Grafik Fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x
Materi Matematika
A Materi Pembelajaran
1. Pengertian Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Fungsi Eksponensial adalah fungsi yang dinyatakan dalam bentuk:
f(x) = ax
dengan a > 0 dan a ≠ 1.
Fungsi Logaritma adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial, dinyatakan dalam bentuk:
g(x) = alog x
dengan a > 0, a ≠ 1, dan x > 0.
Hubungan: Jika y = ax maka x = alog y. Kedua fungsi ini saling invers dan grafiknya simetris terhadap garis y = x.
Kegiatan: Mengamati
Amatilah tabel nilai berikut untuk fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 2log x:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 2x | 18 | 14 | 12 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| x | 18 | 14 | 12 | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| g(x) = 2log x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Perhatikan: nilai x pada tabel pertama menjadi nilai g(x) pada tabel kedua, dan sebaliknya.
2. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Eksponensial f(x) = ax
Untuk a > 1 (misal a = 2):
- Grafik selalu naik (monoton naik)
- Melalui titik (0, 1) karena a0 = 1
- Asimtot mendatar: sumbu-x (y = 0)
- Domain: semua bilangan real
- Range: y > 0
- Semakin ke kiri, grafik mendekati sumbu-x tetapi tidak pernah menyentuhnya
Untuk 0 < a < 1 (misal a = ½):
- Grafik selalu turun (monoton turun)
- Melalui titik (0, 1)
- Asimtot mendatar: sumbu-x (y = 0)
- Domain: semua bilangan real
- Range: y > 0
- Semakin ke kanan, grafik mendekati sumbu-x
Grafik f(x) = 2x (biru) dan f(x) = (½)x (merah)
3. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Logaritma g(x) = alog x
Untuk a > 1 (misal a = 2):
- Grafik selalu naik (monoton naik)
- Melalui titik (1, 0) karena alog 1 = 0
- Asimtot tegak: sumbu-y (x = 0)
- Domain: x > 0
- Range: semua bilangan real
Untuk 0 < a < 1 (misal a = ½):
- Grafik selalu turun (monoton turun)
- Melalui titik (1, 0)
- Asimtot tegak: sumbu-y (x = 0)
- Domain: x > 0
- Range: semua bilangan real
Grafik g(x) = 2log x (hijau) dan g(x) = ½log x (oranye)
4. Hubungan Grafik Eksponensial dan Logaritma
Karena fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponensial, maka:
- Grafik f(x) = ax dan g(x) = alog x simetris terhadap garis y = x
- Titik (p, q) pada grafik f(x) = ax berkorespondensi dengan titik (q, p) pada grafik g(x) = alog x
- Asimtot mendatar y = 0 pada fungsi eksponensial berkorespondensi dengan asimtot tegak x = 0 pada fungsi logaritma
Grafik f(x) = 2x dan g(x) = 2log x simetris terhadap y = x
5. Transformasi Grafik
Grafik fungsi eksponensial dan logaritma dapat ditransformasi:
| Transformasi | Eksponensial | Logaritma | Efek |
|---|---|---|---|
| Geser ke atas c satuan | f(x) = ax + c | g(x) = alog x + c | Grafik naik c satuan |
| Geser ke bawah c satuan | f(x) = ax − c | g(x) = alog x − c | Grafik turun c satuan |
| Geser ke kanan c satuan | f(x) = a(x−c) | g(x) = alog(x−c) | Grafik geser kanan |
| Geser ke kiri c satuan | f(x) = a(x+c) | g(x) = alog(x+c) | Grafik geser kiri |
| Refleksi sumbu-x | f(x) = −ax | g(x) = −alog x | Grafik dicerminkan |
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati grafik di atas, jawablah pertanyaan berikut:
- Mengapa grafik f(x) = ax selalu melalui titik (0, 1)?
- Mengapa grafik g(x) = alog x selalu melalui titik (1, 0)?
- Apa yang terjadi pada grafik f(x) = ax jika nilai a diperbesar?
- Mengapa domain fungsi logaritma hanya x > 0?
- Bagaimana hubungan antara kemonotonan fungsi eksponensial dan logaritma dengan nilai a?
Kegiatan: Menalar
Berdasarkan sifat-sifat yang telah dipelajari, buatlah penalaran:
- Jika f(x) = 3x, tentukan apakah f(−2) < f(0) < f(2). Jelaskan mengapa demikian berdasarkan sifat grafik.
- Jika g(x) = 2log x, jelaskan mengapa g(4) > g(2) > g(1) > g(½).
- Buktikan bahwa titik potong grafik f(x) = ax dengan sumbu-y selalu di titik (0, 1) untuk sembarang a > 0, a ≠ 1.
Kegiatan: Mencoba
Kerjakan kegiatan berikut:
- Buatlah tabel nilai untuk f(x) = 3x dengan x = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} lalu gambar grafiknya.
- Buatlah tabel nilai untuk g(x) = 3log x dengan x = {⅑, ⅓, 1, 3, 9, 27} lalu gambar grafiknya.
- Pada kertas grafik yang sama, gambarkan kedua grafik di atas beserta garis y = x. Verifikasi bahwa kedua grafik simetris terhadap garis y = x.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan di depan kelas:
- Jelaskan perbedaan grafik f(x) = 2x dan f(x) = (½)x beserta alasannya.
- Jelaskan mengapa fungsi eksponensial dan logaritma disebut fungsi invers satu sama lain, dengan bukti menggunakan grafik.
- Diskusikan dengan kelompokmu: dalam kehidupan sehari-hari, di mana kita menjumpai pola eksponensial dan logaritma?
B Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH
Contoh 1
Tentukan titik potong grafik f(x) = 2x dengan sumbu-y.
Pembahasan
Titik potong dengan sumbu-y diperoleh saat x = 0:
f(0) = 20 = 1
Jadi titik potongnya adalah (0, 1).
Contoh 2
Tentukan titik potong grafik g(x) = 2log x dengan sumbu-x.
Pembahasan
Titik potong dengan sumbu-x diperoleh saat g(x) = 0:
2log x = 0
x = 20 = 1
Jadi titik potongnya adalah (1, 0).
Contoh 3
Grafik f(x) = 3x melalui titik (2, k). Tentukan nilai k.
Pembahasan
Substitusi x = 2:
f(2) = 32 = 9
Jadi k = 9.
Contoh 4
Tentukan apakah grafik f(x) = 2x monoton naik atau monoton turun.
Pembahasan
Karena basis a = 2 > 1, maka:
Jika x1 < x2 maka 2x₁ < 2x₂
Jadi grafik f(x) = 2x monoton naik.
Contoh 5
Tentukan domain dan range fungsi g(x) = 5log x.
Pembahasan
Fungsi logaritma alog x terdefinisi untuk x > 0.
Domain: {x ∈ ℝ | x > 0} atau (0, ∞)
Range: semua bilangan real, ℝ atau (−∞, ∞)
Domain = (0, ∞) dan Range = (−∞, ∞).
SEDANG
Contoh 6
Gambarkan sketsa grafik f(x) = 2x − 3 dan tentukan asimtot serta titik potong dengan sumbu koordinat.
Pembahasan
f(x) = 2x − 3 adalah translasi grafik 2x ke bawah 3 satuan.
Asimtot: y = −3 (asimtot mendatar bergeser dari y=0 menjadi y=−3)
Titik potong sumbu-y (x=0): f(0) = 20 − 3 = 1 − 3 = −2. Titik: (0, −2)
Titik potong sumbu-x (f(x)=0):
2x − 3 = 0 → 2x = 3 → x = 2log 3 ≈ 1,585
Titik: (2log 3, 0) ≈ (1,585; 0)
Contoh 7
Tentukan persamaan asimtot dan titik potong grafik g(x) = 2log(x − 1) dengan sumbu-x.
Pembahasan
g(x) = 2log(x − 1) terdefinisi untuk x − 1 > 0, yaitu x > 1.
Asimtot tegak: x = 1 (grafik 2log x bergeser ke kanan 1 satuan)
Titik potong sumbu-x (g(x) = 0):
2log(x − 1) = 0 → x − 1 = 20 = 1 → x = 2
Titik potong: (2, 0). Asimtot: x = 1.
Contoh 8
Diketahui f(x) = 4x. Tentukan nilai x jika f(x) = 8.
Pembahasan
4x = 8
(22)x = 23
22x = 23
2x = 3
x = 32
Contoh 9
Tentukan titik potong grafik f(x) = 2x+1 dan g(x) = 4.
Pembahasan
Titik potong: f(x) = g(x)
2x+1 = 4
2x+1 = 22
x + 1 = 2 → x = 1
y = 4
Titik potong: (1, 4).
Contoh 10
Sketsa grafik g(x) = −2log x dan tentukan sifat-sifatnya.
Pembahasan
g(x) = −2log x adalah refleksi grafik 2log x terhadap sumbu-x.
Sifat:
- Domain: x > 0
- Range: semua bilangan real
- Melalui titik (1, 0) karena −2log 1 = 0
- Monoton turun (karena negatif dari fungsi naik)
- Asimtot tegak: x = 0
SULIT
Contoh 11
Tentukan titik potong grafik f(x) = 2x dan g(x) = 22−x.
Pembahasan
Titik potong: f(x) = g(x)
2x = 22−x
Karena basisnya sama: x = 2 − x
2x = 2 → x = 1
y = 21 = 2
Titik potong: (1, 2).
Contoh 12
Tentukan daerah asal (domain) fungsi h(x) = 3log(x2 − 4).
Pembahasan
Syarat fungsi logaritma: argumen > 0
x2 − 4 > 0
(x − 2)(x + 2) > 0
Uji tanda: Positif untuk x < −2 atau x > 2
Domain: {x ∈ ℝ | x < −2 atau x > 2} = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
Contoh 13
Diketahui f(x) = 2x + 2−x. Tunjukkan bahwa f(x) adalah fungsi genap dan tentukan nilai minimumnya.
Pembahasan
Bukti fungsi genap:
f(−x) = 2−x + 2−(−x) = 2−x + 2x = f(x) ✓
Nilai minimum:
Misalkan t = 2x > 0, maka f(x) = t + 1t
Gunakan AM-GM: t + 1t ≥ 2√(t · 1t) = 2
Kesamaan saat t = 1, yaitu 2x = 1 → x = 0
Nilai minimum f(x) = 2, dicapai saat x = 0.
Contoh 14
Tentukan invers dari fungsi f(x) = 32x−1 + 2 dan gambarkan sketsa kedua grafiknya.
Pembahasan
Langkah mencari invers:
y = 32x−1 + 2
y − 2 = 32x−1
3log(y − 2) = 2x − 1
2x = 3log(y − 2) + 1
x = 3log(y − 2) + 12
Tukar x dan y:
f−1(x) = 3log(x − 2) + 12, dengan domain x > 2
Sifat: Grafik f dan f−1 simetris terhadap y = x.
f mempunyai asimtot y = 2, maka f−1 mempunyai asimtot x = 2.
Contoh 15
Grafik fungsi f(x) = a · bx + c melalui titik-titik (0, 5), (1, 11), dan mempunyai asimtot y = 3. Tentukan a, b, dan c.
Pembahasan
Asimtot y = c = 3 (asimtot mendatar fungsi eksponensial yang digeser vertikal).
Substitusi titik (0, 5):
5 = a · b0 + 3 = a + 3
a = 2
Substitusi titik (1, 11):
11 = 2 · b1 + 3 = 2b + 3
2b = 8 → b = 4
Jadi f(x) = 2 · 4x + 3 dengan a = 2, b = 4, c = 3.
C Latihan Soal
MUDAH
- Tentukan titik potong grafik f(x) = 5x dengan sumbu-y.
- Tentukan domain dan range fungsi g(x) = 3log x.
- Tentukan apakah grafik f(x) = (⅓)x monoton naik atau monoton turun.
- Hitung nilai f(3) jika f(x) = 2x.
- Tentukan titik potong grafik g(x) = 10log x dengan sumbu-x.
SEDANG
- Tentukan asimtot dan titik potong grafik f(x) = 3x − 1 dengan kedua sumbu koordinat.
- Tentukan domain fungsi g(x) = 2log(2x − 6).
- Sketsa grafik f(x) = 2x−2 dan tentukan asimtot serta titik potong dengan sumbu-y.
- Tentukan titik potong grafik f(x) = 4x dan g(x) = 2x+2.
- Jika g(x) = 2log(x + 3) − 1, tentukan domain, asimtot tegak, dan titik potong dengan sumbu-x.
SULIT
- Tentukan invers dari f(x) = 23x+1 − 4 dan tentukan domain serta range inversnya.
- Grafik f(x) = a · 2x + b melalui titik (0, 7) dan (2, 19), serta mempunyai asimtot y = 3. Tentukan a dan b.
- Tentukan domain fungsi h(x) = 2log(6x − x2 − 5).
- Buktikan bahwa grafik f(x) = (1a)x adalah refleksi grafik g(x) = ax terhadap sumbu-y.
- Diketahui f(x) = 2log(x − 1) + 2log(x + 1). Sederhanakan f(x) dan tentukan domain serta sketsa grafiknya.