Domain dan Range Fungsi Logaritma
Materi Matematika
📘 Pendahuluan
Fungsi logaritma merupakan salah satu fungsi penting dalam matematika. Untuk dapat menggambar grafik dan menganalisis sifat-sifat fungsi logaritma, kita perlu memahami domain (daerah asal) dan range (daerah hasil) dari fungsi tersebut.
Pada pembahasan ini, kita akan fokus mempelajari cara menentukan domain dan range fungsi logaritma secara sistematis.
📖 Materi: Domain dan Range Fungsi Logaritma
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan fungsi logaritma berikut:
f(x) = alog(x)
Amati beberapa nilai berikut:
| x | 0,01 | 0,1 | 1 | 10 | 100 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 10log(x) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Pengamatan:
- Nilai x yang dimasukkan selalu positif (x > 0)
- Hasil logaritma bisa bernilai negatif, nol, maupun positif
- Tidak ada nilai x ≤ 0 yang bisa dimasukkan
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Mengapa nilai x harus positif?
- Bagaimana menentukan domain jika numerus logaritma berupa ekspresi aljabar?
- Apakah range fungsi logaritma selalu semua bilangan real?
- Bagaimana jika fungsi logaritma memiliki transformasi (pergeseran, peregangan)?
Kegiatan: Menalar
1. Definisi Domain Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma f(x) = alog(g(x)) terdefinisi jika dan hanya jika:
Syarat 1: Numerus > 0 → g(x) > 0
Syarat 2: Basis > 0 dan basis ≠ 1 → a > 0, a ≠ 1
Domain adalah himpunan semua nilai x yang memenuhi syarat numerus > 0 (dan syarat basis jika basis mengandung variabel).
2. Aturan Menentukan Domain
Bentuk Umum: f(x) = alog(g(x))
Domain: Df = {x ∈ ℝ | g(x) > 0}
Langkah-langkah menentukan domain:
- Identifikasi numerus (argumen) dari logaritma, yaitu g(x)
- Selesaikan pertidaksamaan g(x) > 0
- Jika basis juga mengandung x, tambahkan syarat basis > 0 dan basis ≠ 1
- Irisan dari semua syarat adalah domain fungsi
3. Definisi Range Fungsi Logaritma
Range (daerah hasil) adalah himpunan semua nilai y = f(x) yang mungkin dihasilkan untuk x dalam domain.
Fungsi logaritma dasar: f(x) = alog(x)
Range: Rf = ℝ = (−∞, +∞)
Fungsi logaritma dengan transformasi: f(x) = alog(g(x)) + c
Range bergantung pada range dari g(x) pada domain yang diberikan.
4. Aturan Menentukan Range
- Fungsi logaritma tanpa batasan tambahan: Range = ℝ (semua bilangan real)
- Fungsi logaritma dengan numerus berbentuk kuadrat atau ekspresi terbatas: Analisis range numerus terlebih dahulu, lalu tentukan range logaritma
- Fungsi dengan transformasi vertikal: Geser range dasar sesuai transformasi
5. Grafik Fungsi Logaritma dan Domain-Range
Grafik fungsi logaritma dasar — Domain: (0, +∞), Range: (−∞, +∞)
6. Ringkasan Rumus Penting
| Fungsi | Syarat Domain | Domain | Range |
|---|---|---|---|
| alog(x) | x > 0 | (0, +∞) | ℝ |
| alog(x − h) | x − h > 0 | (h, +∞) | ℝ |
| alog(x) + k | x > 0 | (0, +∞) | ℝ |
| alog(ax+b) | ax+b > 0 | (−b/a, +∞) jika a>0 | ℝ |
| alog(x2) | x2 > 0 | ℝ \ {0} | ℝ |
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan domain dari fungsi-fungsi berikut sebelum melihat pembahasan contoh soal:
- f(x) = 2log(x − 3)
- f(x) = log(5 − x)
- f(x) = 3log(x2 − 4)
💡 Petunjuk: Pastikan numerus (isi dari logaritma) bernilai positif!
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah memahami konsep domain dan range, tuliskan dengan kalimatmu sendiri:
- Apa syarat agar fungsi logaritma terdefinisi?
- Mengapa range fungsi logaritma dasar adalah semua bilangan real?
- Jelaskan langkah-langkah menentukan domain fungsi logaritma yang numerusnya berupa ekspresi kuadrat.
✏️ Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal — Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(x)
Lihat Pembahasan
Langkah:
Numerus = x
Syarat: x > 0
Domain: Df = {x ∈ ℝ | x > 0} = (0, +∞)
Range: Rf = ℝ = (−∞, +∞)
Soal 2:
Tentukan domain dari f(x) = log(x − 2)
Lihat Pembahasan
Numerus = x − 2
Syarat: x − 2 > 0 → x > 2
Domain: Df = {x ∈ ℝ | x > 2} = (2, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 3:
Tentukan domain dari f(x) = 5log(x + 4)
Lihat Pembahasan
Numerus = x + 4
Syarat: x + 4 > 0 → x > −4
Domain: Df = (−4, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 4:
Tentukan domain dari f(x) = log(3x)
Lihat Pembahasan
Numerus = 3x
Syarat: 3x > 0 → x > 0
Domain: Df = (0, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 5:
Tentukan domain dari f(x) = 3log(7 − x)
Lihat Pembahasan
Numerus = 7 − x
Syarat: 7 − x > 0 → −x > −7 → x < 7
Domain: Df = (−∞, 7)
Range: Rf = ℝ
🟡 Contoh Soal — Tingkat Sedang
Soal 1:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(2x − 6)
Lihat Pembahasan
Numerus = 2x − 6
Syarat: 2x − 6 > 0 → 2x > 6 → x > 3
Domain: Df = (3, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 2:
Tentukan domain dari f(x) = log(x2 − 9)
Lihat Pembahasan
Numerus = x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)
Syarat: (x − 3)(x + 3) > 0
Menggunakan garis bilangan:
Titik kritis: x = −3, x = 3
Uji interval: positif di (−∞, −3) ∪ (3, +∞)
Domain: Df = (−∞, −3) ∪ (3, +∞)
Range: Rf = ℝ (karena ketika x → 3+ atau x → −3−, numerus → 0+, sehingga log → −∞; dan numerus bisa tumbuh tanpa batas)
Soal 3:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(x2 − 4x + 3)
Lihat Pembahasan
Numerus = x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
Syarat: (x − 1)(x − 3) > 0
Titik kritis: x = 1, x = 3
Positif di: (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
Domain: Df = (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 4:
Tentukan domain dan range dari f(x) = log(x + 1) − 2
Lihat Pembahasan
Numerus = x + 1
Syarat: x + 1 > 0 → x > −1
Domain: Df = (−1, +∞)
Range: Karena log(x + 1) memiliki range ℝ, maka log(x + 1) − 2 juga memiliki range ℝ.
Rf = ℝ = (−∞, +∞)
Soal 5:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(x) + 2log(6 − x)
Lihat Pembahasan
Numerus pertama: x > 0
Numerus kedua: 6 − x > 0 → x < 6
Irisan: 0 < x < 6
Domain: Df = (0, 6)
Range: Menggunakan sifat log, f(x) = 2log(x(6 − x)) = 2log(6x − x2)
Misalkan u = 6x − x2 = −(x − 3)2 + 9
Nilai maksimum u = 9 (saat x = 3), dan u → 0+ saat x → 0+ atau x → 6−
Jadi 0 < u ≤ 9, sehingga 2log(u) ∈ (−∞, 2log 9] = (−∞, log29]
Range: Rf = (−∞, log29] ≈ (−∞, 3,17]
🔴 Contoh Soal — Tingkat Sulit
Soal 1:
Tentukan domain dari f(x) = (x−1)log(x2 − 5x + 6)
Lihat Pembahasan
Syarat-syarat:
1. Numerus > 0: x2 − 5x + 6 > 0 → (x − 2)(x − 3) > 0 → x < 2 atau x > 3
2. Basis > 0: x − 1 > 0 → x > 1
3. Basis ≠ 1: x − 1 ≠ 1 → x ≠ 2
Irisan: (x < 2 atau x > 3) ∩ (x > 1) ∩ (x ≠ 2)
= (1, 2) ∪ (3, +∞)
Domain: Df = (1, 2) ∪ (3, +∞)
Soal 2:
Tentukan domain dan range dari f(x) = 2log(4 − x2)
Lihat Pembahasan
Domain:
Numerus = 4 − x2 = (2 − x)(2 + x)
Syarat: 4 − x2 > 0 → x2 < 4 → −2 < x < 2
Domain: Df = (−2, 2)
Range:
Misalkan u = 4 − x2
Untuk x ∈ (−2, 2): u ∈ (0, 4]
Nilai maksimum u = 4 saat x = 0
Nilai u → 0+ saat x → ±2
2log(u) untuk u ∈ (0, 4]: 2log → −∞ saat u → 0+ dan 2log(4) = 2
Range: Rf = (−∞, 2]
Soal 3:
Tentukan domain dari f(x) = √(3log(x − 1))
Lihat Pembahasan
Syarat-syarat:
1. Numerus logaritma > 0: x − 1 > 0 → x > 1
2. Ekspresi di dalam akar ≥ 0: 3log(x − 1) ≥ 0
→ x − 1 ≥ 30 = 1 → x ≥ 2 (karena basis 3 > 1)
Irisan syarat 1 dan 2: x > 1 ∩ x ≥ 2 = x ≥ 2
Domain: Df = [2, +∞)
Range: Untuk x ≥ 2: 3log(x−1) ≥ 0 dan bisa menuju +∞
√(3log(x−1)) ∈ [0, +∞)
Range: Rf = [0, +∞)
Soal 4:
Tentukan domain dari f(x) = 2log(log(x))
Lihat Pembahasan
Syarat-syarat (dari dalam ke luar):
1. Logaritma dalam: x > 0
2. Numerus logaritma luar > 0: log(x) > 0
→ x > 100 = 1 (karena log = log basis 10)
Irisan: x > 0 ∩ x > 1 = x > 1
Domain: Df = (1, +∞)
Range: Rf = ℝ
Soal 5:
Tentukan domain dan range dari f(x) = ½log(|x| − 1)
Lihat Pembahasan
Syarat basis: ½ > 0 dan ½ ≠ 1 ✓
Syarat numerus: |x| − 1 > 0 → |x| > 1 → x > 1 atau x < −1
Domain: Df = (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
Range:
Untuk x dalam domain: |x| − 1 ∈ (0, +∞)
½log(u) untuk u ∈ (0, +∞) memiliki range ℝ
(Catatan: basis ½ < 1, jadi fungsi monoton turun, tetapi range tetap ℝ)
Range: Rf = ℝ
📝 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tentukan domain dan range (jika diminta) dari masing-masing fungsi.
🟢 Latihan — Tingkat Mudah
- Tentukan domain dari f(x) = 3log(x)
- Tentukan domain dari f(x) = log(x − 5)
- Tentukan domain dari f(x) = 4log(x + 7)
- Tentukan domain dari f(x) = log(10 − x)
- Tentukan domain dari f(x) = 2log(2x)
🟡 Latihan — Tingkat Sedang
- Tentukan domain dari f(x) = log(x2 − 16)
- Tentukan domain dari f(x) = 2log(x2 − 6x + 8)
- Tentukan domain dan range dari f(x) = 3log(9 − x2)
- Tentukan domain dari f(x) = log(x) + log(4 − x)
- Tentukan domain dari f(x) = 2log(3x − x2)
🔴 Latihan — Tingkat Sulit
- Tentukan domain dari f(x) = (x+2)log(x2 − 1)
- Tentukan domain dan range dari f(x) = 2log(8 − 2x − x2)
- Tentukan domain dari f(x) = √(2log(x − 2))
- Tentukan domain dari f(x) = 3log(2log(x))
- Tentukan domain dan range dari f(x) = ⅓log(|x − 2| − 3)