📐 Vektor pada Bidang (Dimensi Dua)
Materi, Contoh Soal, dan Latihan | SMK — MGMP Matematika Blora
📋 Daftar Isi
- Vektor Posisi
- Menyatakan Vektor pada Bidang
- Sifat-sifat Aljabar Vektor pada Bidang
- Panjang Vektor pada Bidang
💡 Klik ▾ pada setiap bagian untuk membuka/menutup. Klik soal untuk melihat pembahasan.
1. Vektor Posisi
📖 Materi
Definisi Vektor Posisi
Vektor posisi suatu titik adalah vektor yang pangkalnya di titik asal $O(0, 0)$ dan ujungnya di titik tersebut. Vektor posisi titik $P(x, y)$ dinotasikan $\vec{OP}$ atau $\vec{p}$.
Jika $P(x, y)$ adalah sebuah titik pada bidang koordinat, maka vektor posisi titik $P$ terhadap titik asal $O(0,0)$ adalah:
RUMUS VEKTOR POSISI
$$\vec{OP} = \vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
Vektor $\vec{AB}$ dari titik $A(x_1, y_1)$ ke titik $B(x_2, y_2)$ dapat dihitung sebagai:
VEKTOR DARI A KE B
$$\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} = \begin{pmatrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \end{pmatrix}$$
Vektor posisi $\vec{OP}$ dari titik asal $O$ ke titik $P(3, 4)$
Titik Pembagi Ruas Garis: Jika titik $P$ membagi $\overline{AB}$ dengan perbandingan $AP : PB = m : n$, maka:
TITIK PEMBAGI
$$\vec{OP} = \frac{n\,\vec{OA} + m\,\vec{OB}}{m + n}$$
Titik Tengah: Jika $M$ adalah titik tengah $AB$, maka: $\vec{OM} = \dfrac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$
💡 Ingat: Vektor posisi selalu berawal dari titik asal $O(0,0)$. Dua titik yang berbeda memiliki vektor posisi yang berbeda pula.
✏️ Contoh Soal
🟢 Mudah
1
Titik $A(4, 3)$ berada pada bidang koordinat. Tentukan vektor posisi titik $A$ terhadap titik asal $O$!
▾
Pembahasan
1
Vektor posisi suatu titik $P(x, y)$ adalah $\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
2
Titik $A$ memiliki koordinat $x = 4$ dan $y = 3$.
$$\vec{OA} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$
2
Diketahui vektor posisi titik $B$ adalah $\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$. Tentukan koordinat titik $B$!
▾
Pembahasan
1
Vektor posisi $\vec{OB} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$.
2
Dari vektor posisi, diperoleh $x = -5$ dan $y = 2$.
Koordinat titik $B$ adalah $B(-5,\; 2)$
3
Titik $C(0, -6)$ berada pada sumbu-$y$. Tentukan vektor posisi titik $C$!
▾
Pembahasan
1
Koordinat titik $C$ adalah $x = 0$ dan $y = -6$.
2
Titik $C$ terletak di sumbu-$y$ (komponen $x = 0$).
$$\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \end{pmatrix}$$
4
Diketahui titik $D(-3, -4)$. Tentukan vektor posisi titik $D$ terhadap titik asal!
▾
Pembahasan
1
Titik $D$ berada di kuadran III (x negatif, y negatif).
2
Komponen $x = -3$ dan $y = -4$.
$$\vec{OD} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$$
5
Diketahui $\vec{OA} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}$ dan $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$. Tentukan vektor $\vec{AB}$!
▾
Pembahasan
1
Gunakan rumus: $\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA}$
2
$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-7 \\ 5-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix}$
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix}$$
🟡 Sedang
1
Diketahui $A(2, 5)$ dan $B(8, 1)$. Tentukan vektor $\vec{BA}$ dan $\vec{AB}$, kemudian tunjukkan hubungannya!
▾
Pembahasan
1
$\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$
2
$\vec{BA} = \vec{OA} – \vec{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix}$
3
Hubungan: $\vec{BA} = -\vec{AB}$ (vektor berlawanan arah, sama panjang).
$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$, $\;\vec{BA} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\;\vec{BA} = -\vec{AB}$
2
$M$ adalah titik tengah $AB$. Jika $A(1, 4)$ dan $B(7, 10)$, tentukan vektor posisi $M$!
▾
Pembahasan
1
Titik tengah: $\vec{OM} = \dfrac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$
2
$\vec{OM} = \dfrac{1}{2}\left[\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \end{pmatrix}\right] = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 8 \\ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$
$\vec{OM} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$, artinya koordinat $M$ adalah $M(4,\; 7)$
3
Jika $\vec{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$, tentukan koordinat titik $B$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}$
2
$\vec{OB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}$
Titik $B(8,\; 2)$
4
Diketahui $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 2t+1 \\ t-3 \end{pmatrix}$. Jika titik $P$ terletak pada sumbu-$x$, tentukan nilai $t$ dan koordinat $P$!
▾
Pembahasan
1
Titik pada sumbu-$x$ berarti komponen $y = 0$.
2
$t – 3 = 0 \Rightarrow t = 3$
3
Komponen $x$: $2(3) + 1 = 7$
$t = 3$ dan koordinat $P(7,\; 0)$
5
Diketahui segitiga $ABC$ dengan $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,8)$. Tentukan vektor posisi titik berat $G$ segitiga tersebut!
▾
Pembahasan
1
Titik berat segitiga: $G = \left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\; \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$
2
$G_x = \dfrac{0+6+0}{3} = 2$, $\quad G_y = \dfrac{0+0+8}{3} = \dfrac{8}{3}$
$$\vec{OG} = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix}$$
🔴 Sulit
1
Buktikan bahwa titik-titik $A(1, 2)$, $B(3, 5)$, dan $C(7, 11)$ adalah tiga titik yang segaris (kolinear)!
▾
Pembahasan
1
$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
2
$\vec{AC} = \begin{pmatrix} 7-1 \\ 11-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$
3
Perhatikan: $\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, jadi $\vec{AC} = 3\vec{AB}$.
4
Karena $\vec{AC}$ merupakan kelipatan skalar dari $\vec{AB}$ dan keduanya memiliki titik pangkal yang sama ($A$), maka $A$, $B$, $C$ adalah tiga titik yang segaris. ✓
2
Titik $P$ membagi ruas garis $AB$ dengan $AP : PB = 2 : 3$. Jika $A(1, 2)$ dan $B(11, 17)$, tentukan koordinat titik $P$!
▾
Pembahasan
1
Gunakan rumus titik pembagi: $\vec{OP} = \dfrac{n\,\vec{OA} + m\,\vec{OB}}{m + n}$ dengan $m = 2$, $n = 3$.
2
$\vec{OP} = \dfrac{3\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 11 \\ 17 \end{pmatrix}}{2 + 3} = \dfrac{\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 22 \\ 34 \end{pmatrix}}{5} = \dfrac{\begin{pmatrix} 25 \\ 40 \end{pmatrix}}{5} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}$
Koordinat $P(5,\; 8)$
3
Diketahui jajar genjang $ABCD$ dengan $A(1, 2)$, $B(5, 3)$, $C(7, 8)$. Tentukan koordinat titik $D$!
▾
Pembahasan
1
Pada jajar genjang $ABCD$, berlaku $\vec{AB} = \vec{DC}$.
2
$\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$
3
Karena $\vec{DC} = \vec{AB}$, maka $\vec{OC} – \vec{OD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, sehingga:
$\vec{OD} = \vec{OC} – \vec{AB} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$
Koordinat $D(3,\; 7)$
4
Titik $Q$ membagi $\overline{PR}$ di luar segmen, dengan $PQ : QR = 3 : (-1)$. Jika $P(2, 1)$ dan $R(6, 5)$, tentukan koordinat $Q$! (Pembagian Eksternal)
▾
Pembahasan
1
Pembagian eksternal dengan $m = 3$, $n = -1$:
2
$\vec{OQ} = \dfrac{n\,\vec{OP} + m\,\vec{OR}}{m + n} = \dfrac{(-1)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}}{3 + (-1)} = \dfrac{\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 18 \\ 15 \end{pmatrix}}{2} = \dfrac{\begin{pmatrix} 16 \\ 14 \end{pmatrix}}{2} = \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix}$
Koordinat $Q(8,\; 7)$ — titik $Q$ berada di luar segmen $PR$, di sisi $R$
5
Diketahui $A(2, 1)$, $B(6, 5)$. Titik $C$ terletak pada perpanjangan $AB$ sehingga $AC = 2AB$. Tentukan koordinat $C$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$
2
$AC = 2AB \Rightarrow \vec{AC} = 2\vec{AB} = 2\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix}$
3
$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 9 \end{pmatrix}$
Koordinat $C(10,\; 9)$
📝 Latihan Soal
🟢 Mudah
1Titik $P(6, -2)$ berada pada bidang koordinat. Tentukan vektor posisi titik $P$ terhadap titik asal $O$!
2Diketahui vektor posisi titik $Q$ adalah $\begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix}$. Tentukan koordinat titik $Q$!
3Titik $R(-5, 0)$ berada pada sumbu-$x$. Tentukan vektor posisi titik $R$!
4Diketahui $\vec{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ dan $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}$. Tentukan vektor $\vec{AB}$!
5Jika $\vec{OC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ dan $\vec{CD} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}$, tentukan koordinat titik $D$!
🟡 Sedang
1$M$ adalah titik tengah $PQ$. Jika $P(3, -1)$ dan $Q(9, 7)$, tentukan vektor posisi $M$!
2Diketahui $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 3t-2 \\ 2t+1 \end{pmatrix}$. Jika titik $P$ berada pada sumbu-$y$, tentukan nilai $t$ dan koordinat $P$!
3Diketahui segitiga $ABC$ dengan $A(2, 3)$, $B(6, -1)$, $C(4, 7)$. Tentukan vektor posisi titik berat $G$ segitiga tersebut!
4Titik $K(1, 4)$, $L(5, 6)$, $M(9, 8)$. Tentukan apakah $K$, $L$, $M$ ketiga titik tersebut segaris!
5Diketahui jajar genjang $PQRS$ dengan $P(0, 1)$, $Q(4, 0)$, $R(6, 4)$. Tentukan koordinat titik $S$!
🔴 Sulit
1Titik $T$ membagi ruas garis $UV$ dengan $UT : TV = 3 : 2$. Jika $U(0, 0)$ dan $V(10, 15)$, tentukan koordinat titik $T$!
2Diketahui $A(1, 3)$, $B(4, 7)$, $C(10, 15)$. Tentukan apakah ketiga titik tersebut segaris! Jika iya, nyatakan $\vec{AC}$ sebagai kelipatan dari $\vec{AB}$.
3Titik $W$ terletak pada perpanjangan $XY$ sehingga $XW = 3XY$. Jika $X(1, 2)$ dan $Y(3, 6)$, tentukan koordinat $W$!
4Diketahui persegi panjang $KLMN$ dengan $K(1,1)$, $L(5,1)$, $M(5,4)$. Tentukan koordinat $N$ dan vektor posisi titik potong diagonal!
5Jika titik $A(a, 2)$, $B(3, b)$, $C(5, 6)$ segaris, dan diketahui $\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AC}$, tentukan nilai $a$ dan $b$!
2. Menyatakan Vektor pada Bidang
📖 Materi
Vektor pada bidang dua dimensi dapat dinyatakan dalam beberapa cara:
1. Bentuk Vektor Kolom
Vektor $\vec{a}$ dengan komponen horisontal $x$ dan komponen vertikal $y$ ditulis sebagai:
$$\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
2. Kombinasi Vektor Satuan (Vektor Basis)
Menggunakan dua vektor satuan: $\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ (arah sumbu-$x$) dan $\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ (arah sumbu-$y$).
$$\vec{a} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}$$
KONVERSI DUA BENTUK
$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \;\longleftrightarrow\; x\,\vec{i} + y\,\vec{j}$$
Dua cara menyatakan vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} = 3\vec{i}+3\vec{j}$
Operasi pada vektor:
- Penjumlahan: $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \end{pmatrix}$
- Pengurangan: $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \end{pmatrix}$
- Perkalian skalar: $k\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka_1 \\ ka_2 \end{pmatrix}$
💡 Kesamaan Vektor: Dua vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ dikatakan sama ($\vec{a} = \vec{b}$) jika dan hanya jika $a_1 = b_1$ dan $a_2 = b_2$.
✏️ Contoh Soal
🟢 Mudah
1
Nyatakan vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ dalam bentuk kombinasi vektor satuan!
▾
Pembahasan
1
Gunakan hubungan $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x\vec{i} + y\vec{j}$.
2
Di sini $x = 5$ dan $y = -3$.
$\vec{a} = 5\vec{i} + (-3)\vec{j} = 5\vec{i} – 3\vec{j}$
2
Nyatakan $\vec{b} = -4\vec{i} + 7\vec{j}$ dalam bentuk vektor kolom!
▾
Pembahasan
1
Koefisien $\vec{i}$ menjadi komponen-$x$, koefisien $\vec{j}$ menjadi komponen-$y$.
2
$x = -4$, $y = 7$.
$\vec{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix}$
3
Hitung $\vec{a} + \vec{b}$ jika $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
Jumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian.
2
$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3+(-1) \\ 2+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}$
$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}$
4
Hitung $4\vec{c}$ jika $\vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
Perkalian skalar: setiap komponen dikali 4.
2
$4\vec{c} = 4\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \times 2 \\ 4 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -12 \end{pmatrix}$
$4\vec{c} = \begin{pmatrix} 8 \\ -12 \end{pmatrix}$
5
Diketahui $A(2, 1)$ dan $B(6, 4)$. Nyatakan $\vec{AB}$ dalam bentuk kombinasi vektor satuan!
▾
Pembahasan
1
$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$
2
Konversi: $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = 4\vec{i} + 3\vec{j}$
$\vec{AB} = 4\vec{i} + 3\vec{j}$
🟡 Sedang
1
Diketahui $\vec{p} = 3\vec{i} – \vec{j}$ dan $\vec{q} = -2\vec{i} + 5\vec{j}$. Tentukan $2\vec{p} – 3\vec{q}$!
▾
Pembahasan
1
$2\vec{p} = 2(3\vec{i} – \vec{j}) = 6\vec{i} – 2\vec{j}$
2
$3\vec{q} = 3(-2\vec{i} + 5\vec{j}) = -6\vec{i} + 15\vec{j}$
3
$2\vec{p} – 3\vec{q} = (6\vec{i}-2\vec{j}) – (-6\vec{i}+15\vec{j}) = (6+6)\vec{i} + (-2-15)\vec{j} = 12\vec{i} – 17\vec{j}$
$2\vec{p} – 3\vec{q} = 12\vec{i} – 17\vec{j} = \begin{pmatrix} 12 \\ -17 \end{pmatrix}$
2
Diketahui $\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ 3 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ b \end{pmatrix}$. Jika $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}$, tentukan nilai $a$ dan $b$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} a+2 \\ 3+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}$
2
Komponen-$x$: $a + 2 = 7 \Rightarrow a = 5$
3
Komponen-$y$: $3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$
$a = 5$ dan $b = 2$
3
Jika $\vec{r} = 2\vec{a} – 3\vec{b}$ dengan $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, tentukan $\vec{r}$!
▾
Pembahasan
1
$2\vec{a} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
2
$3\vec{b} = 3\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 9 \end{pmatrix}$
3
$\vec{r} = 2\vec{a} – 3\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -3 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ 4-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$
$\vec{r} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix} = 5\vec{i} – 5\vec{j}$
4
Diketahui $A(1, -2)$, $B(4, 3)$, $C(0, 5)$. Tentukan $\vec{AB} + \vec{BC}$ dan bandingkan dengan $\vec{AC}$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$
2
$\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0-4 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$
3
$\vec{AB} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 3+(-4) \\ 5+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$
4
$\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 5-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$ ✓ (Sama! Ini membuktikan kaidah segitiga.)
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$
5
Vektor $\vec{s} = (2x+1)\vec{i} + (y-2)\vec{j}$ dan $\vec{t} = (x+3)\vec{i} + (2y-6)\vec{j}$. Jika $\vec{s} = \vec{t}$, tentukan $x$ dan $y$!
▾
Pembahasan
1
Dua vektor sama berarti komponen bersesuaian harus sama.
2
Komponen-$\vec{i}$: $2x+1 = x+3 \Rightarrow x = 2$
3
Komponen-$\vec{j}$: $y-2 = 2y-6 \Rightarrow 4 = y \Rightarrow y = 4$
$x = 2$ dan $y = 4$
🔴 Sulit
1
Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Jika $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix}$, tentukan nilai $m$ dan $n$!
▾
Pembahasan
1
$m\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + n\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix}$ menghasilkan sistem persamaan:
2
$2m + n = 7 \;\;\cdots(1)$ dan $m + 3n = 11 \;\;\cdots(2)$
3
Dari (1): $n = 7 – 2m$. Substitusi ke (2): $m + 3(7-2m) = 11 \Rightarrow m + 21 – 6m = 11 \Rightarrow -5m = -10 \Rightarrow m = 2$
4
$n = 7 – 2(2) = 3$. Verifikasi: $2(2)+3=7$✓ dan $2+3(3)=11$✓
$m = 2$ dan $n = 3$
2
Diketahui $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$. Tentukan $\vec{c}$ dan nyatakan dalam bentuk vektor satuan!
▾
Pembahasan
1
$\vec{c} = -\vec{a} – \vec{b} = -\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$
2
$\vec{c} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$
3
Bentuk vektor satuan: $\vec{c} = -3\vec{i} – 4\vec{j}$
$\vec{c} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = -3\vec{i} – 4\vec{j}$
3
Diketahui $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{q} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Tentukan $\vec{r}$ jika $3\vec{r} – 2\vec{p} = \vec{q}$!
▾
Pembahasan
1
$3\vec{r} = \vec{q} + 2\vec{p}$
2
$3\vec{r} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}$
3
$\vec{r} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$
$\vec{r} = \dfrac{7}{3}\vec{i} – \dfrac{1}{3}\vec{j}$
4
Titik-titik $A(1, 2)$, $B(3, k)$, $C(5, 4)$. Jika $\vec{AB} \parallel \vec{BC}$, tentukan nilai $k$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ k-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ k-2 \end{pmatrix}$
2
$\vec{BC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 4-k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4-k \end{pmatrix}$
3
Dua vektor sejajar jika $a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0$: $\; 2(4-k) – (k-2)(2) = 0$
4
$8 – 2k – 2k + 4 = 0 \Rightarrow 12 – 4k = 0 \Rightarrow k = 3$
$k = 3$
5
Tentukan nilai $k$ agar vektor $(k+1)\vec{i} + 2\vec{j}$ sejajar dengan $3\vec{i} + (k-2)\vec{j}$!
▾
Pembahasan
1
Dua vektor $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ sejajar jika $a_1 b_2 = a_2 b_1$.
2
$(k+1)(k-2) = 2 \cdot 3$
3
$k^2 – k – 2 = 6 \Rightarrow k^2 – k – 8 = 0$
4
$k = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+32}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$
$k = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}$ atau $k = \dfrac{1 – \sqrt{33}}{2}$
📝 Latihan Soal
🟢 Mudah
1Nyatakan $\vec{m} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix}$ dalam bentuk kombinasi vektor satuan!
2Nyatakan $\vec{n} = 6\vec{i} – 2\vec{j}$ dalam bentuk vektor kolom!
3Hitung $\vec{a} – \vec{b}$ jika $\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$!
4Hitung $-3\vec{d}$ jika $\vec{d} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$!
5Diketahui $P(3, 5)$ dan $Q(7, 2)$. Nyatakan $\vec{PQ}$ dalam bentuk kombinasi vektor satuan!
🟡 Sedang
1Diketahui $\vec{u} = \begin{pmatrix} m \\ 4 \end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ n \end{pmatrix}$. Jika $\vec{u} – \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, tentukan $m$ dan $n$!
2Hitung $3\vec{p} + 2\vec{q}$ jika $\vec{p} = 2\vec{i} – 3\vec{j}$ dan $\vec{q} = -\vec{i} + 4\vec{j}$!
3Diketahui $A(0, 3)$, $B(4, -1)$, $C(2, 5)$. Hitung $\vec{AB} – \vec{CB}$ dan nyatakan dalam vektor kolom!
4Vektor $\vec{x} = (3k-1)\vec{i} + 2\vec{j}$ dan $\vec{y} = 5\vec{i} + (k+3)\vec{j}$. Jika $\vec{x} = \vec{y}$, tentukan $k$!
5Jika $\vec{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{s} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, tentukan vektor $\vec{t}$ sehingga $\vec{r} + \vec{s} + \vec{t} = \vec{0}$!
🔴 Sulit
1Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$. Jika $\vec{c} = p\vec{a} + q\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 14 \end{pmatrix}$, tentukan nilai $p$ dan $q$!
2Tentukan nilai $k$ agar $\begin{pmatrix} k+2 \\ 3 \end{pmatrix}$ sejajar dengan $\begin{pmatrix} 4 \\ k-1 \end{pmatrix}$!
3Diketahui $2\vec{x} – 3\vec{y} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$ dan $\vec{x} + \vec{y} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$. Tentukan $\vec{x}$ dan $\vec{y}$!
4Diketahui $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ sedemikian sehingga $2\vec{a} – \vec{b} + 3\vec{c} = \vec{0}$. Jika $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$, tentukan $\vec{c}$!
5Tentukan nilai $m$ agar $(2m-1)\vec{i} + m\vec{j}$ sejajar dengan $(m+3)\vec{i} + 4\vec{j}$!
3. Sifat-sifat Aljabar Vektor pada Bidang
📖 Materi
Operasi aljabar vektor memiliki sifat-sifat yang mirip dengan bilangan real, namun berlaku untuk vektor.
A. Sifat-sifat Penjumlahan Vektor
| No. | Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Komutatif | $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ |
| 2 | Asosiatif | $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ |
| 3 | Identitas | $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$ |
| 4 | Invers | $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$ |
B. Sifat-sifat Perkalian Skalar
| No. | Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Distributif terhadap penjumlahan vektor | $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ |
| 2 | Distributif terhadap penjumlahan skalar | $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$ |
| 3 | Asosiatif | $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$ |
| 4 | Identitas perkalian | $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ |
| 5 | Nol perkalian | $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ |
| 6 | Skalar nol | $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$ |
Dua cara penjumlahan vektor: Kaidah Segitiga dan Kaidah Jajargenjang
💡 Catatan: Vektor negatif $-\vec{a}$ memiliki besar yang sama dengan $\vec{a}$ tetapi arahnya berlawanan. Jika $\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, maka $-\vec{a} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$.
✏️ Contoh Soal
🟢 Mudah
1
Verifikasi sifat komutatif penjumlahan vektor untuk $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3+(-1) \\ -2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
2
$\vec{b} + \vec{a} = \begin{pmatrix} -1+3 \\ 4+(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
3
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ ✓ Sifat komutatif terbukti!
2
Tentukan vektor invers (vektor lawan) dari $\vec{c} = 4\vec{i} – 3\vec{j}$!
▾
Pembahasan
1
Vektor invers (lawan) dari $\vec{c}$ adalah $-\vec{c}$, diperoleh dengan membalik tanda setiap komponen.
2
Jika $\vec{c} = 4\vec{i} – 3\vec{j}$, maka $-\vec{c} = -4\vec{i} + 3\vec{j}$.
3
Bukti: $\vec{c} + (-\vec{c}) = (4-4)\vec{i} + (-3+3)\vec{j} = 0\vec{i} + 0\vec{j} = \vec{0}$ ✓
$-\vec{c} = -4\vec{i} + 3\vec{j}$
3
Verifikasi sifat identitas untuk $\vec{d} = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \end{pmatrix}$! Tunjukkan bahwa $\vec{d} + \vec{0} = \vec{d}$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ adalah vektor nol (elemen identitas penjumlahan).
2
$\vec{d} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5+0 \\ -7+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \end{pmatrix} = \vec{d}$ ✓
4
Gunakan sifat distributif untuk menghitung $3\left(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\right)$ dengan dua cara berbeda!
▾
Pembahasan
1
Cara 1: Jumlahkan dulu — $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$, lalu $3\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ 6 \end{pmatrix}$
2
Cara 2: Distributif — $3\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ 6 \end{pmatrix}$
Kedua cara memberikan hasil yang sama: $\begin{pmatrix} 18 \\ 6 \end{pmatrix}$ ✓
5
Hitung $(2+3)\vec{v}$ dan bandingkan dengan $2\vec{v} + 3\vec{v}$ untuk $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
$(2+3)\vec{v} = 5\vec{v} = 5\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ -10 \end{pmatrix}$
2
$2\vec{v} + 3\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ -10 \end{pmatrix}$
Kedua cara sama: $\begin{pmatrix} 15 \\ -10 \end{pmatrix}$ ✓ Sifat distributif skalar terbukti!
🟡 Sedang
1
Verifikasi sifat asosiatif untuk $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \left(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\right)+\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}$
2
$\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}$
Kedua cara memberikan hasil sama: $\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}$ ✓ Sifat asosiatif terbukti!
2
Buktikan bahwa $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$ untuk $k = 2$, $m = 3$, $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
Ruas kiri: $(km)\vec{a} = (2 \cdot 3)\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix} = 6\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\-6\end{pmatrix}$
2
Ruas kanan: $k(m\vec{a}) = 2\left(3\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\right) = 2\begin{pmatrix}12\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\-6\end{pmatrix}$
Kedua ruas sama: $\begin{pmatrix}24\\-6\end{pmatrix}$ ✓
3
Sederhanakan: $3(\vec{a} + \vec{b}) – 2(2\vec{a} – \vec{b})$ untuk $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
Gunakan sifat distributif terlebih dahulu: $3\vec{a} + 3\vec{b} – 4\vec{a} + 2\vec{b} = -\vec{a} + 5\vec{b}$
2
$-\vec{a} + 5\vec{b} = -\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5\\15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\14\end{pmatrix}$
$3(\vec{a}+\vec{b}) – 2(2\vec{a}-\vec{b}) = \begin{pmatrix}-7\\14\end{pmatrix}$
4
Diketahui $\vec{u} – 2\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ dan $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$. Tentukan $\vec{u}$ dan $\vec{v}$!
▾
Pembahasan
1
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua: $(\vec{u}+\vec{v}) – (\vec{u}-2\vec{v}) = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$
2
$3\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix} \Rightarrow \vec{v} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$
3
$\vec{u} = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix} – \vec{v} = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$
$\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$
5
Jika $\vec{w} = 2\vec{a} – \vec{b}$ dan $\vec{z} = \vec{a} + 3\vec{b}$, sederhanakan $\vec{w} + \vec{z}$ dan $\vec{w} – \vec{z}$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{w} + \vec{z} = (2\vec{a}-\vec{b}) + (\vec{a}+3\vec{b}) = 3\vec{a} + 2\vec{b}$
2
$\vec{w} – \vec{z} = (2\vec{a}-\vec{b}) – (\vec{a}+3\vec{b}) = 2\vec{a} – \vec{a} – \vec{b} – 3\vec{b} = \vec{a} – 4\vec{b}$
$\vec{w} + \vec{z} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ dan $\vec{w} – \vec{z} = \vec{a} – 4\vec{b}$
🔴 Sulit
1
Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. Tentukan nilai skalar $\lambda$ dan $\mu$ jika $\lambda\vec{a} + \mu\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
$\lambda\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} + \mu\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\8\end{pmatrix}$ menghasilkan: $\lambda + 3\mu = 5$ …(1) dan $2\lambda – \mu = 8$ …(2)
2
Dari (2): $\mu = 2\lambda – 8$. Substitusi ke (1): $\lambda + 3(2\lambda-8) = 5 \Rightarrow 7\lambda – 24 = 5 \Rightarrow \lambda = \frac{29}{7}$… hmm, coba eliminasi.
3
Kalikan (1) dengan 1, (2) dengan 3: tambahkan: $\lambda+3\mu = 5$ dan $6\lambda – 3\mu = 24$. Dijumlahkan: $7\lambda = 29 \Rightarrow \lambda = \dfrac{29}{7}$
4
$\mu = 2 \cdot \dfrac{29}{7} – 8 = \dfrac{58-56}{7} = \dfrac{2}{7}$
$\lambda = \dfrac{29}{7}$ dan $\mu = \dfrac{2}{7}$
2
Jika $\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ dan $\vec{q} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, nyatakan $\vec{r} = \begin{pmatrix} 8 \\ -11 \end{pmatrix}$ sebagai kombinasi linier $\vec{p}$ dan $\vec{q}$!
▾
Pembahasan
1
Misalkan $\vec{r} = \alpha\vec{p} + \beta\vec{q}$. Maka: $2\alpha – \beta = 8$ …(1) dan $-\alpha + 3\beta = -11$ …(2)
2
Dari (1): $\beta = 2\alpha – 8$. Substitusi ke (2): $-\alpha + 3(2\alpha-8) = -11 \Rightarrow 5\alpha = 13$… coba cara lain.
3
Kalikan (2) dengan 2: $-2\alpha + 6\beta = -22$. Tambahkan dengan (1): $5\beta = -14 \Rightarrow \beta = -14/5$. Tidak bulat, mari cek kembali. $2\alpha – (-14/5) = 8 \Rightarrow 2\alpha = 8 – 14/5 = 26/5 \Rightarrow \alpha = 13/5$.
4
Verifikasi: $\frac{13}{5}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} + \frac{-14}{5}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}26/5+14/5\\-13/5-42/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}40/5\\-55/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\-11\end{pmatrix}$ ✓
$\vec{r} = \dfrac{13}{5}\vec{p} – \dfrac{14}{5}\vec{q}$
3
Buktikan bahwa untuk setiap vektor $\vec{a}$ dan skalar $k$, berlaku $(-k)\vec{a} = -(k\vec{a}) = k(-\vec{a})$! Gunakan $k = 3$ dan $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}$.
▾
Pembahasan
1
$(-k)\vec{a} = (-3)\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\15\end{pmatrix}$
2
$-(k\vec{a}) = -\left(3\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}\right) = -\begin{pmatrix}6\\-15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\15\end{pmatrix}$
3
$k(-\vec{a}) = 3\left(-\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}\right) = 3\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\15\end{pmatrix}$
Ketiga ekspresi memberikan $\begin{pmatrix}-6\\15\end{pmatrix}$, sehingga $(-k)\vec{a} = -(k\vec{a}) = k(-\vec{a})$ ✓
4
Diketahui $3\vec{x} + 2\vec{y} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{x} – 4\vec{y} = \begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix}$. Tentukan $\vec{x}$ dan $\vec{y}$!
▾
Pembahasan
1
Eliminasi: Kalikan persamaan (2) dengan 2: $2\vec{x} – 8\vec{y} = \begin{pmatrix}12\\20\end{pmatrix}$
2
Kurangkan dari persamaan (1) kalikan 2: $(3\vec{x}+2\vec{y}) \cdot 2 = \begin{pmatrix}16\\-4\end{pmatrix}$. Tambahkan 2×persamaan(2): coba metode lain.
3
Dari (2): $\vec{x} = \begin{pmatrix}6\\10\end{pmatrix} + 4\vec{y}$. Substitusi ke (1): $3\left(\begin{pmatrix}6\\10\end{pmatrix}+4\vec{y}\right)+2\vec{y} = \begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}$
4
$\begin{pmatrix}18\\30\end{pmatrix}+14\vec{y} = \begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix} \Rightarrow 14\vec{y} = \begin{pmatrix}-10\\-32\end{pmatrix} \Rightarrow \vec{y} = \begin{pmatrix}-5/7\\-16/7\end{pmatrix}$
5
$\vec{x} = \begin{pmatrix}6\\10\end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix}-5/7\\-16/7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6-20/7\\10-64/7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}22/7\\6/7\end{pmatrix}$
$\vec{x} = \begin{pmatrix}22/7\\6/7\end{pmatrix}$ dan $\vec{y} = \begin{pmatrix}-5/7\\-16/7\end{pmatrix}$
5
Jika $\vec{a}$, $\vec{b}$ adalah vektor-vektor tidak sejajar, tentukan nilai $t$ agar $(3t-1)\vec{a} + (t+2)\vec{b} = 5\vec{a} – 4\vec{b}$!
▾
Pembahasan
1
Karena $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ tidak sejajar (bebas linier), koefisiennya harus sama di kedua ruas.
2
Koefisien $\vec{a}$: $3t – 1 = 5 \Rightarrow 3t = 6 \Rightarrow t = 2$
3
Verifikasi dengan koefisien $\vec{b}$: $t + 2 = 2 + 2 = 4 \neq -4$. Ada kontradiksi!
4
Ini berarti tidak ada nilai $t$ yang memenuhi persamaan tersebut untuk $\vec{a}$, $\vec{b}$ tidak sejajar, karena sistem overdetermined (tidak konsisten).
Tidak ada nilai $t$ yang memenuhi (sistem tidak konsisten)
📝 Latihan Soal
🟢 Mudah
1Verifikasi sifat komutatif untuk $\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}$!
2Tentukan vektor invers dari $\vec{c} = -2\vec{i} + 5\vec{j}$ dan buktikan bahwa $\vec{c} + (-\vec{c}) = \vec{0}$!
3Hitung $2(\vec{p} + \vec{q})$ dan $2\vec{p} + 2\vec{q}$ untuk $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ dan $\vec{q} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$, kemudian bandingkan!
4Hitung $(4-1)\vec{v}$ dan $4\vec{v} – \vec{v}$ untuk $\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$, kemudian bandingkan!
5Verifikasi sifat identitas: hitung $\vec{w} + \vec{0}$ untuk $\vec{w} = 3\vec{i} – 7\vec{j}$!
🟡 Sedang
1Verifikasi sifat asosiatif untuk $\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$, $\vec{q} = \begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$, $\vec{r} = \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$!
2Sederhanakan $4(\vec{a} – 2\vec{b}) + 3(2\vec{a} + \vec{b})$ dan hitung nilainya untuk $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$!
3Diketahui $2\vec{x} – \vec{y} = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ dan $\vec{x} + 2\vec{y} = \begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}$. Tentukan $\vec{x}$ dan $\vec{y}$!
4Buktikan bahwa $(2 \cdot 3)\vec{a} = 2(3\vec{a})$ untuk $\vec{a} = \begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$!
5Jika $\vec{m} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ dan $\vec{n} = \vec{a} – 4\vec{b}$, sederhanakan $2\vec{m} + 3\vec{n}$!
🔴 Sulit
1Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$. Jika $m\vec{a} + n\vec{b} = \begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}$, tentukan $m$ dan $n$!
2Nyatakan $\vec{r} = \begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$ sebagai kombinasi linier $\vec{p} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ dan $\vec{q} = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$!
3Jika $\vec{a}$, $\vec{b}$ tidak sejajar dan $(2k-3)\vec{a} + (k+1)\vec{b} = (k+5)\vec{a} + 3\vec{b}$, tentukan nilai $k$!
4Diketahui $4\vec{x} – 3\vec{y} = \begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}$ dan $2\vec{x} + \vec{y} = \begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$. Tentukan $\vec{x}$ dan $\vec{y}$!
5Buktikan bahwa $k(\vec{a} – \vec{b}) = k\vec{a} – k\vec{b}$ secara umum (menggunakan komponen $a_1, a_2, b_1, b_2$)!
4. Panjang Vektor pada Bidang
📖 Materi
Definisi Panjang (Modulus) Vektor
Panjang (besar/modulus) vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ dinotasikan $|\vec{a}|$ dan dihitung menggunakan Teorema Pythagoras:
$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
Panjang vektor $\vec{a}$ diturunkan dari Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku
Panjang Vektor $\vec{AB}$
Jika $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$, maka panjang $\vec{AB}$ adalah:
PANJANG VEKTOR AB
$$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$
Vektor Satuan
Vektor satuan $\hat{a}$ adalah vektor yang searah $\vec{a}$ dengan panjang 1:
VEKTOR SATUAN
$$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
Sifat Panjang Vektor:
- $|\vec{a}| \geq 0$, dan $|\vec{a}| = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0}$
- $|-\vec{a}| = |\vec{a}|$ (vektor dan inversnya memiliki panjang sama)
- $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$ (perkalian skalar)
- $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ (pertidaksamaan segitiga)
💡 Ingat: Panjang vektor selalu bernilai non-negatif. Hasil akhir panjang vektor tidak perlu ditulis dengan $\pm$ karena $\sqrt{x} \geq 0$.
✏️ Contoh Soal
🟢 Mudah
1
Tentukan panjang vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
Gunakan rumus $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
2
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$|\vec{a}| = 5$ satuan
2
Tentukan panjang vektor $\vec{b} = -5\vec{i} + 12\vec{j}$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{b} = \begin{pmatrix} -5 \\ 12 \end{pmatrix}$, komponen $x = -5$, $y = 12$.
2
$|\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
$|\vec{b}| = 13$ satuan
3
Jika $A(1, 2)$ dan $B(4, 6)$, tentukan panjang vektor $\vec{AB}$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
2
$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$
$|\vec{AB}| = 5$ satuan (jarak antara $A$ dan $B$)
4
Tentukan panjang vektor $\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
$|\vec{c}| = \sqrt{0^2 + (-7)^2} = \sqrt{0 + 49} = \sqrt{49} = 7$
2
Vektor ini sejajar sumbu-$y$ (komponen $x = 0$), panjangnya sama dengan nilai absolut komponen-$y$.
$|\vec{c}| = 7$ satuan
5
Tentukan vektor satuan dari $\vec{d} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$!
▾
Pembahasan
1
$|\vec{d}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$
2
$\hat{d} = \dfrac{\vec{d}}{|\vec{d}|} = \dfrac{1}{10}\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}$
3
Verifikasi: $\left|\hat{d}\right| = \sqrt{(3/5)^2+(4/5)^2} = \sqrt{9/25+16/25} = \sqrt{25/25} = 1$ ✓
$\hat{d} = \begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix} = \dfrac{3}{5}\vec{i} + \dfrac{4}{5}\vec{j}$
🟡 Sedang
1
Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. Hitung $|\vec{a} + \vec{b}|$ dan $|\vec{a}| + |\vec{b}|$, kemudian verifikasi pertidaksamaan segitiga!
▾
Pembahasan
1
$\vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$, sehingga $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{25+9} = \sqrt{34} \approx 5.83$
2
$|\vec{a}| = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \approx 2.24$ dan $|\vec{b}| = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$
3
$|\vec{a}| + |\vec{b}| = \sqrt{5} + 5 \approx 7.24$
$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{34} \approx 5.83 \leq |\vec{a}|+|\vec{b}| = \sqrt{5}+5 \approx 7.24$ ✓ Pertidaksamaan segitiga terbukti!
2
Diketahui $|\vec{v}| = 10$ dan $\vec{v} = \begin{pmatrix} k \\ 6 \end{pmatrix}$. Tentukan semua nilai $k$ yang mungkin!
▾
Pembahasan
1
$|\vec{v}| = \sqrt{k^2 + 36} = 10$
2
$k^2 + 36 = 100 \Rightarrow k^2 = 64 \Rightarrow k = \pm 8$
$k = 8$ atau $k = -8$
3
Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$. Verifikasi bahwa $|2\vec{a}| = 2|\vec{a}|$!
▾
Pembahasan
1
$2\vec{a} = \begin{pmatrix}8\\6\end{pmatrix}$, sehingga $|2\vec{a}| = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$
2
$|\vec{a}| = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$, sehingga $2|\vec{a}| = 2 \times 5 = 10$
$|2\vec{a}| = 10 = 2|\vec{a}|$ ✓
4
Tentukan vektor satuan yang searah dengan $\vec{u} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$! Kemudian tentukan vektor yang panjangnya 10 dan searah $\vec{u}$!
▾
Pembahasan
1
$|\vec{u}| = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$
2
Vektor satuan: $\hat{u} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3/5\\4/5\end{pmatrix}$
3
Vektor panjang 10 searah $\vec{u}$: $10\hat{u} = 10\begin{pmatrix}-3/5\\4/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\8\end{pmatrix}$
$\hat{u} = \begin{pmatrix}-3/5\\4/5\end{pmatrix}$, vektor panjang 10 searah $\vec{u}$: $\begin{pmatrix}-6\\8\end{pmatrix}$
5
Diketahui $A(3, 1)$, $B(7, 4)$, $C(3, 7)$. Tunjukkan bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga samakaki!
▾
Pembahasan
1
$|\vec{AB}| = \sqrt{(7-3)^2+(4-1)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$
2
$|\vec{BC}| = \sqrt{(3-7)^2+(7-4)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$
3
$|\vec{AC}| = \sqrt{(3-3)^2+(7-1)^2} = \sqrt{0+36} = 6$
$|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = 5 \neq |\vec{AC}| = 6$, sehingga $\triangle ABC$ adalah segitiga samakaki ✓
🔴 Sulit
1
Diketahui $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$. Tentukan $|3\vec{a} – 4\vec{b}|$!
▾
Pembahasan
1
$3\vec{a} = \begin{pmatrix}9\\12\end{pmatrix}$ dan $4\vec{b} = \begin{pmatrix}-16\\12\end{pmatrix}$
2
$3\vec{a} – 4\vec{b} = \begin{pmatrix}9-(-16)\\12-12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25\\0\end{pmatrix}$
3
$|3\vec{a}-4\vec{b}| = \sqrt{625+0} = 25$
$|3\vec{a} – 4\vec{b}| = 25$ satuan
2
Diketahui $\vec{p} = \begin{pmatrix} k \\ k+2 \end{pmatrix}$. Jika $|\vec{p}| = \sqrt{20}$, tentukan semua nilai $k$!
▾
Pembahasan
1
$|\vec{p}|^2 = k^2 + (k+2)^2 = 20$
2
$k^2 + k^2 + 4k + 4 = 20 \Rightarrow 2k^2 + 4k – 16 = 0 \Rightarrow k^2 + 2k – 8 = 0$
3
$(k+4)(k-2) = 0 \Rightarrow k = -4$ atau $k = 2$
4
Verifikasi: $k=2$: $\vec{p}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$, $|\vec{p}|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$✓; $k=-4$: $\vec{p}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}$, $|\vec{p}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$✓
$k = 2$ atau $k = -4$
3
Diketahui $|\vec{a}| = 5$ dan $|\vec{b}| = 13$ dan $|\vec{a} + \vec{b}| = 12$. Tentukan $|\vec{a} – \vec{b}|$!
▾
Pembahasan
1
$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$, di mana $\vec{a}\cdot\vec{b}$ adalah hasil kali titik.
2
$144 = 25 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + 169 \Rightarrow 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) = 144-194 = -50 \Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = -25$
3
$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 – 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 25 – 2(-25) + 169 = 25 + 50 + 169 = 244$
4
$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$
$|\vec{a}-\vec{b}| = 2\sqrt{61} \approx 15.62$
4
Titik $A(0, 0)$, $B(5, 0)$, $C(5, 5)$, $D(0, 5)$ membentuk persegi. Tentukan panjang diagonal $\vec{AC}$ dan verifikasi bahwa $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$!
▾
Pembahasan
1
$\vec{AC} = \begin{pmatrix}5-0\\5-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}$, $|\vec{AC}| = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
2
$\vec{BD} = \begin{pmatrix}0-5\\5-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}$, $|\vec{BD}| = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$|\vec{AC}| = |\vec{BD}| = 5\sqrt{2}$ ✓ Diagonal persegi sama panjang!
5
Diketahui vektor $\vec{r} = (t^2-1)\vec{i} + 2t\vec{j}$. Tentukan nilai $t$ agar $|\vec{r}| = \sqrt{10}$!
▾
Pembahasan
1
$|\vec{r}|^2 = (t^2-1)^2 + (2t)^2 = 10$
2
$(t^2-1)^2 + 4t^2 = 10$
3
$t^4 – 2t^2 + 1 + 4t^2 = 10 \Rightarrow t^4 + 2t^2 + 1 = 10 \Rightarrow (t^2+1)^2 = 10$
4
$t^2 + 1 = \sqrt{10}$ (ambil positif karena $t^2+1 > 0$) $\Rightarrow t^2 = \sqrt{10}-1 \Rightarrow t = \pm\sqrt{\sqrt{10}-1}$
$t = \pm\sqrt{\sqrt{10}-1} \approx \pm 1.14$
📝 Latihan Soal
🟢 Mudah
1Tentukan panjang vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$!
2Tentukan panjang vektor $\vec{b} = 8\vec{i} – 15\vec{j}$!
3Jika $P(2, 3)$ dan $Q(5, 7)$, tentukan panjang vektor $\vec{PQ}$!
4Tentukan vektor satuan yang searah dengan $\vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$!
5Tentukan panjang $|-3\vec{v}|$ jika $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$!
🟡 Sedang
1Diketahui $|\vec{w}| = 15$ dan $\vec{w} = \begin{pmatrix} 9 \\ k \end{pmatrix}$. Tentukan semua nilai $k$ yang mungkin!
2Diketahui $\vec{p} = \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ dan $\vec{q} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$. Hitung $|\vec{p}+\vec{q}|$ dan $|\vec{p}-\vec{q}|$!
3Tentukan vektor yang panjangnya 15 dan searah $\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$!
4Buktikan bahwa $|\vec{a}| = |-\vec{a}|$ untuk $\vec{a} = \begin{pmatrix}7\\-24\end{pmatrix}$!
5Diketahui $A(-1, 2)$, $B(2, 6)$, $C(6, 3)$, $D(3, -1)$. Buktikan bahwa $ABCD$ adalah persegi!
🔴 Sulit
1Diketahui $\vec{m} = \begin{pmatrix}k-1\\k+2\end{pmatrix}$. Tentukan nilai $k$ agar $|\vec{m}| = \sqrt{13}$!
2Diketahui $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 5$, dan $|\vec{a}+\vec{b}| = 5\sqrt{2}$. Tentukan $|\vec{a}-\vec{b}|$!
3Diketahui $\vec{r} = (2t-1)\vec{i} + t\vec{j}$. Tentukan nilai $t$ agar $|\vec{r}| = \sqrt{5}$!
4Titik $A(1, 2)$, $B(4, 6)$, $C(8, 3)$ membentuk segitiga. Tentukan jenis segitiga $ABC$ berdasarkan panjang sisi-sisinya!
5Buktikan bahwa untuk vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ dan skalar $k$, berlaku $|k\vec{a}| = |k||\vec{a}|$!