📘 Materi: Kesamaan Dua Matriks
1. Pengertian Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B) jika dan hanya jika memenuhi dua syarat berikut secara bersamaan:
- Ordo (ukuran) kedua matriks sama. Artinya jumlah baris dan jumlah kolom matriks A harus sama persis dengan matriks B.
- Setiap elemen yang bersesuaian (seletak) bernilai sama. Artinya elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j di matriks A harus sama dengan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j di matriks B, untuk semua i dan j.
Notasi Formal:
Jika A = [aij]m×n dan B = [bij]p×q, maka:
A = B ⟺ m = p, n = q, dan aij = bij untuk setiap i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n
2. Syarat Kesamaan Dua Matriks (Detail)
Syarat 1: Ordo Harus Sama
Matriks A berordo m × n harus dibandingkan dengan matriks B berordo m × n juga. Jika ordo berbeda, matriks pasti tidak sama, tanpa perlu memeriksa elemen-elemennya.
✓ Bisa Sama
A ordo 2×3, B ordo 2×3
✗ Pasti Tidak Sama
A ordo 2×3, B ordo 3×2
Syarat 2: Elemen Seletak Harus Sama
Setelah ordo sama, bandingkan setiap pasangan elemen yang seletak (posisi sama). Contoh untuk matriks 2×2:
Maka harus berlaku: a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22
3. Langkah-Langkah Menentukan Kesamaan Matriks
Langkah 1: Periksa ordo kedua matriks. Jika berbeda → tidak sama.
Langkah 2: Samakan elemen-elemen seletak membentuk persamaan.
Langkah 3: Selesaikan persamaan-persamaan untuk mencari nilai variabel.
Langkah 4: Verifikasi semua elemen seletak bernilai sama.
4. Hal Penting yang Sering Dilupakan
- Matriks 2×3 dan 3×2 TIDAK sama meskipun memiliki elemen yang sama, karena ordo berbeda.
- Jika ditemukan variabel, semua persamaan dari elemen seletak harus dipenuhi secara bersamaan (sistem persamaan).
- Jika ada satu saja elemen seletak yang tidak sama, maka kedua matriks tidak sama.
- Kesamaan matriks bersifat: refleksif (A = A), simetris (jika A = B maka B = A), dan transitif (jika A = B dan B = C maka A = C).
📝 Contoh Soal & Pembahasan
MUDAH
1. Diketahui matriks:
Apakah A = B?
Pembahasan:
• Ordo A = 2×2, ordo B = 2×2 → ordo sama ✓
• Elemen seletak: a₁₁=2=b₁₁ ✓, a₁₂=5=b₁₂ ✓, a₂₁=3=b₂₁ ✓, a₂₂=7=b₂₂ ✓
• Semua elemen seletak sama → A = B ✓
2. Diketahui:
Apakah A = B?
Pembahasan:
• Ordo A = 2×2, ordo B = 2×3 → ordo berbeda ✗
• Karena ordo berbeda, A ≠ B (tanpa perlu memeriksa elemen).
3. Tentukan nilai x agar A = B:
Pembahasan:
• Ordo sama (2×2) ✓
• Elemen seletak: x = 5, 3=3 ✓, 4=4 ✓, 8=8 ✓
• Jadi x = 5
4. Tentukan nilai a dan b agar A = B:
Pembahasan:
• Ordo sama (2×2) ✓
• Dari elemen seletak: a = 3, b = 10, 6=6 ✓, 1=1 ✓
• Jadi a = 3 dan b = 10
5. Tentukan nilai p agar A = B:
Pembahasan:
• Ordo sama (3×1) ✓
• Elemen seletak: 7=7 ✓, p+1=9 → p=8, 4=4 ✓
• Jadi p = 8
SEDANG
6. Tentukan nilai x dan y agar A = B:
Pembahasan:
• Ordo sama (2×2) ✓
• Dari elemen (1,1): 2x + 1 = 9 → 2x = 8 → x = 4
• Dari elemen (2,2): 3y − 2 = 13 → 3y = 15 → y = 5
• Verifikasi: 4=4 ✓, 7=7 ✓
7. Tentukan nilai a, b, dan c:
dengan diketahui a = 2b
Pembahasan:
• Dari elemen (1,1): a + b = 7
• Substitusi a = 2b: 2b + b = 7 → 3b = 7 → b = 7/3
• Maka a = 14/3
• Dari elemen (2,2): c − 1 = 4 → c = 5
8. Tentukan nilai x dan y:
Pembahasan:
• Persamaan 1: x + y = 10
• Persamaan 2: x − y = 4
• Jumlahkan: 2x = 14 → x = 7
• Substitusi: 7 + y = 10 → y = 3
• Verifikasi: 7+3=10 ✓, 7−3=4 ✓
9. Tentukan nilai p dan q:
Pembahasan:
• Dari elemen (1,1): 2p = 6 → p = 3
• Dari elemen (1,2): p + q = 7 → 3 + q = 7 → q = 4
• Verifikasi elemen (2,2): q² = 4² = 16 ✓
• Semua elemen cocok ✓
10. Tentukan nilai x:
Pembahasan:
• Dari elemen (1,1): x² = 9 → x = 3 atau x = −3
• Dari elemen (2,2): x + 2 = 5 → x = 3
• Kedua persamaan harus dipenuhi bersamaan → x = 3
• (x = −3 tidak memenuhi persamaan kedua)
SULIT
11. Tentukan nilai x, y, dan z:
Pembahasan:
• Dari (1,2): 2x = 4 → x = 2
• Dari (2,1): 3y = 3 → y = 1
• Dari (1,1): x+y+z = 6 → 2+1+z = 6 → z = 3
• Verifikasi (2,2): x−z = 2−3 = −1 ≠ 1 ✗
Kesimpulan: Tidak ada nilai x, y, z yang memenuhi semua persamaan secara bersamaan. Matriks tidak bisa sama.
12. Tentukan semua nilai x yang memenuhi:
Pembahasan:
• Dari (2,2): x³ − 8 = 0 → x³ = 8 → x = 2
• Dari (1,1): x² − 5x = 6 → x² − 5x − 6 = 0 → (x−6)(x+1) = 0 → x = 6 atau x = −1
• Kedua persamaan harus dipenuhi bersamaan.
• x = 2 tidak memenuhi persamaan pertama (4−10 = −6 ≠ 6)
• Tidak ada nilai x yang memenuhi. Matriks tidak bisa sama.
13. Tentukan nilai a dan b:
Pembahasan:
• Persamaan 1: a² − b = 2 … (i)
• Persamaan 2: 2a + b = 7 → b = 7 − 2a … (ii)
• Persamaan 3: a + b² = 5 … (iii)
Substitusi (ii) ke (i): a² − (7−2a) = 2 → a² + 2a − 9 = 0
a = (−2 ± √(4+36))/2 = (−2 ± √40)/2 = −1 ± √10
Cek a = −1+√10 ≈ 2.16 → b = 7−2(2.16) = 2.68
Verifikasi (iii): 2.16 + 2.68² = 2.16 + 7.18 = 9.34 ≠ 5 ✗
Cek a = −1−√10 ≈ −4.16 → b = 7−2(−4.16) = 15.32
Verifikasi (iii): −4.16 + 15.32² ≈ −4.16 + 234.7 ≠ 5 ✗
Tidak ada nilai a dan b yang memenuhi semua persamaan. Matriks tidak bisa sama.
14. Tentukan nilai x dan y:
Pembahasan:
• Ordo sama (1×3) ✓
• Persamaan 1: 2x + y = 7 … (i)
• Persamaan 2: x − y = 1 → x = y + 1 … (ii)
• Persamaan 3: xy = 12 … (iii)
Dari (ii): x = y + 1, substitusi ke (i):
2(y+1) + y = 7 → 3y + 2 = 7 → y = 5/3
Maka x = 5/3 + 1 = 8/3
Verifikasi (iii): xy = (8/3)(5/3) = 40/9 ≈ 4.44 ≠ 12 ✗
Tidak ada solusi. Matriks tidak dapat sama.
15. Tentukan semua nilai x agar A = B:
Pembahasan:
• (1,1): x²−4x+3 = 0 → (x−1)(x−3) = 0 → x=1 atau x=3
• (1,2): 2x−1 = 5 → x = 3
• (2,1): x+3 = 6 → x = 3
• (2,2): x²+x−6 = 0 → (x+3)(x−2) = 0 → x=−3 atau x=2
Harus memenuhi SEMUA persamaan:
• Dari (1,2) dan (2,1): x harus = 3
• Cek (1,1): x=3 → 9−12+3 = 0 ✓
• Cek (2,2): x=3 → 9+3−6 = 6 ≠ 0 ✗
Tidak ada nilai x yang memenuhi semua persamaan. Matriks tidak bisa sama.
✏️ Latihan Soal
MUDAH
1. Apakah kedua matriks berikut sama?
3. Tentukan nilai a dan b:
4. Apakah kedua matriks berikut sama?
SEDANG
6. Tentukan nilai x dan y:
7. Tentukan nilai a dan b:
9. Tentukan nilai x, y, dan z:
SULIT
11. Tentukan semua nilai x:
12. Tentukan nilai a, b, c:
13. Tentukan semua nilai x yang memenuhi:
14. Tentukan nilai x dan y:
15. Tentukan nilai a dan b agar:
