Proyeksi Ortogonal & Hasil Kali Vektor
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor
Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah komponen vektor a yang searah dengan vektor b.
Proyeksi Skalar (panjang proyeksi):
|projb a| = (a · b) / |b|
Proyeksi Vektor:
projb a = [(a · b) / |b|²] b
Keterangan:
- a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ (dot product)
- |b| = √(b₁² + b₂² + b₃²)
- |b|² = b₁² + b₂² + b₃²
Contoh Soal — Proyeksi Ortogonal
Mudah
1. Tentukan proyeksi skalar vektor a = (3, 4) pada b = (1, 0).
Lihat Pembahasan
a · b = 3(1) + 4(0) = 3
|b| = √(1² + 0²) = 1
Proyeksi skalar = 3/1 = 3
2. Tentukan proyeksi skalar vektor a = (2, 6) pada b = (0, 1).
Lihat Pembahasan
a · b = 2(0) + 6(1) = 6
|b| = 1
Proyeksi skalar = 6
3. Tentukan proyeksi vektor a = (4, 0) pada b = (2, 0).
Lihat Pembahasan
a · b = 4(2) + 0(0) = 8
|b|² = 4 + 0 = 4
proj = (8/4)(2, 0) = 2(2, 0) = (4, 0)
4. Tentukan proyeksi skalar a = (1, 1) pada b = (1, 0).
Lihat Pembahasan
a · b = 1(1) + 1(0) = 1
|b| = 1
Proyeksi skalar = 1
5. Tentukan proyeksi vektor a = (6, 0) pada b = (3, 0).
Lihat Pembahasan
a · b = 18
|b|² = 9
proj = (18/9)(3, 0) = 2(3, 0) = (6, 0)
Sedang
1. Tentukan proyeksi vektor a = (3, 4) pada b = (1, 2).
Lihat Pembahasan
a · b = 3(1) + 4(2) = 3 + 8 = 11
|b|² = 1 + 4 = 5
proj = (11/5)(1, 2) = (11/5, 22/5) = (2.2, 4.4)
2. Tentukan proyeksi skalar a = (2, -3) pada b = (4, 3).
Lihat Pembahasan
a · b = 8 + (-9) = -1
|b| = √(16 + 9) = √25 = 5
Proyeksi skalar = -1/5 = -0.2
3. Tentukan proyeksi vektor a = (1, 2, 2) pada b = (2, 1, 0).
Lihat Pembahasan
a · b = 2 + 2 + 0 = 4
|b|² = 4 + 1 + 0 = 5
proj = (4/5)(2, 1, 0) = (8/5, 4/5, 0)
4. Diketahui a = (5, -1) dan b = (3, 4). Tentukan proyeksi vektor a pada b.
Lihat Pembahasan
a · b = 15 + (-4) = 11
|b|² = 9 + 16 = 25
proj = (11/25)(3, 4) = (33/25, 44/25)
5. Tentukan panjang proyeksi a = (2, 2, 1) pada b = (1, -1, 0).
Lihat Pembahasan
a · b = 2 + (-2) + 0 = 0
|b| = √2
Proyeksi skalar = 0/√2 = 0
Karena hasilnya 0, kedua vektor saling tegak lurus!
Sulit
1. Diketahui a = (2, -1, 3) dan b = (1, 2, -1). Tentukan vektor komponen a yang tegak lurus b.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Hitung proyeksi a pada b
a · b = 2 + (-2) + (-3) = -3
|b|² = 1 + 4 + 1 = 6
proj = (-3/6)(1, 2, -1) = (-1/2, -1, 1/2)
Langkah 2: Komponen tegak lurus = a – proj
= (2, -1, 3) – (-1/2, -1, 1/2) = (5/2, 0, 5/2)
2. Vektor a = (k, 2, 1) memiliki proyeksi skalar pada b = (1, 1, -1) sebesar √3. Tentukan nilai k.
Lihat Pembahasan
a · b = k + 2 – 1 = k + 1
|b| = √(1+1+1) = √3
Proyeksi skalar = (k+1)/√3 = √3
k + 1 = 3
k = 2
3. Tentukan proyeksi vektor a = (3, -2, 6) pada garis yang melalui titik asal dan titik (2, 1, -2).
Lihat Pembahasan
Vektor arah garis: b = (2, 1, -2)
a · b = 6 + (-2) + (-12) = -8
|b|² = 4 + 1 + 4 = 9
proj = (-8/9)(2, 1, -2) = (-16/9, -8/9, 16/9)
4. Diketahui a = (1, 3, -2) dan b = (2, -1, 1). Tentukan vektor c sedemikian sehingga a = projba + c, dan buktikan c ⊥ b.
Lihat Pembahasan
a · b = 2 – 3 – 2 = -3
|b|² = 4 + 1 + 1 = 6
proj = (-3/6)(2, -1, 1) = (-1, 1/2, -1/2)
c = a – proj = (1-(-1), 3-1/2, -2-(-1/2)) = (2, 5/2, -3/2)
Verifikasi: c · b = 2(2) + (5/2)(-1) + (-3/2)(1) = 4 – 5/2 – 3/2 = 4 – 4 = 0 ✓
5. Proyeksi vektor a pada b = (1, -2, 2) menghasilkan vektor (2, -4, 4). Tentukan satu kemungkinan vektor a jika |a| = 7.
Lihat Pembahasan
proj = (2, -4, 4) = k·b → k(1,-2,2) = (2,-4,4) → k = 2
Maka (a·b)/|b|² = 2
|b|² = 1+4+4 = 9, jadi a·b = 18
|proj| = |(2,-4,4)| = √(4+16+16) = 6
Komponen tegak lurus: |c| = √(|a|² – |proj|²) = √(49-36) = √13
Salah satu vektor tegak lurus b: misal u = (2,1,0), normalkan
u – projbu = (2,1,0) – (0)(1,-2,2) … cek: u·b=2-2+0=0 ✓
|u| = √5, satuan = (2/√5, 1/√5, 0)
a = (2,-4,4) + √13·(2/√5, 1/√5, 0) = (2 + 2√(13/5), -4 + √(13/5), 4)
Latihan Soal — Proyeksi Ortogonal
Mudah
1. Tentukan proyeksi skalar a = (5, 0) pada b = (1, 0).
2. Tentukan proyeksi skalar a = (0, 7) pada b = (0, 1).
3. Tentukan proyeksi vektor a = (8, 0) pada b = (4, 0).
4. Tentukan proyeksi skalar a = (3, 3) pada b = (0, 1).
5. Tentukan proyeksi vektor a = (2, 2) pada b = (1, 0).
Sedang
1. Tentukan proyeksi vektor a = (4, 3) pada b = (2, 1).
2. Tentukan proyeksi skalar a = (1, -2, 2) pada b = (3, 0, 4).
3. Tentukan proyeksi vektor a = (5, 2, -1) pada b = (1, 1, 1).
4. Tentukan panjang proyeksi a = (3, -1, 2) pada b = (2, 2, 1).
5. Tentukan proyeksi vektor a = (-1, 4, 2) pada b = (2, -1, 2).
Sulit
1. Diketahui a = (1, 2, -3) dan b = (2, 1, 1). Tentukan komponen a yang tegak lurus terhadap b.
2. Vektor a = (k, 1, 3) memiliki proyeksi skalar pada b = (2, 2, 1) sebesar 3. Tentukan k.
3. Tentukan proyeksi vektor a = (4, -3, 1) pada bidang yang memiliki vektor normal n = (1, 1, 1).
4. Jika proyeksi a pada b = (1, 2, 2) menghasilkan vektor (1, 2, 2), tentukan a·b.
5. Diketahui |a| = 5, |b| = 3 dan sudut antara keduanya 60°. Hitung panjang proyeksi a pada b.
Hasil Kali Vektor (Cross Product)
Hasil kali vektor (perkalian silang) dari dua vektor a dan b menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut.
Rumus Hasil Kali Vektor:
Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)
Menggunakan Determinan:
| | | î | ĵ | k̂ | | |
| | | a₁ | a₂ | a₃ | | |
| | | b₁ | b₂ | b₃ | | |
Sifat-sifat Hasil Kali Vektor:
- a × b = −(b × a) (anti-komutatif)
- a × a = 0
- |a × b| = |a||b| sin θ
- |a × b| = luas jajargenjang yang dibentuk a dan b
Contoh Soal — Hasil Kali Vektor
Mudah
1. Tentukan a × b jika a = (1, 0, 0) dan b = (0, 1, 0).
Lihat Pembahasan
a × b = (0·0 − 0·1, 0·0 − 1·0, 1·1 − 0·0)
= (0, 0, 1) = k̂
2. Tentukan a × b jika a = (0, 1, 0) dan b = (0, 0, 1).
Lihat Pembahasan
= (1·1 − 0·0, 0·0 − 0·1, 0·0 − 1·0)
= (1, 0, 0) = î
3. Tentukan a × b jika a = (2, 0, 0) dan b = (0, 3, 0).
Lihat Pembahasan
= (0·0 − 0·3, 0·0 − 2·0, 2·3 − 0·0)
= (0, 0, 6)
4. Tentukan a × a jika a = (3, 1, 2).
Lihat Pembahasan
Sifat: a × a = (0, 0, 0)
Karena sin 0° = 0, maka hasil kali silang vektor dengan dirinya sendiri selalu nol.
5. Jika a × b = (2, -1, 3), tentukan b × a.
Lihat Pembahasan
Sifat anti-komutatif: b × a = −(a × b)
= (-2, 1, -3)
Sedang
1. Tentukan a × b jika a = (1, 2, 3) dan b = (4, 5, 6).
Lihat Pembahasan
i: 2(6) − 3(5) = 12 − 15 = −3
j: 3(4) − 1(6) = 12 − 6 = 6
k: 1(5) − 2(4) = 5 − 8 = −3
a × b = (−3, 6, −3)
2. Tentukan luas jajargenjang yang dibentuk oleh a = (1, 3, -2) dan b = (2, -1, 1).
Lihat Pembahasan
a × b:
i: 3(1) − (−2)(−1) = 3 − 2 = 1
j: (−2)(2) − 1(1) = −4 − 1 = −5
k: 1(−1) − 3(2) = −1 − 6 = −7
a × b = (1, −5, −7)
Luas = |a × b| = √(1 + 25 + 49) = √75 = 5√3
3. Tentukan a × b jika a = (2, -1, 3) dan b = (1, 4, -2).
Lihat Pembahasan
i: (−1)(−2) − 3(4) = 2 − 12 = −10
j: 3(1) − 2(−2) = 3 + 4 = 7
k: 2(4) − (−1)(1) = 8 + 1 = 9
a × b = (−10, 7, 9)
4. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap a = (1, 0, 1) dan b = (0, 1, 1).
Lihat Pembahasan
a × b:
i: 0(1) − 1(1) = −1
j: 1(0) − 1(1) = −1
k: 1(1) − 0(0) = 1
a × b = (−1, −1, 1)
|a × b| = √(1+1+1) = √3
Vektor satuan = (−1/√3, −1/√3, 1/√3)
5. Tentukan luas segitiga dengan titik-titik A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
Lihat Pembahasan
AB = (−1, 2, 0), AC = (−1, 0, 3)
AB × AC:
i: 2(3) − 0(0) = 6
j: 0(−1) − (−1)(3) = 3
k: (−1)(0) − 2(−1) = 2
AB × AC = (6, 3, 2)
|AB × AC| = √(36+9+4) = √49 = 7
Luas segitiga = ½ × 7 = 7/2 = 3.5
Sulit
1. Tentukan volume paralelepiped yang dibentuk oleh a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6), c = (7, 8, 0).
Lihat Pembahasan
Volume = |a · (b × c)| (triple scalar product)
b × c:
i: 5(0) − 6(8) = −48
j: 6(7) − 4(0) = 42
k: 4(8) − 5(7) = 32 − 35 = −3
b × c = (−48, 42, −3)
a · (b × c) = 1(−48) + 2(42) + 3(−3) = −48 + 84 − 9 = 27
Volume = 27
2. Buktikan bahwa (a + b) × (a − b) = −2(a × b) untuk a = (1, 2, 0), b = (3, 0, 1).
Lihat Pembahasan
a + b = (4, 2, 1), a − b = (−2, 2, −1)
(a+b) × (a−b):
i: 2(−1) − 1(2) = −4
j: 1(−2) − 4(−1) = −2+4 = 2
k: 4(2) − 2(−2) = 8+4 = 12
= (−4, 2, 12)
Sekarang, a × b:
i: 2(1) − 0(0) = 2
j: 0(3) − 1(1) = −1
k: 1(0) − 2(3) = −6
a × b = (2, −1, −6)
−2(a × b) = (−4, 2, 12) ✓ Terbukti!
3. Tentukan jarak titik P(1, 2, 3) ke garis yang melalui A(0, 0, 0) dengan arah d = (1, 1, 0).
Lihat Pembahasan
AP = P − A = (1, 2, 3)
Jarak = |AP × d| / |d|
AP × d:
i: 2(0) − 3(1) = −3
j: 3(1) − 1(0) = 3
k: 1(1) − 2(1) = −1
= (−3, 3, −1)
|AP × d| = √(9+9+1) = √19
|d| = √2
Jarak = √19/√2 = √(19/2) = √(9.5) ≈ 3.08
4. Diketahui a = (2, 1, −1) dan b = (1, 3, k). Jika |a × b| = √94, tentukan k.
Lihat Pembahasan
a × b:
i: 1(k) − (−1)(3) = k + 3
j: (−1)(1) − 2(k) = −1 − 2k
k: 2(3) − 1(1) = 5
|a × b|² = (k+3)² + (−1−2k)² + 25 = 94
k² + 6k + 9 + 1 + 4k + 4k² + 25 = 94
5k² + 10k + 35 = 94
5k² + 10k − 59 = 0
k = (−10 ± √(100 + 1180))/10 = (−10 ± √1280)/10
k = (−10 ± 16√5)/10 = (-5 ± 8√5)/5
5. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) menggunakan hasil kali vektor.
Lihat Pembahasan
AB = (−1, 2, 0), AC = (−1, 0, 3)
Normal n = AB × AC:
i: 2(3) − 0(0) = 6
j: 0(−1) − (−1)(3) = 3
k: (−1)(0) − 2(−1) = 2
n = (6, 3, 2)
Persamaan bidang: 6(x−1) + 3(y−0) + 2(z−0) = 0
6x − 6 + 3y + 2z = 0
6x + 3y + 2z = 6
Latihan Soal — Hasil Kali Vektor
Mudah
1. Tentukan a × b jika a = (0, 0, 1) dan b = (1, 0, 0).
2. Tentukan a × b jika a = (3, 0, 0) dan b = (0, 0, 2).
3. Jika a × b = (1, -3, 5), tentukan b × a.
4. Tentukan a × b jika a = (2, 0, 0) dan b = (0, 4, 0).
5. Tentukan (2a) × b jika a × b = (1, 2, 3).
Sedang
1. Tentukan a × b jika a = (2, 3, 1) dan b = (1, -1, 2).
2. Hitung luas jajargenjang yang dibentuk oleh a = (3, 0, -1) dan b = (2, 1, 3).
3. Tentukan vektor satuan tegak lurus terhadap a = (2, 1, 0) dan b = (0, 1, 2).
4. Hitung luas segitiga dengan titik P(2,0,0), Q(0,3,0), R(0,0,4).
5. Tentukan a × b dan verifikasi bahwa hasilnya tegak lurus a dan b, jika a = (1, -2, 1) dan b = (2, 1, -1).
Sulit
1. Tentukan volume paralelepiped yang dibentuk oleh a = (2, 0, 1), b = (1, 3, 0), c = (0, 1, 2).
2. Tentukan jarak titik P(2, 1, -1) ke garis melalui A(1, 0, 1) dengan arah d = (1, 2, 2).
3. Diketahui a = (1, k, 2) dan b = (2, 1, -1). Jika a × b sejajar dengan vektor (3, 5, m), tentukan k dan m.
4. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (2, 1, 0), (1, 0, 1), dan (0, 2, 1) menggunakan cross product.
5. Buktikan identitas Lagrange: |a × b|² = |a|²|b|² − (a·b)² untuk a = (1, 2, 3) dan b = (2, -1, 1).