Titik Potong Grafik Fungsi Logaritma
Matematika
A. Pengertian Titik Potong Grafik Fungsi Logaritma
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan grafik fungsi \( f(x) = \log x \) (logaritma basis 10) berikut ini. Amati di mana grafik tersebut memotong sumbu-x dan apakah grafik memotong sumbu-y.
Dari pengamatan grafik di atas, kita dapat melihat bahwa grafik \( y = \log x \) memotong sumbu-x di titik (1, 0) dan tidak pernah memotong sumbu-y karena domain fungsi logaritma adalah \( x > 0 \).
❓ Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menentukan titik potong grafik fungsi logaritma dengan sumbu-x?
- Bagaimana cara menentukan titik potong grafik fungsi logaritma dengan sumbu-y?
- Bagaimana cara menentukan titik potong dua grafik fungsi logaritma?
1. Titik Potong dengan Sumbu-X
Titik potong grafik dengan sumbu-x terjadi ketika \( y = 0 \).
Untuk fungsi \( y = {}^a\!\log(x – p) + q \), substitusi \( y = 0 \):
Sehingga titik potong dengan sumbu-x adalah \( \left(p + a^{-q},\ 0\right) \).
Kasus sederhana: Untuk \( y = {}^a\!\log x \), substitusi \( y = 0 \):
Jadi grafik \( y = {}^a\!\log x \) selalu memotong sumbu-x di titik (1, 0) untuk setiap basis \( a > 0, a \neq 1 \).
2. Titik Potong dengan Sumbu-Y
Titik potong grafik dengan sumbu-y terjadi ketika \( x = 0 \).
Untuk fungsi \( y = {}^a\!\log(x – p) + q \), substitusi \( x = 0 \):
Titik potong dengan sumbu-y ada jika dan hanya jika argumen logaritma positif, yaitu \( -p > 0 \) atau \( p < 0 \).
Jika \( p < 0 \), maka titik potong dengan sumbu-y adalah \( \left(0,\ {}^a\!\log(-p) + q\right) \).
💡 Kegiatan: Menalar
Dari konsep di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Grafik \( y = {}^a\!\log x \) selalu memotong sumbu-x di (1, 0) dan tidak pernah memotong sumbu-y.
- Grafik \( y = {}^a\!\log(x – p) + q \) memotong sumbu-y hanya jika \( p < 0 \).
- Grafik \( y = {}^a\!\log(x – p) + q \) memotong sumbu-x jika \( p + a^{-q} > p \) (selalu terpenuhi karena \( a^{-q} > 0 \)).
3. Titik Potong Dua Grafik Fungsi Logaritma
Untuk mencari titik potong dua grafik \( y = f(x) \) dan \( y = g(x) \), selesaikan persamaan:
Contoh: Titik potong \( y = {}^2\!\log x \) dan \( y = {}^2\!\log(4x – 3) \):
Titik potong: (1, 0)
✏️ Kegiatan: Mencoba
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^3\!\log(x + 9) \) dengan sumbu-x dan sumbu-y!
Lihat Penyelesaian
Titik potong sumbu-x (\( y = 0 \)):
\( 0 = {}^3\!\log(x + 9) \implies x + 9 = 3^0 = 1 \implies x = -8 \)
Titik potong sumbu-x: (-8, 0)
Titik potong sumbu-y (\( x = 0 \)):
\( y = {}^3\!\log(0 + 9) = {}^3\!\log 9 = {}^3\!\log 3^2 = 2 \)
Titik potong sumbu-y: (0, 2)
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Tuliskan langkah-langkah umum menentukan titik potong grafik fungsi logaritma:
- Identifikasi fungsi logaritma yang diberikan: \( y = {}^a\!\log(bx + c) + d \).
- Untuk titik potong sumbu-x: substitusi \( y = 0 \), selesaikan persamaan logaritma.
- Untuk titik potong sumbu-y: substitusi \( x = 0 \), hitung nilai \( y \) (periksa domain).
- Untuk titik potong dua grafik: samakan kedua fungsi dan selesaikan persamaannya.
- Verifikasi bahwa solusi memenuhi domain fungsi logaritma.
Ringkasan Rumus
| Jenis Titik Potong | Syarat | Cara Menentukan |
|---|---|---|
| Dengan sumbu-x | \( y = 0 \) | Selesaikan \( 0 = {}^a\!\log(bx+c)+d \) |
| Dengan sumbu-y | \( x = 0 \) dan argumen > 0 | Hitung \( y = {}^a\!\log(c) + d \), syarat \( c > 0 \) |
| Dua grafik logaritma | \( f(x) = g(x) \) | Samakan dan selesaikan persamaan |
B. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH
Contoh 1
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log x \) dengan sumbu-x!
Pembahasan
Titik potong sumbu-x → \( y = 0 \)
\( 0 = {}^2\!\log x \)
\( x = 2^0 = 1 \)
Titik potong: (1, 0)
Contoh 2
Tentukan titik potong grafik \( y = \log(x + 10) \) dengan sumbu-y!
Pembahasan
Titik potong sumbu-y → \( x = 0 \)
\( y = \log(0 + 10) = \log 10 = 1 \)
Titik potong: (0, 1)
Contoh 3
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^5\!\log x \) dengan sumbu-x!
Pembahasan
\( 0 = {}^5\!\log x \implies x = 5^0 = 1 \)
Titik potong: (1, 0)
Contoh 4
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^3\!\log(x + 3) \) dengan sumbu-y!
Pembahasan
Substitusi \( x = 0 \):
\( y = {}^3\!\log(0 + 3) = {}^3\!\log 3 = 1 \)
Titik potong: (0, 1)
Contoh 5
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(x + 4) \) dengan sumbu-x!
Pembahasan
\( 0 = {}^2\!\log(x + 4) \implies x + 4 = 2^0 = 1 \implies x = -3 \)
Cek domain: \( x + 4 > 0 \implies x > -4 \). Karena \( -3 > -4 \), memenuhi.
Titik potong: (-3, 0)
SEDANG
Contoh 6
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(x – 1) + 3 \) dengan sumbu-x dan sumbu-y!
Pembahasan
Sumbu-x (\( y = 0 \)):
\( 0 = {}^2\!\log(x-1) + 3 \)
\( {}^2\!\log(x-1) = -3 \)
\( x – 1 = 2^{-3} = \frac{1}{8} \)
\( x = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8} \)
Titik potong sumbu-x: \( \left(\frac{9}{8},\ 0\right) \)
Sumbu-y (\( x = 0 \)):
\( y = {}^2\!\log(0-1) + 3 = {}^2\!\log(-1) + 3 \)
Karena \( \log(-1) \) tidak terdefinisi, tidak ada titik potong dengan sumbu-y.
Contoh 7
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^3\!\log(2x + 6) – 2 \) dengan sumbu-x dan sumbu-y!
Pembahasan
Sumbu-x:
\( 0 = {}^3\!\log(2x+6) – 2 \implies {}^3\!\log(2x+6) = 2 \)
\( 2x + 6 = 3^2 = 9 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \)
Titik potong sumbu-x: \( \left(\frac{3}{2},\ 0\right) \)
Sumbu-y:
\( y = {}^3\!\log(2(0)+6) – 2 = {}^3\!\log 6 – 2 \)
\( {}^3\!\log 6 = \frac{\log 6}{\log 3} \approx 1{,}631 \)
\( y \approx 1{,}631 – 2 = -0{,}369 \)
Titik potong sumbu-y: \( \left(0,\ {}^3\!\log 6 – 2\right) \approx (0;\ -0{,}369) \)
Contoh 8
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log x \) dan \( y = {}^2\!\log(2x – 3) \)!
Pembahasan
Samakan: \( {}^2\!\log x = {}^2\!\log(2x-3) \)
Basis sama → argumen sama: \( x = 2x – 3 \implies x = 3 \)
\( y = {}^2\!\log 3 \approx 1{,}585 \)
Cek domain: \( x > 0 \) ✓ dan \( 2x – 3 > 0 \implies x > 1{,}5 \) ✓
Titik potong: \( (3,\ {}^2\!\log 3) \)
Contoh 9
Tentukan titik potong grafik \( y = \log(x^2 – 4) \) dengan sumbu-x!
Pembahasan
\( 0 = \log(x^2 – 4) \implies x^2 – 4 = 10^0 = 1 \)
\( x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5} \)
Cek domain: \( x^2 – 4 > 0 \implies x < -2 \) atau \( x > 2 \)
\( \sqrt{5} \approx 2{,}236 > 2 \) ✓ dan \( -\sqrt{5} \approx -2{,}236 < -2 \) ✓
Titik potong: \( (\sqrt{5},\ 0) \) dan \( (-\sqrt{5},\ 0) \)
Contoh 10
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^4\!\log(x + 16) – 1 \) dengan kedua sumbu koordinat!
Pembahasan
Sumbu-x:
\( 0 = {}^4\!\log(x+16) – 1 \implies {}^4\!\log(x+16) = 1 \)
\( x + 16 = 4^1 = 4 \implies x = -12 \)
Cek: \( -12 + 16 = 4 > 0 \) ✓. Titik: \( (-12, 0) \)
Sumbu-y:
\( y = {}^4\!\log(16) – 1 = {}^4\!\log(4^2) – 1 = 2 – 1 = 1 \)
Titik: \( (0, 1) \)
SULIT
Contoh 11
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(x+2) \) dan \( y = 1 + {}^2\!\log(x-2) \)!
Pembahasan
Samakan: \( {}^2\!\log(x+2) = 1 + {}^2\!\log(x-2) \)
\( {}^2\!\log(x+2) – {}^2\!\log(x-2) = 1 \)
\( {}^2\!\log\frac{x+2}{x-2} = 1 \)
\( \frac{x+2}{x-2} = 2^1 = 2 \)
\( x + 2 = 2(x-2) = 2x – 4 \)
\( x = 6 \)
\( y = {}^2\!\log(6+2) = {}^2\!\log 8 = 3 \)
Cek domain: \( x + 2 > 0 \) ✓ dan \( x – 2 > 0 \implies x > 2 \) ✓
Titik potong: (6, 3)
Contoh 12
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^3\!\log(x^2 – 8) \) dengan sumbu-x, dan periksa apakah ada titik potong dengan sumbu-y!
Pembahasan
Sumbu-x:
\( 0 = {}^3\!\log(x^2-8) \implies x^2 – 8 = 1 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 \)
Domain: \( x^2 – 8 > 0 \implies x > 2\sqrt{2} \approx 2{,}83 \) atau \( x < -2\sqrt{2} \)
\( x = 3 > 2{,}83 \) ✓ dan \( x = -3 < -2{,}83 \) ✓
Titik potong sumbu-x: \( (3, 0) \) dan \( (-3, 0) \)
Sumbu-y:
\( y = {}^3\!\log(0 – 8) = {}^3\!\log(-8) \) → tidak terdefinisi
Tidak ada titik potong dengan sumbu-y.
Contoh 13
Tentukan titik potong grafik \( y = \log_2(x+1) + \log_2(x-1) \) dengan sumbu-x!
Pembahasan
\( 0 = {}^2\!\log(x+1) + {}^2\!\log(x-1) \)
\( 0 = {}^2\!\log[(x+1)(x-1)] = {}^2\!\log(x^2-1) \)
\( x^2 – 1 = 2^0 = 1 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \)
Domain: \( x + 1 > 0 \) dan \( x – 1 > 0 \implies x > 1 \)
\( x = \sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1 \) ✓, \( x = -\sqrt{2} < 1 \) ✗
Titik potong: \( (\sqrt{2},\ 0) \)
Contoh 14
Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(3x-5) \) dan \( y = 2 + {}^2\!\log(x-3) \)!
Pembahasan
\( {}^2\!\log(3x-5) = 2 + {}^2\!\log(x-3) \)
\( {}^2\!\log(3x-5) – {}^2\!\log(x-3) = 2 \)
\( {}^2\!\log\frac{3x-5}{x-3} = 2 \implies \frac{3x-5}{x-3} = 4 \)
\( 3x – 5 = 4x – 12 \implies x = 7 \)
\( y = {}^2\!\log(3(7)-5) = {}^2\!\log 16 = 4 \)
Cek domain: \( 3(7)-5 = 16 > 0 \) ✓, \( 7 – 3 = 4 > 0 \) ✓
Titik potong: (7, 4)
Contoh 15
Tentukan semua titik potong grafik \( y = {}^2\!\log|x| \) dengan garis \( y = 3 \)!
Pembahasan
\( 3 = {}^2\!\log|x| \implies |x| = 2^3 = 8 \)
\( x = 8 \) atau \( x = -8 \)
Domain: \( |x| > 0 \implies x \neq 0 \). Keduanya memenuhi.
Titik potong: (8, 3) dan (-8, 3)
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
MUDAH
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^4\!\log x \) dengan sumbu-x!
- Tentukan titik potong grafik \( y = \log(x + 100) \) dengan sumbu-y!
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(x + 8) \) dengan sumbu-x!
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^5\!\log(x + 5) \) dengan sumbu-y!
- Tentukan titik potong grafik \( y = \ln(x + e) \) dengan sumbu-y! (Catatan: \( \ln = {}^e\!\log \))
SEDANG
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(2x – 6) + 1 \) dengan sumbu-x dan sumbu-y!
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^3\!\log(x+9) \) dan \( y = {}^3\!\log(3x+3) \)!
- Tentukan titik potong grafik \( y = \log(x^2 – 9) \) dengan sumbu-x!
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(4x+8) – 3 \) dengan kedua sumbu koordinat!
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^5\!\log(x-1) + 2 \) dengan sumbu-x!
SULIT
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(x+3) \) dan \( y = 2 + {}^2\!\log(x-1) \)!
- Tentukan semua titik potong grafik \( y = \log|2x – 1| \) dengan garis \( y = 2 \)!
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(x+1) + {}^2\!\log(x+3) \) dengan sumbu-x!
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^3\!\log(x^2 + 3x – 4) \) dengan sumbu-x dan periksa keberadaan titik potong sumbu-y!
- Tentukan titik potong grafik \( y = {}^2\!\log(x^2 – 4x + 3) \) dan \( y = 1 \)!