Bentuk Umum Fungsi Logaritma
Matematika
1. Pengertian Fungsi Logaritma
Perhatikan hubungan antara fungsi eksponen dan fungsi logaritma berikut:
Definisi Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma adalah invers (kebalikan) dari fungsi eksponen. Jika fungsi eksponen ditulis sebagai:
\( f(x) = a^x \)
maka inversnya adalah fungsi logaritma:
\( f^{-1}(x) = {}^{a}\!\log x \)
Dengan kata lain, jika \( a^y = x \), maka \( y = {}^{a}\!\log x \).
Bentuk Umum Fungsi Logaritma
\[ f(x) = {}^{a}\!\log x \]
dengan syarat:
- \( a > 0 \) dan \( a \neq 1 \) (basis/bilangan pokok)
- \( x > 0 \) (numerus/argumen, harus positif)
📌 Catatan Penting
- Notasi \( {}^{a}\!\log x \) dibaca “logaritma x dengan basis a”
- Notasi internasional: \( \log_a x \)
- Jika basis = 10, ditulis \( \log x \) (tanpa basis)
- Jika basis = \( e \approx 2{,}718 \), ditulis \( \ln x \) (logaritma natural)
2. Mengapa Syarat Basis dan Numerus Diperlukan?
Pertanyaan kritis yang perlu dijawab:
- Mengapa \(a > 0\)? Karena basis negatif menghasilkan nilai yang tidak terdefinisi untuk beberapa eksponen (misalnya \((-2)^{1/2}\) tidak real).
- Mengapa \(a \neq 1\)? Karena \(1^y = 1\) untuk semua \(y\), sehingga \({}^{1}\!\log x\) tidak memiliki nilai tunggal.
- Mengapa \(x > 0\)? Karena tidak ada bilangan real \(y\) yang memenuhi \(a^y = x\) jika \(x \leq 0\) (untuk \(a > 0\)).
3. Bentuk-Bentuk Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma dapat memiliki berbagai bentuk transformasi:
| Bentuk | Keterangan | Contoh |
|---|---|---|
| \(f(x) = {}^{a}\!\log x\) | Bentuk dasar | \(f(x) = {}^{2}\!\log x\) |
| \(f(x) = {}^{a}\!\log (bx+c)\) | Transformasi horizontal | \(f(x) = {}^{3}\!\log (2x+1)\) |
| \(f(x) = k \cdot {}^{a}\!\log x + d\) | Pergeseran vertikal & dilatasi | \(f(x) = 2 \cdot {}^{5}\!\log x – 3\) |
| \(f(x) = {}^{a}\!\log |g(x)|\) | Logaritma fungsi komposit | \(f(x) = \log (x^2 – 4)\) |
4. Domain (Daerah Asal) Fungsi Logaritma
Untuk fungsi \( f(x) = {}^{a}\!\log g(x) \), domainnya ditentukan oleh syarat:
\[ g(x) > 0 \]
Numerus harus bernilai positif.
Contoh: Tentukan domain \( f(x) = {}^{2}\!\log (3x – 6) \).
Syarat: \( 3x – 6 > 0 \Rightarrow x > 2 \). Jadi domain: \( \{x \mid x > 2, x \in \mathbb{R}\} \).
5. Grafik Fungsi Logaritma
Sifat grafik \(f(x) = {}^{a}\!\log x\):
- Selalu melewati titik \((1, 0)\) karena \({}^{a}\!\log 1 = 0\)
- Selalu melewati titik \((a, 1)\) karena \({}^{a}\!\log a = 1\)
- Asimtot tegak: garis \(x = 0\) (sumbu-y)
- Jika \(a > 1\): grafik naik (monoton naik)
- Jika \(0 < a < 1\): grafik turun (monoton turun)
Grafik \(a > 1\) (misal \(a=2\))
Grafik \(0 < a < 1\) (misal \(a=\tfrac{1}{2}\))
6. Rangkuman Bentuk Umum
Bentuk Umum Fungsi Logaritma
\[ f(x) = {}^{a}\!\log \, g(x) \]
Syarat:
- Basis: \(a > 0,\; a \neq 1\)
- Numerus: \(g(x) > 0\)
Sifat-sifat penting:
- \({}^{a}\!\log 1 = 0\)
- \({}^{a}\!\log a = 1\)
- \({}^{a}\!\log a^n = n\)
- \(a^{{}^{a}\!\log x} = x\)
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1.
Tentukan nilai \({}^{2}\!\log 8\).
Pembahasan:
\({}^{2}\!\log 8 = {}^{2}\!\log 2^3 = 3\)
Karena \(2^3 = 8\), maka \({}^{2}\!\log 8 = 3\).
Soal 2.
Tentukan nilai \({}^{5}\!\log 25\).
Pembahasan:
\({}^{5}\!\log 25 = {}^{5}\!\log 5^2 = 2\)
Soal 3.
Tentukan nilai \({}^{3}\!\log 1\).
Pembahasan:
\({}^{3}\!\log 1 = 0\) karena \(3^0 = 1\).
Soal 4.
Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{2}\!\log (x – 1)\).
Pembahasan:
Syarat: \(x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1\).
Domain: \(\{x \mid x > 1\}\)
Soal 5.
Tentukan nilai \({}^{10}\!\log 1000\).
Pembahasan:
\(\log 1000 = \log 10^3 = 3\)
Tingkat Sedang
Soal 1.
Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{3}\!\log (x^2 – 4)\).
Pembahasan:
Syarat: \(x^2 – 4 > 0\)
\((x-2)(x+2) > 0\)
Penyelesaian: \(x < -2\) atau \(x > 2\).
Domain: \(\{x \mid x < -2 \text{ atau } x > 2\}\)
Soal 2.
Tentukan nilai \({}^{4}\!\log 8\).
Pembahasan:
\({}^{4}\!\log 8 = {}^{2^2}\!\log 2^3 = \frac{3}{2}\)
Karena \(4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8\). ✓
Soal 3.
Jika \(f(x) = {}^{2}\!\log (3x – 5)\), tentukan nilai \(f(3)\).
Pembahasan:
\(f(3) = {}^{2}\!\log (3 \cdot 3 – 5) = {}^{2}\!\log 4 = {}^{2}\!\log 2^2 = 2\)
Soal 4.
Tentukan nilai \({}^{1/3}\!\log 9\).
Pembahasan:
\({}^{1/3}\!\log 9 = {}^{3^{-1}}\!\log 3^2 = \frac{2}{-1} = -2\)
Verifikasi: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9\). ✓
Soal 5.
Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{2}\!\log \frac{x+3}{x-1}\).
Pembahasan:
Syarat: \(\frac{x+3}{x-1} > 0\)
Pembuat nol: \(x = -3\) dan \(x = 1\).
Dengan garis bilangan: positif pada \(x < -3\) atau \(x > 1\).
Domain: \(\{x \mid x < -3 \text{ atau } x > 1\}\)
Tingkat Sulit
Soal 1.
Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{2}\!\log (x^2 – 5x + 6) + {}^{3}\!\log (x – 1)\).
Pembahasan:
Syarat 1: \(x^2 – 5x + 6 > 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) > 0 \Rightarrow x < 2\) atau \(x > 3\)
Syarat 2: \(x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1\)
Irisan: \(1 < x < 2\) atau \(x > 3\).
Domain: \(\{x \mid 1 < x < 2 \text{ atau } x > 3\}\)
Soal 2.
Tentukan nilai \(x\) jika \(f(x) = {}^{2}\!\log (x+1) – {}^{2}\!\log (x-1) = 3\).
Pembahasan:
\({}^{2}\!\log \frac{x+1}{x-1} = 3\)
\(\frac{x+1}{x-1} = 2^3 = 8\)
\(x+1 = 8(x-1)\)
\(x+1 = 8x – 8\)
\(9 = 7x \Rightarrow x = \frac{9}{7}\)
Cek syarat: \(x+1 = \frac{16}{7} > 0\) ✓ dan \(x-1 = \frac{2}{7} > 0\) ✓
Soal 3.
Diketahui \(f(x) = {}^{(x-1)}\!\log (x^2 – 3x + 2)\). Tentukan domain fungsi tersebut.
Pembahasan:
Syarat basis: \(x – 1 > 0\) dan \(x – 1 \neq 1\) → \(x > 1\) dan \(x \neq 2\)
Syarat numerus: \(x^2 – 3x + 2 > 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) > 0\) → \(x < 1\) atau \(x > 2\)
Irisan semua syarat: \(x > 1\) ∩ \(x \neq 2\) ∩ (\(x < 1\) atau \(x > 2\))
Hasil: \(x > 2\), yaitu Domain = \(\{x \mid x > 2\}\)
Soal 4.
Tentukan range (daerah hasil) fungsi \(f(x) = {}^{2}\!\log (x^2 + 4)\).
Pembahasan:
Karena \(x^2 \geq 0\), maka \(x^2 + 4 \geq 4\).
Nilai minimum numerus = 4, sehingga:
\(f(x) \geq {}^{2}\!\log 4 = 2\)
Karena \(x^2 + 4\) bisa menuju \(\infty\), maka \(f(x)\) bisa menuju \(\infty\).
Range: \(\{y \mid y \geq 2\}\) atau \([2, \infty)\)
Soal 5.
Tentukan semua nilai \(x\) yang memenuhi \({}^{(x^2-1)}\!\log (2x+3) = 1\) dengan memperhatikan semua syarat fungsi logaritma.
Pembahasan:
Dari \({}^{a}\!\log b = 1\) berarti \(b = a\), maka:
\(2x + 3 = x^2 – 1\)
\(x^2 – 2x – 4 = 0\)
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}\)
Cek syarat:
Basis: \(x^2 – 1 > 0\) dan \(x^2 – 1 \neq 1\) → \(|x| > 1\) dan \(x \neq \pm\sqrt{2}\)
Numerus: \(2x + 3 > 0\) → \(x > -\frac{3}{2}\)
• \(x = 1 + \sqrt{5} \approx 3{,}24\): \(|x|>1\) ✓, \(x \neq \pm\sqrt{2}\) ✓, \(2x+3 > 0\) ✓
• \(x = 1 – \sqrt{5} \approx -1{,}24\): \(|x| \approx 1{,}24 > 1\) ✓, \(2x+3 = 0{,}52 > 0\) ✓, \(x \neq \pm\sqrt{2}\) ✓
Jawaban: \(x = 1 + \sqrt{5}\) atau \(x = 1 – \sqrt{5}\)
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan di atas.
Tingkat Mudah
- Tentukan nilai \({}^{4}\!\log 64\).
- Tentukan nilai \({}^{7}\!\log 49\).
- Tentukan nilai \({}^{6}\!\log 1\).
- Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{5}\!\log (x + 4)\).
- Jika \(f(x) = \log x\), tentukan nilai \(f(100)\).
Tingkat Sedang
- Tentukan nilai \({}^{9}\!\log 27\).
- Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{2}\!\log (6 – 2x)\).
- Jika \(f(x) = {}^{3}\!\log (2x + 1)\), tentukan nilai \(f(13)\).
- Tentukan nilai \({}^{1/2}\!\log 16\).
- Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{2}\!\log \frac{x – 2}{x + 5}\).
Tingkat Sulit
- Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{2}\!\log (x^2 – 9) + {}^{3}\!\log (5 – x)\).
- Tentukan nilai \(x\) jika \({}^{3}\!\log (2x+1) – {}^{3}\!\log (x-2) = 2\).
- Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{(x+2)}\!\log (x^2 – x – 6)\).
- Tentukan range fungsi \(f(x) = {}^{3}\!\log (x^2 + 9)\).
- Tentukan semua nilai \(x\) yang memenuhi \({}^{(x+3)}\!\log (x^2 + 5x + 4) = 1\) dengan memperhatikan semua syarat.