Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Strategi Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Puncak Fungsi Kuadrat
Materi
Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum:
dengan a ≠ 0, dan a, b, c adalah bilangan real
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Setiap parabola memiliki dua unsur penting:
- Sumbu Simetri — garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian simetris.
- Titik Puncak (Vertex) — titik tertinggi (jika a < 0) atau titik terendah (jika a > 0) pada parabola.
Kegiatan: Mengamati
Amatilah grafik fungsi kuadrat f(x) = x² − 4x + 3 berikut:
Perhatikan: Garis merah putus-putus (x = 2) adalah sumbu simetri. Titik merah (2, −1) adalah titik puncak.
A. Sumbu Simetri
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melewati titik puncak parabola. Rumusnya:
x = −b / (2a)
Sumbu simetri berupa persamaan garis x = −b/(2a)
Strategi menentukan sumbu simetri:
- Identifikasi nilai a dan b dari fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c.
- Substitusikan ke rumus x = −b/(2a).
- Sederhanakan hasilnya.
- Tuliskan dalam bentuk persamaan garis vertikal x = …
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati grafik dan rumus di atas, jawablah pertanyaan berikut:
- Mengapa sumbu simetri selalu berupa garis vertikal?
- Apa hubungan antara sumbu simetri dengan titik puncak?
- Bagaimana jika koefisien b = 0? Di mana letak sumbu simetrinya?
- Apakah sumbu simetri berubah jika nilai c berubah?
B. Titik Puncak (Vertex)
Titik puncak adalah titik tertinggi atau terendah pada parabola. Koordinatnya adalah:
Titik Puncak = (−b/(2a), −D/(4a))
dengan D = b² − 4ac (diskriminan)
Atau bisa juga ditulis:
xp = −b/(2a)
yp = −(b² − 4ac)/(4a) atau yp = f(xp)
Strategi menentukan titik puncak:
- Cara 1 (Menggunakan rumus):
- Hitung xp = −b/(2a)
- Hitung D = b² − 4ac
- Hitung yp = −D/(4a)
- Tuliskan titik puncak (xp, yp)
- Cara 2 (Substitusi langsung):
- Hitung xp = −b/(2a)
- Substitusi xp ke fungsi: yp = f(xp)
- Tuliskan titik puncak (xp, yp)
- Cara 3 (Melengkapkan kuadrat sempurna):
- Ubah f(x) = ax² + bx + c menjadi bentuk f(x) = a(x − h)² + k
- Titik puncak langsung terbaca: (h, k)
Kegiatan: Menalar
Perhatikan tabel berikut dan temukan polanya:
| Fungsi Kuadrat | a | b | c | Sumbu Simetri | Titik Puncak |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² − 6x + 5 | 1 | −6 | 5 | x = 3 | (3, −4) |
| f(x) = 2x² + 8x + 6 | 2 | 8 | 6 | x = −2 | (−2, −2) |
| f(x) = −x² + 4x − 3 | −1 | 4 | −3 | x = 2 | (2, 1) |
| f(x) = 3x² − 12x + 7 | 3 | −12 | 7 | x = 2 | (2, −5) |
Simpulkan: Nilai x pada sumbu simetri selalu sama dengan koordinat x pada titik puncak. Mengapa demikian?
C. Sifat Titik Puncak Berdasarkan Nilai a
| Kondisi | Parabola | Titik Puncak |
|---|---|---|
| a > 0 | Terbuka ke atas ∪ | Titik minimum (terendah) |
| a < 0 | Terbuka ke bawah ∩ | Titik maksimum (tertinggi) |
Ini berarti:
- Jika a > 0, maka yp adalah nilai minimum fungsi.
- Jika a < 0, maka yp adalah nilai maksimum fungsi.
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari fungsi berikut dengan kedua cara (rumus dan substitusi langsung):
- f(x) = x² − 2x − 3
- f(x) = −2x² + 12x − 10
- f(x) = 3x² + 6x + 1
Bandingkan hasil kedua cara. Apakah hasilnya sama? Cara mana yang lebih cepat menurutmu?
D. Strategi Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Bentuk vertex dari fungsi kuadrat:
f(x) = a(x − h)² + k
Titik puncak langsung terbaca: (h, k), Sumbu simetri: x = h
Langkah-langkah mengubah ke bentuk vertex:
Contoh: f(x) = 2x² − 8x + 5
Langkah 1: Faktorkan a dari dua suku pertama
f(x) = 2(x² − 4x) + 5
Langkah 2: Lengkapkan kuadrat sempurna di dalam kurung
f(x) = 2(x² − 4x + 4 − 4) + 5
Langkah 3: Kelompokkan
f(x) = 2(x − 2)² − 8 + 5
Langkah 4: Sederhanakan
f(x) = 2(x − 2)² − 3
Jadi titik puncak = (2, −3) dan sumbu simetri x = 2
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan temanmu dan jelaskan:
- Dengan kata-katamu sendiri, jelaskan apa itu sumbu simetri dan mengapa penting.
- Jelaskan perbedaan antara titik puncak sebagai nilai maksimum dan minimum.
- Buatlah poster sederhana yang menunjukkan 3 strategi berbeda untuk menemukan titik puncak, lengkap dengan contohnya.
- Presentasikan hasil pekerjaanmu di depan kelas.
Ringkasan Rumus
| Unsur | Rumus |
|---|---|
| Sumbu Simetri | x = −b/(2a) |
| Koordinat x titik puncak | xp = −b/(2a) |
| Koordinat y titik puncak | yp = −D/(4a) = −(b²−4ac)/(4a) |
| Koordinat y (cara substitusi) | yp = f(xp) |
| Bentuk vertex | f(x) = a(x−h)² + k, puncak = (h, k) |
Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = x² − 6x + 8
Diketahui: a = 1, b = −6, c = 8
Sumbu simetri:
x = −b/(2a) = −(−6)/(2·1) = 6/2 = 3
Jadi sumbu simetri: x = 3
Titik puncak:
xp = 3
yp = f(3) = (3)² − 6(3) + 8 = 9 − 18 + 8 = −1
Titik puncak = (3, −1)
Contoh 2
Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = x² + 4x + 3
Diketahui: a = 1, b = 4, c = 3
Sumbu simetri:
x = −4/(2·1) = −4/2 = −2
Sumbu simetri: x = −2
Titik puncak:
yp = f(−2) = (−2)² + 4(−2) + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
Titik puncak = (−2, −1)
Contoh 3
Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = x² − 2x
Diketahui: a = 1, b = −2, c = 0
Sumbu simetri:
x = −(−2)/(2·1) = 2/2 = 1
Sumbu simetri: x = 1
Titik puncak:
yp = f(1) = (1)² − 2(1) = 1 − 2 = −1
Titik puncak = (1, −1)
Contoh 4
Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = 2x² − 4x + 1
Diketahui: a = 2, b = −4, c = 1
Sumbu simetri:
x = −(−4)/(2·2) = 4/4 = 1
Sumbu simetri: x = 1
Titik puncak:
yp = f(1) = 2(1)² − 4(1) + 1 = 2 − 4 + 1 = −1
Titik puncak = (1, −1)
Contoh 5
Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = −x² + 2x + 3
Diketahui: a = −1, b = 2, c = 3
Sumbu simetri:
x = −2/(2·(−1)) = −2/(−2) = 1
Sumbu simetri: x = 1
Titik puncak:
yp = f(1) = −(1)² + 2(1) + 3 = −1 + 2 + 3 = 4
Titik puncak = (1, 4) → titik maksimum karena a < 0
Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan titik puncak dari f(x) = 3x² + 12x + 7 menggunakan rumus diskriminan.
Diketahui: a = 3, b = 12, c = 7
Langkah 1: Hitung xp
xp = −12/(2·3) = −12/6 = −2
Langkah 2: Hitung diskriminan
D = b² − 4ac = (12)² − 4(3)(7) = 144 − 84 = 60
Langkah 3: Hitung yp
yp = −D/(4a) = −60/(4·3) = −60/12 = −5
Titik puncak = (−2, −5)
Contoh 7
Ubah f(x) = x² − 8x + 12 ke bentuk vertex dan tentukan titik puncaknya.
Melengkapkan kuadrat:
f(x) = x² − 8x + 12
= (x² − 8x + 16) − 16 + 12
= (x − 4)² − 4
Bentuk vertex: f(x) = (x − 4)² − 4
Maka h = 4, k = −4
Titik puncak = (4, −4), Sumbu simetri: x = 4
Contoh 8
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = −2x² + 12x − 16. Tentukan nilai maksimum fungsi tersebut.
Diketahui: a = −2, b = 12, c = −16
Karena a = −2 < 0, parabola terbuka ke bawah → titik puncak adalah nilai maksimum.
xp = −12/(2·(−2)) = −12/(−4) = 3
yp = f(3) = −2(9) + 12(3) − 16 = −18 + 36 − 16 = 2
Nilai maksimum fungsi = 2, dicapai saat x = 3
Contoh 9
Ubah f(x) = 2x² + 4x − 6 ke bentuk vertex.
Langkah 1: Faktorkan a dari dua suku pertama
f(x) = 2(x² + 2x) − 6
Langkah 2: Lengkapkan kuadrat sempurna
= 2(x² + 2x + 1 − 1) − 6
= 2(x + 1)² − 2 − 6
= 2(x + 1)² − 8
Maka h = −1, k = −8
Titik puncak = (−1, −8), Sumbu simetri: x = −1
Contoh 10
Fungsi kuadrat f(x) = ax² − 6x + c memiliki sumbu simetri x = 1. Tentukan nilai a.
Diketahui: b = −6, sumbu simetri x = 1
Gunakan rumus sumbu simetri:
x = −b/(2a)
1 = −(−6)/(2a)
1 = 6/(2a)
2a = 6
a = 3
Nilai a = 3
Tingkat Sulit
Contoh 11
Fungsi kuadrat f(x) = (2m−1)x² + 4mx + (m+3) memiliki titik puncak yang terletak pada sumbu-y. Tentukan nilai m.
Titik puncak terletak pada sumbu-y berarti xp = 0
xp = −b/(2a) = 0
Dengan a = 2m−1, b = 4m:
−4m / (2(2m−1)) = 0
Agar pecahan = 0, pembilang harus = 0:
−4m = 0
m = 0
Verifikasi: Jika m = 0, maka a = 2(0)−1 = −1 ≠ 0 ✓
Nilai m = 0
Contoh 12
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (2, −3) dan melalui titik (0, 5).
Gunakan bentuk vertex:
f(x) = a(x − h)² + k = a(x − 2)² + (−3) = a(x − 2)² − 3
Substitusi titik (0, 5):
5 = a(0 − 2)² − 3
5 = 4a − 3
4a = 8
a = 2
f(x) = 2(x − 2)² − 3 = 2x² − 8x + 5
Contoh 13
Diketahui f(x) = x² − (2p+1)x + p² + p. Jika titik puncak fungsi tersebut terletak pada garis y = x − 3, tentukan nilai p.
Diketahui: a=1, b=−(2p+1), c=p²+p
Hitung xp:
xp = −(−(2p+1))/(2·1) = (2p+1)/2
Hitung yp:
D = (2p+1)² − 4(1)(p²+p) = 4p²+4p+1 − 4p²−4p = 1
yp = −D/(4a) = −1/4
Titik puncak pada y = x − 3:
−1/4 = (2p+1)/2 − 3
−1/4 = (2p+1−6)/2
−1/4 = (2p−5)/2
−1/2 = 2p−5 (kalikan kedua ruas dengan 2)
2p = 5 − 1/2 = 9/2
p = 9/4
Nilai p = 9/4
Contoh 14
Fungsi f(x) = −x² + 2kx − k² + 4k − 5. Tentukan nilai k agar nilai maksimum fungsi sama dengan 2.
Diketahui: a=−1, b=2k, c=−k²+4k−5
Karena a < 0, nilai maksimum = yp
xp = −2k/(2(−1)) = k
yp = f(k) = −k² + 2k·k − k² + 4k − 5
= −k² + 2k² − k² + 4k − 5
= 4k − 5
Syarat: yp = 2
4k − 5 = 2
4k = 7
k = 7/4
Nilai k = 7/4
Contoh 15
Tentukan titik puncak dari f(x) = (x−1)(x−5) + 2(x−1) + 3 tanpa mengubah ke bentuk umum terlebih dahulu.
Strategi: Kita tetap perlu mengidentifikasi a, b, c. Uraikan:
f(x) = (x−1)(x−5) + 2(x−1) + 3
= x²−6x+5 + 2x−2 + 3
= x² − 4x + 6
Jadi a=1, b=−4, c=6
xp = −(−4)/(2·1) = 2
yp = f(2) = 4 − 8 + 6 = 2
Cara alternatif (melengkapkan kuadrat):
f(x) = x²−4x+6 = (x²−4x+4)+2 = (x−2)²+2
Titik puncak = (2, 2)
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
Tingkat Mudah
- Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = x² − 4x + 3
- Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = x² + 6x + 5
- Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = x² − 10x + 21
- Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = 2x² − 8x + 3
- Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari f(x) = −x² + 6x − 5
Tingkat Sedang
- Ubah f(x) = 3x² − 18x + 25 ke bentuk vertex dan tentukan titik puncaknya.
- Tentukan nilai minimum dari fungsi f(x) = 4x² + 16x + 11
- Fungsi f(x) = ax² + 6x + 2 memiliki sumbu simetri x = −1. Tentukan nilai a dan titik puncaknya.
- Tentukan persamaan sumbu simetri dari f(x) = −3x² + 9x − 4 dan nyatakan apakah titik puncaknya merupakan nilai maksimum atau minimum.
- Diketahui f(x) = 2(x − 3)² + 5. Tentukan bentuk umum, sumbu simetri, dan titik puncaknya.
Tingkat Sulit
- Fungsi f(x) = x² − 2px + p² − 2p + 5 memiliki nilai minimum 2. Tentukan nilai p.
- Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (−1, 4) dan melalui titik (1, 0).
- Diketahui f(x) = mx² − (2m+4)x + m + 7. Titik puncak fungsi terletak pada sumbu-x. Tentukan nilai m.
- Fungsi f(x) = −2x² + (4k−2)x − 2k² + 3k + 1 memiliki nilai maksimum 4. Tentukan nilai k.
- Dua fungsi kuadrat f(x) = x² − 4x + 5 dan g(x) = −x² + 6x − 7. Tentukan titik puncak masing-masing dan hitung jarak antara kedua titik puncak tersebut.