📐 Materi Logaritma
Matematika Kelas X — Panduan Lengkap
1. Pengertian Logaritma
Definisi
Logaritma adalah operasi kebalikan (invers) dari perpangkatan. Jika kita mengetahui bahwa:
\( a^n = b \)
Maka bentuk logaritmanya adalah:
\( ^a\!\log b = n \)
Keterangan:
- \( a \) = bilangan pokok (basis), dengan syarat \( a > 0 \) dan \( a \neq 1 \)
- \( b \) = bilangan yang dicari logaritmanya (numerus), dengan syarat \( b > 0 \)
- \( n \) = hasil logaritma
⚠️ Catatan Penting:
- Jika basis tidak ditulis, maka basis = 10 (logaritma biasa). Contoh: \(\log 100 = {^{10}\!\log 100}\)
- Logaritma natural menggunakan basis \(e \approx 2{,}718\), ditulis \(\ln x\)
📝 Contoh Soal — Pengertian Logaritma
MUDAH5 Soal
1. Nyatakan \(2^5 = 32\) dalam bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: \(2^5 = 32\)
Berdasarkan definisi: jika \(a^n = b\), maka \(^a\!\log b = n\)
Sehingga: \(^2\!\log 32 = 5\) ✓
2. Nyatakan \(3^4 = 81\) dalam bentuk logaritma!
Lihat Pembahasan
Diketahui: \(3^4 = 81\)
Maka: \(^3\!\log 81 = 4\) ✓
3. Tentukan nilai \(^2\!\log 8\)!
Lihat Pembahasan
Kita cari \(n\) sehingga \(2^n = 8\)
\(2^1 = 2,\quad 2^2 = 4,\quad 2^3 = 8\)
Jadi \(^2\!\log 8 = 3\) ✓
4. Tentukan nilai \(^5\!\log 25\)!
Lihat Pembahasan
\(5^n = 25\)
\(5^2 = 25\)
Jadi \(^5\!\log 25 = 2\) ✓
5. Tentukan nilai \(^{10}\!\log 1000\)!
Lihat Pembahasan
\(10^n = 1000\)
\(10^3 = 1000\)
Jadi \(^{10}\!\log 1000 = 3\) ✓
SEDANG5 Soal
1. Tentukan nilai \(^2\!\log \frac{1}{16}\)!
Lihat Pembahasan
\(\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}\)
Jadi \(^2\!\log \frac{1}{16} = -4\) ✓
2. Tentukan nilai \(^4\!\log 8\)!
Lihat Pembahasan
Ubah ke basis 2: \(4 = 2^2\) dan \(8 = 2^3\)
\(^4\!\log 8 = \frac{^2\!\log 8}{^2\!\log 4} = \frac{3}{2}\) ✓
3. Tentukan nilai \(^9\!\log 27\)!
Lihat Pembahasan
\(9 = 3^2,\quad 27 = 3^3\)
\(^9\!\log 27 = \frac{^3\!\log 27}{^3\!\log 9} = \frac{3}{2}\) ✓
4. Tentukan nilai \(^3\!\log \sqrt{27}\)!
Lihat Pembahasan
\(\sqrt{27} = 27^{1/2} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}\)
Jadi \(^3\!\log 3^{3/2} = \frac{3}{2}\) ✓
5. Jika \(^2\!\log 3 = a\), nyatakan \(^2\!\log 12\) dalam \(a\)!
Lihat Pembahasan
\(^2\!\log 12 = {^2\!\log(4 \times 3)} = {^2\!\log 4} + {^2\!\log 3}\)
\(= 2 + a\) ✓
SULIT5 Soal
1. Jika \(^2\!\log 3 = p\) dan \(^2\!\log 5 = q\), tentukan \(^6\!\log 15\) dalam \(p\) dan \(q\)!
Lihat Pembahasan
\(^6\!\log 15 = \frac{^2\!\log 15}{^2\!\log 6}\)
\(^2\!\log 15 = {^2\!\log 3} + {^2\!\log 5} = p + q\)
\(^2\!\log 6 = {^2\!\log 2} + {^2\!\log 3} = 1 + p\)
Jadi \(^6\!\log 15 = \frac{p + q}{1 + p}\) ✓
2. Tentukan nilai \(x\) jika \(^3\!\log(x-1) + {^3\!\log(x+1)} = {^3\!\log 8}\)!
Lihat Pembahasan
\(^3\!\log[(x-1)(x+1)] = {^3\!\log 8}\)
\((x-1)(x+1) = 8\)
\(x^2 – 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) atau \(x = -3\)
Syarat numerus: \(x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1\) dan \(x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1\)
Jadi \(x = 3\) ✓
3. Sederhanakan: \(\frac{^5\!\log 8 \times {^2\!\log 25}}{^5\!\log 2}\)!
Lihat Pembahasan
\(^5\!\log 8 = {^5\!\log 2^3} = 3 \cdot {^5\!\log 2}\)
\(^2\!\log 25 = {^2\!\log 5^2} = 2 \cdot {^2\!\log 5}\)
\(\frac{3 \cdot {^5\!\log 2} \times 2 \cdot {^2\!\log 5}}{^5\!\log 2} = 6 \cdot {^2\!\log 5}\)
Karena \(^2\!\log 5 \times {^5\!\log 2} = 1\), maka \(^2\!\log 5 = \frac{1}{^5\!\log 2}\)
Sebenarnya langsung: \(= 6 \cdot {^2\!\log 5}\). Namun jika menggunakan sifat rantai:
\(^5\!\log 8 \times {^2\!\log 25} = {^5\!\log 2^3} \times {^2\!\log 5^2} = 3 \times 2 \times {^5\!\log 2} \times {^2\!\log 5}\)
Karena \(^5\!\log 2 \times {^2\!\log 5} = 1\), hasilnya \(= 6\)
Maka: \(\frac{6}{^5\!\log 2} = 6 \times {^2\!\log 5}\). Tapi evaluasi lagi: pembilang = 6, dibagi \(^5\!\log 2\):
\(= \frac{6}{^5\!\log 2} = 6 \cdot {^2\!\log 5}\)
Jawaban: \(6 \cdot {^2\!\log 5}\) atau jika soal ingin numerik ≈ 13,93. Bentuk sederhana = \(6 \cdot {^2\!\log 5}\) ✓
4. Tentukan himpunan penyelesaian: \((\log x)^2 – 5\log x + 6 = 0\)!
Lihat Pembahasan
Misalkan \(t = \log x\)
\(t^2 – 5t + 6 = 0\)
\((t-2)(t-3) = 0\)
\(t = 2 \Rightarrow \log x = 2 \Rightarrow x = 100\)
\(t = 3 \Rightarrow \log x = 3 \Rightarrow x = 1000\)
HP = \(\{100,\ 1000\}\) ✓
5. Buktikan bahwa \(^a\!\log b \times {^b\!\log c} \times {^c\!\log a} = 1\)!
Lihat Pembahasan
Gunakan rumus konversi: \(^a\!\log b = \frac{\ln b}{\ln a}\)
\(^a\!\log b \times {^b\!\log c} \times {^c\!\log a} = \frac{\ln b}{\ln a} \times \frac{\ln c}{\ln b} \times \frac{\ln a}{\ln c}\)
\(= \frac{\ln b \cdot \ln c \cdot \ln a}{\ln a \cdot \ln b \cdot \ln c} = 1\) ✓ (terbukti)
✏️ Latihan Soal — Pengertian Logaritma
Mudah:
- Nyatakan \(7^2 = 49\) dalam bentuk logaritma!
- Tentukan nilai \(^4\!\log 64\)!
- Tentukan nilai \(^{10}\!\log 10000\)!
- Nyatakan \(5^3 = 125\) dalam bentuk logaritma!
- Tentukan nilai \(^6\!\log 36\)!
Sedang:
- Tentukan nilai \(^8\!\log 32\)!
- Tentukan nilai \(^{27}\!\log 9\)!
- Tentukan nilai \(^5\!\log \frac{1}{125}\)!
- Jika \(^3\!\log 5 = a\), nyatakan \(^3\!\log 45\) dalam \(a\)!
- Tentukan nilai \(^2\!\log \sqrt[3]{16}\)!
Sulit:
- Jika \(^3\!\log 2 = m\), tentukan \(^{12}\!\log 18\) dalam \(m\)!
- Tentukan nilai \(x\) jika \(^2\!\log(2x+1) = 3\)!
- Sederhanakan \(^4\!\log 9 \times {^{27}\!\log 8}\)!
- Tentukan HP dari \(^2\!\log(x^2 – 3x + 2) = 1\)!
- Buktikan \(^{a^2}\!\log b^3 = \frac{3}{2} \cdot {^a\!\log b}\)!
2. Sifat-sifat Logaritma
Sifat-sifat Utama
| No | Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Logaritma 1 | \(^a\!\log 1 = 0\) |
| 2 | Logaritma basis sendiri | \(^a\!\log a = 1\) |
| 3 | Logaritma perkalian | \(^a\!\log(b \times c) = {^a\!\log b} + {^a\!\log c}\) |
| 4 | Logaritma pembagian | \(^a\!\log \frac{b}{c} = {^a\!\log b} – {^a\!\log c}\) |
| 5 | Logaritma pangkat | \(^a\!\log b^n = n \cdot {^a\!\log b}\) |
| 6 | Perubahan basis | \(^a\!\log b = \frac{^c\!\log b}{^c\!\log a}\) |
| 7 | Logaritma rantai | \(^a\!\log b \times {^b\!\log c} = {^a\!\log c}\) |
| 8 | Logaritma balikan | \(^a\!\log b = \frac{1}{^b\!\log a}\) |
| 9 | Pangkat di basis | \(^{a^m}\!\log b^n = \frac{n}{m} \cdot {^a\!\log b}\) |
| 10 | Perpangkatan logaritma | \(a^{^a\!\log b} = b\) |
📝 Contoh Soal — Sifat-sifat Logaritma
MUDAH5 Soal
1. Sederhanakan \(^2\!\log 4 + {^2\!\log 8}\)!
Lihat Pembahasan
Sifat perkalian: \(^2\!\log 4 + {^2\!\log 8} = {^2\!\log(4 \times 8)} = {^2\!\log 32}\)
\(= {^2\!\log 2^5} = 5\) ✓
2. Sederhanakan \(^3\!\log 27 – {^3\!\log 9}\)!
Lihat Pembahasan
Sifat pembagian: \(^3\!\log 27 – {^3\!\log 9} = {^3\!\log \frac{27}{9}} = {^3\!\log 3} = 1\) ✓
3. Tentukan nilai \(^5\!\log 5^7\)!
Lihat Pembahasan
Sifat pangkat: \(^5\!\log 5^7 = 7 \cdot {^5\!\log 5} = 7 \times 1 = 7\) ✓
4. Tentukan nilai \(^7\!\log 1\)!
Lihat Pembahasan
Sifat logaritma 1: \(^a\!\log 1 = 0\) untuk semua \(a\)
Jadi \(^7\!\log 1 = 0\) ✓
5. Sederhanakan \(^2\!\log 16^3\)!
Lihat Pembahasan
\(^2\!\log 16^3 = 3 \cdot {^2\!\log 16} = 3 \times 4 = 12\) ✓
SEDANG5 Soal
1. Sederhanakan \(^2\!\log 6 + {^2\!\log 8} – {^2\!\log 3}\)!
Lihat Pembahasan
\(= {^2\!\log \frac{6 \times 8}{3}} = {^2\!\log 16} = 4\) ✓
2. Tentukan nilai \(^3\!\log 5 \times {^5\!\log 9}\)!
Lihat Pembahasan
Sifat rantai: \(^3\!\log 5 \times {^5\!\log 9} = {^3\!\log 9} = {^3\!\log 3^2} = 2\) ✓
3. Jika \(\log 2 = 0{,}301\), tentukan \(\log 50\)!
Lihat Pembahasan
\(\log 50 = \log \frac{100}{2} = \log 100 – \log 2 = 2 – 0{,}301 = 1{,}699\) ✓
4. Sederhanakan \(^2\!\log 3 \times {^9\!\log 16}\)!
Lihat Pembahasan
\(^9\!\log 16 = {^{3^2}\!\log 2^4} = \frac{4}{2} \cdot {^3\!\log 2} = 2 \cdot {^3\!\log 2}\)
\(^2\!\log 3 \times 2 \cdot {^3\!\log 2} = 2 \times ({^2\!\log 3} \times {^3\!\log 2}) = 2 \times 1 = 2\) ✓
5. Tentukan nilai \(\frac{1}{^4\!\log 3} + \frac{1}{^4\!\log 9}\)!
Lihat Pembahasan
Sifat balikan: \(\frac{1}{^4\!\log 3} = {^3\!\log 4}\) dan \(\frac{1}{^4\!\log 9} = {^9\!\log 4}\)
\(^3\!\log 4 + {^9\!\log 4}\)
\(^9\!\log 4 = \frac{^3\!\log 4}{^3\!\log 9} = \frac{^3\!\log 4}{2}\)
\(= {^3\!\log 4} + \frac{^3\!\log 4}{2} = \frac{3}{2} \cdot {^3\!\log 4} = \frac{3}{2} \times \frac{2\log 2}{\log 3}\)
Atau: \(^3\!\log 4 = 2 \cdot {^3\!\log 2}\), jadi \(= 2\cdot{^3\!\log 2} + {^3\!\log 2} = 3\cdot{^3\!\log 2}\)
Wait, let me recalculate: \(\frac{^3\!\log 4}{2} = \frac{2\cdot{^3\!\log 2}}{2} = {^3\!\log 2}\)
Total \(= 2\cdot{^3\!\log 2} + {^3\!\log 2} = 3\cdot{^3\!\log 2} = {^3\!\log 2^3} = {^3\!\log 8}\) ✓
SULIT5 Soal
1. Jika \(^2\!\log 3 = a\) dan \(^3\!\log 5 = b\), tentukan \(^{10}\!\log 30\) dalam \(a\) dan \(b\)!
Lihat Pembahasan
\(\log 30 = \log(2 \times 3 \times 5) = \log 2 + \log 3 + \log 5\)
Dari \(^2\!\log 3 = a\): \(\log 3 = a \cdot \log 2\)
Dari \(^3\!\log 5 = b\): \(\log 5 = b \cdot \log 3 = ab \cdot \log 2\)
Karena \(\log 2 + \log 5 = \log 10 = 1\): \(\log 2 + ab \cdot \log 2 = 1\)
\(\log 2(1 + ab) = 1 \Rightarrow \log 2 = \frac{1}{1+ab}\)
\(\log 3 = \frac{a}{1+ab}\), \(\log 5 = \frac{ab}{1+ab}\)
\(\log 30 = \frac{1}{1+ab} + \frac{a}{1+ab} + \frac{ab}{1+ab} = \frac{1+a+ab}{1+ab}\) ✓
2. Tentukan nilai \(^2\!\log 3 \cdot {^3\!\log 4} \cdot {^4\!\log 5} \cdot {^5\!\log 6} \cdot {^6\!\log 7} \cdot {^7\!\log 8}\)!
Lihat Pembahasan
Sifat rantai berulang:
\(^2\!\log 3 \cdot {^3\!\log 4} \cdot {^4\!\log 5} \cdot {^5\!\log 6} \cdot {^6\!\log 7} \cdot {^7\!\log 8} = {^2\!\log 8}\)
\(= {^2\!\log 2^3} = 3\) ✓
3. Tentukan nilai \(9^{^3\!\log 5} + 4^{^2\!\log 3}\)!
Lihat Pembahasan
\(9^{^3\!\log 5} = (3^2)^{^3\!\log 5} = 3^{2 \cdot {^3\!\log 5}} = 3^{^3\!\log 5^2} = 3^{^3\!\log 25}\)
Sifat \(a^{^a\!\log b} = b\): maka \(3^{^3\!\log 25} = 25\)
\(4^{^2\!\log 3} = (2^2)^{^2\!\log 3} = 2^{2 \cdot {^2\!\log 3}} = 2^{^2\!\log 9} = 9\)
Jadi: \(25 + 9 = 34\) ✓
4. Jika \(^x\!\log 2 = p\) dan \(^x\!\log 3 = q\), nyatakan \(^{12}\!\log 9x^3\) dalam \(p, q\)!
Lihat Pembahasan
\(^{12}\!\log 9x^3 = \frac{^x\!\log 9x^3}{^x\!\log 12}\)
Pembilang: \(^x\!\log 9x^3 = {^x\!\log 9} + {^x\!\log x^3} = 2q + 3\)
Penyebut: \(^x\!\log 12 = {^x\!\log(4 \times 3)} = {^x\!\log 4} + {^x\!\log 3} = 2p + q\)
Jadi: \(\frac{2q + 3}{2p + q}\) ✓
5. Tentukan nilai \(\frac{1}{1 + {^a\!\log b}} + \frac{1}{1 + {^b\!\log a}}\)!
Lihat Pembahasan
Misal \(^a\!\log b = k\), maka \(^b\!\log a = \frac{1}{k}\)
\(\frac{1}{1+k} + \frac{1}{1+\frac{1}{k}} = \frac{1}{1+k} + \frac{k}{k+1}\)
\(= \frac{1}{1+k} + \frac{k}{1+k} = \frac{1+k}{1+k} = 1\) ✓
✏️ Latihan Soal — Sifat-sifat Logaritma
Mudah:
- Sederhanakan \(^3\!\log 9 + {^3\!\log 3}\)!
- Tentukan nilai \(^2\!\log 32 – {^2\!\log 4}\)!
- Sederhanakan \(^5\!\log 125^2\)!
- Tentukan nilai \(^4\!\log 1 + {^4\!\log 4}\)!
- Sederhanakan \(2 \cdot {^3\!\log 9}\)!
Sedang:
- Sederhanakan \(^2\!\log 12 + {^2\!\log 4} – {^2\!\log 6}\)!
- Tentukan nilai \(^4\!\log 5 \times {^5\!\log 16}\)!
- Jika \(\log 3 = 0{,}477\), tentukan \(\log 90\)!
- Sederhanakan \(\frac{^2\!\log 27}{^2\!\log 9}\)!
- Tentukan nilai \(^2\!\log 5 + {^2\!\log \frac{16}{5}}\)!
Sulit:
- Jika \(^5\!\log 2 = m\), nyatakan \(^{25}\!\log 40\) dalam \(m\)!
- Tentukan nilai \(25^{^5\!\log 3} – 8^{^2\!\log 5}\)!
- Sederhanakan \(\frac{^3\!\log 5 \times {^{25}\!\log 81}}{^9\!\log \sqrt{5}}\)!
- Tentukan nilai \(\frac{1}{^2\!\log 6} + \frac{1}{^3\!\log 6}\)!
- Jika \(^a\!\log 5 = x\) dan \(^a\!\log 3 = y\), tentukan \(^{75}\!\log a^2\) dalam \(x, y\)!
3. Menentukan Nilai Logaritma dengan Alat Bantu
Metode yang Tersedia
A. Tabel Logaritma
Tabel logaritma berisi nilai \(\log x\) untuk \(x\) antara 1 hingga 10. Untuk bilangan di luar rentang tersebut, gunakan sifat:
\(\log(a \times 10^n) = \log a + n\), di mana \(1 \leq a < 10\)
Contoh: \(\log 350 = \log(3{,}5 \times 10^2) = \log 3{,}5 + 2\)
B. Kalkulator Ilmiah
Tekan tombol log untuk \(\log_{10}\) atau ln untuk \(\ln\).
Untuk basis lain: \(^a\!\log b = \frac{\log b}{\log a}\)
C. Nilai Logaritma Penting
📝 Contoh Soal — Menentukan Nilai Logaritma
MUDAH5 Soal
1. Dengan \(\log 2 = 0{,}301\), tentukan \(\log 4\)!
Lihat Pembahasan
\(\log 4 = \log 2^2 = 2 \log 2 = 2 \times 0{,}301 = 0{,}602\) ✓
2. Dengan \(\log 2 = 0{,}301\), tentukan \(\log 5\)!
Lihat Pembahasan
\(\log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 – \log 2 = 1 – 0{,}301 = 0{,}699\) ✓
3. Tentukan \(\log 200\) jika \(\log 2 = 0{,}301\)!
Lihat Pembahasan
\(\log 200 = \log(2 \times 100) = \log 2 + \log 100 = 0{,}301 + 2 = 2{,}301\) ✓
4. Tentukan \(\log 0{,}01\)!
Lihat Pembahasan
\(\log 0{,}01 = \log 10^{-2} = -2\) ✓
5. Tentukan \(\log 8\) jika \(\log 2 = 0{,}301\)!
Lihat Pembahasan
\(\log 8 = \log 2^3 = 3 \times 0{,}301 = 0{,}903\) ✓
SEDANG5 Soal
1. Tentukan \(\log 0{,}125\) jika \(\log 2 = 0{,}301\)!
Lihat Pembahasan
\(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\)
\(\log 0{,}125 = -3 \log 2 = -3 \times 0{,}301 = -0{,}903\) ✓
2. Tentukan \(\log 12\) jika \(\log 2 = 0{,}301\) dan \(\log 3 = 0{,}477\)!
Lihat Pembahasan
\(\log 12 = \log(4 \times 3) = \log 4 + \log 3 = 2\log 2 + \log 3\)
\(= 2(0{,}301) + 0{,}477 = 0{,}602 + 0{,}477 = 1{,}079\) ✓
3. Tentukan \(^2\!\log 7\) menggunakan \(\log 2 = 0{,}301\) dan \(\log 7 = 0{,}845\)!
Lihat Pembahasan
Rumus perubahan basis: \(^2\!\log 7 = \frac{\log 7}{\log 2} = \frac{0{,}845}{0{,}301} \approx 2{,}807\) ✓
4. Tentukan \(\log \sqrt{500}\) jika \(\log 5 = 0{,}699\)!
Lihat Pembahasan
\(\log \sqrt{500} = \frac{1}{2}\log 500 = \frac{1}{2}\log(5 \times 100)\)
\(= \frac{1}{2}(\log 5 + 2) = \frac{1}{2}(0{,}699 + 2) = \frac{2{,}699}{2} = 1{,}3495\) ✓
5. Tentukan \(\log 0{,}06\) jika \(\log 2 = 0{,}301\) dan \(\log 3 = 0{,}477\)!
Lihat Pembahasan
\(\log 0{,}06 = \log \frac{6}{100} = \log 6 – 2\)
\(\log 6 = \log 2 + \log 3 = 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778\)
\(\log 0{,}06 = 0{,}778 – 2 = -1{,}222\) ✓
SULIT5 Soal
1. Tentukan banyaknya digit bilangan \(2^{100}\) jika \(\log 2 = 0{,}301\)!
Lihat Pembahasan
Banyak digit = \(\lfloor \log N \rfloor + 1\)
\(\log 2^{100} = 100 \times \log 2 = 100 \times 0{,}301 = 30{,}1\)
Banyak digit = \(\lfloor 30{,}1 \rfloor + 1 = 30 + 1 = 31\) digit ✓
2. Tentukan \(^5\!\log 12\) dalam bentuk desimal (gunakan \(\log 2 = 0{,}301\), \(\log 3 = 0{,}477\))!
Lihat Pembahasan
\(^5\!\log 12 = \frac{\log 12}{\log 5}\)
\(\log 12 = 2\log 2 + \log 3 = 0{,}602 + 0{,}477 = 1{,}079\)
\(\log 5 = 1 – \log 2 = 0{,}699\)
\(^5\!\log 12 = \frac{1{,}079}{0{,}699} \approx 1{,}544\) ✓
3. Berapa angka nol di belakang koma pada \(0{,}5^{20}\)? (Gunakan \(\log 2 = 0{,}301\))
Lihat Pembahasan
\(\log(0{,}5^{20}) = 20 \log 0{,}5 = 20 \times (-\log 2) = 20 \times (-0{,}301) = -6{,}02\)
Karena \(-6{,}02\) berarti \(0{,}5^{20} = 10^{-6{,}02} \approx 9{,}5 \times 10^{-7}\)
Banyak nol di belakang koma = 6 nol ✓
4. Tentukan \(\log_3 7 + \log_3 \frac{9}{7}\) tanpa kalkulator!
Lihat Pembahasan
\(^3\!\log 7 + {^3\!\log \frac{9}{7}} = {^3\!\log\left(7 \times \frac{9}{7}\right)} = {^3\!\log 9} = {^3\!\log 3^2} = 2\) ✓
5. Tentukan nilai \(x\) jika \(\log x = 2{,}5\) (nyatakan dalam akar)!
Lihat Pembahasan
\(\log x = 2{,}5 = \frac{5}{2}\)
\(x = 10^{5/2} = 10^2 \times 10^{1/2} = 100\sqrt{10}\)
\(\approx 100 \times 3{,}162 = 316{,}2\)
Jadi \(x = 100\sqrt{10}\) ✓
✏️ Latihan Soal — Menentukan Nilai Logaritma
Mudah:
- Tentukan \(\log 25\) jika \(\log 5 = 0{,}699\)!
- Tentukan \(\log 300\) jika \(\log 3 = 0{,}477\)!
- Tentukan \(\log 0{,}001\)!
- Tentukan \(\log 16\) jika \(\log 2 = 0{,}301\)!
- Tentukan \(\log 500\) jika \(\log 5 = 0{,}699\)!
Sedang:
- Tentukan \(\log 0{,}072\) jika \(\log 2 = 0{,}301\) dan \(\log 3 = 0{,}477\)!
- Tentukan \(^3\!\log 11\) menggunakan perubahan basis!
- Tentukan \(\log \sqrt[3]{9}\) jika \(\log 3 = 0{,}477\)!
- Tentukan \(\log 0{,}45\) jika \(\log 2 = 0{,}301\) dan \(\log 3 = 0{,}477\)!
- Tentukan \(^7\!\log 5\) menggunakan \(\log 5 = 0{,}699\) dan \(\log 7 = 0{,}845\)!
Sulit:
- Berapa digit bilangan \(5^{50}\)?
- Tentukan banyak nol di belakang koma pada \(0{,}2^{15}\)!
- Tentukan \(^6\!\log 72\) dalam bentuk desimal!
- Jika \(\log x = -1{,}5\), nyatakan \(x\) dalam bentuk pecahan!
- Tentukan \(n\) terkecil sehingga \(3^n > 10^6\)!
4. Memecahkan Masalah yang Berhubungan dengan Logaritma
Langkah-langkah Pemecahan Masalah
- Identifikasi: Kenali variabel dan informasi yang diketahui
- Model matematika: Ubah masalah ke bentuk persamaan logaritma
- Selesaikan: Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikan
- Periksa: Verifikasi syarat (basis > 0, ≠ 1; numerus > 0)
Aplikasi Umum Logaritma:
- Pertumbuhan/Peluruhan: \(N = N_0 \cdot a^t\) → selesaikan \(t\) dengan logaritma
- Skala pH: \(\text{pH} = -\log[H^+]\)
- Desibel: \(dB = 10 \log\frac{I}{I_0}\)
- Skala Richter: \(M = \log\frac{A}{A_0}\)
- Bunga majemuk: \(A = P(1+r)^n\)
📝 Contoh Soal — Pemecahan Masalah
MUDAH5 Soal
1. Tentukan nilai \(x\) dari persamaan \(^2\!\log x = 5\)!
Lihat Pembahasan
\(^2\!\log x = 5\)
\(x = 2^5 = 32\) ✓
2. Tentukan nilai \(x\) dari \(\log x = 3\)!
Lihat Pembahasan
\(\log x = 3 \Rightarrow x = 10^3 = 1000\) ✓
3. Tentukan nilai \(x\) jika \(^3\!\log(x+1) = 2\)!
Lihat Pembahasan
\(x + 1 = 3^2 = 9\)
\(x = 8\) ✓ (cek: \(x+1 = 9 > 0\), memenuhi syarat)
4. Berapa lama uang menjadi dua kali lipat jika bunga 10% per tahun? (gunakan \(\log 2 = 0{,}301\))
Lihat Pembahasan
\(2P = P(1{,}1)^n\)
\(2 = 1{,}1^n\)
\(\log 2 = n \log 1{,}1\)
\(\log 1{,}1 = \log \frac{11}{10} = \log 11 – 1 \approx 0{,}0414\)
\(n = \frac{0{,}301}{0{,}0414} \approx 7{,}27\) tahun ≈ 8 tahun ✓
5. Tentukan pH larutan dengan \([H^+] = 10^{-4}\)!
Lihat Pembahasan
\(\text{pH} = -\log[H^+] = -\log 10^{-4} = -(-4) = 4\) ✓
SEDANG5 Soal
1. Selesaikan persamaan \(^2\!\log(3x-2) = {^2\!\log(x+6)}\)!
Lihat Pembahasan
Karena basis sama: \(3x – 2 = x + 6\)
\(2x = 8 \Rightarrow x = 4\)
Cek: \(3(4)-2 = 10 > 0\) ✓ dan \(4+6 = 10 > 0\) ✓
2. Populasi bakteri menjadi 3 kali lipat setiap jam. Berapa jam agar populasi 1000 menjadi 243000? (\(\log 3 = 0{,}477\))
Lihat Pembahasan
\(243000 = 1000 \times 3^t\)
\(243 = 3^t\)
\(3^5 = 243\), jadi \(t = 5\) jam ✓
3. Tentukan himpunan penyelesaian \(^5\!\log(x^2-4x) = {^5\!\log 5}\)!
Lihat Pembahasan
\(x^2 – 4x = 5\)
\(x^2 – 4x – 5 = 0\)
\((x-5)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 5\) atau \(x = -1\)
Cek numerus: \(x^2-4x > 0\)
\(x=5\): \(25-20=5 > 0\) ✓
\(x=-1\): \(1+4=5 > 0\) ✓
HP = \(\{-1, 5\}\) ✓
4. Intensitas gempa A adalah 1000 kali gempa B. Berapa selisih skala Richter mereka?
Lihat Pembahasan
\(M_A – M_B = \log\frac{I_A}{I_0} – \log\frac{I_B}{I_0} = \log\frac{I_A}{I_B}\)
\(= \log 1000 = 3\)
Selisih = 3 skala Richter ✓
5. Selesaikan \(4^x = 5\) (gunakan \(\log 2 = 0{,}301\), \(\log 5 = 0{,}699\))!
Lihat Pembahasan
\(\log 4^x = \log 5\)
\(x \log 4 = \log 5\)
\(x = \frac{\log 5}{\log 4} = \frac{0{,}699}{2 \times 0{,}301} = \frac{0{,}699}{0{,}602} \approx 1{,}161\) ✓
SULIT5 Soal
1. Selesaikan: \(^2\!\log(x-1) + {^2\!\log(x-3)} = 3\)!
Lihat Pembahasan
\(^2\!\log[(x-1)(x-3)] = 3\)
\((x-1)(x-3) = 2^3 = 8\)
\(x^2 – 4x + 3 = 8\)
\(x^2 – 4x – 5 = 0\)
\((x-5)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 5\) atau \(x = -1\)
Syarat: \(x-1>0 \Rightarrow x>1\) dan \(x-3>0 \Rightarrow x>3\)
Jadi \(x = 5\) ✓
2. Suatu zat radioaktif meluruh mengikuti \(N = N_0 \cdot (0{,}5)^{t/T}\). Jika waktu paruh \(T = 8\) hari, berapa hari agar zat tersisa 12,5%?
Lihat Pembahasan
\(0{,}125 \cdot N_0 = N_0 \cdot (0{,}5)^{t/8}\)
\(0{,}125 = (0{,}5)^{t/8}\)
\((0{,}5)^3 = (0{,}5)^{t/8}\) (karena \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 0{,}5^3\))
\(\frac{t}{8} = 3 \Rightarrow t = 24\) hari ✓
3. Selesaikan: \((\log x)^2 – \log x^3 – 4 = 0\)!
Lihat Pembahasan
Misalkan \(t = \log x\)
\(t^2 – 3t – 4 = 0\)
\((t-4)(t+1) = 0\)
\(t = 4 \Rightarrow x = 10^4 = 10000\)
\(t = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0{,}1\)
Cek: \(x > 0\) untuk keduanya ✓
HP = \(\{0{,}1;\ 10000\}\) ✓
4. Modal Rp10.000.000 diinvestasikan dengan bunga 5% per tahun (majemuk). Berapa tahun agar modal menjadi Rp20.000.000? (\(\log 1{,}05 = 0{,}0212\))
Lihat Pembahasan
\(20.000.000 = 10.000.000 \times (1{,}05)^n\)
\(2 = 1{,}05^n\)
\(\log 2 = n \cdot \log 1{,}05\)
\(n = \frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{0{,}301}{0{,}0212} \approx 14{,}2\)
Jadi dibutuhkan minimal 15 tahun ✓
5. Selesaikan pertidaksamaan \(^{\frac{1}{3}}\!\log(x^2 – 6x + 8) > -1\)!
Lihat Pembahasan
Syarat: \(x^2 – 6x + 8 > 0 \Rightarrow (x-2)(x-4) > 0 \Rightarrow x < 2\) atau \(x > 4\) … (i)
Karena basis \(\frac{1}{3} < 1\), tanda berubah:
\(x^2 – 6x + 8 < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\)
\(x^2 – 6x + 5 < 0\)
\((x-1)(x-5) < 0 \Rightarrow 1 < x < 5\) … (ii)
Irisan (i) dan (ii): \(1 < x < 2\) atau \(4 < x < 5\)
HP = \(\{x \mid 1 < x < 2 \text{ atau } 4 < x < 5\}\) ✓
✏️ Latihan Soal — Pemecahan Masalah
Mudah:
- Tentukan \(x\) jika \(^4\!\log x = 3\)!
- Tentukan pH larutan dengan \([H^+] = 10^{-7}\)!
- Selesaikan \(^5\!\log(2x+1) = 2\)!
- Tentukan \(x\) jika \(3^x = 81\)!
- Tingkat kebisingan 80 dB berarti intensitas berapa kali \(I_0\)?
Sedang:
- Selesaikan \(^3\!\log(2x-1) = {^3\!\log(x+3)}\)!
- Populasi awal 500 tumbuh 2 kali lipat tiap 3 jam. Kapan mencapai 16000?
- Selesaikan \(2^{x+1} = 3^x\)!
- Tentukan HP dari \(^2\!\log(x^2-x) = {^2\!\log(2x+4)}\)!
- Berapa tahun agar tabungan menjadi 3× lipat dengan bunga 8% per tahun?
Sulit:
- Selesaikan \(^2\!\log(x+2) + {^2\!\log(x-1)} = {^2\!\log(8-2x)}\)!
- Selesaikan \((\log x)^2 + \log x^2 – 3 = 0\)!
- Zat radioaktif meluruh mengikuti \(N=200 \cdot e^{-0{,}05t}\). Kapan tersisa 50 gram?
- Selesaikan pertidaksamaan \(^2\!\log(x-1) \leq 3\)!
- Tentukan domain fungsi \(f(x) = {^2\!\log(x^2 – 5x + 6)}\)!