V³
Vektor pada Ruang (Dimensi Tiga)
Materi Matematika
1. Menyatakan Vektor pada Ruang
Vektor pada ruang (dimensi tiga) adalah besaran yang memiliki besar dan arah dalam ruang tiga dimensi. Vektor dinyatakan dengan tiga komponen terhadap sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\).
Jika titik \(A(x_1, y_1, z_1)\) dan \(B(x_2, y_2, z_2)\), maka vektor \(\vec{AB}\) dinyatakan sebagai:
\[\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \\ z_2 – z_1 \end{pmatrix}\]Vektor posisi titik \(P(a, b, c)\) terhadap titik asal \(O\) adalah:
\[\vec{OP} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = a\,\vec{i} + b\,\vec{j} + c\,\vec{k}\]di mana \(\vec{i} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{j} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{k} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) adalah vektor-vektor satuan pada sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\).
Contoh Soal
Mudah1. Tentukan vektor posisi titik \(A(2, 3, 1)\). Pembahasan
\[\vec{OA} = \begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix} = 2\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}\]
Mudah2. Diketahui \(P(1,0,4)\). Nyatakan \(\vec{OP}\) dalam bentuk komponen. Pembahasan
\[\vec{OP} = \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}\]
Mudah3. Tentukan \(\vec{AB}\) jika \(A(1,2,3)\) dan \(B(4,5,6)\). Pembahasan
\[\vec{AB}=\begin{pmatrix}4-1\\5-2\\6-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\]
Mudah4. Titik \(C(0,0,5)\). Nyatakan \(\vec{OC}\) dengan vektor satuan. Pembahasan
\[\vec{OC} = 0\vec{i}+0\vec{j}+5\vec{k} = 5\vec{k}\]
Mudah5. Tentukan \(\vec{BA}\) jika \(A(3,1,2)\) dan \(B(1,4,0)\). Pembahasan
\[\vec{BA}=\begin{pmatrix}3-1\\1-4\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}\]
Sedang6. Jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}\), tentukan \(\vec{a}+\vec{b}\). Pembahasan
\[\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}2+1\\-1+4\\3+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\]
Sedang7. Tentukan titik \(C\) jika \(\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{AB}\) dengan \(A(1,2,3)\) dan \(B(4,0,1)\). Pembahasan
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{OC}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\). Jadi \(C(4,0,1)\) — yaitu titik \(B\) sendiri, karena \(\vec{OA}+\vec{AB}=\vec{OB}\).
Sedang8. Titik \(M\) adalah titik tengah \(PQ\) dengan \(P(2,4,6)\), \(Q(8,2,0)\). Tentukan \(\vec{OM}\). Pembahasan
\[M=\left(\frac{2+8}{2},\frac{4+2}{2},\frac{6+0}{2}\right)=(5,3,3)\] \[\vec{OM}=\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}\]
Sedang9. Diketahui \(\vec{a}=3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}\). Nyatakan dalam bentuk kolom dan tentukan komponen \(z\). Pembahasan
\[\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\] Komponen \(z = 1\).
Sedang10. Jika \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\) dan \(A(1,1,1)\), tentukan koordinat \(B\). Pembahasan
\(B = A + \vec{AB} = (1+2,\;1+(-3),\;1+5) = (3,-2,6)\).
Sulit11. Titik \(A(1,2,3)\), \(B(4,6,3)\), \(C(2,0,1)\). Tentukan \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}\). Pembahasan
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-2\\-6\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{CA}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\). Jumlah: \(\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\vec{0}\). Ini selalu berlaku karena lintasan tertutup.
Sulit12. Segitiga \(ABC\) dengan \(A(1,0,2)\), \(B(3,1,0)\), \(C(0,4,1)\). Tentukan vektor posisi titik berat \(G\). Pembahasan
\[G=\left(\frac{1+3+0}{3},\frac{0+1+4}{3},\frac{2+0+1}{3}\right)=\left(\frac{4}{3},\frac{5}{3},1\right)\] \[\vec{OG}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\\frac{5}{3}\\1\end{pmatrix}\]
Sulit13. Titik \(P\) membagi ruas garis \(AB\) dengan perbandingan \(AP:PB=2:1\). Jika \(A(1,2,3)\), \(B(7,5,0)\), tentukan \(\vec{OP}\). Pembahasan
\[\vec{OP}=\frac{1\cdot\vec{OA}+2\cdot\vec{OB}}{2+1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1+14\\2+10\\3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\4\\1\end{pmatrix}\]
Sulit14. Buktikan bahwa \(A(1,2,1)\), \(B(2,4,3)\), \(C(4,8,7)\) segaris (kolinear). Pembahasan
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=3\vec{AB}\). Karena \(\vec{AC}=3\vec{AB}\), maka \(A\), \(B\), \(C\) segaris.
Sulit15. Diketahui \(\vec{a}=\begin{pmatrix}m\\2\\1\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\m\\-2\end{pmatrix}\). Jika \(\vec{a}+\vec{b}\) sejajar sumbu \(x\), tentukan nilai \(m\). Pembahasan
\(\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}m+3\\2+m\\-1\end{pmatrix}\). Sejajar sumbu \(x\) berarti komponen \(y=0\) dan \(z=0\). Dari \(z\): \(-1=0\) — kontradiksi. Jadi tidak ada nilai \(m\) yang memenuhi. Vektor sejajar sumbu \(x\) hanya jika komponen \(y\) dan \(z\) nol.
Koreksi soal: Jika diminta \(\vec{a}+\vec{b}\) tegak lurus sumbu \(z\), maka komponen \(z=0\): \(-1\neq 0\), juga tak memenuhi. Jika soal: komponen \(y=0\), maka \(2+m=0 \Rightarrow m=-2\).
Koreksi soal: Jika diminta \(\vec{a}+\vec{b}\) tegak lurus sumbu \(z\), maka komponen \(z=0\): \(-1\neq 0\), juga tak memenuhi. Jika soal: komponen \(y=0\), maka \(2+m=0 \Rightarrow m=-2\).
Latihan Soal
Mudah1. Nyatakan vektor posisi titik \(D(5,-3,2)\).
Mudah2. Tentukan \(\vec{PQ}\) jika \(P(0,1,2)\) dan \(Q(3,4,5)\).
Mudah3. Nyatakan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\) dalam bentuk \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\).
Mudah4. Tentukan \(\vec{BA}\) jika \(A(2,3,1)\) dan \(B(5,1,4)\).
Mudah5. Titik \(R(0,0,0)\) dan \(S(1,1,1)\). Tentukan \(\vec{RS}\).
Sedang6. Tentukan titik tengah \(AB\) jika \(A(2,6,4)\), \(B(8,0,2)\) dan nyatakan sebagai vektor posisi.
Sedang7. Jika \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\) dan \(B(4,1,5)\), tentukan koordinat \(A\).
Sedang8. Diberikan \(\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\) dan \(\vec{b}=-\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}\). Tentukan \(2\vec{a}-\vec{b}\).
Sedang9. Tentukan vektor dari \(A(3,-1,2)\) ke titik tengah \(BC\), jika \(B(1,3,0)\) dan \(C(5,1,4)\).
Sedang10. Jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}k\\2\\-1\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}6\\4\\-2\end{pmatrix}\) sejajar, tentukan \(k\).
Sulit11. Titik \(P\) membagi \(AB\) dengan \(AP:PB=3:2\), \(A(2,1,4)\), \(B(7,6,-1)\). Tentukan \(\vec{OP}\).
Sulit12. Buktikan \(A(0,1,2)\), \(B(1,3,4)\), \(C(3,7,8)\) segaris.
Sulit13. Tentukan vektor posisi titik berat segitiga \(PQR\) jika \(P(2,0,4)\), \(Q(0,6,2)\), \(R(4,0,0)\).
Sulit14. Parallelogram \(ABCD\) dengan \(A(1,2,3)\), \(B(4,1,0)\), \(D(2,5,1)\). Tentukan \(C\).
Sulit15. Diketahui \(\vec{a}+2\vec{b}=\begin{pmatrix}7\\0\\5\end{pmatrix}\) dan \(\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\). Tentukan \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).
2. Sifat-sifat Aljabar Vektor pada Ruang
Jika \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) adalah vektor-vektor pada ruang dan \(k, m\) skalar, maka berlaku:
| Komutatif | \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\) |
| Asosiatif | \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\) |
| Elemen identitas | \(\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\) |
| Invers | \(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\) |
| Distributif skalar | \(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\) |
| Distributif skalar 2 | \((k+m)\vec{a}=k\vec{a}+m\vec{a}\) |
| Asosiatif skalar | \(k(m\vec{a})=(km)\vec{a}\) |
| Identitas skalar | \(1\cdot\vec{a}=\vec{a}\) |
Penjumlahan: \(\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{pmatrix}\)
Perkalian skalar: \(k\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka_1\\ka_2\\ka_3\end{pmatrix}\)
Contoh Soal
Mudah1. Jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\), tentukan \(\vec{a}+\vec{b}\). Pembahasan
\[\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}5\\7\\9\end{pmatrix}\]
Mudah2. Tentukan \(\vec{a}-\vec{b}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\). Pembahasan
\[\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}\]
Mudah3. Hitunglah \(3\vec{a}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}\). Pembahasan
\[3\vec{a}=\begin{pmatrix}6\\-3\\12\end{pmatrix}\]
Mudah4. Tunjukkan \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\) untuk \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{b}+\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}\). Terbukti sama.
Mudah5. Tentukan \(-2\vec{b}\) jika \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\[-2\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-6\\-4\end{pmatrix}\]
Sedang6. Hitunglah \(2\vec{a}+3\vec{b}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(2\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\), \(3\vec{b}=\begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}\), \(2\vec{a}+3\vec{b}=\begin{pmatrix}8\\-1\\3\end{pmatrix}\).
Sedang7. Tentukan \(\vec{c}\) jika \(\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}\) dengan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}5\\-1\\7\end{pmatrix}\). Pembahasan
\[\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}\]
Sedang8. Buktikan sifat distributif: \(2(\vec{a}+\vec{b})=2\vec{a}+2\vec{b}\) untuk \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}\). Pembahasan
Kiri: \(2\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\4\\6\end{pmatrix}\). Kanan: \(\begin{pmatrix}2\\6\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}8\\-2\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\4\\6\end{pmatrix}\). Terbukti.
Sedang9. Tentukan \(k\) jika \(k\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) dengan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-6\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(k\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\2\\-6\end{pmatrix}=\vec{0}\). Dari baris 1: \(2k-4=0 \Rightarrow k=2\). Cek: baris 2: \(-2+2=0\) ✓, baris 3: \(6-6=0\) ✓.
Sedang10. Tentukan \(\vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-5\\-1\end{pmatrix}\).
Sulit11. Tentukan \(p\) dan \(q\) jika \(p\vec{a}+q\vec{b}=\vec{c}\) dengan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\7\\9\end{pmatrix}\). Pembahasan
SPL: \(p=2\), \(2p+q=7 \Rightarrow q=3\), cek: \(3q=9\) ✓. Jadi \(p=2,\; q=3\).
Sulit12. Jika \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) memenuhi \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\) dan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-4\\1\\5\end{pmatrix}\), tentukan \(\vec{c}\). Pembahasan
\[\vec{c}=-(\vec{a}+\vec{b})=-\begin{pmatrix}-3\\-2\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\-7\end{pmatrix}\]
Sulit13. Tentukan \(m\) dan \(n\) jika \(m\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+n\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
Baris 1: \(m=3\). Baris 3: \(n=2\). Cek baris 2: \(3+2=5\) ✓.
Sulit14. Buktikan \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\) secara umum untuk vektor 3D. Pembahasan
Misalkan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) dsb. Kiri: \(\begin{pmatrix}(a_1+b_1)+c_1\\(a_2+b_2)+c_2\\(a_3+b_3)+c_3\end{pmatrix}\). Kanan: \(\begin{pmatrix}a_1+(b_1+c_1)\\a_2+(b_2+c_2)\\a_3+(b_3+c_3)\end{pmatrix}\). Karena penjumlahan bilangan real asosiatif, kedua ruas sama. ∎
Sulit15. Jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\), tentukan semua skalar \(k\) sehingga \(|k\vec{a}|=\sqrt{56}\). Pembahasan
\(|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|=|k|\sqrt{4+1+9}=|k|\sqrt{14}\). Syarat: \(|k|\sqrt{14}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\), maka \(|k|=2\), jadi \(k=2\) atau \(k=-2\).
Latihan Soal
Mudah1. Hitunglah \(\vec{a}+\vec{b}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\\2\end{pmatrix}\).
Mudah2. Tentukan \(4\vec{c}\) jika \(\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\).
Mudah3. Hitunglah \(\vec{a}-\vec{b}\) dari soal nomor 1.
Mudah4. Tentukan \(\vec{a}+\vec{0}\) dan bandingkan dengan \(\vec{a}\).
Mudah5. Hitunglah \(\vec{a}+(-\vec{a})\) untuk \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\-5\\7\end{pmatrix}\).
Sedang6. Hitunglah \(3\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\5\\-1\end{pmatrix}\).
Sedang7. Tentukan \(\vec{x}\) jika \(2\vec{x}+\vec{a}=\vec{b}\) dengan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\\-6\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\8\\2\end{pmatrix}\).
Sedang8. Buktikan \(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\) untuk \(k=3\), \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}\).
Sedang9. Jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}t\\2t\\-t\end{pmatrix}\) dan \(2\vec{a}=\begin{pmatrix}6\\12\\-6\end{pmatrix}\), tentukan \(t\).
Sedang10. Tentukan \(\vec{a}\) jika \(\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}\) dan \(\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\\7\end{pmatrix}\).
Sulit11. Tentukan \(p,q,r\) jika \(p\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+q\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\\4\end{pmatrix}\).
Sulit12. Buktikan bahwa \(\vec{a},2\vec{a},-3\vec{a}\) selalu segaris untuk sebarang \(\vec{a}\neq\vec{0}\).
Sulit13. Jika \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) tidak sejajar, tentukan \(s,t\) sehingga \(s\vec{a}+t\vec{b}=3\vec{a}-2\vec{b}\).
Sulit14. Diketahui \(\vec{a}+2\vec{b}=\vec{c}\) dan \(3\vec{a}-\vec{b}=\vec{d}\). Nyatakan \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) dalam \(\vec{c}\) dan \(\vec{d}\).
Sulit15. Tentukan semua nilai \(k\) sehingga \(|k\vec{a}+\vec{b}|=5\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\).
3. Panjang Vektor pada Ruang
Panjang (modulus/norma) vektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) adalah:
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\]Jarak antara dua titik \(A(x_1,y_1,z_1)\) dan \(B(x_2,y_2,z_2)\):
\[|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]Contoh Soal
Mudah1. Tentukan \(|\vec{a}|\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3\)
Mudah2. Hitunglah \(|\vec{b}|\) jika \(\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(|\vec{b}|=\sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5\)
Mudah3. Tentukan panjang \(\vec{c}=6\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}\). Pembahasan
\(|\vec{c}|=\sqrt{36+4+9}=\sqrt{49}=7\)
Mudah4. Hitunglah jarak \(A(0,0,0)\) dan \(B(1,2,2)\). Pembahasan
\(|AB|=\sqrt{1+4+4}=3\)
Mudah5. Tentukan \(|\vec{d}|\) jika \(\vec{d}=\begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(|\vec{d}|=\sqrt{0+0+25}=5\)
Sedang6. Tentukan jarak antara \(P(1,3,-2)\) dan \(Q(4,-1,2)\). Pembahasan
\(|PQ|=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41}\)
Sedang7. Jika \(|\vec{a}|=\sqrt{14}\) dan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\m\\3\end{pmatrix}\), tentukan \(m>0\). Pembahasan
\(\sqrt{1+m^2+9}=\sqrt{14}\Rightarrow m^2=4\Rightarrow m=2\)
Sedang8. Hitunglah \(|2\vec{a}-\vec{b}|\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(2\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}\), \(|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}\)
Sedang9. Tentukan \(k>0\) jika \(\left|\begin{pmatrix}k\\k\\k\end{pmatrix}\right|=3\sqrt{3}\). Pembahasan
\(\sqrt{3k^2}=3\sqrt{3}\Rightarrow 3k^2=27\Rightarrow k=3\)
Sedang10. Titik \(A(2,1,3)\) dan \(B(5,5,3)\). Tentukan panjang \(\vec{AB}\). Pembahasan
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\), \(|\vec{AB}|=\sqrt{9+16+0}=5\)
Sulit11. Segitiga \(ABC\) dengan \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\), \(C(0,0,3)\). Tentukan keliling segitiga. Pembahasan
\(|AB|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\), \(|BC|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\), \(|AC|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\). Keliling \(=\sqrt{5}+\sqrt{10}+\sqrt{13}\approx 8.97\).
Sulit12. Tentukan semua nilai \(t\) sehingga jarak \(A(t,2t,t)\) ke \(B(1,0,2)\) sama dengan \(\sqrt{21}\). Pembahasan
\((t-1)^2+4t^2+(t-2)^2=21\). Ekspansi: \(6t^2-6t+5=21\Rightarrow 6t^2-6t-16=0\Rightarrow 3t^2-3t-8=0\). \(t=\frac{3\pm\sqrt{9+96}}{6}=\frac{3\pm\sqrt{105}}{6}\).
Sulit13. Buktikan bahwa segitiga dengan titik \(A(1,2,3)\), \(B(4,6,3)\), \(C(1,6,6)\) adalah segitiga sama kaki. Pembahasan
\(|AB|=\sqrt{9+16+0}=5\), \(|AC|=\sqrt{0+16+9}=5\), \(|BC|=\sqrt{9+0+9}=3\sqrt{2}\). Karena \(|AB|=|AC|=5\), segitiga sama kaki. ∎
Sulit14. Tentukan himpunan titik \(P(x,y,z)\) yang jaraknya dari \(A(1,2,3)\) sama dengan 4. Pembahasan
\(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}=4\). Himpunan titik tersebut adalah bola berpusat di \((1,2,3)\) dengan jari-jari 4: \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16\).
Sulit15. Jika \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\), buktikan \(\vec{a}\perp\vec{b}\). Pembahasan
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\), \(|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\). Jika sama: \(4\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Rightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Rightarrow\vec{a}\perp\vec{b}\). ∎
Latihan Soal
Mudah1. Hitunglah \(|\vec{a}|\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\).
Mudah2. Tentukan jarak \(O(0,0,0)\) ke \(P(3,4,0)\).
Mudah3. Hitunglah panjang \(\vec{v}=5\vec{i}+0\vec{j}-12\vec{k}\).
Mudah4. Tentukan \(|\vec{AB}|\) jika \(A(1,1,1)\) dan \(B(2,3,4)\).
Mudah5. Apakah \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) adalah vektor satuan? Jelaskan.
Sedang6. Tentukan \(m\) jika \(|\begin{pmatrix}m\\3\\4\end{pmatrix}|=13\).
Sedang7. Hitunglah \(|3\vec{a}|\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\).
Sedang8. Tentukan jarak \(A(2,-3,1)\) ke \(B(-1,1,5)\).
Sedang9. Jika \(|\vec{a}|=5\) dan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\0\\t\end{pmatrix}\), tentukan \(t>0\).
Sedang10. Hitunglah \(|\vec{a}+\vec{b}|\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\).
Sulit11. Buktikan segitiga \(A(3,0,1)\), \(B(0,3,1)\), \(C(0,0,4)\) sama sisi atau bukan.
Sulit12. Tentukan \(k\) sehingga \(|k\vec{a}+\vec{b}|=7\), \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\-7\end{pmatrix}\).
Sulit13. Tentukan titik pada sumbu \(z\) yang jaraknya dari \(A(1,2,0)\) sama dengan \(\sqrt{14}\).
Sulit14. Buktikan ketidaksamaan segitiga: \(|\vec{a}+\vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}|\) untuk \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\).
Sulit15. Cari semua titik \(P(x,y,z)\) yang sama jaraknya dari \(A(1,0,0)\) dan \(B(0,1,0)\).
4. Vektor Satuan pada Ruang
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Vektor satuan searah \(\vec{a}\):
\[\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{|\vec{a}|}\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\]Vektor satuan standar: \(\vec{i}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{j}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{k}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) dengan \(|\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1\).
Contoh Soal
Mudah1. Tentukan vektor satuan searah \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(|\vec{a}|=5\). \(\hat{a}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3/5\\0\\4/5\end{pmatrix}\)
Mudah2. Apakah \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{3}\\1/\sqrt{3}\\1/\sqrt{3}\end{pmatrix}\) vektor satuan? Pembahasan
\(|\vec{v}|=\sqrt{1/3+1/3+1/3}=\sqrt{1}=1\). Ya, vektor satuan.
Mudah3. Tentukan vektor satuan searah \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\-7\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(|\vec{b}|=7\). \(\hat{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}=-\vec{k}\)
Mudah4. Tentukan vektor satuan searah \(\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(|\vec{c}|=3\). \(\hat{c}=\begin{pmatrix}1/3\\2/3\\2/3\end{pmatrix}\)
Mudah5. Vektor satuan searah \(\vec{d}=\begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(|\vec{d}|=\sqrt{16+16+4}=6\). \(\hat{d}=\begin{pmatrix}2/3\\-2/3\\1/3\end{pmatrix}\)
Sedang6. Tentukan vektor dengan panjang 10 searah \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\hat{a}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). Vektor = \(10\hat{a}=\begin{pmatrix}10/3\\20/3\\20/3\end{pmatrix}\).
Sedang7. Tentukan vektor satuan searah \(\vec{AB}\) jika \(A(1,3,2)\), \(B(3,5,4)\). Pembahasan
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\), \(|\vec{AB}|=2\sqrt{3}\). \(\hat{AB}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{3}\\1/\sqrt{3}\\1/\sqrt{3}\end{pmatrix}\).
Sedang8. Jika \(\hat{a}=\begin{pmatrix}2/7\\3/7\\p\end{pmatrix}\) adalah vektor satuan, tentukan \(p>0\). Pembahasan
\(\frac{4}{49}+\frac{9}{49}+p^2=1\Rightarrow p^2=\frac{36}{49}\Rightarrow p=\frac{6}{7}\).
Sedang9. Tentukan vektor dengan panjang 6 berlawanan arah \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(|\vec{a}|=3\), \(\hat{a}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\). Berlawanan arah panjang 6: \(-6\hat{a}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix}\).
Sedang10. Apakah \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\1/\sqrt{2}\end{pmatrix}\) vektor satuan? Pembahasan
\(|\vec{u}|=\sqrt{1/4+1/4+1/2}=\sqrt{1}=1\). Ya, vektor satuan.
Sulit11. Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus \(\vec{i}\) dan \(\vec{j}\). Pembahasan
Vektor tegak lurus \(\vec{i}\): komponen \(x=0\). Tegak lurus \(\vec{j}\): komponen \(y=0\). Jadi \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\0\\c\end{pmatrix}\), \(|c|=1\). Jawaban: \(\vec{k}\) dan \(-\vec{k}\).
Sulit12. Tentukan vektor satuan searah \(\vec{a}+\vec{b}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}\), \(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{4+4+36}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}\). \(\widehat{a+b}=\frac{1}{2\sqrt{11}}\begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{11}\\1/\sqrt{11}\\3/\sqrt{11}\end{pmatrix}\).
Sulit13. Tentukan \(a\) sehingga \(\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}\) adalah vektor satuan. Pembahasan
\(\sqrt{3a^2}=1\Rightarrow a^2=\frac{1}{3}\Rightarrow a=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Sulit14. Vektor \(\vec{v}\) memiliki panjang 5, searah \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\), dan komponen \(z>0\). Tentukan \(\vec{v}\). Pembahasan
\(|\vec{a}|=3\). \(\vec{v}=5\cdot\frac{\vec{a}}{3}=\begin{pmatrix}5/3\\-10/3\\10/3\end{pmatrix}\). Komponen \(z=10/3>0\) ✓.
Sulit15. Tentukan dua vektor satuan yang membentuk sudut \(60°\) dengan \(\vec{k}\) dan berada di bidang \(xz\). Pembahasan
Di bidang \(xz\): \(\vec{u}=\begin{pmatrix}\sin\theta\\0\\\cos\theta\end{pmatrix}\). Sudut dengan \(\vec{k}\): \(\cos 60°=\cos\theta\Rightarrow\theta=60°\). Jadi \(\vec{u}=\begin{pmatrix}\sqrt{3}/2\\0\\1/2\end{pmatrix}\) dan \(\begin{pmatrix}-\sqrt{3}/2\\0\\1/2\end{pmatrix}\).
Latihan Soal
Mudah1. Tentukan vektor satuan searah \(\begin{pmatrix}6\\2\\-3\end{pmatrix}\).
Mudah2. Apakah \(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) vektor satuan?
Mudah3. Vektor satuan searah \(\begin{pmatrix}0\\-5\\0\end{pmatrix}\).
Mudah4. Tentukan \(\hat{a}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\).
Mudah5. Hitung \(|\hat{a}|\) dari soal 4 untuk verifikasi.
Sedang6. Tentukan vektor panjang 12 searah \(\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\).
Sedang7. Jika \(\hat{v}=\begin{pmatrix}a\\1/3\\2/3\end{pmatrix}\) satuan, tentukan \(a>0\).
Sedang8. Vektor satuan searah \(\vec{AB}\), \(A(0,0,0)\), \(B(1,1,1)\).
Sedang9. Tentukan vektor panjang 4 berlawanan arah \(\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\).
Sedang10. Tentukan vektor satuan searah \(\vec{a}-\vec{b}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}\).
Sulit11. Cari \(p\) sehingga \(\begin{pmatrix}p\\2p\\p\end{pmatrix}\) adalah vektor satuan.
Sulit12. Tentukan semua vektor satuan pada bidang \(yz\).
Sulit13. Vektor panjang \(2\sqrt{3}\) searah \(\vec{a}+\vec{b}\) dengan \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).
Sulit14. Buktikan \(\hat{a}+(-\hat{a})\) = vektor nol untuk sebarang \(\vec{a}\neq\vec{0}\).
Sulit15. Tentukan vektor satuan di bidang \(xy\) yang tegak lurus \(\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\).
5. Perkalian Skalar Dua Vektor pada Ruang
Perkalian skalar (dot product) dua vektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\):
\[\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\]Secara geometris:
\[\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]di mana \(\theta\) adalah sudut antara \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\).
Sifat-sifat:
- \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\) (komutatif)
- \(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\) (distributif)
- \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\)
- Jika \(\vec{a}\perp\vec{b}\) maka \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
Contoh Soal
Mudah1. Hitunglah \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=(1)(4)+(2)(-1)+(3)(2)=4-2+6=8\)
Mudah2. Hitunglah \(\vec{i}\cdot\vec{j}\). Pembahasan
\(\vec{i}\cdot\vec{j}=(1)(0)+(0)(1)+(0)(0)=0\)
Mudah3. Hitunglah \(\vec{a}\cdot\vec{a}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=4+9+1=14=|\vec{a}|^2\)
Mudah4. Apakah \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) saling tegak lurus? Pembahasan
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1+0-1=0\). Ya, saling tegak lurus.
Mudah5. Hitunglah \(\vec{k}\cdot\vec{k}\). Pembahasan
\(\vec{k}\cdot\vec{k}=0+0+1=1=|\vec{k}|^2\)
Sedang6. Hitunglah \((2\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(2\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}\). Dot dengan \(\vec{c}\): \(4-1+2=5\).
Sedang7. Tentukan \(m\) agar \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\m\\-1\end{pmatrix}\) tegak lurus \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2+3m-4=3m-2=0\Rightarrow m=\frac{2}{3}\).
Sedang8. Hitunglah \(|\vec{a}+\vec{b}|^2\) menggunakan dot product jika \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{b}|=4\), \(\vec{a}\cdot\vec{b}=5\). Pembahasan
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=9+10+16=35\).
Sedang9. Tentukan \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) jika \(|\vec{a}|=2\), \(|\vec{b}|=3\), sudut \(=60°\). Pembahasan
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot3\cdot\cos60°=6\cdot\frac{1}{2}=3\).
Sedang10. Buktikan \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\) untuk \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=4-6+2=0\). \(\vec{b}\cdot\vec{a}=4-6+2=0\). Terbukti sama.
Sulit11. Tentukan proyeksi skalar \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
Proyeksi skalar \(=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{3-2+4}{3}=\frac{5}{3}\).
Sulit12. Tentukan proyeksi vektor \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\) dari soal 11. Pembahasan
Proyeksi vektor \(=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}=\frac{5}{9}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5/9\\10/9\\10/9\end{pmatrix}\).
Sulit13. Tentukan \(|\vec{a}-\vec{b}|^2\) jika \(|\vec{a}|=5\), \(|\vec{b}|=3\), sudut \(120°\). Pembahasan
\(|\vec{a}-\vec{b}|^2=25-2(5)(3)\cos120°+9=25+15+9=49\). Jadi \(|\vec{a}-\vec{b}|=7\).
Sulit14. Tentukan \(p\) dan \(q\) agar \(\vec{v}=\begin{pmatrix}p\\q\\1\end{pmatrix}\) tegak lurus \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\vec{v}\cdot\vec{a}=p+2q-3=0\) dan \(\vec{v}\cdot\vec{b}=2p-q+1=0\). Dari persamaan 2: \(q=2p+1\). Substitusi: \(p+2(2p+1)-3=0\Rightarrow 5p-1=0\Rightarrow p=\frac{1}{5}\), \(q=\frac{7}{5}\).
Sulit15. Buktikan identitas polarisasi: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}(|\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2)\). Pembahasan
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\). Maka \(\frac{1}{2}(|\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2)=\frac{1}{2}(2\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{b}\). ∎
Latihan Soal
Mudah1. Hitunglah \(\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}\).
Mudah2. Hitunglah \(\vec{j}\cdot\vec{k}\).
Mudah3. Tentukan \(\vec{a}\cdot\vec{a}\) jika \(\vec{a}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}\).
Mudah4. Apakah \(\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) dan \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) tegak lurus?
Mudah5. Hitunglah \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) jika \(|\vec{a}|=4\), \(|\vec{b}|=5\), \(\theta=90°\).
Sedang6. Tentukan \(k\) agar \(\begin{pmatrix}k\\2\\-1\end{pmatrix}\perp\begin{pmatrix}3\\k\\4\end{pmatrix}\).
Sedang7. Hitunglah \(|\vec{a}+\vec{b}|^2\) jika \(|\vec{a}|=2\), \(|\vec{b}|=3\), \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-1\).
Sedang8. Tentukan proyeksi skalar \(\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\) pada \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\).
Sedang9. Jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}=6\), \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{b}|=4\), tentukan \(\cos\theta\).
Sedang10. Hitunglah \((\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})\) jika \(|\vec{a}|=5\), \(|\vec{b}|=3\).
Sulit11. Tentukan proyeksi vektor \(\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\) pada \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).
Sulit12. Tentukan \(m\) agar \(|\vec{a}+m\vec{b}|\) minimum, \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\).
Sulit13. Buktikan \(|\vec{a}\cdot\vec{b}|\leq|\vec{a}||\vec{b}|\) (ketidaksamaan Cauchy-Schwarz) untuk \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\).
Sulit14. Jika \(\vec{a}\perp\vec{b}\) dan \(\vec{a}\perp\vec{c}\), apakah \(\vec{a}\perp(\vec{b}+\vec{c})\)? Buktikan.
Sulit15. Tentukan \(\vec{v}\) tegak lurus \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) dan \(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) dengan \(|\vec{v}|=\sqrt{3}\).
6. Sudut antara Dua Vektor
Sudut \(\theta\) antara vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) dihitung dengan:
\[\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\]Kasus khusus:
- \(\theta=0°\): sejajar searah (\(\cos\theta=1\))
- \(\theta=90°\): tegak lurus (\(\cos\theta=0\))
- \(\theta=180°\): sejajar berlawanan (\(\cos\theta=-1\))
Contoh Soal
Mudah1. Tentukan sudut antara \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\cos\theta=\frac{0}{1\cdot1}=0\). Jadi \(\theta=90°\).
Mudah2. Sudut antara \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=1\). Jadi \(\theta=0°\).
Mudah3. Sudut antara \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\cos\theta=\frac{-1}{1\cdot1}=-1\). Jadi \(\theta=180°\).
Mudah4. Sudut antara \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Jadi \(\theta=45°\).
Mudah5. Tentukan \(\cos\theta\) antara \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\cos\theta=\frac{4}{5\cdot1}=\frac{4}{5}\).
Sedang6. Tentukan sudut antara \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2-2+4=4\). \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{b}|=3\). \(\cos\theta=\frac{4}{9}\). \(\theta=\arccos\frac{4}{9}\approx63.6°\).
Sedang7. Sudut antara \(\vec{AB}\) dan \(\vec{AC}\) jika \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\). Pembahasan
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\). \(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\). \(\theta=60°\).
Sedang8. Tentukan sudut antara diagonal ruang kubus satuan dari \((0,0,0)\) ke \((1,1,1)\) dan dari \((1,0,0)\) ke \((0,1,1)\). Pembahasan
\(\vec{d_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{d_2}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\). \(\cos\theta=\frac{-1+1+1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\). \(\theta=\arccos\frac{1}{3}\approx70.5°\).
Sedang9. Tentukan \(m\) agar sudut antara \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\m\\0\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}m\\1\\0\end{pmatrix}\) sebesar \(60°\). Pembahasan
\(\cos60°=\frac{2m}{(1+m^2)}=\frac{1}{2}\). Jadi \(4m=1+m^2\Rightarrow m^2-4m+1=0\Rightarrow m=2\pm\sqrt{3}\).
Sedang10. Sudut antara \(\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}\) dan \(\vec{b}=\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}\). Pembahasan
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2-1-2=-1\). \(|\vec{a}|=\sqrt{6}\), \(|\vec{b}|=\sqrt{6}\). \(\cos\theta=\frac{-1}{6}\). \(\theta=\arccos(-\frac{1}{6})\approx99.6°\).
Sulit11. Tentukan sudut segitiga \(ABC\) di titik \(A\) jika \(A(1,2,3)\), \(B(3,4,5)\), \(C(2,0,1)\). Pembahasan
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}\). \(\cos A=\frac{2-4-4}{2\sqrt{3}\cdot3}=\frac{-6}{6\sqrt{3}}=\frac{-1}{\sqrt{3}}\). \(A=\arccos(-\frac{1}{\sqrt{3}})\approx125.3°\).
Sulit12. Tentukan sudut antara dua vektor diagonal bidang kubus: \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). Pembahasan
\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\). \(\theta=60°\).
Sulit13. Jika \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{b}|=5\), \(|\vec{a}-\vec{b}|=7\), tentukan sudut antara \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\). Pembahasan
\(|\vec{a}-\vec{b}|^2=9-2\vec{a}\cdot\vec{b}+25=49\). Maka \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{15}{2}\). \(\cos\theta=\frac{-15/2}{15}=-\frac{1}{2}\). \(\theta=120°\).
Sulit14. Tentukan vektor \(\vec{v}\) yang membentuk sudut sama dengan ketiga sumbu koordinat (arah kosinus sama). Pembahasan
Jika \(\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma=c\), maka \(c^2+c^2+c^2=1\Rightarrow c=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\). Vektor: \(\vec{v}=t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) untuk \(t\neq0\). Sudut dengan setiap sumbu: \(\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}\approx54.7°\).
Sulit15. Dalam kubus \(ABCD.EFGH\) sisi 1 dengan \(A\) di origin, tentukan sudut antara diagonal ruang \(\vec{AG}\) dan diagonal bidang \(\vec{AF}\), di mana \(G(1,1,1)\), \(F(1,1,0)\). Pembahasan
\(\vec{AG}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{AF}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). \(\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\). \(\theta=\arccos\frac{\sqrt{6}}{3}\approx35.3°\).
Latihan Soal
Mudah1. Tentukan \(\cos\theta\) antara \(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) dan \(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\).
Mudah2. Apakah \(\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\) dan \(\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\) tegak lurus?
Mudah3. Tentukan sudut antara \(\vec{i}+\vec{k}\) dan \(\vec{j}\).
Mudah4. Sudut antara \(\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) dan \(\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\).
Mudah5. Tentukan sudut antara \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) dan \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\).
Sedang6. Sudut segitiga di \(B\) jika \(A(0,1,2)\), \(B(1,0,0)\), \(C(2,1,1)\).
Sedang7. Tentukan \(k\) agar sudut antara \(\begin{pmatrix}1\\k\\0\end{pmatrix}\) dan \(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) sebesar \(45°\).
Sedang8. Sudut antara \(3\vec{i}-4\vec{k}\) dan \(4\vec{j}+3\vec{k}\).
Sedang9. Jika \(|\vec{a}|=2\), \(|\vec{b}|=6\), \(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{52}\), tentukan \(\theta\).
Sedang10. Sudut antara diagonal ruang kubus dari \((0,0,0)\) ke \((a,a,a)\) dan sumbu \(x\).
Sulit11. Tentukan semua sudut segitiga \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\), \(C(0,0,3)\).
Sulit12. Tentukan arah kosinus vektor \(\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\).
Sulit13. Jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\) dan \(\vec{a}\neq\vec{0}\), apakah selalu \(\vec{b}=\vec{c}\)? Buktikan atau berikan kontra contoh.
Sulit14. Sudut antara vektor \(\vec{a}+\vec{b}\) dan \(\vec{a}-\vec{b}\) jika \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{b}|=2\).
Sulit15. Dalam tetrahedron beraturan sisi \(a\), tentukan sudut antara dua rusuk yang bertemu di satu titik.