Bahan Ajar Bahan Ajar Matematika

Epres Math – Vektor – Perbandingan Ruas Garis dalam Bentuk Vektor

By admin #Bentuk Vektor, #Perbandingan Ruas Garis, #Perbandingan Ruas Garis dalam Bentuk Vektor, #Ruas Garis Vektor, #Teorema Ceva, #Titik-titik Segmen (Kolinear), #vektor
Perbandingan Ruas Garis dalam Bentuk Vektor

Matematika Peminatan — Kelas X

Perbandingan Ruas Garis dalam Bentuk Vektor

Segmen Garis • Titik Kolinear • Teorema Ceva

1

Perbandingan pada Segmen Garis

Pengertian

Jika titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka vektor posisi titik P dapat ditentukan menggunakan rumus:

OP = n · OA + m · OBm + n

di mana O adalah titik asal (origin), dan P membagi AB sehingga AP : PB = m : n.

A B P m n

Kasus Khusus: Titik Tengah

Jika P adalah titik tengah AB (m = n = 1), maka:

OP = OA + OB2 = 12(OA + OB)

Pembagian Luar

Jika P membagi ruas garis AB secara luar dengan perbandingan m : n (m ≠ n), maka:

OP = −n · OA + m · OBm − n

Contoh Soal — Perbandingan Segmen Garis

Mudah

Soal 1. Diketahui A(1, 2) dan B(5, 6). Titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 1. Tentukan koordinat P.

Soal 2. Diketahui A(0, 0) dan B(8, 4). Titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 3. Tentukan koordinat P.

Soal 3. Diketahui A(2, 3) dan B(6, 7). Titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 1. Tentukan OP.

Soal 4. Diketahui A(−2, 4) dan B(4, −2). Titik P membagi AB dengan perbandingan 2 : 1. Tentukan koordinat P.

Soal 5. Diketahui OA = (3, 6) dan OB = (9, 12). Tentukan vektor posisi titik tengah AB.

Sedang

Soal 6. Diketahui A(1, 2, 3) dan B(4, 5, 9). Titik P membagi AB dengan perbandingan 2 : 1. Tentukan koordinat P.

Soal 7. Titik P(x, y) membagi ruas garis dari A(−1, 5) ke B(7, −3) dengan perbandingan 3 : 1. Tentukan x + y.

Soal 8. Diketahui A(2, −1) dan B(8, 5). Titik P terletak pada AB sehingga AP = 23 AB. Tentukan koordinat P.

Soal 9. Diketahui OA = 2i + 3j dan OB = 8i − 3j. Titik P membagi AB dengan perbandingan 2 : 3 (pembagian dalam). Tentukan OP.

Soal 10. Ruas garis AB dengan A(3, 1) dan B(−5, 9) dibagi oleh titik P dengan perbandingan 3 : 5 dari A. Tentukan |OP|.

Sulit

Soal 11. Titik P membagi AB secara luar dengan perbandingan 3 : 1, dimana A(2, 5) dan B(6, 9). Tentukan koordinat P.

Soal 12. Diketahui A(1, −2, 3), B(4, 1, 0), dan C(7, 4, −3). Titik P membagi AC dengan perbandingan 1 : 2, dan Q membagi BC dengan perbandingan 1 : 2. Tentukan vektor PQ.

Soal 13. Titik P membagi AB secara luar dengan perbandingan 5 : 2. Jika A(−3, 7) dan P(11, −7), tentukan koordinat B.

Soal 14. Segitiga ABC dengan A(1,1), B(5,1), C(3,5). D adalah titik tengah BC dan E membagi AC dengan perbandingan 1:2. Tentukan titik potong AD dan BE.

Soal 15. Titik P dan Q masing-masing membagi ruas garis AB secara dalam dengan perbandingan 1:3 dan 3:1. Jika A(0,0) dan B(12,8), tentukan panjang PQ.

Latihan Soal — Perbandingan Segmen Garis

Mudah
1. A(0, 0) dan B(10, 6). Titik P membagi AB dengan perbandingan 1:4. Tentukan koordinat P.
2. A(2, 8) dan B(6, 0). Tentukan titik tengah AB.
3. A(−4, 2) dan B(8, −4). P membagi AB dengan perbandingan 1:2. Tentukan OP.
4. OA = (5, 10) dan OB = (15, 20). Tentukan vektor posisi titik tengah AB.
5. A(3, 3) dan B(9, 9). P membagi AB dengan perbandingan 1:1. Tentukan |OP|.
Sedang
6. A(1, −3, 2) dan B(7, 3, 8). P membagi AB dengan perbandingan 2:1. Tentukan koordinat P.
7. A(−2, 6) dan B(10, −6). P membagi AB sehingga AP:PB = 5:1. Tentukan jarak P dari titik asal.
8. OA = 3i − j + 2k dan OB = −i + 7j − 2k. P membagi AB dengan perbandingan 3:1. Tentukan OP.
9. Titik P(4, y) membagi AB dengan perbandingan 2:3, A(0, 1) dan B(10, 11). Tentukan y.
10. Ruas garis PQ dimana P(−1, 5) dan Q(9, −5). Titik R membagi PQ sehingga PR = ¾ PQ. Tentukan koordinat R.
Sulit
11. P membagi AB secara luar dengan perbandingan 4:1. A(2, 3) dan B(7, 8). Tentukan koordinat P.
12. A(a, 2) dan B(6, b). P(3, 5) membagi AB dengan perbandingan 1:2. Tentukan a + b.
13. Segitiga PQR dengan P(0,0), Q(6,0), R(0,8). S dan T masing-masing membagi PQ dan PR dengan perbandingan 1:2. Tentukan panjang ST.
14. A(1, 2, −1) dan B(−3, 6, 7). P membagi AB secara luar dengan perbandingan 3:1. Tentukan |OP|.
15. Garis AB dimana A(−4, 1) dan B(8, 7). P dan Q masing-masing membagi AB secara dalam dengan 1:2 dan 2:1. Tentukan luas segitiga OPQ (O = titik asal).
2

Titik-titik Segmen (Kolinear)

Pengertian

Tiga titik A, B, dan C dikatakan kolinear (segaris) jika terletak pada satu garis lurus yang sama. Secara vektor, tiga titik A, B, C kolinear jika dan hanya jika:

AB = k · AC   untuk suatu skalar k ∈ ℝ

atau secara ekuivalen:

AB × AC = 0   (hasil kali silang = vektor nol)
A B C A, B, C kolinear

Syarat Kolinear (2D)

Untuk titik A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), ketiganya kolinear jika:

x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) = 0

Syarat dengan Vektor Posisi

Jika OC = (1−t)OA + t·OB untuk suatu t ∈ ℝ, maka A, B, C kolinear. Jika 0 < t < 1 maka C berada di antara A dan B.

Contoh Soal — Titik Kolinear

Mudah

Soal 1. Tunjukkan bahwa A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6) kolinear.

Soal 2. Apakah titik P(0, 0), Q(2, 4), R(3, 6) kolinear?

Soal 3. Tunjukkan A(2, 1), B(4, 3), C(1, 5) tidak kolinear.

Soal 4. Tentukan apakah A(−1, −3), B(1, 1), C(2, 3) kolinear.

Soal 5. Jika A(0,0), B(4,2), dan C(k, 3), tentukan k agar A, B, C kolinear.

Sedang

Soal 6. A(a, 2), B(3, 4), C(5, 6) kolinear. Tentukan a.

Soal 7. Titik A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(5, 6, 7). Buktikan A, B, C kolinear.

Soal 8. Jika OA = 2i + j, OB = 6i + 3j, dan OC = (1−t)OA + tOB, tentukan OC saat t = 14.

Soal 9. A(2, −1), B(5, 2), C(8, k). Tentukan k agar A, B, C kolinear, lalu hitung |AC|.

Soal 10. Titik A(1, 3), B(4, 6), dan C terletak pada garis AB sehingga AC = 3AB. Tentukan koordinat C.

Sulit

Soal 11. Titik A(1, 2), B(3, 6), dan C(a, b) kolinear. Jika |BC| = 2√5 dan C berada pada perpanjangan AB, tentukan koordinat C.

Soal 12. A(2, −1, 3), B(4, 1, 1), C(a, 3, b). Tentukan a dan b agar A, B, C kolinear.

Soal 13. Segitiga ABC dengan OA = a, OB = b, OC = c. D membagi AB dengan 2:1, E membagi BC dengan 1:1. Buktikan D, E, dan C’ (dimana OC’ = 13a + 13b + 13c) tidak selalu kolinear.

Soal 14. P(2, 3), Q(t, t+1), R(8, 7) kolinear. Tentukan semua nilai t yang mungkin.

Soal 15. A(1, 0, 2), B(3, 1, 0), C terletak pada garis AB. Jika jarak C ke titik asal adalah √14, tentukan semua kemungkinan koordinat C.

Latihan Soal — Titik Kolinear

Mudah
1. Tunjukkan A(0,0), B(3,6), C(5,10) kolinear.
2. Apakah P(1,1), Q(2,3), R(3,5) kolinear?
3. A(−2, −4), B(0, 0), C(3, 6). Periksa apakah kolinear.
4. Tentukan apakah (1, 2), (4, 8), (6, 12) kolinear.
5. A(2, 3), B(4, 7), C(5, 8). Kolinear atau tidak?
Sedang
6. A(1, a), B(3, 5), C(5, 9) kolinear. Tentukan a.
7. P(2, 3, 1), Q(4, 5, −1), R(6, 7, −3). Buktikan kolinear.
8. A(−1, 2) dan B(5, 8). C kolinear dengan A, B dan |AC| = 2|AB|. Tentukan C (di perpanjangan AB).
9. Tentukan nilai m agar A(m, 2m), B(3, 6), C(−1, −2) kolinear.
10. OA = 2i−j, OB = 6i−3j. C pada garis AB dengan OC = (1−t)OA+tOB. Tentukan C saat t = ½.
Sulit
11. A(1, 2, 3), B(2, k, 5), C(3, 6, 7) kolinear. Tentukan k.
12. P(a, b) terletak pada garis yang melalui A(1,1) dan B(4,7). Jika |OP| = 5, tentukan semua kemungkinan P.
13. Buktikan bahwa titik-titik A(2, −1, 3), B(4, 1, 1), C(8, 5, −3) kolinear, dan tentukan perbandingan AB : BC.
14. A(1, 3), B(4, 9), C berada pada garis AB. Jika luas segitiga OAC = 6 (O = origin), tentukan koordinat C.
15. Tiga titik kolinear A(p, 1), B(1, p), C(−1, −5). Tentukan semua nilai p.
3

Teorema Ceva

Pernyataan Teorema

Pada segitiga ABC, misalkan D, E, F masing-masing terletak pada sisi BC, CA, AB. Garis-garis AD, BE, dan CF bertemu di satu titik (concurrent) jika dan hanya jika:

BDDC · CEEA · AFFB = 1
A B C D E F P

Dalam Bentuk Vektor

Jika D membagi BC dengan perbandingan BD:DC = λ:1, E membagi CA dengan CE:EA = μ:1, dan F membagi AB dengan AF:FB = ν:1, maka syarat Ceva menjadi:

λ · μ · ν = 1

Aplikasi Penting

  • Titik berat (centroid): Ketiga median berpotongan → λ = μ = ν = 1 → 1·1·1 = 1 ✓
  • Titik dalam (incenter): Ketiga garis bagi sudut berpotongan.
  • Garis tinggi (orthocenter): Ketiga garis tinggi berpotongan.

Vektor Posisi Titik Perpotongan (Titik Berat)

Untuk segitiga ABC, centroid G memenuhi:

OG = OA + OB + OC3

Contoh Soal — Teorema Ceva

Mudah

Soal 1. Pada segitiga ABC, D di BC dengan BD:DC = 2:3, E di CA dengan CE:EA = 3:2, F di AB. Jika AD, BE, CF berpotongan di satu titik, tentukan AF:FB.

Soal 2. Tentukan titik berat segitiga dengan A(0, 0), B(6, 0), C(0, 6).

Soal 3. Segitiga ABC dengan median AD. Jika BD:DC = 1:1, CE:EA = 1:1, tentukan AF:FB menurut Teorema Ceva.

Soal 4. Tentukan titik berat segitiga A(2, 4), B(6, 2), C(4, 8).

Soal 5. BD:DC = 1:2, CE:EA = 2:1, AF:FB = x:1. Apakah garis-garis AD, BE, CF bisa berpotongan di satu titik? Jika ya, tentukan x.

Sedang

Soal 6. Segitiga ABC, A(0,0), B(8,0), C(2,6). Tentukan titik berat G dan jarak G ke titik A.

Soal 7. Pada △ABC, D di BC dengan BD:DC = 3:2, E di CA dengan CE:EA = 4:3. Tentukan AF:FB agar AD, BE, CF konkuren.

Soal 8. Segitiga A(1,1), B(7,1), C(4,7). D titik tengah BC. Tentukan persamaan garis AD (median) dalam bentuk vektor.

Soal 9. BD:DC = p:1, CE:EA = 2:3, AF:FB = 3:2. Tentukan p agar AD, BE, CF konkuren.

Soal 10. Segitiga ABC, A(0,0), B(6,0), C(0,8). Tiga median berpotongan di G. Buktikan bahwa G membagi setiap median dengan perbandingan 2:1 dari titik sudut.

Sulit

Soal 11. Segitiga ABC, A(1,2), B(7,2), C(3,8). D, E, F terletak di BC, CA, AB. Jika BD:DC = 2:1 dan CE:EA = 1:3, tentukan koordinat titik perpotongan AD dan BE.

Soal 12. Pada △ABC, cevian AD, BE, CF bertemu di titik P. Jika AP = 23AD, BD:DC = 2:1. Dengan OA = a, OB = b, OC = c, nyatakan OP dalam a, b, c.

Soal 13. Segitiga ABC, A(0,0), B(12,0), C(0,9). D di BC dengan BD:DC = 1:2, E di CA dengan CE:EA = 1:2. Verifikasi Teorema Ceva dengan menentukan F di AB dan tunjukkan AD, BE, CF konkuren.

Soal 14. Segitiga ABC dengan A(2, 1), B(8, 3), C(4, 9). D di BC, E di CA, F di AB. AD, BE, CF konkuren. Jika BD:DC = 3:1 dan AF:FB = 2:3, tentukan CE:EA.

Soal 15. Segitiga ABC, OA = a, OB = b, OC = c. D membagi BC (1:2), E membagi CA (1:2), F membagi AB (1:2). Tentukan vektor posisi titik potong AD, BE, CF dan tunjukkan titik tersebut adalah centroid.

Latihan Soal — Teorema Ceva

Mudah
1. Tentukan titik berat segitiga A(3, 0), B(0, 6), C(9, 0).
2. BD:DC = 1:3, CE:EA = 3:1. Tentukan AF:FB agar AD, BE, CF konkuren.
3. Segitiga A(0,0), B(4,0), C(2,6). Tentukan titik berat.
4. BD:DC = 2:1, CE:EA = 1:2, AF:FB = 1:1. Apakah memenuhi Teorema Ceva?
5. Tentukan titik berat segitiga A(−2, 3), B(4, −1), C(2, 7).
Sedang
6. BD:DC = 5:2, CE:EA = 2:5. Tentukan AF:FB agar konkuren.
7. Segitiga A(1, 1), B(7, 1), C(4, 7). D titik tengah BC. Tentukan AG jika G adalah titik berat.
8. BD:DC = k:1, CE:EA = 2k:1, AF:FB = 3:2k. Tentukan k agar AD, BE, CF konkuren.
9. Segitiga A(0,0), B(10,0), C(0,10). G titik berat. Tentukan jarak G ke sisi BC.
10. OA = a, OB = b, OC = c. P adalah titik berat. Buktikan PA+PB+PC = 0.
Sulit
11. Segitiga ABC, A(0,0), B(12,0), C(6,10). D membagi BC (2:3), E membagi CA (3:2). Tentukan koordinat titik potong AD dan BE.
12. BD:DC = a:b, CE:EA = b:c, AF:FB = c:a. Buktikan bahwa AD, BE, CF selalu konkuren.
13. Segitiga ABC, A(1,2), B(9,2), C(5,10). Cevian AD (D di BC), cevian BE (E di CA) berpotongan di P(5, 4). Tentukan BD:DC dan CE:EA, lalu verifikasi Teorema Ceva.
14. Segitiga A(0,0), B(6,0), C(3,6). Garis dari A ke titik (4, 2) di BC, dari B ke titik E di CA, dan dari C ke titik F di AB konkuren. Tentukan E dan F.
15. Dengan Teorema Ceva, buktikan bahwa garis-garis tinggi segitiga lancip berpotongan di satu titik. Gunakan segitiga A(0,0), B(8,0), C(3,6).
Materi Perbandingan Ruas Garis dalam Bentuk Vektor — Matematika Peminatan Kelas X

By admin

Related Post

Bahan Ajar Matematika

SPLK – Sistem Persamaan dengan Dua Peubah, Satu Linear dan Satu Kuadrat yang Bentuk Kuadratnya Dapat Difaktorkan

admin
Bahan Ajar Matematika

SPLK – Sistem Persamaan dengan Dua Variabel, Satu Linear dan Satu Kuadrat yang Berbentuk Kuadratnya Tak Dapat Difaktorkan

admin
Bahan Ajar Matematika

Logika Matematika – Bukti Tidak Langsung

admin

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

You Missed

Bisnis dan Keuangan

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Bisnis dan Keuangan

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Konten edukasi ringan tapi informatif

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Tren gaya hidup sehat atau "soft life" Uncategorized

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

You cannot copy content of this page