Sifat-Sifat Fungsi Logaritma
Materi Matematika
Pendahuluan
Fungsi logaritma memiliki sejumlah sifat yang sangat penting untuk menyederhanakan perhitungan dan menyelesaikan persamaan. Sifat-sifat ini diturunkan dari definisi logaritma dan hubungannya dengan perpangkatan.
Ingat definisi dasar:
Jika $a^x = b$, maka $^a\!\log b = x$
dengan syarat: $a > 0$, $a \neq 1$, dan $b > 0$
Sifat 1: Logaritma dari Perkalian
$^a\!\log(b \times c) = {^a\!\log b} + {^a\!\log c}$
dengan $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $c > 0$
Misalkan $^a\!\log b = m$ dan $^a\!\log c = n$.
Maka $a^m = b$ dan $a^n = c$.
Sehingga $b \times c = a^m \times a^n = a^{m+n}$.
Jadi $^a\!\log(b \times c) = m + n = {^a\!\log b} + {^a\!\log c}$ ∎
$^2\!\log(4 \times 8) = {^2\!\log 32} = 5$
$^2\!\log 4 + {^2\!\log 8} = 2 + 3 = 5$ ✓
Sifat 2: Logaritma dari Pembagian
$^a\!\log\dfrac{b}{c} = {^a\!\log b} – {^a\!\log c}$
dengan $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $c > 0$
Misalkan $^a\!\log b = m$ dan $^a\!\log c = n$.
Maka $a^m = b$ dan $a^n = c$.
Sehingga $\dfrac{b}{c} = \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Jadi $^a\!\log\dfrac{b}{c} = m – n = {^a\!\log b} – {^a\!\log c}$ ∎
$^3\!\log\dfrac{81}{9} = {^3\!\log 9} = 2$
$^3\!\log 81 – {^3\!\log 9} = 4 – 2 = 2$ ✓
Sifat 3: Logaritma dari Perpangkatan
$^a\!\log b^n = n \cdot {^a\!\log b}$
dengan $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $n$ bilangan real
Misalkan $^a\!\log b = m$, maka $a^m = b$.
$b^n = (a^m)^n = a^{mn}$
Jadi $^a\!\log b^n = mn = n \cdot {^a\!\log b}$ ∎
$^a\!\log \sqrt{b} = {^a\!\log b^{1/2}} = \dfrac{1}{2}\cdot{^a\!\log b}$
$^2\!\log 8^2 = {^2\!\log 64} = 6$
$2 \cdot {^2\!\log 8} = 2 \times 3 = 6$ ✓
Sifat 4: Perubahan Basis Logaritma
$^a\!\log b = \dfrac{^c\!\log b}{^c\!\log a}$
dengan $a, b, c > 0$; $a \neq 1$; $c \neq 1$
Sifat ini sering ditulis juga sebagai:
$^a\!\log b = \dfrac{1}{^b\!\log a}$
Misalkan $^a\!\log b = x$, maka $a^x = b$.
Ambil $^c\!\log$ kedua ruas: $^c\!\log a^x = {^c\!\log b}$
$x \cdot {^c\!\log a} = {^c\!\log b}$
$x = \dfrac{^c\!\log b}{^c\!\log a}$ ∎
$^4\!\log 8 = \dfrac{^2\!\log 8}{^2\!\log 4} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$
Verifikasi: $4^{1{,}5} = 4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ ✓
Sifat 5: Basis Berpangkat
$^{a^m}\!\log b^n = \dfrac{n}{m} \cdot {^a\!\log b}$
$^{4}\!\log 8 = {^{2^2}\!\log 2^3} = \dfrac{3}{2}$
Verifikasi: $4^{3/2} = 8$ ✓
Sifat 6: Sifat-Sifat Khusus
a) $^a\!\log a = 1$ (karena $a^1 = a$)
b) $^a\!\log 1 = 0$ (karena $a^0 = 1$)
c) $a^{^a\!\log b} = b$
d) $^a\!\log b \times {^b\!\log c} = {^a\!\log c}$ (sifat rantai)
$^a\!\log b \times {^b\!\log c} = \dfrac{^a\!\log b}{1} \times \dfrac{^a\!\log c}{^a\!\log b} = {^a\!\log c}$ ∎
📝 Ringkasan Sifat-Sifat Logaritma
| No | Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Perkalian | $^a\!\log(bc) = {^a\!\log b} + {^a\!\log c}$ |
| 2 | Pembagian | $^a\!\log\frac{b}{c} = {^a\!\log b} – {^a\!\log c}$ |
| 3 | Perpangkatan | $^a\!\log b^n = n\cdot{^a\!\log b}$ |
| 4 | Perubahan Basis | $^a\!\log b = \frac{^c\!\log b}{^c\!\log a}$ |
| 5 | Basis Berpangkat | $^{a^m}\!\log b^n = \frac{n}{m}\cdot{^a\!\log b}$ |
| 6 | Rantai | $^a\!\log b \times {^b\!\log c} = {^a\!\log c}$ |
📖 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Mudah Soal 1: Sederhanakan $^2\!\log 4 + {^2\!\log 8}$
Gunakan sifat 1 (perkalian):
$^2\!\log 4 + {^2\!\log 8} = {^2\!\log(4 \times 8)} = {^2\!\log 32} = {^2\!\log 2^5} = 5$
Mudah Soal 2: Hitung $^3\!\log 81 – {^3\!\log 9}$
Gunakan sifat 2 (pembagian):
$^3\!\log 81 – {^3\!\log 9} = {^3\!\log\dfrac{81}{9}} = {^3\!\log 9} = {^3\!\log 3^2} = 2$
Mudah Soal 3: Tentukan nilai $^5\!\log 125$
$^5\!\log 125 = {^5\!\log 5^3} = 3 \cdot {^5\!\log 5} = 3 \times 1 = 3$
Mudah Soal 4: Hitung $^2\!\log \sqrt{16}$
$^2\!\log \sqrt{16} = {^2\!\log 16^{1/2}} = \dfrac{1}{2} \cdot {^2\!\log 16} = \dfrac{1}{2} \times 4 = 2$
Mudah Soal 5: Tentukan nilai $^4\!\log 1 + {^7\!\log 7}$
$^4\!\log 1 = 0$ (sifat khusus b)
$^7\!\log 7 = 1$ (sifat khusus a)
Jadi: $0 + 1 = 1$
🟡 Tingkat Sedang
Sedang Soal 1: Jika $^2\!\log 3 = a$, nyatakan $^2\!\log 12$ dalam $a$.
$^2\!\log 12 = {^2\!\log(4 \times 3)} = {^2\!\log 4} + {^2\!\log 3} = 2 + a$
Sedang Soal 2: Sederhanakan $^3\!\log 5 \times {^5\!\log 27}$
Gunakan sifat rantai:
$^3\!\log 5 \times {^5\!\log 27} = {^3\!\log 27} = {^3\!\log 3^3} = 3$
Sedang Soal 3: Hitung $^{9}\!\log 27$
Gunakan sifat basis berpangkat:
$^{9}\!\log 27 = {^{3^2}\!\log 3^3} = \dfrac{3}{2}$
Sedang Soal 4: Jika $\log 2 = 0{,}301$ dan $\log 3 = 0{,}477$, hitung $\log 72$.
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$\log 72 = \log 2^3 + \log 3^2 = 3\log 2 + 2\log 3$
$= 3(0{,}301) + 2(0{,}477) = 0{,}903 + 0{,}954 = 1{,}857$
Sedang Soal 5: Sederhanakan $^2\!\log 3 + {^2\!\log 12} – {^2\!\log 9}$
$= {^2\!\log\dfrac{3 \times 12}{9}} = {^2\!\log\dfrac{36}{9}} = {^2\!\log 4} = 2$
🔴 Tingkat Sulit
Sulit Soal 1: Jika $^2\!\log 3 = p$ dan $^2\!\log 5 = q$, nyatakan $^6\!\log 15$ dalam $p$ dan $q$.
Gunakan perubahan basis ke basis 2:
$^6\!\log 15 = \dfrac{^2\!\log 15}{^2\!\log 6}$
$^2\!\log 15 = {^2\!\log(3 \times 5)} = {^2\!\log 3} + {^2\!\log 5} = p + q$
$^2\!\log 6 = {^2\!\log(2 \times 3)} = {^2\!\log 2} + {^2\!\log 3} = 1 + p$
Jadi: $^6\!\log 15 = \dfrac{p + q}{1 + p}$
Sulit Soal 2: Hitung $\dfrac{1}{^2\!\log 36} + \dfrac{1}{^3\!\log 36}$
Gunakan sifat: $\dfrac{1}{^a\!\log b} = {^b\!\log a}$
$= {^{36}\!\log 2} + {^{36}\!\log 3} = {^{36}\!\log(2 \times 3)} = {^{36}\!\log 6}$
$= {^{6^2}\!\log 6} = \dfrac{1}{2}$
Sulit Soal 3: Jika $^5\!\log 2 = a$ dan $^5\!\log 3 = b$, tentukan $^{30}\!\log 50$ dalam $a$ dan $b$.
$^{30}\!\log 50 = \dfrac{^5\!\log 50}{^5\!\log 30}$
$^5\!\log 50 = {^5\!\log(2 \times 25)} = {^5\!\log 2} + {^5\!\log 5^2} = a + 2$
$^5\!\log 30 = {^5\!\log(2 \times 3 \times 5)} = a + b + 1$
Jadi: $^{30}\!\log 50 = \dfrac{a + 2}{a + b + 1}$
Sulit Soal 4: Sederhanakan $^2\!\log 3 \times {^3\!\log 4} \times {^4\!\log 5} \times {^5\!\log 8}$
Gunakan sifat rantai berulang:
$^2\!\log 3 \times {^3\!\log 4} \times {^4\!\log 5} \times {^5\!\log 8} = {^2\!\log 8} = {^2\!\log 2^3} = 3$
Sulit Soal 5: Jika $^a\!\log b = 2$ dan $^b\!\log c = 3$, tentukan $^{a^2}\!\log\dfrac{c^3}{b}$.
Dari $^a\!\log b = 2$ → $^a\!\log c = {^a\!\log b} \times {^b\!\log c} = 2 \times 3 = 6$
$^{a^2}\!\log\dfrac{c^3}{b} = {^{a^2}\!\log c^3} – {^{a^2}\!\log b}$
$= \dfrac{3}{2}\cdot{^a\!\log c} – \dfrac{1}{2}\cdot{^a\!\log b}$
$= \dfrac{3}{2}(6) – \dfrac{1}{2}(2) = 9 – 1 = 8$
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan di atas!
🟢 Tingkat Mudah
🟡 Tingkat Sedang
🔴 Tingkat Sulit
📈 Grafik Fungsi Logaritma
Berikut perbandingan grafik $y = {^2\!\log x}$ dan $y = {^{1/2}\!\log x}$ untuk memahami perilaku fungsi logaritma:
- Kedua grafik melewati titik $(1, 0)$ karena $^a\!\log 1 = 0$
- Untuk $a > 1$: grafik naik (monoton naik)
- Untuk $0 < a < 1$: grafik turun (monoton turun)
- Domain: $x > 0$; Range: semua bilangan real
- Grafik tidak pernah memotong sumbu-$y$ (asimtot vertikal di $x = 0$)