Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis antara 0 dan 1
Memahami karakteristik dan cara menggambar grafik f(x) = alog x untuk 0 < a < 1
1. Pengertian Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1
Fungsi logaritma dengan basis antara 0 dan 1 adalah fungsi yang berbentuk:
Contoh basis yang memenuhi syarat 0 < a < 1 antara lain:
- a = 12 (setengah)
- a = 13 (sepertiga)
- a = 14 (seperempat)
- a = 0,5
- a = 0,1
⚠️ Ingat!
Fungsi f(x) = alog x hanya terdefinisi untuk x > 0. Artinya domain fungsi ini adalah himpunan bilangan real positif.
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tabel nilai berikut untuk fungsi f(x) = ½log x:
| x | 18 | 14 | 12 | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = ½log x | 3 | 2 | 1 | 0 | −1 | −2 | −3 |
Amati: Ketika nilai x membesar, nilai f(x) justru mengecil (menurun). Ini adalah ciri khas logaritma dengan basis antara 0 dan 1.
2. Karakteristik Grafik Fungsi Logaritma (0 < a < 1)
Grafik fungsi f(x) = alog x dengan 0 < a < 1 memiliki sifat-sifat berikut:
- Fungsi selalu turun (monoton turun) — semakin besar x, semakin kecil f(x)
- Melewati titik (1, 0) — karena alog 1 = 0 untuk semua basis a
- Melewati titik (a, 1) — karena alog a = 1
- Asimtot vertikal di x = 0 — grafik mendekati sumbu-y tetapi tidak pernah menyentuhnya
- Domain: x > 0 — hanya untuk bilangan positif
- Range: semua bilangan real (ℝ)
- Untuk 0 < x < 1, nilai f(x) > 0 (positif)
- Untuk x > 1, nilai f(x) < 0 (negatif)
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati tabel dan sifat-sifat di atas, coba ajukan pertanyaan:
- Mengapa grafik turun padahal grafik logaritma basis > 1 naik?
- Apa hubungan antara grafik ½log x dan grafik 2log x?
- Bagaimana bentuk grafik jika basisnya semakin mendekati 0?
Jawaban: Grafik alog x (0 < a < 1) merupakan pencerminan grafik 1/alog x terhadap sumbu-x. Karena itu grafiknya turun.
Visualisasi Grafik
Grafik f(x) = ½log x (merah) dan g(x) = ⅓log x (biru)
3. Langkah-Langkah Menggambar Grafik
💡 Kegiatan: Menalar
Untuk menggambar grafik f(x) = alog x dengan 0 < a < 1, kita bisa menggunakan hubungan:
Artinya, kita mencari nilai x untuk beberapa nilai y yang kita tentukan.
Langkah-langkah:
- Tentukan beberapa nilai y (misalnya y = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3)
- Hitung x = ay untuk setiap nilai y
- Buat tabel pasangan (x, y)
- Plot titik-titik pada bidang koordinat
- Hubungkan titik-titik dengan kurva mulus
- Tandai asimtot vertikal di x = 0
Contoh: Menggambar grafik f(x) = ½log x
Gunakan hubungan: x = (½)y
| y | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x = (½)y | 8 | 4 | 2 | 1 | 12 | 14 | 18 |
| Titik (x, y) | (8, −3) | (4, −2) | (2, −1) | (1, 0) | (½, 1) | (¼, 2) | (⅛, 3) |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Sekarang cobalah membuat tabel nilai untuk fungsi f(x) = ⅓log x.
Gunakan hubungan x = (⅓)y untuk y = −2, −1, 0, 1, 2.
| y | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| x = (⅓)y | 9 | 3 | 1 | ⅓ | ⅑ |
| Titik | (9,−2) | (3,−1) | (1,0) | (⅓,1) | (⅑,2) |
4. Perbandingan dengan Logaritma Basis > 1
| Sifat | Basis a > 1 | Basis 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| Monoton | Naik (increasing) | Turun (decreasing) |
| Melewati (1, 0) | Ya | Ya |
| x > 1 | f(x) > 0 | f(x) < 0 |
| 0 < x < 1 | f(x) < 0 | f(x) > 0 |
| Asimtot | x = 0 | x = 0 |
| Domain | x > 0 | x > 0 |
| Range | ℝ | ℝ |
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri:
- Mengapa grafik ½log x merupakan pencerminan dari 2log x terhadap sumbu-x?
- Tuliskan kesimpulan tentang hubungan: alog x = −1/alog x
Penjelasan: Karena ½log x = log xlog ½ = log x−log 2 = −2log x, maka grafiknya merupakan pencerminan terhadap sumbu-x.
5. Transformasi Grafik Logaritma Basis 0 < a < 1
Grafik f(x) = alog x (0 < a < 1) dapat ditransformasikan menjadi:
a) Translasi vertikal
g(x) = alog x + k → grafik digeser ke atas (k > 0) atau bawah (k < 0) sejauh |k| satuan
b) Translasi horizontal
g(x) = alog (x − h) → grafik digeser ke kanan (h > 0) atau kiri (h < 0) sejauh |h| satuan
Asimtot berubah menjadi x = h, domain menjadi x > h
c) Pencerminan terhadap sumbu-x
g(x) = −alog x → grafik dicerminkan terhadap sumbu-x (menjadi naik!)
d) Dilatasi vertikal
g(x) = c · alog x → grafik diregangkan (|c| > 1) atau dimampatkan (0 < |c| < 1)
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH
Contoh 1:
Tentukan nilai ½log 8.
Lihat Pembahasan
Misalkan ½log 8 = y
Maka: (½)y = 8
2−y = 23
−y = 3
y = −3
Jadi, ½log 8 = −3
Contoh 2:
Tentukan nilai ¼log 16.
Lihat Pembahasan
Misalkan ¼log 16 = y
(¼)y = 16
(2−2)y = 24
2−2y = 24
−2y = 4 → y = −2
Jadi, ¼log 16 = −2
Contoh 3:
Tentukan titik potong grafik f(x) = ½log x dengan sumbu-x.
Lihat Pembahasan
Titik potong dengan sumbu-x terjadi saat f(x) = 0
½log x = 0
x = (½)0 = 1
Jadi, titik potongnya adalah (1, 0)
Contoh 4:
Tentukan domain dan range fungsi f(x) = ⅓log x.
Lihat Pembahasan
Fungsi logaritma terdefinisi untuk argumen positif.
Domain: x > 0 atau Df = {x ∈ ℝ | x > 0}
Range: semua bilangan real, Rf = ℝ
Domain = (0, ∞), Range = (−∞, ∞)
Contoh 5:
Apakah fungsi f(x) = ½log x merupakan fungsi naik atau turun? Jelaskan.
Lihat Pembahasan
Karena basis a = ½ memenuhi 0 < a < 1, maka fungsi ini monoton turun.
Artinya: jika x1 < x2, maka f(x1) > f(x2)
Contoh: f(2) = −1 dan f(4) = −2. Karena 2 < 4 maka f(2) > f(4). ✓
Jadi, fungsi f(x) = ½log x adalah fungsi turun.
SEDANG
Contoh 6:
Gambarlah tabel nilai dan sketsa grafik f(x) = ½log x untuk x = ¼, ½, 1, 2, 4.
Lihat Pembahasan
| x | ¼ | ½ | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 2 | 1 | 0 | −1 | −2 |
Perhitungan:
- ½log ¼ = ½log (½)2 = 2
- ½log ½ = 1 (karena alog a = 1)
- ½log 1 = 0
- ½log 2 = −1 (karena (½)−1 = 2)
- ½log 4 = −2 (karena (½)−2 = 4)
Grafik melewati titik-titik tersebut, turun dari kiri atas ke kanan bawah, dengan asimtot di x = 0.
Contoh 7:
Tentukan persamaan asimtot dan titik potong sumbu-x dari grafik f(x) = ½log (x − 2).
Lihat Pembahasan
Asimtot: Terjadi saat argumen = 0
x − 2 = 0 → x = 2
Jadi asimtot vertikal: x = 2
Titik potong sumbu-x: Saat f(x) = 0
½log (x − 2) = 0
x − 2 = (½)0 = 1
x = 3
Asimtot: x = 2, Titik potong sumbu-x: (3, 0)
Contoh 8:
Tentukan nilai x jika ½log x = −4.
Lihat Pembahasan
½log x = −4
x = (½)−4
x = 24 = 16
Jadi, x = 16
Contoh 9:
Tentukan domain fungsi f(x) = ¼log (3 − x).
Lihat Pembahasan
Syarat logaritma: argumen harus positif
3 − x > 0
−x > −3
x < 3
Domain: {x ∈ ℝ | x < 3} atau (−∞, 3)
Contoh 10:
Jelaskan hubungan grafik f(x) = ½log x dengan grafik g(x) = ½log x + 3.
Lihat Pembahasan
Grafik g(x) = ½log x + 3 merupakan translasi (pergeseran) grafik f(x) = ½log x sejauh 3 satuan ke atas.
Perubahan:
- Titik (1, 0) pada f menjadi (1, 3) pada g
- Titik (2, −1) pada f menjadi (2, 2) pada g
- Asimtot tetap x = 0
- Titik potong sumbu-x: ½log x + 3 = 0 → ½log x = −3 → x = 8
g(x) adalah f(x) yang digeser 3 satuan ke atas. Titik potong sumbu-x baru: (8, 0)
SULIT
Contoh 11:
Tentukan domain dan sketsa grafik f(x) = ½log (x2 − 4).
Lihat Pembahasan
Domain: Syarat: x2 − 4 > 0
(x − 2)(x + 2) > 0
Dengan garis bilangan: x < −2 atau x > 2
Domain: (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
Asimtot vertikal: x = −2 dan x = 2
Titik potong sumbu-x:
½log (x2 − 4) = 0 → x2 − 4 = 1 → x2 = 5 → x = ±√5
Domain: x < −2 atau x > 2. Titik potong sumbu-x: (√5, 0) dan (−√5, 0)
Contoh 12:
Tentukan invers dari fungsi f(x) = ½log (2x + 1) dan domain inversnya.
Lihat Pembahasan
Misalkan y = ½log (2x + 1)
Maka: (½)y = 2x + 1
2x = (½)y − 1
x = (½)y − 12
Tukar x dan y:
f−1(x) = (½)x − 12
Domain f: 2x + 1 > 0 → x > −½
Range f = Domain f−1: ℝ (semua bilangan real)
f−1(x) = [(½)x − 1] / 2, Domain f−1 = ℝ
Contoh 13:
Selesaikan persamaan ½log (x + 3) + ½log (x − 1) = −3.
Lihat Pembahasan
Syarat: x + 3 > 0 dan x − 1 > 0 → x > 1
Gunakan sifat log:
½log [(x + 3)(x − 1)] = −3
(x + 3)(x − 1) = (½)−3 = 8
x2 + 2x − 3 = 8
x2 + 2x − 11 = 0
Gunakan rumus abc:
x = −2 ± √(4 + 44)2 = −2 ± √482 = −2 ± 4√32 = −1 ± 2√3
Karena x > 1:
x = −1 + 2√3 ≈ −1 + 3,46 = 2,46 ✓ (memenuhi x > 1)
x = −1 − 2√3 ≈ −4,46 ✗ (tidak memenuhi)
Jadi, x = −1 + 2√3
Contoh 14:
Selesaikan pertidaksamaan ½log (2x − 1) > −2.
Lihat Pembahasan
Syarat: 2x − 1 > 0 → x > ½
½log (2x − 1) > −2
Karena basis ½ (antara 0 dan 1), maka tanda pertidaksamaan BERUBAH saat dikonversi:
2x − 1 < (½)−2
2x − 1 < 4
2x < 5
x < 52
Gabungkan dengan syarat x > ½:
Penyelesaian: ½ < x < 5/2 atau x ∈ (½, 5/2)
⚠️ Penting: Untuk logaritma basis 0 < a < 1, tanda pertidaksamaan BERBALIK saat menghilangkan logaritma!
Contoh 15:
Tentukan titik potong antara grafik f(x) = ½log x dan garis y = −x + 1. Gunakan metode substitusi.
Lihat Pembahasan
Syarat potong: ½log x = −x + 1
Coba substitusi nilai x yang sederhana:
Untuk x = 2:
Ruas kiri: ½log 2 = −1
Ruas kanan: −2 + 1 = −1 ✓
Untuk x = ½:
Ruas kiri: ½log ½ = 1
Ruas kanan: −½ + 1 = ½ ✗
Persamaan ini umumnya diselesaikan secara numerik/grafis. Dari substitusi, kita mendapat satu titik potong yang eksak:
Titik potong: (2, −1)
(Titik potong lainnya, jika ada, dapat dicari dengan metode numerik)
📋 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Latihan ini tanpa pembahasan.
MUDAH
- Tentukan nilai ½log 32.
- Tentukan nilai ⅓log 27.
- Tentukan nilai ¼log 164.
- Tentukan titik potong grafik f(x) = ⅓log x dengan sumbu-x.
- Apakah grafik f(x) = 0,1log x merupakan fungsi naik atau turun?
SEDANG
- Buatlah tabel nilai dan sketsalah grafik f(x) = ⅓log x untuk x = ⅑, ⅓, 1, 3, 9.
- Tentukan domain, asimtot vertikal, dan titik potong sumbu-x dari f(x) = ½log (x + 4).
- Tentukan nilai x jika ¼log x = −3.
- Jelaskan transformasi yang mengubah grafik f(x) = ½log x menjadi g(x) = ½log (x − 3) − 2.
- Tentukan domain fungsi f(x) = ½log (5 − 2x).
SULIT
- Tentukan domain dan titik potong sumbu-x dari f(x) = ⅓log (x2 − 9).
- Tentukan invers dari f(x) = ½log (3x − 2) + 1 beserta domainnya.
- Selesaikan persamaan ½log (x + 5) + ½log (x − 2) = −1.
- Selesaikan pertidaksamaan ⅓log (3x − 2) ≤ 2.
- Tentukan luas daerah segitiga yang dibentuk oleh grafik f(x) = ½log x, sumbu-x, dan garis x = 4. (Petunjuk: tentukan koordinat tiga titik sudut segitiga tersebut)
📌 Rangkuman
- Fungsi f(x) = alog x dengan 0 < a < 1 adalah fungsi monoton turun.
- Grafik selalu melewati titik (1, 0) dan memiliki asimtot vertikal x = 0.
- Untuk 0 < x < 1, nilai fungsi positif; untuk x > 1, nilai fungsi negatif.
- Grafik alog x (0 < a < 1) adalah pencerminan grafik 1/alog x terhadap sumbu-x.
- Pada pertidaksamaan logaritma basis 0 < a < 1, tanda BERBALIK saat menghilangkan logaritma.