MGMP Matematika SMK – Blora
Vektor dan Operasinya
Materi, Contoh Soal Lengkap & Latihan · Kelas X SMK
1. Definisi Vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki nilai (magnitude) dan arah.
Berbeda dengan skalar yang hanya memiliki nilai, vektor harus menunjukkan ke mana arahnya.
Contoh besaran vektor dalam kehidupan nyata:
- Kecepatan 60 km/jam ke arah utara
- Gaya 10 N ke kanan
- Perpindahan 5 m ke barat daya
Notasi Vektor: Vektor ditulis dengan huruf tebal a, atau dengan tanda panah di atas: →
a, atau dengan dua titik: AB→.
📌 Komponen Vektor
Vektor di bidang (2D) dinyatakan sebagai a = (aₓ, aᵧ) atau dalam bentuk kolom.
Vektor di ruang (3D): a = (aₓ, aᵧ, a_z).
Panjang / Magnitude Vektor:
Rumus Panjang Vektor 2D
|a| = √(aₓ² + aᵧ²)
Rumus Panjang Vektor 3D
|a| = √(aₓ² + aᵧ² + a_z²)
Vektor Satuan: vektor yang panjangnya 1. Diperoleh dengan membagi vektor dengan magnitudenya:
Vektor Satuan
â = a / |a|
Vektor Posisi: vektor yang pangkalnya di titik asal O (0,0). Jika titik P(3,4) maka vektor posisinya OP→ = (3, 4).
📝 Contoh Soal – Definisi Vektor
⬟ Mudah
1
Diketahui vektor a→ = (3, 4). Tentukan panjang vektor tersebut!
Pembahasan:
Panjang vektor = |a| = √(aₓ² + aᵧ²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
Panjang vektor = |a| = √(aₓ² + aᵧ²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
2
Titik A(1, 2) dan B(4, 6). Tentukan komponen vektor AB→!
Pembahasan:
Komponen vektor AB→ = B – A
= (4–1, 6–2)
= (3, 4)
Komponen vektor AB→ = B – A
= (4–1, 6–2)
= (3, 4)
3
Diketahui a→ = (0, 5). Apakah vektor ini merupakan vektor satuan? Jelaskan!
Pembahasan:
|a| = √(0² + 5²) = √25 = 5
Karena |a| = 5 ≠ 1, maka bukan vektor satuan.
Vektor satuan dari a adalah â = (0/5, 5/5) = (0, 1).
|a| = √(0² + 5²) = √25 = 5
Karena |a| = 5 ≠ 1, maka bukan vektor satuan.
Vektor satuan dari a adalah â = (0/5, 5/5) = (0, 1).
4
Diketahui titik P(2, –3). Tuliskan vektor posisi OP→!
Pembahasan:
Vektor posisi P dari O(0,0):
OP→ = P – O = (2–0, –3–0) = (2, –3)
Vektor posisi P dari O(0,0):
OP→ = P – O = (2–0, –3–0) = (2, –3)
5
Diketahui v→ = (–6, 8). Tentukan panjang vektor v→!
Pembahasan:
|v| = √((–6)² + 8²)
= √(36 + 64)
= √100
= 10
|v| = √((–6)² + 8²)
= √(36 + 64)
= √100
= 10
◈ Sedang
1
Diketahui a→ = (3, 4). Tentukan vektor satuan dari a→!
Pembahasan:
|a| = √(9 + 16) = 5
â = a/|a| = (3/5, 4/5)
Verifikasi: |â| = √((3/5)² + (4/5)²) = √(9/25 + 16/25) = √(25/25) = √1 = 1 ✓
|a| = √(9 + 16) = 5
â = a/|a| = (3/5, 4/5)
Verifikasi: |â| = √((3/5)² + (4/5)²) = √(9/25 + 16/25) = √(25/25) = √1 = 1 ✓
2
Diketahui vektor 3D: b→ = (2, –1, 2). Tentukan panjang vektor b→ dan vektor satuannya!
Pembahasan:
|b| = √(2² + (–1)² + 2²)
= √(4 + 1 + 4)
= √9 = 3
Vektor satuan: b̂ = (2/3, –1/3, 2/3)
|b| = √(2² + (–1)² + 2²)
= √(4 + 1 + 4)
= √9 = 3
Vektor satuan: b̂ = (2/3, –1/3, 2/3)
3
Titik A(2, 5) dan B(–1, 1). Tentukan panjang vektor AB→!
Pembahasan:
AB→ = B – A = (–1–2, 1–5) = (–3, –4)
|AB| = √((–3)² + (–4)²)
= √(9 + 16) = √25 = 5
AB→ = B – A = (–1–2, 1–5) = (–3, –4)
|AB| = √((–3)² + (–4)²)
= √(9 + 16) = √25 = 5
4
Jika vektor v→ = (k, 3) dan panjangnya 5, tentukan nilai k!
Pembahasan:
|v| = 5 → √(k² + 9) = 5
k² + 9 = 25
k² = 16
k = ±4 → k = 4 atau k = –4
|v| = 5 → √(k² + 9) = 5
k² + 9 = 25
k² = 16
k = ±4 → k = 4 atau k = –4
5
Dua vektor sejajar jika a→ = k · b→. Tentukan k jika a→ = (6, –9) dan b→ = (–2, 3)!
Pembahasan:
a→ = k · b→
(6, –9) = k(–2, 3)
Dari komponen x: 6 = –2k → k = –3
Cek komponen y: –9 = 3(–3) = –9 ✓
Jadi k = –3
a→ = k · b→
(6, –9) = k(–2, 3)
Dari komponen x: 6 = –2k → k = –3
Cek komponen y: –9 = 3(–3) = –9 ✓
Jadi k = –3
◆ Sulit
1
Titik A(1,2,3), B(3,4,1), C(5,6,5). Tentukan apakah ketiga titik tersebut segaris (kolinear)!
Pembahasan:
AB→ = B–A = (2, 2, –2)
AC→ = C–A = (4, 4, 2)
Jika kolinear, AC→ = k · AB→:
(4,4,2) = k(2,2,–2)
k = 4/2 = 2 (dari x), k = 4/2 = 2 (dari y), k = 2/(–2) = –1 (dari z)
Nilai k tidak konsisten, jadi ketiga titik tidak segaris (tidak kolinear).
AB→ = B–A = (2, 2, –2)
AC→ = C–A = (4, 4, 2)
Jika kolinear, AC→ = k · AB→:
(4,4,2) = k(2,2,–2)
k = 4/2 = 2 (dari x), k = 4/2 = 2 (dari y), k = 2/(–2) = –1 (dari z)
Nilai k tidak konsisten, jadi ketiga titik tidak segaris (tidak kolinear).
2
Diketahui |a→| = 5, |b→| = 3, dan sudut antara a dan b adalah 60°. Tentukan |2a→ – b→|!
Pembahasan:
|2a – b|² = |2a|² – 2(2a)·b + |b|²
= 4|a|² – 4a·b + |b|²
a·b = |a||b|cos60° = 5×3×½ = 7,5
|2a – b|² = 4(25) – 4(7,5) + 9
= 100 – 30 + 9 = 79
|2a – b| = √79 ≈ 8,89
|2a – b|² = |2a|² – 2(2a)·b + |b|²
= 4|a|² – 4a·b + |b|²
a·b = |a||b|cos60° = 5×3×½ = 7,5
|2a – b|² = 4(25) – 4(7,5) + 9
= 100 – 30 + 9 = 79
|2a – b| = √79 ≈ 8,89
3
Tentukan nilai m agar vektor p→ = (m, 2, m+1) tegak lurus dengan q→ = (1, m, –1)!
Pembahasan:
Dua vektor tegak lurus jika hasil kali titiknya = 0:
p·q = 0
m(1) + 2(m) + (m+1)(–1) = 0
m + 2m – m – 1 = 0
2m – 1 = 0
m = ½
Dua vektor tegak lurus jika hasil kali titiknya = 0:
p·q = 0
m(1) + 2(m) + (m+1)(–1) = 0
m + 2m – m – 1 = 0
2m – 1 = 0
m = ½
4
Vektor r→ = (2, –1, 2). Tentukan proyeksi r→ pada sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z, serta sudut yang dibentuk dengan masing-masing sumbu!
Pembahasan:
|r| = √(4+1+4) = 3
Sudut dengan sumbu-x: cos α = 2/3 → α = arccos(2/3) ≈ 48,19°
Sudut dengan sumbu-y: cos β = –1/3 → β ≈ 109,47°
Sudut dengan sumbu-z: cos γ = 2/3 → γ ≈ 48,19°
Proyeksi pada sumbu-x: 2, sumbu-y: –1, sumbu-z: 2
|r| = √(4+1+4) = 3
Sudut dengan sumbu-x: cos α = 2/3 → α = arccos(2/3) ≈ 48,19°
Sudut dengan sumbu-y: cos β = –1/3 → β ≈ 109,47°
Sudut dengan sumbu-z: cos γ = 2/3 → γ ≈ 48,19°
Proyeksi pada sumbu-x: 2, sumbu-y: –1, sumbu-z: 2
5
Titik P membagi garis AB dengan perbandingan AP:PB = 2:3. Jika A(1,4) dan B(6,–1), tentukan vektor posisi P!
Pembahasan:
Rumus pembagian dalam: P = (m·B + n·A) / (m+n) dimana AP:PB = m:n = 2:3
Px = (2×6 + 3×1)/(2+3) = (12+3)/5 = 15/5 = 3
Py = (2×(–1) + 3×4)/(2+3) = (–2+12)/5 = 10/5 = 2
Vektor posisi P = (3, 2)
Rumus pembagian dalam: P = (m·B + n·A) / (m+n) dimana AP:PB = m:n = 2:3
Px = (2×6 + 3×1)/(2+3) = (12+3)/5 = 15/5 = 3
Py = (2×(–1) + 3×4)/(2+3) = (–2+12)/5 = 10/5 = 2
Vektor posisi P = (3, 2)
✏️ Latihan Soal – Definisi Vektor
⬟ Mudah
1Diketahui u→ = (5, 12). Tentukan panjang vektor u→!
2Titik A(3,1) dan B(7,4). Tentukan komponen vektor AB→!
3Diketahui p→ = (–8, 6). Tentukan panjang vektor p→!
4Tentukan vektor posisi titik Q(–2, 5) dari titik asal O!
5Tentukan apakah v→ = (1/√2, 1/√2) merupakan vektor satuan!
◈ Sedang
1Diketahui c→ = (4, 3). Tentukan vektor satuan dari c→!
2Diketahui w→ = (1, –2, 2). Tentukan panjang dan vektor satuan w→!
3Jika v→ = (2k, –4) dan |v| = 4√5, tentukan nilai k!
4Tentukan nilai t agar vektor m→ = (t, 6) sejajar dengan n→ = (2, 4)!
5Titik A(–1,2,3) dan B(2,–2,3). Tentukan panjang vektor AB→!
◆ Sulit
1Titik P(2,1,–3), Q(3,2,0), R(5,4,6). Tentukan apakah P, Q, R segaris (kolinear)!
2Diketahui |a| = 4, |b| = 3, dan sudut antara a dan b = 90°. Tentukan |a – b|!
3Tentukan nilai t agar s→ = (t, t–1, 2) tegak lurus dengan r→ = (2, 1, –t)!
4Vektor d→ = (2, –2, 1). Tentukan sudut yang dibentuk vektor d→ dengan sumbu-x!
5Titik M membagi AB dengan AM:MB = 1:4. Jika A(–2, 3) dan B(8, –7), tentukan vektor posisi M!
2. Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor menghasilkan vektor resultan. Ada dua metode geometri dan satu metode aljabar.
Metode Aljabar: Tambahkan komponen-komponen yang bersesuaian.
Jika a→ = (aₓ, aᵧ) dan b→ = (bₓ, bᵧ) maka:
a→ + b→ = (aₓ + bₓ, aᵧ + bᵧ)
Jika a→ = (aₓ, aᵧ) dan b→ = (bₓ, bᵧ) maka:
a→ + b→ = (aₓ + bₓ, aᵧ + bᵧ)
Penjumlahan Vektor (Aljabar)
(aₓ, aᵧ) + (bₓ, bᵧ) = (aₓ+bₓ, aᵧ+bᵧ)
🔑 Sifat Penjumlahan Vektor
- Komutatif: a + b = b + a
- Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c)
- Elemen netral: a + 0 = a
📝 Contoh Soal – Penjumlahan Vektor
⬟ Mudah
1
Jika a→ = (2, 3) dan b→ = (4, 1), tentukan a→ + b→!
a + b = (2+4, 3+1) = (6, 4)
2
Jika p→ = (–1, 5) dan q→ = (3, –2), tentukan p→ + q→!
p + q = (–1+3, 5+(–2)) = (2, 3)
3
Diketahui u→ = (0, 4) dan v→ = (3, 0). Tentukan u→ + v→ dan panjangnya!
u + v = (0+3, 4+0) = (3, 4)
|u+v| = √(9+16) = √25 = 5
|u+v| = √(9+16) = √25 = 5
4
Tentukan a→ + b→ + c→ jika a→=(1,2), b→=(3,–1), c→=(–2,4)!
a+b+c = (1+3+(–2), 2+(–1)+4) = (2, 5) → (2, 5)
5
Vektor 3D: a→=(1,2,3) dan b→=(4,–2,1). Tentukan a→+b→!
a+b = (1+4, 2+(–2), 3+1) = (5, 0, 4)
◈ Sedang
1
Jika a→=(3,4) dan b→=(–3,4), tentukan |a→+b→| dan |a→|+|b→|. Apakah keduanya sama?
a+b = (0, 8) → |a+b| = 8
|a| = √(9+16) = 5, |b| = 5 → |a|+|b| = 10
8 ≠ 10, jadi |a+b| ≤ |a|+|b| (ketidaksamaan segitiga).
|a| = √(9+16) = 5, |b| = 5 → |a|+|b| = 10
8 ≠ 10, jadi |a+b| ≤ |a|+|b| (ketidaksamaan segitiga).
2
Diketahui a→=(2,t) dan b→=(–1,3). Jika |a→+b→|=5, tentukan nilai t!
a+b = (2+(–1), t+3) = (1, t+3)
|a+b| = 5 → √(1 + (t+3)²) = 5
1 + (t+3)² = 25
(t+3)² = 24
t+3 = ±2√6 → t = –3 ± 2√6
|a+b| = 5 → √(1 + (t+3)²) = 5
1 + (t+3)² = 25
(t+3)² = 24
t+3 = ±2√6 → t = –3 ± 2√6
3
Dua gaya F₁=(3,4) N dan F₂=(–1,2) N bekerja pada suatu benda. Tentukan besar resultan gaya!
F₁+F₂ = (3+(–1), 4+2) = (2, 6)
|F₁+F₂| = √(4+36) = √40 = 2√10 ≈ 6,32 N
|F₁+F₂| = √(4+36) = √40 = 2√10 ≈ 6,32 N
4
Diketahui A(1,3), B(4,7), C(–1,1). Tentukan vektor AB→ + AC→!
AB→ = (4–1, 7–3) = (3, 4)
AC→ = (–1–1, 1–3) = (–2, –2)
AB + AC = (3+(–2), 4+(–2)) = (1, 2)
AC→ = (–1–1, 1–3) = (–2, –2)
AB + AC = (3+(–2), 4+(–2)) = (1, 2)
5
Verifikasi sifat komutatif: jika a→=(5,–2,1) dan b→=(–3,4,2), tunjukkan bahwa a→+b→ = b→+a→!
a+b = (5+(–3), –2+4, 1+2) = (2, 2, 3)
b+a = (–3+5, 4+(–2), 2+1) = (2, 2, 3)
a+b = b+a = (2, 2, 3) ✓
b+a = (–3+5, 4+(–2), 2+1) = (2, 2, 3)
a+b = b+a = (2, 2, 3) ✓
◆ Sulit
1
Sebuah kapal bergerak ke arah timur sejauh 40 km, lalu berbelok ke utara 30 km, kemudian ke arah timur laut 20√2 km. Tentukan vektor resultan perpindahan kapal!
Timur = (40, 0)
Utara = (0, 30)
Timur laut (45°) = (20√2·cos45°, 20√2·sin45°) = (20, 20)
Resultan = (40+0+20, 0+30+20) = (60, 50)
Besar = √(3600+2500) = √6100 = 10√61 ≈ 78,1 km
Utara = (0, 30)
Timur laut (45°) = (20√2·cos45°, 20√2·sin45°) = (20, 20)
Resultan = (40+0+20, 0+30+20) = (60, 50)
Besar = √(3600+2500) = √6100 = 10√61 ≈ 78,1 km
2
Dua vektor satuan membentuk sudut 120°. Tentukan besar resultan penjumlahan keduanya!
|a|=|b|=1, θ=120°
|a+b|² = |a|² + 2a·b + |b|²
= 1 + 2(1)(1)cos120° + 1
= 2 + 2(–½) = 2–1 = 1
|a+b| = 1
|a+b|² = |a|² + 2a·b + |b|²
= 1 + 2(1)(1)cos120° + 1
= 2 + 2(–½) = 2–1 = 1
|a+b| = 1
3
Dalam segitiga ABC, jika OA→=(2,3,1), OB→=(4,–1,2), OC→=(1,2,–3), tentukan vektor sentroid G (titik berat segitiga)!
OG = (OA + OB + OC)/3
= ((2+4+1)/3, (3+(–1)+2)/3, (1+2+(–3))/3)
= (7/3, 4/3, 0)
Jadi G = (7/3, 4/3, 0)
= ((2+4+1)/3, (3+(–1)+2)/3, (1+2+(–3))/3)
= (7/3, 4/3, 0)
Jadi G = (7/3, 4/3, 0)
4
Jika a→=(2,1) dan b→=(1,2), tentukan |(a+b)→|² – |a→|² – |b→|²!
a+b = (3,3) → |a+b|² = 18
|a|² = 4+1 = 5
|b|² = 1+4 = 5
18 – 5 – 5 = 8
(Ini = 2a·b = 2(2·1 + 1·2) = 2(4) = 8 ✓)
|a|² = 4+1 = 5
|b|² = 1+4 = 5
18 – 5 – 5 = 8
(Ini = 2a·b = 2(2·1 + 1·2) = 2(4) = 8 ✓)
5
Vektor-vektor a→, b→, c→ membentuk sistem tertutup (a+b+c=0). Jika a=(3,–2) dan b=(–1,4), tentukan c dan |c|!
a+b+c = 0 → c = –(a+b)
a+b = (2, 2)
c = –(2,2) = (–2, –2)
|c| = √(4+4) = √8 = 2√2 ≈ 2,83
a+b = (2, 2)
c = –(2,2) = (–2, –2)
|c| = √(4+4) = √8 = 2√2 ≈ 2,83
✏️ Latihan Soal – Penjumlahan Vektor
⬟ Mudah
1Jika a→=(5,–3) dan b→=(–2,7), tentukan a→+b→!
2Hitung p→+q→ jika p→=(4,0) dan q→=(0,–3), lalu tentukan panjangnya!
3Diketahui u→=(2,–5,3) dan v→=(–1,4,–2). Hitung u→+v→!
4Tentukan a→+b→+c→ jika a→=(1,3), b→=(–4,2), c→=(6,–1)!
5Sebuah benda mengalami perpindahan 3 m ke kanan kemudian 4 m ke atas. Gambarkan dan tentukan resultan perpindahan!
◈ Sedang
1Diketahui a→=(m, 2) dan b→=(3, m–1). Jika |a→+b→|=10, tentukan nilai m!
2Dua gaya bekerja pada benda: F₁=(4,3) N dan F₂=(–2,5) N. Tentukan besar dan arah resultan gaya!
3A(2,5), B(–1,3), C(4,–1). Tentukan AB→ + BC→ dan buktikan sama dengan AC→!
4Jika |a→|=6, |b→|=8, dan a tegak lurus b, tentukan |a→+b→|!
5Tentukan vektor x→ jika x→ + (2,–3) = (5,1)!
◆ Sulit
1Sebuah pesawat terbang ke arah timur dengan kecepatan 500 km/jam, angin bertiup ke utara 100 km/jam. Tentukan kecepatan resultan pesawat (besar dan sudut terhadap timur)!
2Diketahui |a→|=|b→|=r dan |a→+b→|=r. Tentukan sudut antara a dan b!
3OA→=(1,2,–1), OB→=(3,0,2), OC→=(–1,4,1). Tentukan vektor OG (sentroid segitiga ABC)!
4Empat gaya bekerja pada suatu titik: F₁=(3,0), F₂=(0,4), F₃=(–5,2), F₄=(2,–6). Tentukan besar resultan keempat gaya!
5Vektor a→=(2,1), b→=(0,3). Tentukan sudut yang dibentuk oleh (a→+b→) terhadap sumbu-x positif!
3. Pengurangan Vektor
Pengurangan Vektor didefinisikan sebagai penjumlahan dengan vektor negatif:
a→ – b→ = a→ + (–b→)
a→ – b→ = a→ + (–b→)
Vektor negatif –b→ adalah vektor yang besarnya sama dengan b→ tetapi arahnya berlawanan.
Pengurangan Vektor (Aljabar)
(aₓ, aᵧ) – (bₓ, bᵧ) = (aₓ–bₓ, aᵧ–bᵧ)
⚠️ Perhatian
Pengurangan vektor tidak komutatif: a – b ≠ b – a (kecuali a = b).
Sebab (a – b) = –(b – a).
📝 Contoh Soal – Pengurangan Vektor
⬟ Mudah
1
Jika a→=(5,3) dan b→=(2,1), tentukan a→–b→!
a – b = (5–2, 3–1) = (3, 2)
2
Diketahui p→=(4,–2) dan q→=(–3,5). Hitung p→–q→!
p – q = (4–(–3), –2–5) = (7, –7)
3
Vektor 3D: a→=(3,4,5) dan b→=(1,2,3). Tentukan a→–b→!
a – b = (3–1, 4–2, 5–3) = (2, 2, 2)
4
Tentukan vektor negatif dari c→=(–3, 6) dan tulis sebagai komponen!
Vektor negatif c = –c = (3, –6)
Panjang sama, arah berlawanan.
Panjang sama, arah berlawanan.
5
Titik A(6,4) dan B(2,1). Tentukan |AB→| menggunakan pengurangan vektor!
AB→ = B–A = (2–6, 1–4) = (–4, –3)
|AB| = √(16+9) = 5
|AB| = √(16+9) = 5
◈ Sedang
1
Jika a→=(3,4) dan b→=(–3,4), tentukan |a→–b→|!
a–b = (3–(–3), 4–4) = (6, 0)
|a–b| = √(36+0) = 6
|a–b| = √(36+0) = 6
2
Diketahui a→=(m, 3), b→=(1, m). Jika |a→–b→|=5, tentukan nilai m!
a–b = (m–1, 3–m)
|a–b|² = 25
(m–1)² + (3–m)² = 25
m²–2m+1 + 9–6m+m² = 25
2m²–8m+10 = 25
2m²–8m–15 = 0
m = (8 ± √(64+120))/4 = (8 ± √184)/4
m = (8 ± 2√46)/4 = (4 ± √46)/2
|a–b|² = 25
(m–1)² + (3–m)² = 25
m²–2m+1 + 9–6m+m² = 25
2m²–8m+10 = 25
2m²–8m–15 = 0
m = (8 ± √(64+120))/4 = (8 ± √184)/4
m = (8 ± 2√46)/4 = (4 ± √46)/2
3
Diketahui OA→=(2,5) dan OB→=(5,1). Tentukan vektor BA→!
BA→ = OA – OB = (2–5, 5–1) = (–3, 4)
|BA| = √(9+16) = 5
|BA| = √(9+16) = 5
4
Buktikan bahwa a→–b→ ≠ b→–a→ untuk a→=(2,3) dan b→=(5,–1)!
a–b = (2–5, 3–(–1)) = (–3, 4)
b–a = (5–2, –1–3) = (3, –4)
(–3,4) ≠ (3,–4) ✓
Terlihat b–a = –(a–b), terbukti tidak komutatif.
b–a = (5–2, –1–3) = (3, –4)
(–3,4) ≠ (3,–4) ✓
Terlihat b–a = –(a–b), terbukti tidak komutatif.
5
Diketahui a→=(4,–1,2) dan b→=(2,3,–1). Tentukan |a→–b→|!
a–b = (4–2, –1–3, 2–(–1)) = (2, –4, 3)
|a–b| = √(4+16+9) = √29 ≈ 5,39
|a–b| = √(4+16+9) = √29 ≈ 5,39
◆ Sulit
1
Jika |a|=5, |b|=3, dan sudut antara a,b = 60°, tentukan |a→–b→|!
|a–b|² = |a|²–2a·b+|b|²
a·b = 5×3×cos60° = 7,5
= 25–2(7,5)+9 = 25–15+9 = 19
|a–b| = √19 ≈ 4,36
a·b = 5×3×cos60° = 7,5
= 25–2(7,5)+9 = 25–15+9 = 19
|a–b| = √19 ≈ 4,36
2
Diketahui |a–b|² = |a|² + |b|². Apa yang dapat disimpulkan tentang hubungan a dan b?
|a–b|² = |a|²–2a·b+|b|²
Jika = |a|²+|b|², maka –2a·b = 0 → a·b = 0
Vektor a dan b saling tegak lurus (perpendicular).
Jika = |a|²+|b|², maka –2a·b = 0 → a·b = 0
Vektor a dan b saling tegak lurus (perpendicular).
3
Dalam jajargenjang ABCD, diketahui AB→=(3,2) dan AD→=(1,4). Tentukan diagonal BD→ dan AC→!
AC→ = AB + AD = (3+1, 2+4) = (4, 6) (diagonal 1)
BD→ = AD – AB = (1–3, 4–2) = (–2, 2) (diagonal 2)
|AC| = √52 = 2√13, |BD| = √8 = 2√2
BD→ = AD – AB = (1–3, 4–2) = (–2, 2) (diagonal 2)
|AC| = √52 = 2√13, |BD| = √8 = 2√2
4
Tentukan nilai k agar |a→–kb→| = |a→|, dengan a=(3,4) dan b=(1,0)!
a–kb = (3–k, 4)
|a–kb|² = |a|² = 25
(3–k)² + 16 = 25
(3–k)² = 9
3–k = ±3
k = 0 atau k = 6
(k=0 trivial) → k = 6
|a–kb|² = |a|² = 25
(3–k)² + 16 = 25
(3–k)² = 9
3–k = ±3
k = 0 atau k = 6
(k=0 trivial) → k = 6
5
Diketahui a+b=(4,2) dan a–b=(2,4). Tentukan vektor a dan b!
Dari dua persamaan:
a+b = (4,2) …(1)
a–b = (2,4) …(2)
Jumlahkan: 2a = (6,6) → a = (3,3)
Kurangi (1)–(2): 2b = (2,–2) → b = (1,–1)
a+b = (4,2) …(1)
a–b = (2,4) …(2)
Jumlahkan: 2a = (6,6) → a = (3,3)
Kurangi (1)–(2): 2b = (2,–2) → b = (1,–1)
✏️ Latihan Soal – Pengurangan Vektor
⬟ Mudah
1Jika a→=(7,3) dan b→=(4,1), hitung a→–b→!
2Tentukan vektor negatif dari d→=(5,–2,3)!
3Hitung p→–q→ jika p→=(–1,6) dan q→=(3,–2)!
4Titik A(8,3) dan B(3,7). Tentukan vektor BA→ menggunakan pengurangan!
5Diketahui a→=(2,4,6) dan b→=(1,3,5). Hitung a→–b→!
◈ Sedang
1Diketahui |a→|=13, a→=(5, m). Tentukan m, kemudian hitung a→–b→ untuk b→=(3,–2)!
2OA=(3,2), OB=(7,5). Tentukan |AB→| dan |BA→|. Apakah sama?
3Jika a→=(t,2) dan b→=(3,t), dan |a→–b→|=√8, tentukan nilai t!
4Diketahui r→=(4,–3,1) dan s→=(–2,1,3). Hitung |r→–s→|!
5Buktikan bahwa dalam jajargenjang, diagonal = a+b dan a–b!
◆ Sulit
1Jika |a|=8, |b|=5, sudut antara a dan b = 120°. Tentukan |a–b|!
2Tunjukkan bahwa |a+b|² + |a–b|² = 2(|a|² + |b|²)! (Identitas Parallelogram)
3Diketahui a+2b = (8,4) dan 2a–b = (1,7). Tentukan a dan b!
4Jajargenjang ABCD, AB=(5,3), AD=(2,6). Tentukan besar kedua diagonal!
5Tentukan k agar vektor (a–kb) tegak lurus b, dengan a=(5,3), b=(1,2)!
4. Perkalian Vektor
Ada tiga jenis perkalian yang melibatkan vektor:
| Jenis | Notasi | Hasil |
|---|---|---|
| Perkalian skalar × vektor | k · a→ | Vektor |
| Perkalian titik (dot product) | a→ · b→ | Skalar |
| Perkalian silang (cross product) | a→ × b→ | Vektor (3D) |
A. Perkalian Skalar dengan Vektor
Jika k adalah skalar dan a→=(aₓ,aᵧ), maka: k·a→ = (k·aₓ, k·aᵧ)
Perkalian skalar mengubah panjang vektor. Jika k negatif, arah vektor berbalik.
Perkalian skalar mengubah panjang vektor. Jika k negatif, arah vektor berbalik.
Perkalian Skalar
k · (aₓ, aᵧ) = (k·aₓ, k·aᵧ) | |k·a| = |k| · |a|
B. Perkalian Titik (Dot Product)
a→ · b→ = aₓbₓ + aᵧbᵧ (2D) | a→ · b→ = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_zb_z (3D)
Hasilnya adalah bilangan skalar!
Hasilnya adalah bilangan skalar!
Hubungan Dot Product dengan Sudut
a→ · b→ = |a| · |b| · cos θ → cos θ = (a·b) / (|a|·|b|)
🔑 Interpretasi Dot Product
- a·b > 0 → sudut lancip (<90°)
- a·b = 0 → tegak lurus / perpendicular
- a·b < 0 → sudut tumpul (>90°)
C. Perkalian Silang (Cross Product) — khusus vektor 3D
Jika a=(a₁,a₂,a₃) dan b=(b₁,b₂,b₃), maka:
a × b = (a₂b₃–a₃b₂, a₃b₁–a₁b₃, a₁b₂–a₂b₁)
Hasilnya adalah vektor yang tegak lurus terhadap a dan b.
a × b = (a₂b₃–a₃b₂, a₃b₁–a₁b₃, a₁b₂–a₂b₁)
Hasilnya adalah vektor yang tegak lurus terhadap a dan b.
Besar Cross Product
|a × b| = |a| · |b| · sin θ = Luas jajargenjang yang dibentuk a dan b
📝 Contoh Soal – Perkalian Vektor
⬟ Mudah
1
Diketahui a→=(2,–3). Tentukan 3a→!
3a = (3×2, 3×(–3)) = (6, –9)
2
Hitung dot product a→·b→ jika a→=(4,3) dan b→=(2,1)!
a·b = 4×2 + 3×1 = 8+3 = 11
3
Diketahui a→=(3,4) dan b→=(4,–3). Apakah kedua vektor tegak lurus?
a·b = 3×4 + 4×(–3) = 12–12 = 0
Karena a·b = 0, maka ya, kedua vektor tegak lurus.
Karena a·b = 0, maka ya, kedua vektor tegak lurus.
4
Diketahui a→=(1,2,3). Tentukan –2a→!
–2a = (–2×1, –2×2, –2×3) = (–2, –4, –6)
5
Hitung a→·b→ untuk a→=(–1,3,2) dan b→=(2,1,–1)!
a·b = (–1)(2) + (3)(1) + (2)(–1) = –2+3–2 = –1
◈ Sedang
1
Tentukan sudut antara a→=(1,1) dan b→=(1,0)!
a·b = 1×1+1×0 = 1
|a| = √2, |b| = 1
cos θ = 1/(√2×1) = 1/√2
θ = arccos(1/√2) = 45°
|a| = √2, |b| = 1
cos θ = 1/(√2×1) = 1/√2
θ = arccos(1/√2) = 45°
2
Diketahui a→=(2,k,1) dan b→=(k,3,–2). Tentukan nilai k agar a tegak lurus b!
a·b = 0
2k + 3k – 2 = 0
5k = 2
k = 2/5
2k + 3k – 2 = 0
5k = 2
k = 2/5
3
Hitung a→×b→ untuk a→=(1,2,0) dan b→=(0,1,3)!
a×b = (a₂b₃–a₃b₂, a₃b₁–a₁b₃, a₁b₂–a₂b₁)
= (2×3–0×1, 0×0–1×3, 1×1–2×0)
= (6–0, 0–3, 1–0)
= (6, –3, 1)
= (2×3–0×1, 0×0–1×3, 1×1–2×0)
= (6–0, 0–3, 1–0)
= (6, –3, 1)
4
Tentukan luas jajargenjang yang dibentuk vektor a→=(3,0,0) dan b→=(0,2,0)!
a×b = (0·0–0·2, 0·0–3·0, 3·2–0·0) = (0,0,6)
Luas = |a×b| = √(0+0+36) = 6 satuan luas
Luas = |a×b| = √(0+0+36) = 6 satuan luas
5
Diketahui a→=(1,2). Tentukan komponen a→ yang sejajar sumbu-x dan tegak lurus sumbu-x!
Proyeksi a pada sumbu-x (î=(1,0)):
a‖ = (a·î/|î|²)·î = (1/1)·(1,0) = (1, 0)
Komponen tegak lurus: a⊥ = a – a‖ = (1–1, 2–0) = (0, 2)
a‖ = (a·î/|î|²)·î = (1/1)·(1,0) = (1, 0)
Komponen tegak lurus: a⊥ = a – a‖ = (1–1, 2–0) = (0, 2)
◆ Sulit
1
Hitung sudut antara a→=(2,1,–2) dan b→=(1,2,2)!
a·b = 2+2–4 = 0
|a| = √(4+1+4) = 3, |b| = √(1+4+4) = 3
cos θ = 0/(3×3) = 0
θ = arccos(0) = 90° (tegak lurus!)
|a| = √(4+1+4) = 3, |b| = √(1+4+4) = 3
cos θ = 0/(3×3) = 0
θ = arccos(0) = 90° (tegak lurus!)
2
Tentukan proyeksi vektor a→=(3,4) pada arah b→=(1,0) dan hitung komponen proyeksinya!
Proyeksi skalar a pada b: proj_b a = (a·b)/|b| = (3×1+4×0)/1 = 3
Proyeksi vektor: (a·b/|b|²)b = 3×(1,0) = (3, 0)
Komponen tegak lurus: (3,4)–(3,0) = (0,4)
Proyeksi vektor: (a·b/|b|²)b = 3×(1,0) = (3, 0)
Komponen tegak lurus: (3,4)–(3,0) = (0,4)
3
Buktikan bahwa cross product tidak komutatif: hitung a×b dan b×a untuk a=(1,0,0), b=(0,1,0)!
a×b = (0·0–0·1, 0·0–1·0, 1·1–0·0) = (0,0,1)
b×a = (1·0–0·0, 0·0–0·0, 0·0–1·1) = (0,0,–1)
Terbukti a×b = –(b×a), jadi tidak komutatif.
b×a = (1·0–0·0, 0·0–0·0, 0·0–1·1) = (0,0,–1)
Terbukti a×b = –(b×a), jadi tidak komutatif.
4
Hitung luas segitiga dengan titik-titik A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)!
AB→ = (–1,2,0), AC→ = (–1,0,3)
AB×AC = (2×3–0×0, 0×(–1)–(–1)×3, (–1)×0–2×(–1))
= (6–0, 0+3, 0+2) = (6, 3, 2)
|AB×AC| = √(36+9+4) = √49 = 7
Luas = ½|AB×AC| = 7/2 = 3,5 satuan luas
AB×AC = (2×3–0×0, 0×(–1)–(–1)×3, (–1)×0–2×(–1))
= (6–0, 0+3, 0+2) = (6, 3, 2)
|AB×AC| = √(36+9+4) = √49 = 7
Luas = ½|AB×AC| = 7/2 = 3,5 satuan luas
5
Diketahui tiga vektor a=(1,1,0), b=(1,0,1), c=(0,1,1). Tentukan volume paralelepiped yang dibentuk oleh a, b, dan c menggunakan triple scalar product!
Volume = |a·(b×c)|
b×c = (0×1–1×1, 1×0–1×1, 1×1–0×0) = (–1, –1, 1)
a·(b×c) = 1×(–1) + 1×(–1) + 0×1 = –2
Volume = |–2| = 2 satuan volume
b×c = (0×1–1×1, 1×0–1×1, 1×1–0×0) = (–1, –1, 1)
a·(b×c) = 1×(–1) + 1×(–1) + 0×1 = –2
Volume = |–2| = 2 satuan volume
✏️ Latihan Soal – Perkalian Vektor
⬟ Mudah
1Diketahui v→=(3,–2). Tentukan 4v→ dan –½v→!
2Hitung a→·b→ jika a→=(5,2) dan b→=(–1,3)!
3Apakah a→=(2,–1) dan b→=(1,2) tegak lurus? Jelaskan!
4Diketahui a→=(2,3,1). Hitung –3a→!
5Hitung dot product a→·b→ untuk a→=(1,0,–2) dan b→=(3,5,1)!
◈ Sedang
1Tentukan sudut antara a→=(√3,1) dan b→=(1,0)!
2Cari nilai k agar a→=(k,2,1) tegak lurus b→=(1,k,–3)!
3Hitung a→×b→ untuk a→=(2,1,0) dan b→=(1,0,2)!
4Tentukan luas jajargenjang dari vektor a→=(4,0,0) dan b→=(0,3,0)!
5Tentukan proyeksi vektor a→=(2,3) pada arah b→=(4,3)!
◆ Sulit
1Hitung sudut antara diagonal kubus satuan: a→=(1,1,0) dan b→=(1,0,1)!
2Buktikan bahwa |a×b|² + (a·b)² = |a|²|b|²!
3Tentukan luas segitiga ABC dengan A(1,2,3), B(3,1,2), C(2,3,1)!
4Cari vektor yang tegak lurus terhadap keduanya: a→=(1,2,3) dan b→=(4,5,6)!
5Hitung volume paralelepiped untuk a=(2,0,0), b=(0,3,0), c=(1,1,2) menggunakan triple scalar product!