = v₁ (km/jam), kecepatan mobil = v₂ (km/jam)
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Variabel adalah simbol huruf yang mewakili nilai belum diketahui.
- Penentuan variabel harus jelas, tidak ambigu, dan memiliki satuan jika diperlukan.
- Dalam satu masalah, setiap variabel hanya mewakili satu besaran.
📝 Contoh Soal — Menentukan Variabel
Mudah
1. Tentukan variabel dari: “Banyak buku yang dibeli Rina belum diketahui”.
2. “Harga satu pensil belum diketahui”.
3. “Umur Dina belum diketahui”.
4. “Banyak siswa di kelas A belum diketahui”.
5. “Berat satu karung beras belum diketahui”.
6. “Panjang tali belum diketahui”.
7. “Banyak kelereng Tono belum diketahui”.
8. “Lebar suatu persegi panjang belum diketahui”.
9. “Jarak rumah ke sekolah belum diketahui”.
10. “Suhu ruangan belum diketahui”.
Sedang
1. “Harga buku dan pensil belum diketahui. Harga 2 buku dan 3 pensil Rp15.000”. Tentukan variabelnya!
2. “Umur kakak dan adik belum diketahui. Umur kakak 5 tahun lebih tua”. Tentukan variabelnya!
3. “Panjang dan lebar kebun belum diketahui. Panjang 2 kali lebar”. Tentukan variabelnya!
4. “Banyak tiket dewasa dan anak-anak belum diketahui. Total tiket 50”. Tentukan variabelnya!
5. “Kecepatan perahu di air tenang dan kecepatan arus belum diketahui”. Tentukan variabelnya!
Sulit
1. “Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang. Barang A memerlukan 2 jam mesin dan 1 jam tenaga kerja. Barang B memerlukan 1 jam mesin dan 3 jam tenaga kerja. Mesin tersedia 100 jam dan tenaga kerja 120 jam”. Tentukan variabel dan modelnya!
Misal jumlah barang A = x, jumlah barang B = y
Kendala mesin: 2x + y ≤ 100
Kendala tenaga kerja: x + 3y ≤ 120
x ≥ 0, y ≥ 0
2. “Seorang petani memiliki 3 jenis pupuk A, B, dan C. Tanaman padi butuh 2 kg A, 1 kg B per petak. Tanaman jagung butuh 1 kg A, 3 kg B, 1 kg C per petak. Stok A = 80 kg, B = 60 kg, C = 30 kg”. Tentukan variabel!
Misal petak padi = x, petak jagung = y
Kendala A: 2x + y ≤ 80
Kendala B: x + 3y ≤ 60
Kendala C: y ≤ 30
x ≥ 0, y ≥ 0
3. “Toko menjual 3 jenis kue. Kue A seharga Rp5.000, kue B Rp8.000, kue C Rp12.000. Andi membeli total 10 kue dengan uang Rp80.000 dan habis terpakai semua”. Tentukan variabel!
Misal jumlah kue A = a, B = b, C = c
a + b + c = 10
5000a + 8000b + 12000c = 80000
a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0
4. “Dua mobil berangkat dari kota berbeda saling mendekati. Mobil A dengan kecepatan tertentu, mobil B 20 km/jam lebih cepat. Jarak kedua kota 300 km. Mereka bertemu setelah 2 jam”. Tentukan variabel!
Misal kecepatan mobil A = v (km/jam)
Kecepatan mobil B = v + 20 (km/jam)
Dalam 2 jam: 2v + 2(v + 20) = 300
→ 4v + 40 = 300
5. “Sebuah investasi dibagi menjadi dua: deposito dan saham. Total investasi Rp100 juta. Deposito bunga 5%/tahun, saham 12%/tahun. Total keuntungan setahun paling sedikit Rp8 juta”. Tentukan variabel!
Misal deposito = x (juta Rp), saham = y (juta Rp)
x + y = 100
0,05x + 0,12y ≥ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
✏️ Latihan Soal — Menentukan Variabel
Mudah
- Tentukan variabel: “Banyak kue yang dibuat Ibu belum diketahui”.
- Tentukan variabel: “Tinggi badan Rudi belum diketahui”.
- Tentukan variabel: “Harga satu buah mangga belum diketahui”.
- Tentukan variabel: “Waktu tempuh perjalanan belum diketahui”.
- Tentukan variabel: “Banyak halaman buku belum diketahui”.
- Tentukan variabel: “Luas taman belum diketahui”.
- Tentukan variabel: “Tabungan Siti belum diketahui”.
- Tentukan variabel: “Banyak ayam di peternakan belum diketahui”.
- Tentukan variabel: “Volume air dalam bak belum diketahui”.
- Tentukan variabel: “Nilai ujian Ahmad belum diketahui”.
Sedang
- Tentukan variabel: “Harga roti dan susu belum diketahui. Harga 3 roti dan 2 susu Rp25.000”.
- Tentukan variabel: “Banyak kursi dan meja belum diketahui. Totalnya 40 buah”.
- Tentukan variabel: “Panjang 3 cm lebih dari lebar. Kelilingnya 26 cm”.
- Tentukan variabel: “Umur ayah 30 tahun lebih dari umur anak. Jumlah umur keduanya 50”.
- Tentukan variabel: “Jarak dan kecepatan belum diketahui. Waktu tempuh 3 jam”.
Sulit
- Sebuah perusahaan memproduksi kursi dan meja. Setiap kursi butuh 3 jam kerja, setiap meja 5 jam. Tersedia 120 jam kerja per hari. Tentukan variabel dan modelnya!
- Toko buah menjual apel, jeruk, dan mangga. Total pembelian 15 kg. Apel Rp30.000/kg, jeruk Rp20.000/kg, mangga Rp25.000/kg. Total Rp375.000. Tentukan variabel!
- Dua keran mengisi kolam. Keran A lebih deras dari keran B. Bersama-sama mengisi 120 liter dalam 1 jam. Keran A sendiri 2 kali debit keran B. Tentukan variabel!
- Seorang atlet berlari dan bersepeda. Total jarak 50 km. Kecepatan sepeda 4 kali kecepatan lari. Total waktu 2,5 jam. Tentukan variabel!
- Tiga orang pekerja menyelesaikan proyek. Pekerja A mengerjakan 2 kali lipat pekerja B. Pekerja C mengerjakan setengah dari pekerja B. Total pekerjaan 70 unit. Tentukan variabel!
3. Menyusun Model Matematika Sederhana
🔍 Mengamati
Perhatikan masalah berikut:
Masalah di atas perlu diubah menjadi model matematika agar bisa diselesaikan secara sistematis.
❓ Menanya
- Apa itu model matematika?
- Bagaimana langkah-langkah menyusun model matematika?
- Kapan menggunakan persamaan dan kapan menggunakan pertidaksamaan?
💡 Menalar
A. Pengertian Model Matematika
Model matematika adalah rumusan matematika (persamaan, pertidaksamaan, atau sistem persamaan) yang merepresentasikan suatu masalah nyata.
B. Langkah Menyusun Model Matematika
- Baca masalah dengan cermat — pahami apa yang diketahui dan ditanyakan.
- Tentukan variabel — definisikan setiap besaran yang belum diketahui.
- Identifikasi hubungan — temukan hubungan antar besaran.
- Tulis persamaan/pertidaksamaan — ubah hubungan tersebut menjadi bentuk matematika.
- Tentukan kendala — syarat tambahan (misal: tidak negatif).
- Periksa kembali — pastikan model sesuai masalah awal.
C. Contoh Lengkap
Langkah 1: Diketahui dua informasi harga. Ditanya harga masing-masing.
Langkah 2: Misal harga buku = x (Rp), harga pulpen = y (Rp)
Langkah 3: Hubungan dari informasi yang diberikan.
Langkah 4:
Persamaan 1: 4x + 3y = 30.000
Persamaan 2: 2x + 5y = 28.000
Langkah 5: x ≥ 0, y ≥ 0 (harga tidak negatif)
Model Matematika:
4x + 3y = 30.000
2x + 5y = 28.000
x ≥ 0, y ≥ 0
D. Kapan Menggunakan Persamaan vs Pertidaksamaan?
| Persamaan (=) | Pertidaksamaan (≤, ≥, <, >) |
|---|---|
| Nilai tepat/pasti | Nilai batas (maksimum/minimum) |
| “adalah”, “sama dengan” | “paling banyak”, “paling sedikit”, “tidak lebih dari” |
| Contoh: Total harga = Rp50.000 | Contoh: Anggaran ≤ Rp50.000 |
✋ Mencoba
Susun model matematika dari masalah berikut:
“Sebuah peternakan memiliki ayam dan kambing. Jumlah hewan 30 ekor. Jumlah kaki seluruh hewan 80. Berapa banyak ayam dan kambing?”
Misal ayam = x, kambing = y
Jumlah hewan: x + y = 30
Jumlah kaki (ayam 2, kambing 4): 2x + 4y = 80
Kendala: x ≥ 0, y ≥ 0
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Model matematika mengubah masalah nyata menjadi bentuk persamaan atau pertidaksamaan.
- Langkah: baca → tentukan variabel → identifikasi hubungan → tulis model → periksa.
- Model yang benar harus konsisten dengan semua informasi dalam masalah.
📝 Contoh Soal — Menyusun Model Matematika
Mudah
1. Jumlah dua bilangan adalah 15. Bilangan pertama lebih besar 3 dari bilangan kedua. Susun modelnya!
2. Harga 2 roti dan 1 susu Rp10.000. Susun modelnya!
3. Umur Ali 2 kali umur Beni. Jumlah umur mereka 24 tahun. Susun modelnya!
4. Panjang tali 20 m. Dipotong dua bagian, bagian pertama 4 m lebih panjang. Susun modelnya!
5. Suatu bilangan jika dikalikan 3 hasilnya 27. Susun modelnya!
6. Harga 5 apel sama dengan Rp25.000. Susun modelnya!
7. Selisih dua bilangan adalah 8. Susun modelnya!
8. Keliling persegi 36 cm. Susun modelnya!
9. Ani membeli 3 buku seharga total Rp18.000. Susun modelnya!
10. Suatu bilangan ditambah 10 hasilnya 30. Susun modelnya!
Sedang
1. Sebuah parkiran memiliki motor dan mobil. Jumlah kendaraan 50. Jumlah roda 140. Susun modelnya!
Misal motor = m, mobil = n
m + n = 50 (jumlah kendaraan)
2m + 4n = 140 (jumlah roda)
m ≥ 0, n ≥ 0
2. Harga 3 kg jeruk dan 2 kg apel Rp60.000. Harga 1 kg jeruk dan 4 kg apel Rp70.000. Susun modelnya!
Misal jeruk = j (Rp/kg), apel = a (Rp/kg)
3j + 2a = 60.000
j + 4a = 70.000
3. Seorang pengrajin membuat meja dan kursi. Modal meja Rp200.000, kursi Rp100.000. Modal tersedia Rp2.000.000. Susun modelnya!
Misal meja = x, kursi = y
200.000x + 100.000y ≤ 2.000.000
Sederhana: 2x + y ≤ 20
x ≥ 0, y ≥ 0
4. Bus menampung paling banyak 50 penumpang. Tiket dewasa Rp30.000, anak Rp20.000. Pendapatan minimal Rp1.200.000. Susun modelnya!
Misal dewasa = d, anak = a
d + a ≤ 50
30.000d + 20.000a ≥ 1.200.000 → 3d + 2a ≥ 120
d ≥ 0, a ≥ 0
5. Dua tahun lalu umur ayah 6 kali umur anak. Sekarang umur ayah 4 kali umur anak. Susun modelnya!
Misal umur anak sekarang = a, ayah = b
Dua tahun lalu: b − 2 = 6(a − 2)
Sekarang: b = 4a
Sulit
1. Pabrik roti memproduksi roti tawar dan roti manis. Roti tawar butuh 200g tepung dan 50g gula. Roti manis butuh 150g tepung dan 100g gula. Stok tepung 10 kg, gula 4 kg. Keuntungan roti tawar Rp3.000 dan roti manis Rp4.000. Susun model untuk memaksimalkan keuntungan!
Misal roti tawar = x, roti manis = y
Kendala tepung: 200x + 150y ≤ 10.000 → 4x + 3y ≤ 200
Kendala gula: 50x + 100y ≤ 4.000 → x + 2y ≤ 80
x ≥ 0, y ≥ 0
Fungsi tujuan: Maks Z = 3000x + 4000y
2. Kapal muat mengangkut dua jenis kontainer. Kontainer A berat 2 ton, volume 3 m³. Kontainer B berat 3 ton, volume 2 m³. Kapasitas kapal: 120 ton dan 150 m³. Keuntungan A Rp5 juta, B Rp4 juta. Susun modelnya!
Misal kontainer A = x, B = y
Berat: 2x + 3y ≤ 120
Volume: 3x + 2y ≤ 150
x ≥ 0, y ≥ 0
Maks Z = 5x + 4y (juta Rp)
3. Tiga orang saudara menabung. Tabungan si A 2 kali tabungan B. Tabungan C Rp50.000 lebih dari B. Total tabungan Rp500.000. Selisih A dan C paling sedikit Rp100.000. Susun modelnya!
Misal A = a, B = b, C = c
a = 2b
c = b + 50.000
a + b + c = 500.000
a − c ≥ 100.000
4. Sekolah mengadakan wisata dengan bus besar (kapasitas 50) dan bus kecil (kapasitas 30). Peserta 300 orang. Bus besar sewa Rp2 juta, kecil Rp1,5 juta. Anggaran maksimal Rp15 juta. Minimal 2 bus besar. Susun modelnya!
Misal bus besar = x, bus kecil = y
Kapasitas: 50x + 30y ≥ 300 → 5x + 3y ≥ 30
Anggaran: 2x + 1,5y ≤ 15 → 4x + 3y ≤ 30
x ≥ 2, y ≥ 0
5. Petani menanam padi, jagung, dan kedelai di lahan 10 hektar. Padi butuh 5 pekerja/ha, jagung 3/ha, kedelai 2/ha. Tersedia 40 pekerja. Keuntungan padi Rp10 juta/ha, jagung Rp7 juta/ha, kedelai Rp5 juta/ha. Padi minimal 2 ha. Susun modelnya!
Misal padi = x, jagung = y, kedelai = z
Lahan: x + y + z ≤ 10
Pekerja: 5x + 3y + 2z ≤ 40
x ≥ 2, y ≥ 0, z ≥ 0
Maks Z = 10x + 7y + 5z (juta Rp)
✏️ Latihan Soal — Menyusun Model Matematika
Mudah
- Jumlah dua bilangan 25. Selisihnya 7. Susun modelnya!
- Harga 3 pensil dan 2 penghapus Rp9.000. Susun modelnya!
- Umur kakak 2 kali umur adik. Jumlah umur mereka 18 tahun. Susun modelnya!
- Keliling persegi panjang 40 cm. Panjang 4 cm lebih dari lebar. Susun modelnya!
- Suatu bilangan jika ditambah 8 hasilnya 23. Susun modelnya!
- Harga 4 donat sama dengan Rp20.000. Susun modelnya!
- Banyak kelereng Andi 5 lebih dari Budi. Total 35. Susun modelnya!
- Panjang pita 50 cm, dipotong 3 bagian sama panjang. Susun modelnya!
- Dua kali bilangan pertama ditambah bilangan kedua sama dengan 20. Susun modelnya!
- Harga 1 kg beras dan 2 kg gula Rp32.000. Susun modelnya!
Sedang
- Parkiran motor dan mobil ada 80 kendaraan. Roda total 220. Susun modelnya!
- Toko menjual kaos Rp50.000 dan kemeja Rp80.000. Terjual 20 potong, total Rp1.300.000. Susun modelnya!
- Tanah seluas 2000 m² ditanami sayur dan buah. Luas sayur minimal 500 m². Susun modelnya!
- Dua keran mengisi kolam 100 liter. Keran A 3 kali debit keran B. Susun modelnya!
- Campuran 10 kg kopi. Kopi robusta Rp60.000/kg, arabika Rp100.000/kg. Budget Rp750.000. Susun modelnya!
Sulit
- Perusahaan mebel membuat lemari dan rak. Lemari butuh 4 jam potong, 3 jam rakit. Rak butuh 2 jam potong, 2 jam rakit. Mesin potong 80 jam, rakit 60 jam. Untung lemari Rp500.000, rak Rp300.000. Susun model untuk maksimalkan untung!
- Konveksi memproduksi baju dan celana. Baju butuh 2m kain, 1 jam jahit. Celana 1,5m kain, 2 jam jahit. Kain 120m, jahit 80 jam. Baju minimal 10. Susun modelnya!
- Tiga jenis pupuk A, B, C. Tanaman X butuh 3A, 2B, 1C per petak. Tanaman Y butuh 1A, 4B, 2C per petak. Stok A=90, B=80, C=50. Untung X Rp2jt, Y Rp3jt/petak. Susun modelnya!
- Travel menyediakan bus AC (40 seat, Rp3jt) dan non-AC (50 seat, Rp2jt). Peserta 400. Budget Rp25jt. Bus AC minimal 3. Minimumkan biaya! Susun modelnya!
- Peternak memelihara sapi dan kambing. Sapi butuh 5m² dan 10kg pakan/hari. Kambing 2m² dan 3kg/hari. Lahan 200m², pakan 500kg/hari. Untung sapi Rp2jt, kambing Rp800rb. Minimal 10 kambing. Susun modelnya!