Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis Lebih Besar dari Satu
Materi Matematika — Fungsi Logaritma
A. Pendahuluan
Fungsi logaritma adalah kebalikan (invers) dari fungsi eksponen. Pada bagian ini, kita akan membahas secara khusus grafik fungsi logaritma dengan basis a > 1.
Definisi:
Fungsi logaritma basis a ditulis sebagai:
f(x) = alog x atau f(x) = loga x
dengan syarat: a > 0, a ≠ 1, dan x > 0.
Pada pembahasan ini, kita fokus pada a > 1 (misalnya a = 2, 3, 5, 10, …).
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tabel berikut untuk fungsi f(x) = log2 x (basis 2 > 1):
| x | 1/8 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = log2 x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Amati bahwa: ketika x bertambah besar, nilai f(x) juga bertambah besar. Grafik naik dari kiri ke kanan (fungsi naik/monoton naik).
B. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Logaritma Basis a > 1
Sifat-sifat utama grafik f(x) = loga x untuk a > 1:
- Domain: x > 0 (hanya bilangan positif).
- Range: Semua bilangan real (−∞, +∞).
- Grafik selalu melewati titik (1, 0) karena loga 1 = 0 untuk semua a.
- Grafik melewati titik (a, 1) karena loga a = 1.
- Fungsi monoton naik (semakin besar x, semakin besar f(x)).
- Asimtot tegak: Sumbu-y (x = 0) adalah asimtot tegak. Grafik mendekati sumbu-y tetapi tidak pernah menyentuhnya.
- Jika 0 < x < 1, maka f(x) < 0 (grafik di bawah sumbu-x).
- Jika x > 1, maka f(x) > 0 (grafik di atas sumbu-x).
Kegiatan: Menanya
Pertanyaan untuk dipikirkan:
- Mengapa grafik tidak pernah memotong sumbu-y?
- Apa perbedaan bentuk grafik jika basis diperbesar (misal dari 2 ke 10)?
- Bagaimana hubungan grafik f(x) = loga x dengan grafik g(x) = ax?
Grafik f(x) = log2 x, f(x) = log3 x, dan f(x) = log10 x
C. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Logaritma
Kegiatan: Menalar
Untuk menggambar grafik f(x) = loga x dengan a > 1, ikuti langkah berikut:
- Tentukan beberapa nilai x yang mudah dihitung (pilih pangkat-pangkat dari basis a).
- Hitung nilai f(x) untuk setiap x tersebut.
- Buat tabel pasangan (x, f(x)).
- Plot titik-titik pada bidang koordinat.
- Hubungkan titik-titik dengan kurva mulus.
- Gambar asimtot tegak (garis putus-putus pada x = 0).
Contoh: Menggambar f(x) = log3 x
| x | 1/9 | 1/3 | 1 | 3 | 9 | 27 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = log3 x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Titik-titik: (1/9, −2), (1/3, −1), (1, 0), (3, 1), (9, 2), (27, 3)
Grafik naik dari kiri ke kanan, melewati titik (1, 0), dengan asimtot tegak di x = 0.
D. Transformasi Grafik Fungsi Logaritma
Kegiatan: Mencoba
Cobalah membuat tabel dan sketsa grafik untuk fungsi-fungsi berikut, lalu amati perubahannya dibandingkan grafik dasar f(x) = log2 x:
Jenis-jenis transformasi:
- f(x) = loga(x) + k → Geser ke atas sejauh k satuan (jika k > 0).
- f(x) = loga(x) − k → Geser ke bawah sejauh k satuan.
- f(x) = loga(x − h) → Geser ke kanan sejauh h satuan (asimtot berubah ke x = h).
- f(x) = loga(x + h) → Geser ke kiri sejauh h satuan (asimtot berubah ke x = −h).
- f(x) = −loga(x) → Dicerminkan terhadap sumbu-x.
- f(x) = loga(−x) → Dicerminkan terhadap sumbu-y (domain menjadi x < 0).
E. Hubungan Grafik Logaritma dengan Grafik Eksponen
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu mengapa grafik f(x) = loga x dan g(x) = ax saling simetris terhadap garis y = x.
Hubungan penting:
- Grafik f(x) = loga x adalah pencerminan grafik g(x) = ax terhadap garis y = x.
- Jika titik (p, q) terletak pada grafik g(x) = ax, maka titik (q, p) terletak pada grafik f(x) = loga x.
- Kedua grafik berpotongan di garis y = x.
F. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH
Contoh 1: Tentukan nilai f(x) = log2 x untuk x = 1, 2, 4, 8.
Lihat Pembahasan
• f(1) = log2 1 = 0 (karena 20 = 1)
• f(2) = log2 2 = 1 (karena 21 = 2)
• f(4) = log2 4 = 2 (karena 22 = 4)
• f(8) = log2 8 = 3 (karena 23 = 8)
Contoh 2: Sebutkan domain dan range fungsi f(x) = log5 x.
Lihat Pembahasan
• Domain: {x | x > 0} = (0, +∞)
• Range: Semua bilangan real = (−∞, +∞)
Alasan: Logaritma hanya terdefinisi untuk bilangan positif, tetapi hasilnya bisa berupa bilangan real apa saja.
Contoh 3: Di manakah grafik f(x) = log3 x memotong sumbu-x?
Lihat Pembahasan
Grafik memotong sumbu-x ketika f(x) = 0.
log3 x = 0 → x = 30 = 1
Jadi grafik memotong sumbu-x di titik (1, 0).
Contoh 4: Apakah grafik f(x) = log2 x naik atau turun? Jelaskan.
Lihat Pembahasan
Grafik naik (monoton naik).
Alasan: Karena basis a = 2 > 1, maka semakin besar x, semakin besar pula log2 x.
Contoh: log2 4 = 2 < log2 8 = 3 (karena 4 < 8).
Contoh 5: Tentukan asimtot grafik f(x) = log10 x.
Lihat Pembahasan
Asimtot tegak grafik f(x) = log10 x adalah garis x = 0 (sumbu-y).
Ketika x mendekati 0 dari kanan, nilai log10 x → −∞.
Grafik semakin turun mendekati sumbu-y tetapi tidak pernah menyentuhnya.
SEDANG
Contoh 6: Gambarkan sketsa grafik f(x) = log2(x − 1). Tentukan domain dan asimtotnya.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Tentukan domain.
Syarat: x − 1 > 0 → x > 1. Domain = (1, +∞).
Langkah 2: Tentukan asimtot.
Asimtot tegak: x = 1 (geser 1 satuan ke kanan dari x = 0).
Langkah 3: Buat tabel.
| x | 2 | 3 | 5 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 1 | 2 | 3 |
Langkah 4: Grafik melewati (2, 0), naik ke kanan, dengan asimtot di x = 1.
Ini adalah grafik log2 x yang digeser 1 satuan ke kanan.
Contoh 7: Tentukan titik potong grafik f(x) = log2 x + 3 dengan sumbu-x.
Lihat Pembahasan
Titik potong sumbu-x: f(x) = 0
log2 x + 3 = 0
log2 x = −3
x = 2−3 = 1/8
Titik potong: (1/8, 0) atau (0,125; 0).
Contoh 8: Bandingkan grafik f(x) = log2 x dan g(x) = log10 x. Manakah yang lebih curam?
Lihat Pembahasan
Kedua grafik melewati titik (1, 0).
Untuk x = 8:
• log2 8 = 3
• log10 8 ≈ 0,903
Kesimpulan: Grafik log2 x lebih curam (naik lebih cepat) dibandingkan log10 x.
Aturan umum: Semakin kecil basis (asalkan > 1), semakin curam grafiknya.
Contoh 9: Tentukan persamaan fungsi logaritma basis 2 yang grafiknya melewati titik (4, 5).
Lihat Pembahasan
Misalkan f(x) = log2 x + k
Substitusi (4, 5): 5 = log2 4 + k
5 = 2 + k
k = 3
Jadi persamaan fungsinya: f(x) = log2 x + 3.
Contoh 10: Sketsa grafik f(x) = −log2 x. Jelaskan hubungannya dengan g(x) = log2 x.
Lihat Pembahasan
Tabel nilai:
| x | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| log2 x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| −log2 x | 2 | 1 | 0 | −1 | −2 | −3 |
Kesimpulan:
- Grafik f(x) = −log2 x adalah pencerminan grafik log2 x terhadap sumbu-x.
- Grafik turun (monoton turun) dari kiri ke kanan.
- Tetap melewati titik (1, 0) dan asimtot tetap di x = 0.
SULIT
Contoh 11: Tentukan domain, range, asimtot, dan sketsa grafik f(x) = log2(3x − 6) + 1.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Domain
3x − 6 > 0 → 3x > 6 → x > 2. Domain = (2, +∞).
Langkah 2: Asimtot tegak
3x − 6 = 0 → x = 2. Asimtot: x = 2.
Langkah 3: Titik potong sumbu-x
f(x) = 0 → log2(3x − 6) + 1 = 0 → log2(3x − 6) = −1
3x − 6 = 2−1 = 1/2 → 3x = 6,5 → x = 13/6 ≈ 2,17
Titik potong: (13/6, 0).
Langkah 4: Tabel tambahan
| x | 3 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 3x−6 | 3 | 6 | 12 | 24 |
| f(x) | ≈2,58 | ≈3,58 | ≈4,58 | ≈5,58 |
Range: (−∞, +∞). Grafik naik, digeser 2 ke kanan dan 1 ke atas.
Contoh 12: Tentukan titik potong grafik f(x) = log2 x dan g(x) = log2(8 − x).
Lihat Pembahasan
Syarat: f(x) = g(x)
log2 x = log2(8 − x)
Karena basis sama dan fungsi logaritma satu-satu:
x = 8 − x → 2x = 8 → x = 4
Verifikasi domain:
• f(x): x > 0 ✓ (x = 4 > 0)
• g(x): 8 − x > 0 → x < 8 ✓ (x = 4 < 8)
f(4) = log2 4 = 2
Titik potong: (4, 2).
Contoh 13: Jika grafik f(x) = loga x melewati titik (8, 3), tentukan nilai a dan gambarkan sketsa grafiknya.
Lihat Pembahasan
f(8) = 3 → loga 8 = 3
Artinya: a3 = 8
a = ∛8 = 2
Verifikasi: a = 2 > 1 ✓
Jadi fungsinya: f(x) = log2 x.
Titik-titik grafik: (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3).
Contoh 14: Tentukan interval di mana f(x) = log3(x2 − 4) terdefinisi dan positif.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Domain (f terdefinisi)
x2 − 4 > 0 → (x − 2)(x + 2) > 0
x < −2 atau x > 2. Domain = (−∞, −2) ∪ (2, +∞).
Langkah 2: f(x) > 0
log3(x2 − 4) > 0
Karena basis 3 > 1: x2 − 4 > 30 = 1
x2 > 5 → x < −√5 atau x > √5
Gabungkan dengan domain:
f(x) > 0 untuk x ∈ (−∞, −√5) ∪ (√5, +∞)
(√5 ≈ 2,236)
Contoh 15: Fungsi f(x) = 2·log2(x + 3) − 4. Tentukan: (a) domain, (b) asimtot, (c) titik potong sumbu-x, (d) titik potong sumbu-y, dan (e) sketsa grafik.
Lihat Pembahasan
(a) Domain: x + 3 > 0 → x > −3. Domain = (−3, +∞).
(b) Asimtot tegak: x = −3.
(c) Titik potong sumbu-x: f(x) = 0
2·log2(x + 3) − 4 = 0
2·log2(x + 3) = 4
log2(x + 3) = 2
x + 3 = 4 → x = 1
Titik potong sumbu-x: (1, 0).
(d) Titik potong sumbu-y: x = 0
f(0) = 2·log2(0 + 3) − 4 = 2·log2 3 − 4
= 2 × 1,585 − 4 ≈ −0,83
Titik potong sumbu-y: (0, −0,83).
(e) Sketsa: Grafik naik, digeser 3 kiri, diregangkan vertikal ×2, dan turun 4 satuan. Lebih curam dari log2 x standar.
G. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan buku catatan untuk menggambar grafik.
MUDAH
- Tentukan nilai f(x) = log5 x untuk x = 1, 5, 25, 125.
- Sebutkan 3 sifat utama grafik f(x) = log4 x.
- Tentukan titik potong grafik f(x) = log7 x dengan sumbu-x.
- Buat tabel nilai dan sketsa grafik f(x) = log2 x untuk x = 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8.
- Tentukan asimtot tegak dan domain f(x) = log3 x.
SEDANG
- Tentukan domain dan asimtot f(x) = log2(x + 4), lalu sketsa grafiknya.
- Tentukan titik potong grafik f(x) = log3 x − 2 dengan sumbu-x.
- Grafik f(x) = loga x melewati titik (27, 3). Tentukan nilai a.
- Bandingkan dan sketsa grafik f(x) = log2 x dan g(x) = log2 x + 2 pada bidang yang sama.
- Tentukan persamaan fungsi logaritma basis 3 yang grafiknya melewati titik (9, 4).
SULIT
- Tentukan domain, asimtot, titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari f(x) = 3·log2(2x − 4) + 1.
- Tentukan titik potong grafik f(x) = log2(x + 1) dan g(x) = log2(7 − x).
- Tentukan interval di mana f(x) = log2(x2 − 9) terdefinisi dan bernilai negatif.
- Sketsa grafik f(x) = |log2 x|. Tentukan domain, range, dan jelaskan bentuk grafiknya.
- Fungsi f(x) = −log2(4 − x) + 2. Tentukan domain, range, asimtot, semua titik potong dengan sumbu koordinat, dan sketsa grafik.
H. Ringkasan
- Grafik f(x) = loga x dengan a > 1 selalu naik (monoton naik).
- Selalu melewati titik (1, 0) dan (a, 1).
- Domain: x > 0. Range: semua bilangan real.
- Asimtot tegak di x = 0.
- Semakin kecil basis (tetap > 1), grafik semakin curam.
- Transformasi geser, regangan, dan pencerminan berlaku seperti fungsi lainnya.