Definisi Nilai Mutlak
Materi Matematika β Kelas X SMA/SMK
π Materi: Definisi Nilai Mutlak
1. Pengertian Nilai Mutlak
Nilai mutlak (absolute value) dari suatu bilangan real adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, tanpa memperhatikan arah (positif atau negatif).
Nilai mutlak selalu bernilai non-negatif (β₯ 0).
Notasi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari x ditulis: |x|
Dibaca: “nilai mutlak x” atau “harga mutlak x“
Definisi Formal
|x| =
x , jika x β₯ 0
βx , jika x < 0
Catatan: “βx” bukan berarti negatif, melainkan “lawan dari x“. Jika x = β3, maka βx = β(β3) = 3.
2. Ilustrasi pada Garis Bilangan
Nilai mutlak menunjukkan jarak ke titik nol:
Baik β3 maupun 3 memiliki jarak yang sama dari nol, yaitu 3 satuan.
3. Tabel Nilai Mutlak
Berikut tabel beberapa nilai mutlak:
| x | |x| | Keterangan |
|---|---|---|
| 5 | 5 | Positif β tetap |
| β5 | 5 | Negatif β dilawankan |
| 0 | 0 | Nol β tetap nol |
| βΒ½ | Β½ | Negatif β dilawankan |
| β2 | β2 | Positif β tetap |
| βΟ | Ο | Negatif β dilawankan |
4. Sifat-Sifat Nilai Mutlak
Untuk setiap bilangan real a dan b:
- |a| β₯ 0 (selalu non-negatif)
- |a| = 0 βΊ a = 0
- |βa| = |a|
- |a Β· b| = |a| Β· |b|
- |a / b| = |a| / |b|, b β 0
- |a + b| β€ |a| + |b| (ketaksamaan segitiga)
- aΒ² = |a|Β²
5. Grafik Fungsi Nilai Mutlak
Grafik y = |x| berbentuk huruf “V” dengan titik puncak di (0, 0):
Grafik y = |x| simetris terhadap sumbu-y
π Contoh Soal & Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Mudah
1. Tentukan nilai dari |7|
Pembahasan:
Karena 7 > 0 (positif), maka |7| = 7.
Berdasarkan definisi: jika x β₯ 0, maka |x| = x.
Jawaban: |7| = 7
2. Tentukan nilai dari |β4|
Pembahasan:
Karena β4 < 0 (negatif), maka |β4| = β(β4) = 4.
Berdasarkan definisi: jika x < 0, maka |x| = βx.
Jawaban: |β4| = 4
3. Tentukan nilai dari |0|
Pembahasan:
Karena 0 β₯ 0, maka |0| = 0.
Nol adalah satu-satunya bilangan yang nilai mutlaknya sama dengan nol.
Jawaban: |0| = 0
4. Tentukan nilai dari |βΒ½|
Pembahasan:
Karena βΒ½ < 0 (negatif), maka |βΒ½| = β(βΒ½) = Β½.
Jawaban: |βΒ½| = Β½
5. Tentukan nilai dari |3| + |β2|
Pembahasan:
|3| = 3 (karena 3 > 0)
|β2| = 2 (karena β2 < 0, maka β(β2) = 2)
Jadi |3| + |β2| = 3 + 2 = 5
Jawaban: 5
SEDANG Contoh Soal Sedang
1. Tentukan nilai dari |3 β 8|
Pembahasan:
Hitung dulu isi dalam nilai mutlak: 3 β 8 = β5
Karena β5 < 0, maka |β5| = β(β5) = 5
Jawaban: |3 β 8| = 5
2. Tentukan nilai dari |2 β 9| β |4 β 1|
Pembahasan:
|2 β 9| = |β7| = 7
|4 β 1| = |3| = 3
Jadi |2 β 9| β |4 β 1| = 7 β 3 = 4
Jawaban: 4
3. Tentukan nilai x jika |x| = 6
Pembahasan:
Berdasarkan definisi, |x| = 6 berarti jarak x dari nol adalah 6.
Maka x = 6 atau x = β6
Jawaban: x = 6 atau x = β6
4. Tentukan nilai dari 2|β3| + |5 β 12|
Pembahasan:
2|β3| = 2 Γ 3 = 6
|5 β 12| = |β7| = 7
Jadi 2|β3| + |5 β 12| = 6 + 7 = 13
Jawaban: 13
5. Jika x = β3, tentukan nilai dari |2x + 1|
Pembahasan:
Substitusi x = β3:
|2(β3) + 1| = |β6 + 1| = |β5| = 5
Jawaban: 5
SULIT Contoh Soal Sulit
1. Tentukan nilai x yang memenuhi |2x β 3| = 7
Pembahasan:
|2x β 3| = 7 artinya:
Kasus 1: 2x β 3 = 7 β 2x = 10 β x = 5
Kasus 2: 2x β 3 = β7 β 2x = β4 β x = β2
Verifikasi:
β’ x = 5: |2(5) β 3| = |7| = 7 β
β’ x = β2: |2(β2) β 3| = |β7| = 7 β
Jawaban: x = 5 atau x = β2
2. Tentukan nilai dari ||β8| β |3 β 11|| + |β2|
Pembahasan:
Kerjakan dari dalam keluar:
|β8| = 8
|3 β 11| = |β8| = 8
||β8| β |3 β 11|| = |8 β 8| = |0| = 0
|β2| = 2
Jadi: 0 + 2 = 2
Jawaban: 2
3. Buktikan bahwa |a Β· b| = |a| Β· |b| menggunakan definisi
Pembahasan:
Kita tinjau 4 kasus:
Kasus 1: a β₯ 0 dan b β₯ 0 β ab β₯ 0
|ab| = ab = |a| Β· |b| β
Kasus 2: a β₯ 0 dan b < 0 β ab β€ 0
|ab| = β(ab) = a Β· (βb) = |a| Β· |b| β
Kasus 3: a < 0 dan b β₯ 0 β ab β€ 0
|ab| = β(ab) = (βa) Β· b = |a| Β· |b| β
Kasus 4: a < 0 dan b < 0 β ab > 0
|ab| = ab = (βa)(βb) = |a| Β· |b| β
Terbukti untuk semua kasus. β‘
4. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |x + 2| = |3x β 4|
Pembahasan:
|A| = |B| βΊ A = B atau A = βB
Kasus 1: x + 2 = 3x β 4
2 + 4 = 3x β x β 6 = 2x β x = 3
Kasus 2: x + 2 = β(3x β 4)
x + 2 = β3x + 4 β 4x = 2 β x = Β½
Verifikasi:
β’ x = 3: |3+2| = |5| = 5; |3(3)β4| = |5| = 5 β
β’ x = Β½: |Β½+2| = |2,5| = 2,5; |3(Β½)β4| = |β2,5| = 2,5 β
Jawaban: x = 3 atau x = Β½
5. Tentukan nilai minimum dari f(x) = |x β 1| + |x β 5|
Pembahasan:
|x β 1| adalah jarak x ke 1, dan |x β 5| adalah jarak x ke 5.
f(x) = jarak x ke 1 + jarak x ke 5
Berdasarkan ketaksamaan segitiga, jumlah jarak minimum terjadi ketika x berada di antara 1 dan 5 (yaitu 1 β€ x β€ 5).
Untuk 1 β€ x β€ 5:
f(x) = (x β 1) + (5 β x) = 4
Untuk x < 1: f(x) = (1βx) + (5βx) = 6 β 2x > 4
Untuk x > 5: f(x) = (xβ1) + (xβ5) = 2x β 6 > 4
Jawaban: Nilai minimum = 4, dicapai untuk semua x β [1, 5]
βοΈ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tulis jawabanmu di buku latihan!
MUDAH Latihan Mudah
1. Tentukan nilai dari |12|
2. Tentukan nilai dari |β9|
3. Tentukan nilai dari |βΒΎ|
4. Tentukan nilai dari |6| β |β3|
5. Tentukan nilai dari |β10| + |4|
SEDANG Latihan Sedang
1. Tentukan nilai dari |5 β 13|
2. Tentukan semua nilai x jika |x| = 9
3. Jika x = β4, tentukan nilai dari |3x + 5|
4. Tentukan nilai dari 3|β4| β 2|7 β 10|
5. Tentukan nilai dari |β6| Γ |β2| β |8 β 15|
SULIT Latihan Sulit
1. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |3x + 1| = 10
2. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |x β 3| = |2x + 1|
3. Tentukan nilai dari ||β5| β |2 β 9|| Γ |β3|
4. Tentukan nilai minimum dari g(x) = |x + 3| + |x β 2|
5. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |xΒ² β 4| = |x + 2|