Pertidaksamaan Linear
Materi Matematika — Kelas X
1. Definisi Pertidaksamaan Linear
Perhatikan dua kalimat matematika berikut:
Kalimat 1 (Persamaan): 2x + 3 = 7
Kalimat 2 (Pertidaksamaan): 2x + 3 < 7
Pada kalimat 1, kedua ruas dihubungkan oleh tanda “=” (sama dengan). Pada kalimat 2, kedua ruas dihubungkan oleh tanda “<” (kurang dari). Kalimat kedua inilah yang disebut pertidaksamaan.
- Apa perbedaan persamaan dan pertidaksamaan?
- Mengapa disebut “pertidaksamaan linear”?
- Kapan kita menggunakan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari?
Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang memuat variabel berpangkat satu (linear) dan dihubungkan oleh tanda ketidaksamaan ( < , > , ≤ , atau ≥ ).
Kata “linear” berarti pangkat tertinggi variabelnya adalah 1. Jadi 3x + 1 > 5 adalah pertidaksamaan linear, sedangkan x² + 1 > 5 bukan pertidaksamaan linear (karena pangkat variabelnya 2).
Perbedaan Persamaan vs Pertidaksamaan:
| Aspek | Persamaan | Pertidaksamaan |
|---|---|---|
| Tanda penghubung | = | < , > , ≤ , ≥ |
| Solusi | Nilai tertentu (tunggal/terbatas) | Himpunan nilai (interval) |
| Contoh | x + 2 = 5 | x + 2 < 5 |
| Penyelesaian | x = 3 | x < 3 |
Contoh dalam kehidupan sehari-hari:
- “Uang Andi paling sedikit Rp50.000” → x ≥ 50000
- “Kecepatan mobil tidak boleh lebih dari 80 km/jam” → v ≤ 80
- “Suhu ruangan kurang dari 25°C” → T < 25
Tentukan mana yang merupakan pertidaksamaan linear dan mana yang bukan:
- 4x − 1 > 7 → Pertidaksamaan linear ✓
- x² + 3 ≤ 10 → Bukan (pangkat 2) ✗
- 5 − 2x ≥ 0 → Pertidaksamaan linear ✓
- 3x = 9 → Bukan (persamaan, bukan pertidaksamaan) ✗
Kesimpulan:
Pertidaksamaan linear adalah kalimat matematika terbuka yang memuat variabel berpangkat satu dan menggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) sebagai penghubung antara ruas kiri dan ruas kanan.
Contoh Soal — Definisi Pertidaksamaan Linear
Mudah
1. Tentukan apakah x + 5 > 8 merupakan pertidaksamaan linear!
Pembahasan: Variabel x berpangkat 1, dan tanda penghubungnya “>”. Jadi, x + 5 > 8 merupakan pertidaksamaan linear.
2. Apakah 3x − 2 = 10 merupakan pertidaksamaan linear?
Pembahasan: Tanda penghubungnya “=” (sama dengan), bukan tanda ketidaksamaan. Jadi, ini bukan pertidaksamaan, melainkan persamaan linear.
3. Tentukan apakah 7 ≥ 2x + 1 merupakan pertidaksamaan linear!
Pembahasan: Variabel x berpangkat 1, tanda penghubungnya “≥”. Ya, pertidaksamaan linear.
4. Apakah x² < 9 merupakan pertidaksamaan linear?
Pembahasan: Pangkat variabel x adalah 2. Meskipun menggunakan tanda “<“, ini bukan pertidaksamaan linear (melainkan pertidaksamaan kuadrat).
5. Nyatakan kalimat “Umur Budi lebih dari 15 tahun” dalam pertidaksamaan!
Pembahasan: Misalkan umur Budi = x. “Lebih dari 15” berarti x > 15.
6. Apakah −4x + 6 ≤ 0 pertidaksamaan linear?
Pembahasan: Variabel berpangkat 1, tanda “≤”. Ya, pertidaksamaan linear.
7. Nyatakan “Harga buku tidak lebih dari Rp20.000” dalam pertidaksamaan!
Pembahasan: Misalkan harga = h. “Tidak lebih dari” = paling banyak = ≤. Jadi h ≤ 20000.
8. Tentukan apakah 5 < 8 pertidaksamaan linear!
Pembahasan: Kalimat ini tidak memuat variabel (kalimat tertutup). Ini bukan pertidaksamaan linear karena bukan kalimat terbuka.
9. Apakah 2(x + 3) > 10 pertidaksamaan linear?
Pembahasan: Jika dijabarkan: 2x + 6 > 10. Variabel berpangkat 1, tanda “>”. Ya, pertidaksamaan linear.
10. Nyatakan “Berat badan minimal 50 kg” dalam pertidaksamaan!
Pembahasan: Misalkan berat = b. “Minimal 50” = paling sedikit 50 = ≥ 50. Jadi b ≥ 50.
Sedang
11. Dari kalimat berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel: (a) 3x + 2y > 5, (b) 4x − 7 < 1, (c) x² + x ≥ 6
Pembahasan: (a) Dua variabel → pertidaksamaan linear dua variabel, bukan satu variabel. (b) Satu variabel berpangkat 1 → pertidaksamaan linear satu variabel ✓. (c) Pangkat tertinggi 2 → bukan linear.
12. Seorang siswa memiliki uang saku x rupiah. Ia harus membayar ongkos Rp5.000 dan membeli buku Rp12.000. Setelah itu uangnya masih tersisa. Nyatakan dalam pertidaksamaan!
Pembahasan: Pengeluaran = 5000 + 12000 = 17000. Uang tersisa berarti x − 17000 > 0, atau equivalen x > 17000.
13. Jelaskan mengapa |x| < 3 bukan pertidaksamaan linear!
Pembahasan: Tanda nilai mutlak |x| membuat ekspresi ini bukan bentuk linear standar ax + b. Pertidaksamaan nilai mutlak memerlukan perlakuan khusus (dipecah menjadi dua pertidaksamaan). Secara umum dikategorikan sebagai pertidaksamaan nilai mutlak, bukan pertidaksamaan linear sederhana.
14. Suatu parkir menampung paling banyak 200 kendaraan. Sudah ada 75 mobil. Berapa motor (m) yang masih bisa masuk? Nyatakan dalam pertidaksamaan!
Pembahasan: Total kendaraan ≤ 200. Sudah ada 75, sisa kapasitas untuk motor: 75 + m ≤ 200, atau m ≤ 125 (dengan m ≥ 0).
15. Tentukan apakah &frac;x}{2} + 1 > 4 pertidaksamaan linear. Jelaskan!
Pembahasan: x/2 + 1 > 4 dapat ditulis (1/2)x + 1 > 4. Variabel x berpangkat 1, koefisien 1/2. Ya, pertidaksamaan linear.
Sulit
16. Tentukan nilai a agar (a−1)x² + 3x − 5 < 0 menjadi pertidaksamaan linear!
Pembahasan: Agar menjadi linear, koefisien x² harus = 0. Jadi a − 1 = 0 → a = 1. Dengan a = 1, pertidaksamaan menjadi 3x − 5 < 0 yang linear.
17. Suatu lift berkapasitas maksimal 600 kg. Di dalam lift sudah ada 3 orang dewasa masing-masing 70 kg dan 2 anak masing-masing 30 kg. Berapa berat barang (b) yang masih boleh dibawa masuk? Modelkan dalam pertidaksamaan linear dan tentukan nilainya!
Pembahasan: Berat orang = 3(70) + 2(30) = 210 + 60 = 270 kg. Kapasitas tersisa: 270 + b ≤ 600 → b ≤ 330. Barang yang boleh dibawa paling berat 330 kg (dengan b ≥ 0).
18. Jelaskan mengapa himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear selalu berupa interval, sedangkan persamaan linear berupa titik tunggal!
Pembahasan: Persamaan ax + b = 0 memiliki tepat satu solusi x = −b/a. Pertidaksamaan ax + b > 0 dipenuhi oleh semua x yang lebih besar (atau lebih kecil) dari −b/a, membentuk seluruh bilangan pada setengah garis bilangan, yaitu interval tak hingga. Ini karena tanda ketidaksamaan tidak membatasi ke satu titik, melainkan ke arah tertentu pada garis bilangan.
19. Seorang pedagang memiliki modal Rp500.000. Harga beli barang A adalah Rp15.000/buah dan barang B Rp25.000/buah. Ia ingin membeli 10 buah barang A dan beberapa barang B. Nyatakan banyak barang B (y) dalam pertidaksamaan linear dan tentukan maksimal barang B!
Pembahasan: Biaya A = 10 × 15000 = 150000. Sisa modal untuk B: 150000 + 25000y ≤ 500000 → 25000y ≤ 350000 → y ≤ 14. Maksimal 14 buah barang B.
20. Tentukan semua nilai k agar (k² − 4)x + (k − 2) < 0 merupakan pertidaksamaan linear yang memiliki penyelesaian!
Pembahasan: Agar linear, koefisien x harus ≠ 0: k² − 4 ≠ 0 → k ≠ 2 dan k ≠ −2. Periksa k = 2: koefisien x = 0, suku konstanta = 0, menjadi 0 < 0 (salah, tidak ada solusi). Periksa k = −2: koefisien x = 0, suku konstanta = −4 < 0 (benar untuk semua x, tapi bukan pertidaksamaan linear karena tidak ada variabel). Jadi k ∈ ℝ, k ≠ 2 dan k ≠ −2.
Latihan Soal — Definisi Pertidaksamaan Linear
Mudah
1. Apakah 2x + 1 < 9 pertidaksamaan linear?
2. Apakah x² − 4 ≥ 0 pertidaksamaan linear?
3. Nyatakan “Tinggi badan minimal 160 cm” dalam pertidaksamaan!
4. Apakah 6 > 3x − 1 pertidaksamaan linear?
5. Nyatakan “Suhu tidak boleh kurang dari 0°C” dalam pertidaksamaan!
6. Tentukan apakah −x + 4 ≤ 10 pertidaksamaan linear!
7. Apakah 5 = 5 pertidaksamaan linear?
8. Nyatakan “Jumlah siswa kurang dari 40 orang” dalam pertidaksamaan!
9. Apakah 3(x − 2) > 0 pertidaksamaan linear?
10. Tentukan apakah 1/x > 2 pertidaksamaan linear!
Sedang
11. Kelompokkan menjadi pertidaksamaan linear dan bukan: (a) 5x−3 ≥ 2x+1, (b) x(x+1) < 6, (c) −7x ≤ 14
12. Sebuah bus berkapasitas 50 penumpang. Sudah naik 32 orang. Nyatakan sisa penumpang yang bisa naik dalam pertidaksamaan!
13. Jelaskan perbedaan x + 3 < 7 dan x + 3 ≤ 7 dari sisi himpunan penyelesaian!
14. Tentukan apakah (2x+1)/3 > 5 pertidaksamaan linear. Jelaskan!
15. Sebuah toko memberi diskon jika pembelian lebih dari Rp100.000. Modelkan situasi ini dalam pertidaksamaan!
Sulit
16. Tentukan nilai p agar (p+3)x² + 2x − 1 < 0 menjadi pertidaksamaan linear!
17. Suatu tangki air berkapasitas 1000 liter berisi 350 liter. Air mengalir masuk 25 liter/menit. Berapa menit (t) agar tangki tidak meluap? Modelkan!
18. Jelaskan hubungan antara garis bilangan dan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear!
19. Tentukan semua nilai m agar (m²−9)x + m + 3 ≥ 0 merupakan pertidaksamaan linear!
20. Buktikan bahwa pertidaksamaan linear satu variabel selalu memiliki penyelesaian berupa interval (bukan himpunan kosong, kecuali kontradiksi)!
2. Simbol Pertidaksamaan
Perhatikan tabel simbol-simbol ketidaksamaan berikut:
| Simbol | Dibaca | Contoh | Arti |
|---|---|---|---|
| < | Kurang dari | x < 5 | x bernilai kurang dari 5 (tidak termasuk 5) |
| > | Lebih dari | x > 3 | x bernilai lebih dari 3 (tidak termasuk 3) |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | x ≤ 7 | x bernilai paling banyak 7 (termasuk 7) |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | x ≥ 2 | x bernilai paling sedikit 2 (termasuk 2) |
- Apa perbedaan “<” dengan “≤”?
- Kapan menggunakan simbol terbuka (<, >) dan kapan tertutup (≤, ≥)?
- Bagaimana menggambarkan simbol-simbol ini pada garis bilangan?
Perbedaan simbol terbuka dan tertutup:
- < dan > (terbuka): Nilai batas tidak termasuk penyelesaian. Pada garis bilangan digambar dengan lingkaran terbuka (○).
- ≤ dan ≥ (tertutup): Nilai batas termasuk penyelesaian. Pada garis bilangan digambar dengan lingkaran tertutup (●).
Visualisasi pada Garis Bilangan:
x < 3 (x kurang dari 3, tidak termasuk 3)
○ = lingkaran terbuka (3 tidak termasuk), arsir ke kiri
x ≥ 2 (x lebih dari atau sama dengan 2, termasuk 2)
● = lingkaran tertutup (2 termasuk), arsir ke kanan
Notasi Interval:
| Pertidaksamaan | Notasi Interval | Garis Bilangan |
|---|---|---|
| x < a | (−∞, a) | ○ di a, arsir kiri |
| x ≤ a | (−∞, a] | ● di a, arsir kiri |
| x > a | (a, +∞) | ○ di a, arsir kanan |
| x ≥ a | [a, +∞) | ● di a, arsir kanan |
| a < x < b | (a, b) | ○ di a dan b, arsir di antara |
| a ≤ x ≤ b | [a, b] | ● di a dan b, arsir di antara |
Keterangan notasi:
- ( ) = kurung buka/tutup biasa → batas tidak termasuk
- [ ] = kurung siku → batas termasuk
- ∞ (tak hingga) selalu menggunakan kurung biasa karena bukan bilangan nyata
Lengkapi tabel berikut:
| Kalimat | Simbol | Notasi Interval |
|---|---|---|
| x kurang dari 4 | x < 4 | (−∞, 4) |
| x paling sedikit 1 | x ≥ 1 | [1, +∞) |
| x lebih dari −2 dan kurang dari 5 | −2 < x < 5 | (−2, 5) |
| x paling banyak 10 | x ≤ 10 | (−∞, 10] |
Kesimpulan:
Ada 4 simbol ketidaksamaan: <, >, ≤, ≥. Simbol terbuka (<, >) berarti nilai batas tidak termasuk (○ pada garis bilangan, kurung biasa pada interval). Simbol tertutup (≤, ≥) berarti nilai batas termasuk (● pada garis bilangan, kurung siku pada interval).
Contoh Soal — Simbol Pertidaksamaan
Mudah
1. Tuliskan simbol yang tepat: “x kurang dari 7”
Pembahasan: “Kurang dari” → simbol <. Jadi: x < 7
2. Tuliskan simbol: “y lebih dari atau sama dengan 10”
Pembahasan: “Lebih dari atau sama dengan” → ≥. Jadi: y ≥ 10
3. Nyatakan x > 5 dalam notasi interval!
Pembahasan: x lebih dari 5 (tidak termasuk 5) hingga tak hingga: (5, +∞)
4. Nyatakan x ≤ −2 dalam notasi interval!
Pembahasan: x dari negatif tak hingga sampai −2 (termasuk −2): (−∞, −2]
5. Gambarkan x > 0 pada garis bilangan! Apakah menggunakan lingkaran terbuka atau tertutup?
Pembahasan: Simbol > (tanpa sama dengan) → lingkaran terbuka (○) di titik 0, arsir ke kanan.
6. Apa arti simbol ≤ pada t ≤ 30?
Pembahasan: Berarti t bernilai kurang dari atau sama dengan 30. Nilai t bisa 30 atau kurang dari 30. Nilai 30 termasuk penyelesaian.
7. Nyatakan interval [3, +∞) dalam bentuk pertidaksamaan!
Pembahasan: Kurung siku “[” di 3 berarti termasuk 3. Jadi: x ≥ 3
8. Nyatakan interval (−∞, 6) dalam bentuk pertidaksamaan!
Pembahasan: Kurung biasa “)” di 6 berarti tidak termasuk 6. Jadi: x < 6
9. Apakah x = 4 termasuk penyelesaian x < 4?
Pembahasan: Tidak. Simbol < berarti “kurang dari” (tidak termasuk). Nilai x = 4 tidak memenuhi x < 4.
10. Apakah x = 4 termasuk penyelesaian x ≤ 4?
Pembahasan: Ya. Simbol ≤ berarti “kurang dari atau sama dengan”. Nilai x = 4 memenuhi x ≤ 4 karena 4 = 4.
Sedang
11. Nyatakan −3 ≤ x < 5 dalam notasi interval dan gambarkan pada garis bilangan!
Pembahasan: Notasi interval: [−3, 5). Pada garis bilangan: ● di −3 (termasuk), ○ di 5 (tidak termasuk), arsir di antara keduanya.
12. Tentukan simbol yang tepat untuk kalimat: “Suhu ruangan antara 20°C dan 25°C, termasuk kedua batasnya”
Pembahasan: “Termasuk kedua batas” → ≤ di kedua sisi. Jadi: 20 ≤ T ≤ 25. Interval: [20, 25].
13. Ubah notasi interval (−1, 7] menjadi pertidaksamaan dan jelaskan maknanya!
Pembahasan: (−1, 7] berarti −1 tidak termasuk, 7 termasuk. Pertidaksamaan: −1 < x ≤ 7. Artinya x lebih dari −1 dan paling banyak 7.
14. Manakah yang benar untuk “paling sedikit 100”: (a) x > 100, (b) x ≥ 100, (c) x < 100?
Pembahasan: “Paling sedikit 100” = “minimal 100” = 100 atau lebih. Jawaban: (b) x ≥ 100.
15. Gambarkan 1 < x ≤ 4 pada garis bilangan dan nyatakan dalam notasi interval!
Pembahasan: ○ di 1 (tidak termasuk), ● di 4 (termasuk), arsir di antara. Notasi interval: (1, 4].
Sulit
16. Nyatakan himpunan {x | x < −1 atau x ≥ 3} dalam notasi interval!
Pembahasan: Ini gabungan dua interval: x < −1 → (−∞, −1) dan x ≥ 3 → [3, +∞). Notasi: (−∞, −1) ∪ [3, +∞).
17. Tentukan hubungan antara a < x < b dan |x − c| < r dimana c = (a+b)/2 dan r = (b−a)/2. Buktikan kesetaraannya!
Pembahasan: |x − c| < r berarti −r < x − c < r, yaitu c − r < x < c + r. Substitusi c = (a+b)/2 dan r = (b−a)/2: c − r = (a+b)/2 − (b−a)/2 = (a+b−b+a)/2 = a, dan c + r = (a+b)/2 + (b−a)/2 = (a+b+b−a)/2 = b. Jadi c − r < x < c + r setara dengan a < x < b. Terbukti.
18. Diketahui 2 ≤ 3x − 1 < 8. Nyatakan penyelesaiannya dalam (a) pertidaksamaan, (b) notasi interval, (c) garis bilangan!
Pembahasan: Tambah 1: 3 ≤ 3x < 9. Bagi 3: 1 ≤ x < 3. (a) 1 ≤ x < 3. (b) [1, 3). (c) ● di 1, ○ di 3, arsir di antara.
19. Nyatakan penyelesaian x ≤ −2 atau x > 4 dalam notasi interval dan jelaskan mengapa hasilnya bukan satu interval tunggal!
Pembahasan: x ≤ −2 → (−∞, −2] dan x > 4 → (4, +∞). Hasilnya: (−∞, −2] ∪ (4, +∞). Bukan interval tunggal karena ada “celah” di antara −2 dan 4 yang bukan penyelesaian. Ini terjadi karena menggunakan kata “atau” (gabungan), bukan “dan” (irisan).
20. Tentukan simbol dan interval untuk: “Kecepatan v km/jam pada jalan tol minimal 60 dan maksimal 120, kedua batas berlaku”
Pembahasan: Minimal 60 (termasuk) → v ≥ 60. Maksimal 120 (termasuk) → v ≤ 120. Gabungan: 60 ≤ v ≤ 120. Interval: [60, 120].
Latihan Soal — Simbol Pertidaksamaan
Mudah
1. Tuliskan simbol untuk “x lebih dari 12”!
2. Nyatakan x ≥ −5 dalam notasi interval!
3. Nyatakan interval (−∞, 8) dalam pertidaksamaan!
4. Apakah x = 3 termasuk solusi x ≥ 3?
5. Gambarkan x < −1 pada garis bilangan!
6. Tuliskan simbol untuk “paling banyak 50”!
7. Nyatakan x > 0 dalam notasi interval!
8. Ubah [−2, +∞) menjadi pertidaksamaan!
9. Apakah x = 5 termasuk solusi x < 5?
10. Tuliskan simbol: “n tidak kurang dari 0”!
Sedang
11. Nyatakan −4 < x ≤ 6 dalam notasi interval dan gambar garis bilangan!
12. Ubah interval [0, 10) menjadi pertidaksamaan dan jelaskan maknanya!
13. Tentukan simbol yang tepat: “Nilai ujian antara 0 dan 100, termasuk kedua batas”
14. Apa perbedaan (2, 8) dan [2, 8] dalam konteks penyelesaian?
15. Nyatakan “x bukan 5” menggunakan pertidaksamaan (dua kasus)!
Sulit
16. Nyatakan {x | x < 0 atau x > 5} dalam notasi interval!
17. Tentukan interval dari |x − 3| ≤ 4!
18. Nyatakan −1 ≤ 2x + 3 < 7 dalam notasi interval (selesaikan dulu)!
19. Jelaskan mengapa ∞ selalu menggunakan kurung biasa dan tidak pernah kurung siku!
20. Nyatakan dalam interval: x ≥ 0 dan x ≠ 3 (gabungkan kedua syarat)!
3. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear
Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan linear berikut:
2x + 3 < 7
−5x + 1 ≥ 11
4x − 8 ≤ 0
x + 10 > 3x − 2
Semua pertidaksamaan di atas memiliki pola yang sama. Pola inilah yang disebut bentuk umum.
- Bagaimana bentuk umum pertidaksamaan linear?
- Apa makna setiap komponen dalam bentuk umum?
- Bagaimana mengubah pertidaksamaan biasa ke bentuk umum?
Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Satu Variabel:
ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b ≤ 0
ax + b ≥ 0
dengan a ≠ 0, dan a, b ∈ ℝ (bilangan real)
Komponen bentuk umum:
| Komponen | Keterangan | Contoh pada 2x + 3 < 7 |
|---|---|---|
| a | Koefisien variabel (bukan nol) | a = 2 |
| x | Variabel (yang dicari) | x |
| b | Konstanta | b = 3 − 7 = −4 (setelah ke bentuk standar: 2x − 4 < 0) |
| Tanda | Simbol ketidaksamaan | < |
Cara mengubah ke bentuk umum (ax + b ⊕ 0):
- Pindahkan semua suku ke ruas kiri (ruas kanan menjadi 0)
- Sederhanakan suku-suku sejenis
- Pastikan koefisien x ≠ 0
Contoh mengubah ke bentuk umum:
3x + 5 > 2x − 1
Pindahkan semua ke kiri:
3x + 5 − 2x + 1 > 0
x + 6 > 0
Jadi bentuk umum: a = 1, b = 6, tanda >
Sifat-sifat penting pertidaksamaan linear:
| No | Sifat | Contoh |
|---|---|---|
| 1 | Menambah/mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama → tanda tetap | x + 3 < 7 → x < 4 |
| 2 | Mengali/membagi kedua ruas dengan bilangan positif → tanda tetap | 2x > 6 → x > 3 |
| 3 | Mengali/membagi kedua ruas dengan bilangan negatif → tanda dibalik | −2x > 6 → x < −3 |
⚠️ PENTING:
Saat mengali atau membagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan HARUS DIBALIK!
Contoh: −3x ≥ 9 → bagi dengan −3 → x ≤ −3 (tanda ≥ berubah menjadi ≤)
Ubah pertidaksamaan berikut ke bentuk umum ax + b ⊕ 0:
- 5x − 3 > 12 → 5x − 15 > 0 (a=5, b=−15)
- 2x + 7 ≤ 3x − 1 → −x + 8 ≤ 0 (a=−1, b=8)
- 4(x − 2) ≥ 3x + 1 → 4x − 8 − 3x − 1 ≥ 0 → x − 9 ≥ 0 (a=1, b=−9)
Kesimpulan:
Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel adalah ax + b ⊕ 0 (dengan ⊕ adalah <, >, ≤, atau ≥ dan a ≠ 0). Untuk mengubah ke bentuk umum, pindahkan semua suku ke ruas kiri. Ingat: mengali/membagi dengan bilangan negatif → tanda dibalik!
Contoh Soal — Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear
Mudah
1. Tentukan nilai a dan b pada 3x + 5 > 0
Pembahasan: Sudah dalam bentuk umum ax + b > 0. Jadi a = 3, b = 5.
2. Ubah x + 4 < 9 ke bentuk umum!
Pembahasan: Pindahkan 9 ke kiri: x + 4 − 9 < 0 → x − 5 < 0. (a=1, b=−5)
3. Ubah 2x > 10 ke bentuk umum!
Pembahasan: 2x − 10 > 0. (a=2, b=−10)
4. Selesaikan x + 3 < 7
Pembahasan: Kurangi 3 dari kedua ruas: x < 4. HP = {x | x < 4} = (−∞, 4).
5. Selesaikan 2x − 1 ≥ 5
Pembahasan: Tambah 1: 2x ≥ 6. Bagi 2: x ≥ 3. HP = [3, +∞).
6. Selesaikan −x > 4
Pembahasan: Kali dengan −1 (tanda dibalik!): x < −4. HP = (−∞, −4).
7. Selesaikan 5x ≤ 20
Pembahasan: Bagi 5 (positif, tanda tetap): x ≤ 4. HP = (−∞, 4].
8. Selesaikan 3x + 2 > 14
Pembahasan: Kurangi 2: 3x > 12. Bagi 3: x > 4. HP = (4, +∞).
9. Selesaikan 4 − x ≥ 1
Pembahasan: Kurangi 4: −x ≥ −3. Kali −1 (balik tanda): x ≤ 3. HP = (−∞, 3].
10. Selesaikan −2x + 6 < 0
Pembahasan: Kurangi 6: −2x < −6. Bagi −2 (balik tanda): x > 3. HP = (3, +∞).
Sedang
11. Selesaikan 3x + 5 ≤ 2x + 9 dan nyatakan dalam notasi interval!
Pembahasan: Kurangi 2x: x + 5 ≤ 9. Kurangi 5: x ≤ 4. HP = (−∞, 4].
12. Selesaikan 2(x − 3) > 4x + 2
Pembahasan: Jabarkan: 2x − 6 > 4x + 2. Kurangi 4x: −2x − 6 > 2. Tambah 6: −2x > 8. Bagi −2 (balik): x < −4. HP = (−∞, −4).
13. Selesaikan x/3 + 1 ≥ x/2 − 2
Pembahasan: Kali 6 (KPK): 2x + 6 ≥ 3x − 12. Kurangi 3x: −x + 6 ≥ −12. Kurangi 6: −x ≥ −18. Kali −1 (balik): x ≤ 18. HP = (−∞, 18].
14. Selesaikan 5 − 3(2x + 1) < 2(x − 4)
Pembahasan: Jabarkan kiri: 5 − 6x − 3 = 2 − 6x. Jabarkan kanan: 2x − 8. Jadi 2 − 6x < 2x − 8. Kurangi 2x: 2 − 8x < −8. Kurangi 2: −8x < −10. Bagi −8 (balik): x > 10/8 = 5/4. HP = (5/4, +∞).
15. Selesaikan −4 ≤ 2x + 2 < 8
Pembahasan: Kurangi 2: −6 ≤ 2x < 6. Bagi 2: −3 ≤ x < 3. HP = [−3, 3).
Sulit
16. Selesaikan (2x+1)/3 − (x−2)/4 > 1
Pembahasan: KPK penyebut = 12. Kali 12: 4(2x+1) − 3(x−2) > 12 → 8x + 4 − 3x + 6 > 12 → 5x + 10 > 12 → 5x > 2 → x > 2/5. HP = (2/5, +∞).
17. Tentukan himpunan penyelesaian dari 1 ≤ (3x−2)/4 < (2x+1)/3
Pembahasan: Pecah jadi dua: (i) 1 ≤ (3x−2)/4 → 4 ≤ 3x−2 → 6 ≤ 3x → x ≥ 2. (ii) (3x−2)/4 < (2x+1)/3 → kali 12: 3(3x−2) < 4(2x+1) → 9x−6 < 8x+4 → x < 10. Gabungan (i) dan (ii): 2 ≤ x < 10. HP = [2, 10).
18. Seorang guru ingin rata-rata nilai 5 ulangan paling sedikit 75. Empat ulangan pertama bernilai 70, 80, 65, 90. Berapa minimal nilai ulangan ke-5?
Pembahasan: Misalkan nilai ke-5 = x. Rata-rata = (70+80+65+90+x)/5 ≥ 75 → (305+x)/5 ≥ 75 → 305 + x ≥ 375 → x ≥ 70. Nilai minimal ulangan ke-5 adalah 70.
19. Tentukan nilai a agar pertidaksamaan ax + 2a − 3 > 0 memiliki penyelesaian x > 1!
Pembahasan: ax + 2a − 3 > 0 → ax > 3 − 2a. Jika a > 0: x > (3−2a)/a. Agar x > 1: (3−2a)/a = 1 → 3−2a = a → 3 = 3a → a = 1. Verifikasi: x + 2(1) − 3 > 0 → x − 1 > 0 → x > 1 ✓.
20. Sebuah perusahaan memproduksi barang dengan biaya tetap Rp2.000.000 dan biaya variabel Rp15.000/unit. Harga jual Rp25.000/unit. Berapa minimal unit yang harus dijual agar perusahaan tidak rugi (laba ≥ 0)?
Pembahasan: Misalkan jumlah unit = n. Pendapatan = 25000n. Biaya = 2000000 + 15000n. Laba ≥ 0: 25000n − (2000000 + 15000n) ≥ 0 → 10000n − 2000000 ≥ 0 → 10000n ≥ 2000000 → n ≥ 200. Minimal harus menjual 200 unit.
Latihan Soal — Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear
Mudah
1. Tentukan a dan b pada −4x + 7 ≤ 0
2. Ubah x − 3 > 5 ke bentuk umum!
3. Selesaikan x + 6 < 10
4. Selesaikan 3x ≥ 12
5. Selesaikan −x ≤ 5
6. Selesaikan 2x + 4 > 0
7. Ubah 7 ≥ 2x + 1 ke bentuk umum!
8. Selesaikan 5x − 10 < 0
9. Selesaikan −3x + 9 ≥ 0
10. Selesaikan x/2 > 3
Sedang
11. Selesaikan 4x − 3 ≤ 2x + 7
12. Selesaikan 3(x + 2) > 5(x − 1)
13. Selesaikan (x+1)/2 ≥ (x−3)/4
14. Selesaikan −2 < 3x + 1 ≤ 10
15. Selesaikan 2 − 5(x + 1) ≥ 3x − 11
Sulit
16. Selesaikan (3x−1)/2 + (x+2)/5 < 3
17. Tentukan HP dari 2 ≤ (4x+1)/3 < (5x−2)/2
18. Rata-rata 4 ulangan paling sedikit 80. Tiga ulangan pertama: 75, 85, 70. Tentukan nilai minimal ulangan ke-4!
19. Tentukan nilai k agar kx + 3k − 6 < 0 memiliki HP x < 3!
20. Pedagang membeli barang Rp8.000/buah dan menjual Rp12.000/buah. Biaya operasional Rp200.000. Berapa minimal barang yang harus dijual agar untung?