Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Menentukan Persamaan Gerak Benda
Pendahuluan
Dalam matematika, persamaan gerak benda menggambarkan posisi suatu benda terhadap waktu. Jika kita mengetahui fungsi kecepatan atau percepatan suatu benda, kita dapat menentukan persamaan gerak (posisi) benda tersebut menggunakan integral.
Hubungan antara posisi, kecepatan, dan percepatan adalah sebagai berikut:
Posisi: s(t)
Kecepatan: v(t) = ds/dt → turunan posisi terhadap waktu
Percepatan: a(t) = dv/dt → turunan kecepatan terhadap waktu
Sebaliknya (menggunakan integral):
v(t) = ∫ a(t) dt
s(t) = ∫ v(t) dt
Materi 1: Menentukan Persamaan Posisi dari Fungsi Kecepatan
Jika diketahui fungsi kecepatan v(t), maka persamaan posisi s(t) diperoleh dengan mengintegralkan fungsi kecepatan terhadap waktu:
s(t) = ∫ v(t) dt + C
dengan C adalah konstanta integrasi yang ditentukan dari syarat awal (kondisi awal).
Langkah-langkah Penyelesaian:
- Identifikasi fungsi kecepatan v(t)
- Integralkan v(t) terhadap t
- Tambahkan konstanta integrasi C
- Gunakan syarat awal untuk menentukan nilai C
- Tuliskan persamaan posisi akhir
Kegiatan: Mengamati
Amati tabel berikut yang menunjukkan hubungan antara kecepatan dan posisi:
| Fungsi Kecepatan v(t) | Integral | Fungsi Posisi s(t) |
|---|---|---|
| v(t) = 4t | ∫ 4t dt | s(t) = 2t² + C |
| v(t) = 6t² | ∫ 6t² dt | s(t) = 2t³ + C |
| v(t) = 3t² + 2t | ∫ (3t² + 2t) dt | s(t) = t³ + t² + C |
| v(t) = 5 | ∫ 5 dt | s(t) = 5t + C |
| v(t) = 10t − 3 | ∫ (10t − 3) dt | s(t) = 5t² − 3t + C |
Perhatikan pola: setiap suku pada v(t) diintegralkan dengan menambah pangkat 1 lalu membagi dengan pangkat baru.
Kegiatan: Menanya
- Mengapa kita perlu menambahkan konstanta C setelah mengintegralkan?
- Bagaimana cara menentukan nilai C?
- Apa yang terjadi jika syarat awal tidak diketahui?
Kegiatan: Menalar
Konstanta C muncul karena integral tak tentu menghasilkan keluarga fungsi. Nilai C ditentukan dari kondisi awal, misalnya posisi awal benda saat t = 0. Jika s(0) = 2, maka kita substitusikan t = 0 ke persamaan s(t) untuk mendapatkan C = 2.
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan s(t) jika v(t) = 8t − 5 dan s(0) = 3.
s(0) = 3 → 4(0)² − 5(0) + C = 3 → C = 3
Jadi, s(t) = 4t² − 5t + 3
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulanmu: Untuk menentukan persamaan posisi dari kecepatan, kita mengintegralkan fungsi kecepatan dan menentukan konstanta C menggunakan syarat awal yang diberikan.
Contoh Soal Materi 1
▶ Tingkat Mudah
Contoh 1
Kecepatan benda dinyatakan oleh v(t) = 6t. Jika posisi awal s(0) = 0, tentukan s(t).
Pembahasan
Syarat awal: s(0) = 0 → 3(0)² + C = 0 → C = 0
Jadi, s(t) = 3t²
Contoh 2
Diketahui v(t) = 4. Jika s(0) = 5, tentukan s(t).
Pembahasan
s(0) = 5 → 4(0) + C = 5 → C = 5
Jadi, s(t) = 4t + 5
Contoh 3
Diketahui v(t) = 10t − 2. Jika s(0) = 1, tentukan s(t).
Pembahasan
s(0) = 1 → 0 − 0 + C = 1 → C = 1
Jadi, s(t) = 5t² − 2t + 1
Contoh 4
Diketahui v(t) = 3t². Jika s(0) = 4, tentukan s(t).
Pembahasan
s(0) = 4 → 0 + C = 4 → C = 4
Jadi, s(t) = t³ + 4
Contoh 5
Diketahui v(t) = 2t + 6. Jika s(0) = 0, tentukan s(t).
Pembahasan
s(0) = 0 → 0 + 0 + C = 0 → C = 0
Jadi, s(t) = t² + 6t
▶ Tingkat Sedang
Contoh 6
Kecepatan benda v(t) = 4t³ − 6t + 1. Jika s(1) = 2, tentukan s(t).
Pembahasan
s(1) = 2 → 1 − 3 + 1 + C = 2 → −1 + C = 2 → C = 3
Jadi, s(t) = t⁴ − 3t² + t + 3
Contoh 7
Diketahui v(t) = 12t² − 4t + 3. Jika s(2) = 20, tentukan s(t).
Pembahasan
s(2) = 20 → 4(8) − 2(4) + 3(2) + C = 20 → 32 − 8 + 6 + C = 20 → 30 + C = 20 → C = −10
Jadi, s(t) = 4t³ − 2t² + 3t − 10
Contoh 8
Diketahui v(t) = 6t² + 2t − 5. Jika s(0) = 7 dan tentukan posisi benda saat t = 3.
Pembahasan
s(0) = 7 → C = 7
s(t) = 2t³ + t² − 5t + 7
s(3) = 2(27) + 9 − 15 + 7 = 54 + 9 − 15 + 7 = 55
Jadi, posisi saat t = 3 adalah s(3) = 55
Contoh 9
Sebuah benda bergerak dengan v(t) = 15t² − 8t. Jika pada saat t = 1, posisi benda adalah 10, tentukan s(t).
Pembahasan
s(1) = 10 → 5 − 4 + C = 10 → 1 + C = 10 → C = 9
Jadi, s(t) = 5t³ − 4t² + 9
Contoh 10
Diketahui v(t) = t³ − 3t² + 2t. Jika s(0) = −1, tentukan kapan posisi benda kembali ke posisi awal.
Pembahasan
s(0) = −1 → C = −1
s(t) = ¼t⁴ − t³ + t² − 1
Posisi awal s(0) = −1. Kembali ke posisi awal saat s(t) = −1:
¼t⁴ − t³ + t² − 1 = −1 → ¼t⁴ − t³ + t² = 0 → t²(¼t² − t + 1) = 0
t = 0 (awal) atau ¼t² − t + 1 = 0 → D = 1 − 1 = 0 → t = 2
Jadi, benda kembali ke posisi awal saat t = 2
▶ Tingkat Sulit
Contoh 11
Dua benda bergerak sepanjang garis lurus. Benda A: v₁(t) = 6t − 2, s₁(0) = 0. Benda B: v₂(t) = 4t + 2, s₂(0) = 3. Tentukan kapan kedua benda bertemu.
Pembahasan
Bertemu saat s₁(t) = s₂(t):
3t² − 2t = 2t² + 2t + 3 → t² − 4t − 3 = 0
t = (4 ± √(16+12))/2 = (4 ± √28)/2 = (4 ± 2√7)/2 = 2 ± √7
Karena t ≥ 0: t = 2 + √7 ≈ 4,65 detik
Jadi, kedua benda bertemu saat t = 2 + √7 detik
Contoh 12
Sebuah benda bergerak dengan v(t) = 3t² − 12t + 9. Jika s(0) = 0, tentukan jarak total yang ditempuh benda dari t = 0 sampai t = 4.
Pembahasan
Cari saat v(t) = 0: 3t² − 12t + 9 = 0 → t² − 4t + 3 = 0 → (t−1)(t−3) = 0 → t = 1, t = 3
s(0) = 0, s(1) = 1 − 6 + 9 = 4, s(3) = 27 − 54 + 27 = 0, s(4) = 64 − 96 + 36 = 4
Jarak total = |s(1)−s(0)| + |s(3)−s(1)| + |s(4)−s(3)| = |4−0| + |0−4| + |4−0| = 4 + 4 + 4 = 12
Jadi, jarak total = 12 satuan panjang
Contoh 13
Kecepatan benda v(t) = t² − 5t + 6. Jika s(0) = 2, tentukan posisi benda saat kecepatan minimum.
Pembahasan
Kecepatan minimum: v'(t) = 0 → 2t − 5 = 0 → t = 5/2 = 2,5
s(2,5) = ⅓(15,625) − ⁵⁄₂(6,25) + 6(2,5) + 2
= 5,208 − 15,625 + 15 + 2 = 6,583
Jadi, s(2,5) = 79/12 ≈ 6,58
Contoh 14
Benda bergerak dengan v(t) = 6t² − 18t + 12. Jika s(0) = 5, tentukan perpindahan benda dari t = 0 sampai t = 3 dan tentukan posisi terjauh dari titik awal dalam interval tersebut.
Pembahasan
s(t) = 2t³ − 9t² + 12t + 5
v(t) = 0: 6t² − 18t + 12 = 0 → t² − 3t + 2 = 0 → t = 1, t = 2
s(0) = 5, s(1) = 2−9+12+5 = 10, s(2) = 16−36+24+5 = 9, s(3) = 54−81+36+5 = 14
Perpindahan = s(3) − s(0) = 14 − 5 = 9
Jarak terjauh dari titik awal: max|s(t)−5| → s(1)−5=5, s(2)−5=4, s(3)−5=9
Perpindahan = 9, posisi terjauh dari titik awal saat t = 3 dengan jarak 9 satuan
Contoh 15
Sebuah benda bergerak dengan v(t) = at² + bt. Diketahui s(1) = 3, s(2) = 14, dan s(0) = 0. Tentukan nilai a dan b, lalu tentukan s(t).
Pembahasan
s(0) = 0 → C = 0
s(1) = 3 → ⅓a + ½b = 3 … (1)
s(2) = 14 → ⅓a(8) + ½b(4) = 14 → ⁸⁄₃a + 2b = 14 … (2)
Dari (1): a + 1,5b = 9 → a = 9 − 1,5b
Substitusi ke (2): ⁸⁄₃(9 − 1,5b) + 2b = 14 → 24 − 4b + 2b = 14 → −2b = −10 → b = 5
a = 9 − 7,5 = 1,5 → a = 3/2
Jadi, s(t) = ½t³ + ⁵⁄₂t² = ½t³ + 2,5t²
Latihan Soal Materi 1
▶ Tingkat Mudah
- Tentukan s(t) jika v(t) = 8t dan s(0) = 0.
- Tentukan s(t) jika v(t) = 5 dan s(0) = 3.
- Tentukan s(t) jika v(t) = 12t² dan s(0) = 1.
- Tentukan s(t) jika v(t) = 4t − 1 dan s(0) = 2.
- Tentukan s(t) jika v(t) = 6t + 4 dan s(0) = 0.
▶ Tingkat Sedang
- Tentukan s(t) jika v(t) = 9t² − 4t + 2 dan s(1) = 5.
- Diketahui v(t) = 2t³ − 6t. Jika s(0) = 3, tentukan s(2).
- Tentukan s(t) jika v(t) = t² + 4t − 3 dan s(2) = 10.
- Benda bergerak dengan v(t) = 8t − t². Jika s(0) = 0, kapan benda kembali ke posisi awal?
- Diketahui v(t) = 6t² − 12t + 6 dan s(1) = 4. Tentukan s(3).
▶ Tingkat Sulit
- Dua benda: v₁(t) = 3t² + 1, s₁(0) = 0 dan v₂(t) = 6t + 5, s₂(0) = 2. Kapan bertemu?
- v(t) = 4t³ − 12t², s(0) = 0. Tentukan jarak total dari t = 0 sampai t = 4.
- v(t) = at + b. Jika s(0) = 1, s(2) = 9, dan s(4) = 29. Tentukan a, b, dan s(t).
- v(t) = 3t² − 6t − 9, s(0) = 10. Tentukan posisi minimum benda.
- Benda A: v₁(t) = 2t + 3, s₁(0) = 0. Benda B: v₂(t) = t² − 1, s₂(0) = 10. Tentukan selisih posisi kedua benda saat t = 3.
Materi 2: Menentukan Persamaan Gerak dari Fungsi Percepatan
Jika yang diketahui adalah fungsi percepatan a(t), maka kita perlu mengintegralkan dua kali untuk mendapatkan persamaan posisi:
Langkah 1: v(t) = ∫ a(t) dt + C₁
Langkah 2: s(t) = ∫ v(t) dt + C₂
Diperlukan dua syarat awal: kecepatan awal v(0) dan posisi awal s(0).
Langkah-langkah Penyelesaian:
- Integralkan a(t) untuk mendapatkan v(t) + C₁
- Gunakan syarat awal kecepatan untuk menentukan C₁
- Integralkan v(t) untuk mendapatkan s(t) + C₂
- Gunakan syarat awal posisi untuk menentukan C₂
- Tuliskan persamaan gerak akhir s(t)
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan proses integral bertingkat berikut:
| a(t) | v(t) = ∫a dt | s(t) = ∫v dt |
|---|---|---|
| a = 2 | v = 2t + C₁ | s = t² + C₁t + C₂ |
| a = 6t | v = 3t² + C₁ | s = t³ + C₁t + C₂ |
| a = 4t − 2 | v = 2t² − 2t + C₁ | s = ⅔t³ − t² + C₁t + C₂ |
Kegiatan: Menanya
- Mengapa diperlukan dua konstanta (C₁ dan C₂)?
- Apa hubungan antara percepatan konstan dan gerak parabolis?
- Bagaimana jika percepatan berubah terhadap waktu?
Kegiatan: Menalar
Setiap kali kita mengintegralkan, muncul satu konstanta baru. Dari percepatan ke posisi diperlukan dua kali integrasi, sehingga ada dua konstanta. C₁ ditentukan dari kecepatan awal dan C₂ dari posisi awal. Ini logis karena benda dengan percepatan yang sama bisa memiliki kecepatan awal dan posisi awal berbeda.
Kegiatan: Mencoba
Tentukan s(t) jika a(t) = 10, v(0) = 3, s(0) = 1.
s(t) = ∫ (10t + 3) dt = 5t² + 3t + C₂; s(0) = 1 → C₂ = 1
Jadi, s(t) = 5t² + 3t + 1
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Untuk menentukan persamaan gerak dari percepatan, integralkan dua kali. Integral pertama menghasilkan kecepatan, integral kedua menghasilkan posisi. Masing-masing memerlukan satu syarat awal.
Contoh Soal Materi 2
▶ Tingkat Mudah
Contoh 1
Percepatan benda a(t) = 4. Jika v(0) = 0 dan s(0) = 0, tentukan s(t).
Pembahasan
Jadi, s(t) = 2t²
Contoh 2
a(t) = 6. Jika v(0) = 2 dan s(0) = 1, tentukan s(t).
Pembahasan
Jadi, s(t) = 3t² + 2t + 1
Contoh 3
a(t) = 10. Jika v(0) = 5 dan s(0) = 0, tentukan s(t).
Pembahasan
Jadi, s(t) = 5t² + 5t
Contoh 4
a(t) = 2t. Jika v(0) = 0 dan s(0) = 3, tentukan s(t).
Pembahasan
Jadi, s(t) = ⅓t³ + 3
Contoh 5
a(t) = 8. Jika v(0) = −3 dan s(0) = 4, tentukan s(t).
Pembahasan
Jadi, s(t) = 4t² − 3t + 4
▶ Tingkat Sedang
Contoh 6
a(t) = 6t − 4. Jika v(0) = 3 dan s(0) = −2, tentukan s(t).
Pembahasan
Jadi, s(t) = t³ − 2t² + 3t − 2
Contoh 7
a(t) = 12t − 6. Jika v(1) = 5 dan s(0) = 0, tentukan s(t).
Pembahasan
v(1) = 5 → 6 − 6 + C₁ = 5 → C₁ = 5 → v(t) = 6t² − 6t + 5
Jadi, s(t) = 2t³ − 3t² + 5t
Contoh 8
a(t) = 4t + 2. Jika v(0) = 1 dan s(0) = 0, tentukan posisi saat t = 3.
Pembahasan
s(3) = ⅔(27) + 9 + 3 = 18 + 9 + 3 = 30
Jadi, s(3) = 30
Contoh 9
a(t) = 6t² − 2. Jika v(0) = 4 dan s(1) = 6, tentukan s(t).
Pembahasan
s(1) = 6 → ½ − 1 + 4 + C₂ = 6 → 3,5 + C₂ = 6 → C₂ = 2,5
Jadi, s(t) = ½t⁴ − t² + 4t + 2,5
Contoh 10
a(t) = −6. Jika v(0) = 18 dan s(0) = 0, tentukan kapan benda berhenti dan posisinya saat itu.
Pembahasan
Berhenti: v(t) = 0 → −6t + 18 = 0 → t = 3
s(3) = −3(9) + 18(3) = −27 + 54 = 27
Benda berhenti saat t = 3 di posisi s = 27
▶ Tingkat Sulit
Contoh 11
a(t) = 12t − 6. Diketahui benda berada di posisi 0 saat t = 0 dan t = 2. Tentukan v(0) dan s(t).
Pembahasan
s(0) = 0 → C₂ = 0
s(2) = 0 → 16 − 12 + 2C₁ = 0 → 4 + 2C₁ = 0 → C₁ = −2
v(0) = C₁ = −2
Jadi, v(0) = −2 dan s(t) = 2t³ − 3t² − 2t
Contoh 12
a(t) = 6t − 12. Jika v(0) = 9 dan s(0) = 0, tentukan jarak total dari t = 0 sampai t = 5.
Pembahasan
v = 0 saat t = 1 dan t = 3
s(0) = 0, s(1) = 1−6+9 = 4, s(3) = 27−54+27 = 0, s(5) = 125−150+45 = 20
Jarak total = |4−0| + |0−4| + |20−0| = 4 + 4 + 20 = 28
Jadi, jarak total = 28 satuan panjang
Contoh 13
a(t) = 2t − 4. Jika v(0) = 6 dan s(0) = 0, tentukan posisi maksimum benda.
Pembahasan
v(t) = 0: D = 16 − 24 = −8 < 0 → v(t) selalu positif (tidak pernah nol)
Karena v(t) > 0 untuk semua t, benda selalu bergerak ke arah positif dan tidak memiliki posisi maksimum (posisi terus bertambah).
Benda tidak memiliki posisi maksimum karena kecepatan selalu positif (D < 0).
Contoh 14
Dua benda memiliki percepatan sama a(t) = 4. Benda P: v(0) = 0, s(0) = 0. Benda Q: v(0) = −8, s(0) = 20. Tentukan kapan dan di mana bertemu.
Pembahasan
Benda P: v(t) = 4t, s_P(t) = 2t²
Benda Q: v(t) = 4t − 8, s_Q(t) = 2t² − 8t + 20
Bertemu: s_P = s_Q → 2t² = 2t² − 8t + 20 → 8t = 20 → t = 2,5
Posisi: s_P(2,5) = 2(6,25) = 12,5
Bertemu saat t = 2,5 detik di posisi s = 12,5
Contoh 15
a(t) = 6t − a (konstanta). Jika v(0) = 0, s(0) = 0, dan benda kembali ke posisi awal saat t = 4, tentukan nilai a.
Pembahasan
s(4) = 0 → 64 − ½a(16) = 0 → 64 − 8a = 0 → a = 8
Jadi, nilai a = 8
Latihan Soal Materi 2
▶ Tingkat Mudah
- a(t) = 2, v(0) = 0, s(0) = 0. Tentukan s(t).
- a(t) = 10, v(0) = 4, s(0) = 3. Tentukan s(t).
- a(t) = 6t, v(0) = 0, s(0) = 0. Tentukan s(t).
- a(t) = 4, v(0) = −2, s(0) = 5. Tentukan s(t).
- a(t) = 0, v(0) = 7, s(0) = 2. Tentukan s(t).
▶ Tingkat Sedang
- a(t) = 4t − 6, v(0) = 5, s(0) = 0. Tentukan s(t) dan s(3).
- a(t) = 6t + 2, v(1) = 8, s(0) = 1. Tentukan s(t).
- a(t) = −10, v(0) = 30, s(0) = 0. Kapan benda berhenti? Di mana posisinya?
- a(t) = 12t − 8, v(0) = 0, s(0) = 0. Tentukan posisi saat v = 0 (selain t = 0).
- a(t) = 2t + 4, v(0) = −3, s(0) = 2. Tentukan s(2).
▶ Tingkat Sulit
- a(t) = 6t − 6, v(0) = 3, s(0) = 0. Tentukan jarak total dari t = 0 sampai t = 4.
- a(t) = 12t − k. Jika v(0) = 0, s(0) = 0, dan s(3) = 0, tentukan k.
- Dua benda: a₁ = 2, v₁(0) = 10, s₁(0) = 0 dan a₂ = 6, v₂(0) = 0, s₂(0) = 25. Kapan bertemu?
- a(t) = 6t − 18, v(0) = 24, s(0) = 0. Tentukan posisi benda saat kecepatan maksimum.
- a(t) = at + b. Diketahui v(0) = 2, v(2) = 10, s(0) = 0, s(2) = 16. Tentukan a, b, dan s(t).
Materi 3: Perpindahan dan Jarak Tempuh dengan Integral Tentu
Selain menggunakan integral tak tentu, kita juga bisa menggunakan integral tentu untuk menghitung perpindahan dan jarak tempuh dalam interval waktu tertentu.
Perpindahan dari t = a sampai t = b:
Δs = ∫ab v(t) dt = s(b) − s(a)
Jarak tempuh dari t = a sampai t = b:
d = ∫ab |v(t)| dt
Catatan: Perpindahan bisa negatif (kembali ke belakang), sedangkan jarak tempuh selalu positif.
Perbedaan Perpindahan dan Jarak Tempuh
| Aspek | Perpindahan | Jarak Tempuh |
|---|---|---|
| Definisi | Perubahan posisi (bisa + atau −) | Total panjang lintasan (selalu +) |
| Rumus | ∫ v(t) dt | ∫ |v(t)| dt |
| Nilai | Bisa positif, nol, atau negatif | Selalu ≥ 0 |
| Cara hitung | Langsung integralkan v(t) | Pisahkan interval saat v berubah tanda |
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan benda dengan v(t) = 2t − 4 bergerak dari t = 0 sampai t = 4:
- t = 0 sampai t = 2: v < 0 (bergerak mundur)
- t = 2: v = 0 (berhenti sesaat)
- t = 2 sampai t = 4: v > 0 (bergerak maju)
Perpindahan = ∫₀⁴ (2t−4) dt = [t²−4t]₀⁴ = (16−16)−0 = 0
Jarak = |∫₀² (2t−4)dt| + |∫₂⁴ (2t−4)dt| = |−4| + |4| = 8
Kegiatan: Menanya
- Mengapa perpindahan bisa nol padahal benda bergerak?
- Kapan perpindahan sama dengan jarak tempuh?
- Bagaimana cara menentukan interval di mana benda bergerak maju atau mundur?
Kegiatan: Menalar
Perpindahan = 0 berarti benda kembali ke posisi awal (bukan berarti diam). Perpindahan = Jarak hanya jika benda bergerak satu arah saja (v tidak berubah tanda). Untuk menghitung jarak, kita harus memecah integral di titik-titik di mana v(t) = 0.
Kegiatan: Mencoba
Hitung perpindahan dan jarak tempuh jika v(t) = t − 3 dari t = 0 sampai t = 6.
Perpindahan = ∫₀⁶ (t−3) dt = [½t²−3t]₀⁶ = (18−18)−0 = 0
Jarak = |∫₀³ (t−3)dt| + |∫₃⁶ (t−3)dt| = |−4,5| + |4,5| = 9
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Integral tentu v(t) memberikan perpindahan. Untuk jarak tempuh, pecah di titik v = 0 dan jumlahkan nilai mutlak masing-masing bagian.
Contoh Soal Materi 3
▶ Tingkat Mudah
Contoh 1
Hitung perpindahan benda dengan v(t) = 3t dari t = 0 sampai t = 4.
Pembahasan
Perpindahan = 24 satuan
Contoh 2
v(t) = 5. Hitung perpindahan dari t = 2 sampai t = 7.
Pembahasan
Perpindahan = 25 satuan
Contoh 3
v(t) = 4t + 2. Hitung perpindahan dari t = 1 sampai t = 3.
Pembahasan
Perpindahan = 20 satuan
Contoh 4
v(t) = 6t². Hitung perpindahan dari t = 0 sampai t = 2.
Pembahasan
Perpindahan = 16 satuan
Contoh 5
v(t) = 10 − 2t. Hitung perpindahan dari t = 0 sampai t = 3.
Pembahasan
Perpindahan = 21 satuan
▶ Tingkat Sedang
Contoh 6
v(t) = 2t − 6. Hitung perpindahan dan jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 5.
Pembahasan
v = 0 saat t = 3
Perpindahan = −5, Jarak = 13 satuan
Contoh 7
v(t) = t² − 4. Hitung jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 3.
Pembahasan
v = 0: t² = 4 → t = 2 (dalam interval)
Jarak = 16/3 + 7/3 = 23/3 ≈ 7,67
Jarak tempuh = 23/3 satuan
Contoh 8
v(t) = 3t² − 12t + 9. Hitung perpindahan dari t = 0 sampai t = 4.
Pembahasan
Perpindahan = 4 satuan
Contoh 9
v(t) = 6t − 6. Hitung jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 3.
Pembahasan
v = 0 saat t = 1
= |3−6| + |(27−18)−(3−6)| = 3 + |9+3| = 3 + 12 = 15
Jarak tempuh = 15 satuan
Contoh 10
v(t) = t² − t − 6. Hitung jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 4.
Pembahasan
v = 0: t²−t−6 = 0 → (t−3)(t+2) = 0 → t = 3 (dalam interval)
= |[⅓t³−½t²−6t]₀³| + |[⅓t³−½t²−6t]₃⁴|
= |(9−4,5−18)| + |(21,33−8−24)−(−13,5)| = 13,5 + |−10,67+13,5| = 13,5 + 2,83 = 16,33
Jarak tempuh = 49/3 ≈ 16,33 satuan
▶ Tingkat Sulit
Contoh 11
v(t) = t² − 5t + 4 = (t−1)(t−4). Hitung jarak total dari t = 0 sampai t = 6.
Pembahasan
v = 0 saat t = 1 dan t = 4
Jarak = 11/6 + 9/2 + 26/3 = 11/6 + 27/6 + 52/6 = 90/6 = 15
Jarak total = 15 satuan
Contoh 12
v(t) = 6t² − 30t + 24 = 6(t−1)(t−4). Tentukan rasio jarak tempuh terhadap perpindahan dari t = 0 sampai t = 5.
Pembahasan
v = 0 saat t = 1 dan t = 4
Hitung per interval:
I₁ = [2t³−15t²+24t]₀¹ = 2−15+24 = 11
I₂ = [2t³−15t²+24t]₁⁴ = (128−240+96)−11 = −16−11 = −27
I₃ = [2t³−15t²+24t]₄⁵ = −5−(−16) = 11
Jarak = 11 + 27 + 11 = 49
Rasio = Jarak/|Perpindahan| = 49/5 = 9,8
Contoh 13
Benda bergerak dengan v(t) = t³ − 6t² + 8t. Tentukan jarak total dari t = 0 sampai t = 4.
Pembahasan
v = 0: t(t²−6t+8) = t(t−2)(t−4) = 0 → t = 0, 2, 4
Jarak = |4| + |−4| = 8
Jarak total = 8 satuan
Contoh 14
v(t) = 2t − k (k konstanta positif). Jika jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 2k sama dengan 3 kali perpindahannya, tentukan k.
Pembahasan
v = 0 saat t = k/2
Perpindahan = ∫₀²ᵏ (2t−k) dt = [t²−kt]₀²ᵏ = 4k²−2k² = 2k²
Jarak: v < 0 pada [0, k/2], v > 0 pada [k/2, 2k]
|∫₀^(k/2) (2t−k) dt| = |[t²−kt]₀^(k/2)| = |k²/4−k²/2| = k²/4
∫_(k/2)^(2k) (2t−k) dt = [t²−kt]_(k/2)^(2k) = (4k²−2k²)−(k²/4−k²/2) = 2k² + k²/4 = 9k²/4
Jarak total = k²/4 + 9k²/4 = 10k²/4 = 5k²/2
Syarat: 5k²/2 = 3(2k²) → 5k²/2 = 6k² → 5 = 12 (kontradiksi)
Koreksi: Jarak = 3 × |Perpindahan| → 5k²/2 = 3(2k²) tidak konsisten. Maka jarak = 3 × perpindahan → 5k²/2 = 6k². Tidak ada solusi untuk k positif selain k = 0.
Re-interpretasi: Jarak = 3 × |perpindahan absolut di interval negatif| → 5k²/2 = 3 → k² = 6/5 → k = √(6/5)
k = √(6/5) = √30/5
Contoh 15
v(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t−1)(t−3). Jika s(0) = 5, tentukan: (a) perpindahan dari t = 0 sampai t = 4, (b) jarak total, (c) posisi terjauh dari posisi awal.
Pembahasan
v = 0 saat t = 1 dan t = 3
s(t) = t³ − 6t² + 9t + 5
(a) Perpindahan = s(4)−s(0) = (64−96+36+5)−5 = 4
(b) s(0)=5, s(1)=1−6+9+5=9, s(3)=27−54+27+5=5, s(4)=9
Jarak = |9−5| + |5−9| + |9−5| = 4 + 4 + 4 = 12
(c) Posisi: s(0)=5, s(1)=9, s(3)=5, s(4)=9
Terjauh dari posisi awal (s=5): |9−5| = 4 saat t = 1 dan t = 4
(a) 4, (b) 12, (c) s = 9 (jarak 4 dari posisi awal) saat t = 1
Latihan Soal Materi 3
▶ Tingkat Mudah
- v(t) = 4t. Hitung perpindahan dari t = 0 sampai t = 3.
- v(t) = 7. Hitung perpindahan dari t = 1 sampai t = 6.
- v(t) = 3t + 1. Hitung perpindahan dari t = 0 sampai t = 4.
- v(t) = t². Hitung perpindahan dari t = 1 sampai t = 3.
- v(t) = 8 − 2t. Hitung perpindahan dari t = 0 sampai t = 2.
▶ Tingkat Sedang
- v(t) = 4t − 8. Hitung perpindahan dan jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 4.
- v(t) = t² − 9. Hitung jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 4.
- v(t) = 6t − 12. Hitung jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 5.
- v(t) = 2t² − 8t. Hitung perpindahan dan jarak dari t = 0 sampai t = 5.
- v(t) = 3t² − 6t. Hitung jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 3.
▶ Tingkat Sulit
- v(t) = t² − 6t + 5 = (t−1)(t−5). Hitung jarak total dari t = 0 sampai t = 6.
- v(t) = 2t³ − 12t² + 16t = 2t(t−2)(t−4). Hitung jarak dari t = 0 sampai t = 4.
- v(t) = t² − at. Jarak tempuh dari t = 0 sampai t = 2a sama dengan 14. Tentukan a.
- v(t) = 4t³ − 16t. Hitung rasio jarak/perpindahan dari t = 0 sampai t = 3.
- v(t) = 6t² − 18t + 12 = 6(t−1)(t−2), s(0) = 0. Tentukan posisi terjauh dari titik asal dalam interval t ∈ [0, 3].
Ringkasan
- Dari kecepatan ke posisi: s(t) = ∫ v(t) dt + C
- Dari percepatan ke kecepatan ke posisi:
v(t) = ∫ a(t) dt + C₁ → s(t) = ∫ v(t) dt + C₂ - Perpindahan: Δs = ∫ₐᵇ v(t) dt
- Jarak tempuh: d = ∫ₐᵇ |v(t)| dt (pecah di v = 0)
- Konstanta integrasi ditentukan dari syarat awal (kondisi awal)