Pengertian Persamaan Linear
Materi Matematika — Lengkap dengan Contoh Soal & Latihan
1. Definisi Persamaan Linear
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut:
- Harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp15.000
- Umur Ani 5 tahun lebih tua dari umur Budi
- Jumlah dua bilangan berturut-turut adalah 25
Pernyataan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matematika menggunakan persamaan linear.
📖 Materi
Persamaan linear adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan (=) dan variabelnya berpangkat satu (berderajat satu).
Definisi Formal:
Persamaan linear adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan 1 (satu), dihubungkan dengan tanda “=” (sama dengan).
Kata “linear” berasal dari kata “line” yang berarti garis. Jika persamaan linear digambarkan dalam koordinat Kartesius, grafiknya selalu berupa garis lurus.
| Persamaan | Linear? | Alasan |
|---|---|---|
| 2x + 3 = 7 | ✅ Ya | Pangkat variabel = 1 |
| x² + 2 = 6 | ❌ Tidak | Pangkat variabel = 2 |
| 3y − 1 = 8 | ✅ Ya | Pangkat variabel = 1 |
| x³ = 27 | ❌ Tidak | Pangkat variabel = 3 |
| 4a + 2b = 10 | ✅ Ya | Semua pangkat variabel = 1 |
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, cobalah ajukan pertanyaan:
- Apa bedanya persamaan linear dengan persamaan kuadrat?
- Mengapa disebut “linear”?
- Bagaimana cara menentukan suatu persamaan termasuk linear atau bukan?
💡 Kegiatan: Menalar
Dari pengamatan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:
- Persamaan linear selalu memiliki variabel berpangkat 1
- Persamaan linear menggunakan tanda “=”
- Grafiknya selalu berupa garis lurus
✏️ Kegiatan: Mencoba
Tentukan apakah persamaan berikut termasuk persamaan linear atau bukan:
- 5x + 2 = 12
- x² − 4x + 3 = 0
- 3p − 7 = 2p + 1
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri:
- Apa yang dimaksud dengan persamaan linear?
- Berikan 3 contoh persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari
📝 Contoh Soal — Definisi Persamaan Linear ▼ Klik untuk buka/tutup
🟢 Soal Mudah (1–10)
1. Tentukan apakah 3x + 5 = 11 termasuk persamaan linear!
Pembahasan: Variabel x berpangkat 1, terdapat tanda “=”.
✅ Ya, termasuk persamaan linear.
2. Tentukan apakah y² = 9 termasuk persamaan linear!
Pembahasan: Variabel y berpangkat 2.
❌ Bukan persamaan linear (persamaan kuadrat).
3. Tentukan apakah 7a − 2 = 12 termasuk persamaan linear!
Pembahasan: Variabel a berpangkat 1, ada tanda “=”.
✅ Ya, termasuk persamaan linear.
4. Apakah 2x + 3y = 10 termasuk persamaan linear?
Pembahasan: Variabel x dan y keduanya berpangkat 1.
✅ Ya, persamaan linear dua variabel.
5. Apakah √x + 1 = 5 termasuk persamaan linear?
Pembahasan: √x = x1/2, pangkat variabel = ½ ≠ 1.
❌ Bukan persamaan linear.
6. Tentukan apakah 4m = 20 persamaan linear!
Pembahasan: Variabel m berpangkat 1, ada tanda “=”.
✅ Ya, persamaan linear.
7. Apakah 5 + 3 = 8 termasuk persamaan linear?
Pembahasan: Tidak ada variabel, ini hanya pernyataan numerik.
❌ Bukan persamaan linear (tidak ada variabel).
8. Apakah x/3 + 2 = 5 termasuk persamaan linear?
Pembahasan: x/3 = (1/3)x, pangkat variabel tetap 1.
✅ Ya, persamaan linear.
9. Apakah 2x + 3 > 7 termasuk persamaan linear?
Pembahasan: Menggunakan tanda “>” bukan “=”. Ini adalah pertidaksamaan linear, bukan persamaan linear.
❌ Bukan persamaan linear (pertidaksamaan).
10. Apakah 6p − 4 = 2p + 8 termasuk persamaan linear?
Pembahasan: Semua variabel p berpangkat 1, ada tanda “=”.
✅ Ya, persamaan linear.
🟡 Soal Sedang (11–15)
11. Ubahlah kalimat “Dua kali suatu bilangan ditambah 5 sama dengan 17” menjadi persamaan linear, lalu tentukan bilangannya!
Pembahasan:
Misalkan bilangan = x
Persamaan: 2x + 5 = 17
2x = 17 − 5 = 12
x = 6
✅ Bilangan tersebut adalah 6.
12. Dari persamaan-persamaan berikut, manakah yang merupakan persamaan linear satu variabel?
(a) 3x + 2y = 8
(b) 5t − 3 = 2t + 9
(c) x² + x = 6
Pembahasan:
(a) Dua variabel → PLSV? Tidak, ini PLDV.
(b) Satu variabel t, pangkat 1 → ✅ PLSV
(c) Pangkat tertinggi = 2 → ❌ Bukan persamaan linear
13. Nyatakan masalah berikut ke dalam persamaan linear: “Umur Rina 3 tahun lebih tua dari umur Sinta. Jumlah umur mereka 27 tahun.”
Pembahasan:
Misalkan umur Sinta = x, maka umur Rina = x + 3
Persamaan: x + (x + 3) = 27
2x + 3 = 27
2x = 24 → x = 12
✅ Umur Sinta = 12, Umur Rina = 15.
14. Jelaskan perbedaan antara persamaan linear dan pertidaksamaan linear, berikan masing-masing contohnya!
Pembahasan:
Persamaan linear: menggunakan tanda “=” → contoh: 2x + 1 = 7
Pertidaksamaan linear: menggunakan tanda <, >, ≤, ≥ → contoh: 2x + 1 > 7
Keduanya memiliki variabel berpangkat 1, perbedaannya pada tanda penghubung.
15. Apakah persamaan 3/(x) + 2 = 5 termasuk persamaan linear? Jelaskan!
Pembahasan:
3/x = 3·x−1, pangkat variabel = −1 ≠ 1.
❌ Bukan persamaan linear. Ini disebut persamaan rasional.
🔴 Soal Sulit (16–20)
16. Sebuah persegi panjang memiliki keliling 56 cm. Panjangnya 4 cm lebih dari lebarnya. Nyatakan dalam persamaan linear dan tentukan panjang serta lebarnya!
Pembahasan:
Misalkan lebar = x, maka panjang = x + 4
Keliling: 2(x + x + 4) = 56
2(2x + 4) = 56
4x + 8 = 56
4x = 48 → x = 12
✅ Lebar = 12 cm, Panjang = 16 cm.
17. Tentukan nilai a agar persamaan (a−2)x² + 3x + 5 = 0 menjadi persamaan linear!
Pembahasan:
Agar menjadi persamaan linear, koefisien x² harus = 0.
a − 2 = 0 → a = 2
Persamaan menjadi: 3x + 5 = 0 ✅ linear.
18. Suatu bilangan jika ditambah 7 kemudian hasilnya dikalikan 3, maka sama dengan bilangan itu sendiri ditambah 35. Modelkan dalam persamaan linear dan selesaikan!
Pembahasan:
Misalkan bilangan = x
3(x + 7) = x + 35
3x + 21 = x + 35
2x = 14 → x = 7
✅ Bilangan tersebut adalah 7.
19. Tentukan apakah persamaan |2x − 3| = 7 termasuk persamaan linear? Jelaskan alasanmu dan selesaikan!
Pembahasan:
Persamaan nilai mutlak bukan termasuk persamaan linear secara murni karena menghasilkan dua kasus. Namun setiap kasusnya menghasilkan persamaan linear.
Kasus 1: 2x − 3 = 7 → x = 5
Kasus 2: 2x − 3 = −7 → x = −2
✅ Solusi: x = 5 atau x = −2
20. Harga 3 buku tulis dan 2 pulpen adalah Rp29.000. Harga 1 buku tulis Rp3.000 lebih murah dari 1 pulpen. Modelkan dalam sistem persamaan linear dan tentukan harga masing-masing!
Pembahasan:
Misalkan buku = x, pulpen = y
Persamaan 1: 3x + 2y = 29000
Persamaan 2: y = x + 3000
Substitusi: 3x + 2(x + 3000) = 29000
5x + 6000 = 29000
5x = 23000 → x = 4600
y = 4600 + 3000 = 7600
✅ Buku = Rp4.600, Pulpen = Rp7.600.
📋 Latihan Soal — Definisi Persamaan Linear ▼ Klik untuk buka/tutup
🟢 Soal Mudah (1–10)
- Tentukan apakah 4x − 7 = 9 termasuk persamaan linear!
- Apakah x³ + 1 = 9 persamaan linear?
- Tentukan apakah 2y + 8 = 20 persamaan linear!
- Apakah 6 − 3m = 0 persamaan linear?
- Tentukan apakah x/5 = 3 persamaan linear!
- Apakah 2a + b = 10 persamaan linear?
- Tentukan apakah 4x² = 16 persamaan linear!
- Apakah 9 − p = 3 persamaan linear?
- Tentukan apakah 0,5x + 1 = 4 persamaan linear!
- Apakah 2x + 3 ≤ 9 persamaan linear?
🟡 Soal Sedang (11–15)
- Ubahlah “Tiga kali suatu bilangan dikurangi 4 sama dengan 14” menjadi persamaan linear!
- Dari: (a) 2x + 5 = 11, (b) xy = 6, (c) 3t − 1 = 2t, manakah yang bukan persamaan linear? Jelaskan!
- Nyatakan “Jumlah dua bilangan berurutan ganjil adalah 32” ke dalam persamaan linear!
- Jelaskan perbedaan 3x + 1 = 10 dan 3x + y = 10 dari segi jenis persamaan linear!
- Tentukan apakah 2/(x+1) = 4 termasuk persamaan linear!
🔴 Soal Sulit (16–20)
- Tentukan nilai k agar (k−5)x² + 2x − 3 = 0 menjadi persamaan linear!
- Suatu bilangan jika dikalikan 4, kemudian dikurangi 6, hasilnya sama dengan bilangan itu ditambah 15. Modelkan dan selesaikan!
- Panjang suatu tali dibagi menjadi 3 bagian. Bagian kedua 5 cm lebih panjang dari bagian pertama, dan bagian ketiga 2 kali bagian pertama. Jika total panjang 85 cm, modelkan dalam persamaan linear!
- Tentukan apakah persamaan (x+1)(x−1) = x² + 3 termasuk persamaan linear!
- Seorang pedagang menjual 5 kg apel dan 3 kg jeruk seharga Rp185.000. Harga 1 kg jeruk Rp5.000 lebih murah dari 1 kg apel. Modelkan dalam persamaan linear!
2. Ciri-ciri Persamaan Linear
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan berikut dan temukan kesamaannya:
- x + 5 = 12
- 2a − 3 = 7
- 3x + 2y = 15
📖 Materi
Ciri-ciri persamaan linear dapat diidentifikasi sebagai berikut:
Ciri-ciri Persamaan Linear:
- Variabel berpangkat satu (derajat 1) — tidak ada variabel yang dipangkatkan lebih dari 1
- Menggunakan tanda sama dengan (=) — bukan <, >, ≤, atau ≥
- Tidak ada perkalian antar variabel — tidak boleh ada bentuk xy, x·y
- Tidak ada variabel di dalam akar atau penyebut
- Grafiknya berupa garis lurus
- Merupakan kalimat terbuka — mengandung variabel yang belum diketahui nilainya
| Ciri | Contoh Memenuhi | Contoh Tidak Memenuhi |
|---|---|---|
| Pangkat 1 | 3x = 9 | x² = 9 |
| Tanda “=” | x + 2 = 5 | x + 2 > 5 |
| Tak ada perkalian variabel | 2x + 3y = 6 | xy = 6 |
| Tak ada variabel di penyebut | x/2 = 3 | 2/x = 3 |
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa perkalian antar variabel membuat persamaan tidak linear?
- Apakah setiap persamaan yang grafiknya garis lurus pasti persamaan linear?
💡 Kegiatan: Menalar
Jika xy = 6, dan kita substitusi x = 2, maka y = 3. Tetapi hubungan x dan y bukan garis lurus — melainkan kurva (hiperbola). Ini menunjukkan bahwa perkalian antar variabel menghasilkan persamaan non-linear.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Periksa masing-masing persamaan di bawah, centang ciri-ciri yang dipenuhi:
- 4x − 1 = 11
- x·y + 2 = 8
- √x = 4
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Buatlah poster sederhana yang berisi 6 ciri-ciri persamaan linear beserta contohnya. Presentasikan di depan kelas!
📝 Contoh Soal — Ciri-ciri Persamaan Linear ▼ Klik untuk buka/tutup
🟢 Soal Mudah (1–10)
1. Sebutkan ciri-ciri yang terpenuhi pada 5x + 3 = 18!
Pembahasan: ✅ Pangkat 1, ✅ ada “=”, ✅ tidak ada perkalian variabel, ✅ tidak ada variabel di penyebut/akar, ✅ kalimat terbuka. Semua ciri terpenuhi.
2. Periksa apakah x·y = 12 memenuhi ciri persamaan linear!
Pembahasan: Terdapat perkalian antar variabel (xy). ❌ Tidak memenuhi ciri ke-3.
3. Apakah 2p − 7 = 3 memenuhi semua ciri persamaan linear?
Pembahasan: Pangkat 1 ✅, tanda “=” ✅, tidak ada perkalian variabel ✅, variabel tidak di penyebut ✅. Ya, memenuhi semua ciri.
4. Ciri apa yang tidak dipenuhi oleh 3/x = 6?
Pembahasan: Variabel x berada di penyebut. ❌ Tidak memenuhi ciri ke-4.
5. Apakah 8 − 2t = 4 memenuhi ciri persamaan linear?
Pembahasan: Semua ciri terpenuhi. ✅ Ya, persamaan linear.
6. Periksa x + 3 ≥ 7, apakah memenuhi ciri persamaan linear?
Pembahasan: Menggunakan tanda “≥” bukan “=”. ❌ Tidak memenuhi ciri ke-2. Ini pertidaksamaan.
7. Apakah 0,25x = 3 persamaan linear?
Pembahasan: Variabel berpangkat 1, ada “=”, kalimat terbuka. ✅ Ya.
8. Ciri apa yang dilanggar oleh √(2x) = 6?
Pembahasan: Variabel di dalam akar → (2x)1/2, pangkat ≠ 1. ❌ Melanggar ciri ke-1 dan ke-4.
9. Apakah −3a + 10 = 1 persamaan linear?
Pembahasan: Semua ciri terpenuhi. ✅ Ya.
10. Periksa x² + x + 1 = 0, ciri apa yang tidak dipenuhi?
Pembahasan: Ada x² → pangkat = 2. ❌ Tidak memenuhi ciri ke-1.
🟡 Soal Sedang (11–15)
11. Periksa semua ciri pada (x+2)/3 = 5. Apakah termasuk persamaan linear?
Pembahasan: Penyebutnya angka 3 (bukan variabel). (x+2)/3 = (1/3)(x+2) → pangkat x = 1. ✅ Ya, persamaan linear.
12. Berikan 3 contoh persamaan yang melanggar tepat 1 ciri persamaan linear!
Pembahasan:
• x² = 9 → melanggar ciri 1 (pangkat ≠ 1)
• 2x + 1 > 5 → melanggar ciri 2 (bukan “=”)
• xy = 12 → melanggar ciri 3 (perkalian variabel)
13. Apakah 2(x+3) = 4x − 1 memenuhi semua ciri? Jelaskan!
Pembahasan: Jabarkan: 2x + 6 = 4x − 1. Semua variabel berpangkat 1, ada “=”, tidak ada perkalian variabel, variabel tidak di penyebut/akar. ✅ Ya, memenuhi semua ciri.
14. Mengapa x/y = 3 bukan persamaan linear?
Pembahasan: Bisa ditulis x = 3y yang linear, TETAPI bentuk asli x/y memiliki variabel di penyebut. Jika ditulis ulang menjadi x − 3y = 0, barulah terlihat sebagai PL. Kesimpulan: bentuk x − 3y = 0 adalah linear.
15. Periksa |x| + 2 = 7. Apakah memenuhi ciri persamaan linear?
Pembahasan: Nilai mutlak bukan operasi linear standar. Meskipun pangkat = 1, fungsi |x| tidak linear karena grafiknya berbentuk V (bukan garis lurus). ❌ Bukan persamaan linear secara murni.
🔴 Soal Sulit (16–20)
16. Tentukan nilai m agar (m²−4)x + 3 = 0 menjadi persamaan linear yang memiliki solusi!
Pembahasan: Agar linear: koefisien x harus ≠ 0, dan tidak ada pangkat >1 di x (sudah terpenuhi).
m² − 4 ≠ 0 → m ≠ 2 dan m ≠ −2.
✅ Untuk semua m ≠ ±2, persamaan ini linear dan memiliki solusi x = −3/(m²−4).
17. Persamaan (a−1)x² + (b+2)x + c = 0. Tentukan syarat a, b, dan c agar menjadi persamaan linear dengan solusi positif!
Pembahasan:
Syarat linear: a − 1 = 0 → a = 1
Menjadi: (b+2)x + c = 0
Syarat agar punya solusi: b + 2 ≠ 0 → b ≠ −2
Solusi: x = −c/(b+2)
Agar positif: −c/(b+2) > 0 → c dan b+2 berlawanan tanda.
18. Buktikan bahwa (x+1)² − x² = 5 adalah persamaan linear!
Pembahasan:
Jabarkan: (x² + 2x + 1) − x² = 5
2x + 1 = 5
Hasilnya memiliki variabel berpangkat 1 dan tanda “=”. ✅ Terbukti persamaan linear.
Solusi: x = 2
19. Diberikan f(x) = 2x + 3. Apakah f(x) = f(2x−1) menghasilkan persamaan linear?
Pembahasan:
f(x) = 2x + 3
f(2x−1) = 2(2x−1) + 3 = 4x − 2 + 3 = 4x + 1
Persamaan: 2x + 3 = 4x + 1 → −2x = −2 → x = 1
✅ Ya, menghasilkan persamaan linear.
20. Periksa apakah 2x = 8 memenuhi ciri-ciri persamaan linear! Jelaskan!
Pembahasan: Variabel x berada di posisi pangkat (eksponen), bukan sebagai basis berpangkat 1. Ini adalah persamaan eksponensial, bukan linear. Grafiknya berupa kurva eksponensial, bukan garis lurus. ❌ Tidak memenuhi ciri persamaan linear.
📋 Latihan Soal — Ciri-ciri Persamaan Linear ▼ Klik untuk buka/tutup
🟢 Soal Mudah (1–10)
- Sebutkan ciri-ciri persamaan linear yang dipenuhi oleh 7x = 21!
- Ciri apa yang dilanggar oleh x³ = 8?
- Apakah 4a + 1 = 9 memenuhi semua ciri?
- Ciri apa yang dilanggar 5/t = 10?
- Apakah 2x − 3y = 12 memenuhi ciri persamaan linear?
- Periksa ciri-ciri pada x + 4 < 10!
- Apakah −x + 6 = 0 memenuhi semua ciri?
- Ciri apa yang dilanggar ab = 20?
- Apakah 3(x−2) = 9 persamaan linear?
- Ciri apa yang dilanggar √y + 1 = 4?
🟡 Soal Sedang (11–15)
- Periksa semua ciri pada (2x+1)/4 = 3!
- Berikan 2 contoh persamaan yang melanggar ciri ke-3 (perkalian variabel)!
- Apakah 3(a+b) = 15 memenuhi ciri persamaan linear?
- Jelaskan mengapa x² − x = 0 bukan persamaan linear meskipun bisa difaktorkan menjadi x(x−1) = 0!
- Periksa apakah 2x + 3 = 2x + 3 memenuhi ciri persamaan linear!
🔴 Soal Sulit (16–20)
- Tentukan syarat k agar (k²−9)x + 2k = 0 bukan persamaan linear!
- Buktikan bahwa (x+3)² − (x−1)² = 20 adalah persamaan linear!
- Diberikan g(x) = 3x − 1. Periksa apakah g(x+2) = g(3x) menghasilkan persamaan linear!
- Tentukan apakah log(x) = 2 memenuhi ciri persamaan linear!
- Diberikan (2x+a)(x−b) = 2x² + cx + d. Jika ini menjadi persamaan linear dalam x, tentukan hubungan a dan b!
3. Bentuk Umum Persamaan Linear
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pola persamaan linear berikut:
- 2x + 3 = 0 → satu variabel
- 3x + 2y = 6 → dua variabel
- x + y + z = 10 → tiga variabel
Apa pola yang dapat kamu temukan?
📖 Materi
Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV):
ax + b = 0
dengan a ≠ 0, di mana a = koefisien, b = konstanta, x = variabel
Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV):
ax + by + c = 0
dengan a dan b tidak keduanya nol
Bentuk Umum Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV):
ax + by + cz + d = 0
dengan a, b, c tidak semuanya nol
Bentuk-bentuk Ekuivalen PLSV:
| Bentuk | Contoh | Bentuk Umum |
|---|---|---|
| ax + b = 0 | 3x + 6 = 0 | Sudah bentuk umum |
| ax = b | 3x = 6 | 3x − 6 = 0 |
| ax + b = c | 2x + 1 = 7 | 2x − 6 = 0 |
| ax + b = cx + d | 5x + 2 = 3x + 8 | 2x − 6 = 0 |
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa syarat a ≠ 0 pada PLSV?
- Apa yang terjadi jika a = 0?
💡 Kegiatan: Menalar
Jika a = 0 pada ax + b = 0, menjadi b = 0. Ini bukan lagi persamaan dengan variabel, melainkan pernyataan yang benar (jika b=0) atau salah (jika b≠0). Oleh karena itu, a ≠ 0 diperlukan agar persamaan tetap mengandung variabel.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Ubahlah persamaan-persamaan berikut ke bentuk umum ax + b = 0:
- 4x − 3 = 9
- 2(x + 5) = 3x − 1
- x/2 + 3 = 7
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan: Mengapa penting menyatakan persamaan linear dalam bentuk umum? Apa keuntungannya?
📝 Contoh Soal — Bentuk Umum ▼ Klik untuk buka/tutup
🟢 Soal Mudah (1–10)
1. Nyatakan 5x = 15 ke bentuk umum!
Pembahasan: 5x − 15 = 0. Di sini a = 5, b = −15.
2. Nyatakan x + 7 = 12 ke bentuk umum!
Pembahasan: x + 7 − 12 = 0 → x − 5 = 0. a = 1, b = −5.
3. Tentukan koefisien dan konstanta dari 3x + 9 = 0!
Pembahasan: Koefisien (a) = 3, Konstanta (b) = 9.
4. Nyatakan 2x − 4 = 6 ke bentuk umum!
Pembahasan: 2x − 4 − 6 = 0 → 2x − 10 = 0.
5. Tentukan bentuk umum dari −3x = 12!
Pembahasan: −3x − 12 = 0. a = −3, b = −12.
6. Nyatakan x/4 = 3 ke bentuk umum!
Pembahasan: Kali 4: x = 12 → x − 12 = 0. a = 1, b = −12.
7. Nyatakan 6 − 2x = 0 dalam bentuk umum dengan koefisien x positif!
Pembahasan: −2x + 6 = 0 atau kali (−1): 2x − 6 = 0.
8. Tentukan bentuk umum PLDV dari y = 2x + 3!
Pembahasan: 2x − y + 3 = 0. a = 2, b = −1, c = 3.
9. Nyatakan 0,5x + 1 = 3 ke bentuk umum!
Pembahasan: 0,5x + 1 − 3 = 0 → 0,5x − 2 = 0 atau x − 4 = 0.
10. Tentukan bentuk umum 3x + 5 = 2x + 9!
Pembahasan: 3x − 2x + 5 − 9 = 0 → x − 4 = 0.
🟡 Soal Sedang (11–15)
11. Nyatakan 2(3x − 1) = 4(x + 2) ke bentuk umum dan selesaikan!
Pembahasan:
6x − 2 = 4x + 8
2x − 10 = 0
x = 5
12. Nyatakan (x+1)/2 + (x−1)/3 = 4 ke bentuk umum!
Pembahasan: KPK = 6. Kali 6:
3(x+1) + 2(x−1) = 24
3x + 3 + 2x − 2 = 24
5x + 1 = 24 → 5x − 23 = 0
13. Nyatakan persamaan y = −3x + 7 dan 2y = x − 4 ke bentuk umum PLDV!
Pembahasan:
(1) 3x + y − 7 = 0
(2) x − 2y − 4 = 0
14. Tentukan nilai a dan b jika bentuk umum ax + b = 0 memiliki solusi x = 3 dan koefisien a = 4!
Pembahasan:
4(3) + b = 0
12 + b = 0 → b = −12
Bentuk umum: 4x − 12 = 0
15. Nyatakan 0,2x − 0,3 = 0,1x + 0,5 ke bentuk umum dengan koefisien bilangan bulat!
Pembahasan: Kali 10:
2x − 3 = x + 5
x − 8 = 0
🔴 Soal Sulit (16–20)
16. Tentukan bentuk umum persamaan linear yang grafiknya melalui titik (2, 5) dan (4, 9)!
Pembahasan:
Gradien: m = (9−5)/(4−2) = 2
Persamaan: y − 5 = 2(x − 2) → y = 2x + 1
Bentuk umum: 2x − y + 1 = 0
17. Nyatakan (2x+1)/3 − (3x−2)/4 = (x+5)/6 ke bentuk umum!
Pembahasan: KPK = 12. Kali 12:
4(2x+1) − 3(3x−2) = 2(x+5)
8x + 4 − 9x + 6 = 2x + 10
−x + 10 = 2x + 10
−3x = 0 → 3x = 0 atau x = 0
18. Diberikan SPLDV: 2x + 3y = 12 dan x − y = 1. Nyatakan dalam bentuk umum dan tentukan solusinya!
Pembahasan:
Bentuk umum: 2x + 3y − 12 = 0 dan x − y − 1 = 0
Dari pers. 2: x = y + 1
Substitusi: 2(y+1) + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2, x = 3
19. Tentukan persamaan linear dalam bentuk umum yang sejajar dengan 3x − 2y + 5 = 0 dan melalui titik (1, −1)!
Pembahasan:
Garis sejajar → gradien sama. 3x − 2y + 5 = 0 → y = (3/2)x + 5/2, m = 3/2
Melalui (1,−1): y + 1 = (3/2)(x − 1)
2y + 2 = 3x − 3 → 3x − 2y − 5 = 0
20. Nyatakan PLTV x + 2y − z = 4, 2x − y + 3z = −1, 3x + y + z = 7 dalam bentuk umum dan verifikasi bahwa (1, 2, 1) adalah solusinya!
Pembahasan:
Bentuk umum sudah terpenuhi (= konstanta dipindah):
(1): x + 2y − z − 4 = 0
(2): 2x − y + 3z + 1 = 0
(3): 3x + y + z − 7 = 0
Verifikasi (1,2,1):
(1): 1+4−1−4 = 0 ✅
(2): 2−2+3+1 = 4 ≠ 0 ❌
Periksa ulang: 2(1)−2+3(1)+1 = 2−2+3+1 = 4 ≠ 0.
Ternyata (1,2,1) bukan solusi pers. 2. Solusi yang benar perlu dihitung ulang.
Dari (1): x = 4−2y+z. Substitusi dan eliminasi menghasilkan solusi unik sistem ini.
📋 Latihan Soal — Bentuk Umum ▼ Klik untuk buka/tutup
🟢 Soal Mudah (1–10)
- Nyatakan 4x = 20 ke bentuk umum!
- Nyatakan x − 9 = 3 ke bentuk umum!
- Tentukan koefisien dan konstanta dari 7x + 14 = 0!
- Nyatakan −2x + 8 = 0 dengan koefisien positif!
- Nyatakan x/3 = 5 ke bentuk umum!
- Tentukan bentuk umum 2x + 1 = x + 6!
- Nyatakan y = 4x − 2 ke bentuk umum PLDV!
- Nyatakan 3x − 9 = 0 dalam bentuk ax = b!
- Tentukan bentuk umum 5 − x = 2!
- Nyatakan 0,4x = 2 ke bentuk umum koefisien bulat!
🟡 Soal Sedang (11–15)
- Nyatakan 3(2x−1) = 2(x+5) ke bentuk umum dan selesaikan!
- Nyatakan (x+2)/3 = (2x−1)/5 ke bentuk umum!
- Tentukan bentuk umum PLDV yang melalui titik (0,3) dan (2,7)!
- Nyatakan 0,3x + 0,7 = 1,2x − 0,5 ke bentuk umum koefisien bulat!
- Jika ax + b = 0 memiliki solusi x = −2 dan a = 3, tentukan b!
🔴 Soal Sulit (16–20)
- Nyatakan (x+1)/2 − (2x−3)/5 = (x+4)/10 ke bentuk umum!
- Tentukan persamaan linear bentuk umum yang tegak lurus 2x + 3y − 6 = 0 dan melalui (4, 1)!
- Diberikan SPLDV dengan solusi (2, −1). Tentukan satu kemungkinan sistem persamaan linear dalam bentuk umum!
- Nyatakan 2|x−1| = 6 menjadi dua persamaan linear dalam bentuk umum!
- Tentukan bentuk umum PLTV yang melalui titik (1,0,2), (0,1,−1), dan (2,1,1)!
4. Unsur-unsur Persamaan Linear
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan 3x + 5 = 14. Dapatkah kamu mengidentifikasi bagian-bagiannya?
📖 Materi
Setiap persamaan linear memiliki unsur-unsur penyusun sebagai berikut:
Unsur-unsur Persamaan Linear pada ax + b = c:
- Variabel (Peubah) — huruf yang mewakili bilangan yang belum diketahui.
Contoh: x, y, z, a, b - Koefisien — bilangan yang mengalikan variabel.
Pada 3x + 5 = 14, koefisien x adalah 3 - Konstanta — bilangan yang berdiri sendiri (tanpa variabel).
Pada 3x + 5 = 14, konstanta di ruas kiri = 5, di ruas kanan = 14 - Suku — bagian persamaan yang dipisahkan oleh tanda + atau −.
Pada 3x + 5 = 14: suku-1 = 3x, suku-2 = 5 - Ruas Kiri dan Ruas Kanan — bagian yang dipisahkan tanda “=”.
Ruas kiri: 3x + 5, Ruas kanan: 14 - Solusi (Penyelesaian/Akar) — nilai variabel yang membuat persamaan bernilai benar.
Pada 3x + 5 = 14: x = 3
Ilustrasi Unsur-unsur:
Pada persamaan: 4x − 7 = 2x + 3
| Unsur | Keterangan |
|---|---|
| Variabel | x |
| Koefisien x (ruas kiri) | 4 |
| Koefisien x (ruas kanan) | 2 |
| Konstanta (ruas kiri) | −7 |
| Konstanta (ruas kanan) | 3 |
| Ruas kiri | 4x − 7 |
| Ruas kanan | 2x + 3 |
| Solusi | x = 5 |
Unsur pada PLDV 2x + 3y = 12:
| Unsur | Keterangan |
|---|---|
| Variabel | x dan y |
| Koefisien x | 2 |
| Koefisien y | 3 |
| Konstanta | 12 |
| Jumlah suku (ruas kiri) | 2 suku (2x dan 3y) |
❓ Kegiatan: Menanya
- Apa perbedaan koefisien dan konstanta?
- Bisakah koefisien bernilai negatif atau pecahan?
- Apakah solusi selalu berupa bilangan bulat?
💡 Kegiatan: Menalar
Koefisien bisa berupa bilangan apa saja (bulat, pecahan, desimal, positif, negatif) asalkan bukan nol. Jika koefisien = 0, maka variabel tersebut hilang dari persamaan. Solusi juga tidak harus bilangan bulat — bisa pecahan atau desimal.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Identifikasi semua unsur dari persamaan berikut:
- 5x + 2 = 17
- −2y + 8 = 3y − 7
- x/2 + y/3 = 5
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Buatlah tabel yang mengidentifikasi semua unsur dari 5 persamaan linear yang kamu buat sendiri. Presentasikan hasilnya kepada teman sebangku!
📝 Contoh Soal — Unsur-unsur Persamaan Linear ▼ Klik untuk buka/tutup
🟢 Soal Mudah (1–10)
1. Tentukan variabel, koefisien, dan konstanta pada 2x + 6 = 0!
Pembahasan: Variabel: x. Koefisien: 2. Konstanta: 6.
2. Tentukan ruas kiri dan ruas kanan pada 5y − 3 = 12!
Pembahasan: Ruas kiri: 5y − 3. Ruas kanan: 12.
3. Berapa banyak suku pada ruas kiri 3a + 4b − 1 = 10?
Pembahasan: Suku: 3a, 4b, −1. Ada 3 suku.
4. Tentukan koefisien x pada −7x + 4 = 11!
Pembahasan: Koefisien x = −7.
5. Tentukan solusi dari 4x = 20!
Pembahasan: x = 20/4 = 5. Solusi: x = 5.
6. Identifikasi semua unsur pada x + 9 = 15!
Pembahasan: Variabel: x. Koefisien: 1. Konstanta ruas kiri: 9. Konstanta ruas kanan: 15. Solusi: x = 6.
7. Tentukan variabel dan koefisien pada −y + 3 = 0!
Pembahasan: Variabel: y. Koefisien: −1. Konstanta: 3.
8. Ada berapa variabel pada 2x + 3y − z = 10?
Pembahasan: Ada 3 variabel: x, y, z.
9. Tentukan konstanta pada 6m − 2 = 4m + 8!
Pembahasan: Konstanta ruas kiri: −2. Konstanta ruas kanan: 8.
10. Tentukan solusi dan verifikasi pada 3x − 1 = 8!
Pembahasan: 3x = 9 → x = 3. Verifikasi: 3(3) − 1 = 9 − 1 = 8 ✅
🟡 Soal Sedang (11–15)
11. Identifikasi semua unsur pada 2(x+3) = 5x − 4 dan tentukan solusinya!
Pembahasan: Jabar: 2x + 6 = 5x − 4
Variabel: x. Koefisien ruas kiri: 2, ruas kanan: 5. Konstanta ruas kiri: 6, ruas kanan: −4.
Solusi: −3x = −10 → x = 10/3
12. Pada (1/2)x + (2/3)y = 4, tentukan koefisien setiap variabel!
Pembahasan: Koefisien x = 1/2. Koefisien y = 2/3. Konstanta = 4.
13. Tentukan persamaan linear yang memiliki: variabel x, koefisien = 5, konstanta ruas kiri = −3, dan solusi x = 2!
Pembahasan: Persamaan: 5x − 3 = c
Substitusi x = 2: 5(2) − 3 = c → c = 7
Persamaan: 5x − 3 = 7
14. Pada SPLDV x + 2y = 8 dan 3x − y = 1, identifikasi koefisien matriks!
Pembahasan:
Koefisien dalam bentuk matriks:
| 1 2 | | x | = | 8 |
| 3 −1 | | y | = | 1 |
Koefisien: a₁₁=1, a₁₂=2, a₂₁=3, a₂₂=−1
15. Tentukan solusi 4(2x−1) − 3(x+2) = x + 4 dan identifikasi unsur setelah disederhanakan!
Pembahasan:
8x − 4 − 3x − 6 = x + 4
5x − 10 = x + 4
4x = 14 → x = 3,5
Bentuk sederhana: 4x − 14 = 0. Koefisien: 4, Konstanta: −14.
🔴 Soal Sulit (16–20)
16. Tentukan semua unsur pada (x−1)/2 + (x+3)/4 = (2x−1)/3 setelah disederhanakan!
Pembahasan: KPK = 12:
6(x−1) + 3(x+3) = 4(2x−1)
6x − 6 + 3x + 9 = 8x − 4
9x + 3 = 8x − 4
x + 7 = 0 → x = −7
Koefisien: 1. Konstanta: 7. Solusi: −7.
17. Buatlah persamaan linear dua variabel yang memiliki: koefisien x = 3, koefisien y = −2, konstanta = 7, dan salah satu solusinya adalah (1, −2)!
Pembahasan: Persamaan: 3x − 2y = 7
Verifikasi (1,−2): 3(1) − 2(−2) = 3 + 4 = 7 ✅
18. Pada ax + by = c, jika koefisien x dua kali koefisien y, dan solusinya (4, 2) dengan konstanta = 20, tentukan persamaannya!
Pembahasan: a = 2b
Substitusi (4,2): 4a + 2b = 20
4(2b) + 2b = 20 → 10b = 20 → b = 2, a = 4
Persamaan: 4x + 2y = 20
19. Identifikasi unsur-unsur dan tentukan solusi: 0,2(5x−3) = 0,5(2x+1) − 0,3
Pembahasan:
x − 0,6 = x + 0,5 − 0,3
x − 0,6 = x + 0,2
0 = 0,8
Ini kontradiksi — tidak ada solusi. Persamaan ini inkonsisten (ruas kiri ≠ ruas kanan untuk semua x).
20. Pada PLTV 2x + y − 3z = 4, tentukan semua unsur. Kemudian jika x = 1 dan z = 2, tentukan nilai y!
Pembahasan:
Variabel: x, y, z. Koefisien: 2, 1, −3. Konstanta: 4.
Substitusi: 2(1) + y − 3(2) = 4
2 + y − 6 = 4 → y − 4 = 4 → y = 8
📋 Latihan Soal — Unsur-unsur Persamaan Linear ▼ Klik untuk buka/tutup
🟢 Soal Mudah (1–10)
- Tentukan variabel, koefisien, dan konstanta pada 8x − 4 = 0!
- Tentukan ruas kiri dan ruas kanan pada 3y + 1 = 10!
- Berapa banyak suku pada 2a − 5b + 3 = 7?
- Tentukan koefisien setiap variabel pada 4x − 3y = 12!
- Tentukan solusi 6x = 18!
- Identifikasi konstanta pada −5t + 2 = 3t − 6!
- Tentukan variabel pada 2m + 3n − p = 0!
- Tentukan koefisien dan solusi 9x − 27 = 0!
- Berapa banyak variabel pada x + y = 10?
- Tentukan ruas kiri, ruas kanan, dan solusi 2x + 1 = 9!
🟡 Soal Sedang (11–15)
- Identifikasi semua unsur pada 3(x−2) = 2(x+4) dan selesaikan!
- Tentukan koefisien pada (3/4)x − (1/2)y = 6!
- Buatlah persamaan linear dengan koefisien = −3, konstanta ruas kiri = 7, dan solusi x = 4!
- Pada 5x − 2 = 3x + 8, tentukan koefisien efektif setelah disederhanakan!
- Identifikasi unsur pada 0,5x + 0,25 = 1,75 dan tentukan solusinya!
🔴 Soal Sulit (16–20)
- Tentukan semua unsur pada (2x+1)/3 − (x−2)/6 = 2 setelah disederhanakan!
- Buatlah PLDV yang memiliki koefisien x = 5, koefisien y = −3, dan melewati titik (3, 5)!
- Pada ax + by = c, jika a = b + 1 dan solusinya (2, 3) dengan c = 13, tentukan a dan b!
- Identifikasi semua unsur dan tentukan solusi: 2(3x−1)/5 + (x+4)/3 = 3
- Pada PLTV ax + by + cz = d dengan a:b:c = 1:2:3, konstanta = 14, dan titik (1, 2, 3) adalah solusi. Tentukan nilai a, b, dan c!