Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Titik Ekstrim Fungsi Kuadrat
Memahami titik puncak (titik balik) pada grafik fungsi kuadrat
1. Pengertian Titik Ekstrim
Titik ekstrim (titik puncak/titik balik) adalah titik tertinggi atau terendah pada grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c.
Rumus Titik Ekstrim:
Jika f(x) = ax2 + bx + c, maka titik ekstrim adalah:
T = (xp, yp) = (−b2a , −D4a)
dengan D = b2 − 4ac (diskriminan)
Cara lain menghitung yp:
yp = f(xp) = f(−b2a)
Substitusikan nilai xp ke fungsi untuk mendapatkan yp.
Jenis Titik Ekstrim
| Kondisi | Jenis Titik Ekstrim | Parabola |
|---|---|---|
| a > 0 | Titik Balik Minimum | Terbuka ke atas |
| a < 0 | Titik Balik Maksimum | Terbuka ke bawah |
Mengamati
Perhatikan grafik fungsi kuadrat di atas. Amati bahwa setiap parabola memiliki satu titik tertinggi atau terendah yang disebut titik ekstrim. Titik ini merupakan titik balik arah kurva.
Menanya
- Bagaimana cara menentukan koordinat titik ekstrim?
- Apa hubungan antara nilai a dengan jenis titik ekstrim?
- Mengapa titik ekstrim disebut juga titik puncak?
Menalar
Dari rumus titik ekstrim, kita dapat menalar bahwa:
- Absis titik ekstrim (xp) selalu berada di sumbu simetri parabola.
- Ordinat titik ekstrim (yp) bergantung pada diskriminan dan nilai a.
- Jika a > 0, maka yp adalah nilai minimum fungsi.
- Jika a < 0, maka yp adalah nilai maksimum fungsi.
Mencoba
Tentukan titik ekstrim dari fungsi f(x) = 2x2 − 8x + 6.
Langkah:
- Identifikasi: a = 2, b = −8, c = 6
- xp = −(−8)2(2) = 84 = 2
- yp = f(2) = 2(4) − 8(2) + 6 = 8 − 16 + 6 = −2
- Titik ekstrim = (2, −2) → Titik Balik Minimum (karena a = 2 > 0)
Mengkomunikasikan
Titik ekstrim fungsi f(x) = 2x2 − 8x + 6 adalah (2, −2). Karena a = 2 > 0, parabola terbuka ke atas sehingga titik (2, −2) merupakan titik balik minimum. Artinya nilai terkecil fungsi adalah −2 yang dicapai saat x = 2.
2. Hubungan Titik Ekstrim dengan Sumbu Simetri
Sumbu simetri parabola adalah garis vertikal yang melewati titik ekstrim. Persamaannya:
x = −b2a
Sumbu simetri membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris (sama persis).
Dengan demikian, absis titik ekstrim sama dengan persamaan sumbu simetri.
3. Langkah-Langkah Menentukan Titik Ekstrim
- Identifikasi nilai a, b, dan c dari fungsi kuadrat.
- Hitung absis titik ekstrim: xp = −b2a
- Hitung ordinat titik ekstrim dengan salah satu cara:
- Substitusi xp ke fungsi: yp = f(xp)
- Gunakan rumus: yp = −D4a dengan D = b2 − 4ac
- Tentukan jenis titik ekstrim berdasarkan tanda a.
- Tuliskan koordinat titik ekstrim: T(xp, yp)
4. Contoh Soal dan Pembahasan
A. Contoh Soal Mudah
Soal 1:
Tentukan titik ekstrim dari f(x) = x2 − 4x + 3.
Pembahasan
a = 1, b = −4, c = 3
xp = −(−4)2(1) = 42 = 2
yp = f(2) = (2)2 − 4(2) + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
Titik ekstrim = (2, −1) → Titik Balik Minimum
Soal 2:
Tentukan titik ekstrim dari f(x) = x2 + 6x + 5.
Pembahasan
a = 1, b = 6, c = 5
xp = −62(1) = −3
yp = f(−3) = 9 − 18 + 5 = −4
Titik ekstrim = (−3, −4) → Titik Balik Minimum
Soal 3:
Tentukan titik ekstrim dari f(x) = −x2 + 2x + 3.
Pembahasan
a = −1, b = 2, c = 3
xp = −22(−1) = −2−2 = 1
yp = f(1) = −1 + 2 + 3 = 4
Titik ekstrim = (1, 4) → Titik Balik Maksimum
Soal 4:
Tentukan titik ekstrim dari f(x) = 2x2 − 4x.
Pembahasan
a = 2, b = −4, c = 0
xp = 44 = 1
yp = f(1) = 2(1) − 4(1) = 2 − 4 = −2
Titik ekstrim = (1, −2) → Titik Balik Minimum
Soal 5:
Tentukan titik ekstrim dari f(x) = −x2 + 4.
Pembahasan
a = −1, b = 0, c = 4
xp = 0−2 = 0
yp = f(0) = 0 + 4 = 4
Titik ekstrim = (0, 4) → Titik Balik Maksimum
B. Contoh Soal Sedang
Soal 1:
Tentukan titik ekstrim dari f(x) = 3x2 − 12x + 7.
Pembahasan
a = 3, b = −12, c = 7
xp = 126 = 2
yp = f(2) = 3(4) − 12(2) + 7 = 12 − 24 + 7 = −5
Titik ekstrim = (2, −5) → Titik Balik Minimum
Soal 2:
Tentukan titik ekstrim dari f(x) = −2x2 + 8x − 3.
Pembahasan
a = −2, b = 8, c = −3
xp = −82(−2) = −8−4 = 2
yp = f(2) = −2(4) + 8(2) − 3 = −8 + 16 − 3 = 5
Titik ekstrim = (2, 5) → Titik Balik Maksimum
Soal 3:
Fungsi f(x) = x2 − 6x + k memiliki titik ekstrim pada yp = −4. Tentukan nilai k.
Pembahasan
a = 1, b = −6
xp = 62 = 3
yp = f(3) = 9 − 18 + k = k − 9
k − 9 = −4 → k = 5
Nilai k = 5
Soal 4:
Tentukan nilai maksimum dari f(x) = −x2 + 4x + 12.
Pembahasan
a = −1, b = 4, c = 12
xp = −4−2 = 2
yp = f(2) = −4 + 8 + 12 = 16
Nilai maksimum fungsi = 16, dicapai saat x = 2
Soal 5:
Tentukan titik ekstrim dari f(x) = 2x2 + 5x − 3 menggunakan rumus diskriminan.
Pembahasan
a = 2, b = 5, c = −3
xp = −54
D = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49
yp = −494(2) = −498
Titik ekstrim = (−5/4, −49/8) → Titik Balik Minimum
C. Contoh Soal Sulit
Soal 1:
Fungsi f(x) = ax2 + bx + c memiliki titik ekstrim di (3, −2) dan melalui titik (0, 7). Tentukan fungsi tersebut.
Pembahasan
Titik puncak (3, −2) → bentuk vertex: f(x) = a(x − 3)2 − 2
Melalui (0, 7): 7 = a(0 − 3)2 − 2 = 9a − 2
9a = 9 → a = 1
f(x) = (x − 3)2 − 2 = x2 − 6x + 9 − 2 = x2 − 6x + 7
f(x) = x² − 6x + 7
Soal 2:
Sebuah peluru ditembakkan vertikal. Ketinggiannya (dalam meter) setelah t detik adalah h(t) = −5t2 + 40t + 2. Tentukan ketinggian maksimum peluru.
Pembahasan
a = −5, b = 40, c = 2
tp = −402(−5) = −40−10 = 4 detik
h(4) = −5(16) + 40(4) + 2 = −80 + 160 + 2 = 82
Ketinggian maksimum = 82 meter, dicapai pada t = 4 detik
Soal 3:
Tentukan nilai m agar fungsi f(x) = (m−1)x2 + 4x − 3 memiliki nilai maksimum.
Pembahasan
Agar fungsi kuadrat memiliki nilai maksimum, maka a < 0.
Di sini a = m − 1
Syarat 1: Fungsi kuadrat → m − 1 ≠ 0 → m ≠ 1
Syarat 2: Nilai maksimum → m − 1 < 0 → m < 1
Nilai m < 1 (dan m ≠ 1)
Soal 4:
Dua bilangan jumlahnya 20. Tentukan hasil kali maksimum kedua bilangan tersebut.
Pembahasan
Misal dua bilangan: x dan 20 − x
Hasil kali: P = x(20 − x) = 20x − x2 = −x2 + 20x
a = −1, b = 20
xp = −20−2 = 10
Pmaks = −(100) + 20(10) = −100 + 200 = 100
Hasil kali maksimum = 100 (kedua bilangan = 10 dan 10)
Soal 5:
Grafik f(x) = 2x2 + px + q memiliki titik balik minimum di (−1, −8). Tentukan nilai p + q.
Pembahasan
Dari xp = −1:
−p2(2) = −1 → −p = −4 → p = 4
Dari yp = −8:
f(−1) = 2(1) + 4(−1) + q = 2 − 4 + q = q − 2
q − 2 = −8 → q = −6
p + q = 4 + (−6) = −2
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan untuk mengasah kemampuanmu!
A. Soal Mudah
- Tentukan titik ekstrim dari f(x) = x2 − 2x + 1.
- Tentukan titik ekstrim dari f(x) = x2 + 4x + 7.
- Tentukan titik ekstrim dari f(x) = −x2 + 6x − 5.
- Tentukan titik ekstrim dari f(x) = 3x2 − 6x.
- Tentukan titik ekstrim dari f(x) = −2x2 + 8.
B. Soal Sedang
- Tentukan nilai minimum dari f(x) = 2x2 − 12x + 10.
- Tentukan nilai maksimum dari f(x) = −3x2 + 18x − 24.
- Fungsi f(x) = x2 + 4x + k memiliki titik balik minimum di y = −1. Tentukan nilai k.
- Tentukan persamaan sumbu simetri dan titik ekstrim dari f(x) = 4x2 + 8x − 5.
- Grafik f(x) = −x2 + bx + 1 memiliki sumbu simetri x = 3. Tentukan titik ekstrimnya.
C. Soal Sulit
- Fungsi f(x) = ax2 + bx + c memiliki titik puncak (2, 5) dan melalui titik (4, 1). Tentukan fungsi tersebut.
- Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan keliling 60 m. Tentukan luas maksimum tanah tersebut.
- Tentukan nilai p agar fungsi f(x) = (2p+1)x2 − 6x + 4 memiliki nilai minimum dan tentukan titik minimumnya.
- Selisih dua bilangan adalah 8. Tentukan nilai minimum dari jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut.
- Grafik f(x) = −x2 + (m+2)x − 2m memiliki titik balik maksimum yang terletak pada garis y = x + 1. Tentukan semua nilai m yang memenuhi.