Pengertian, Notasi dan Ordo Matriks
Matematika SMA/SMK — Materi Lengkap
1 Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu jajaran persegi panjang (atau persegi), dan ditulis di antara dua tanda kurung siku.
Contoh matriks:
Matriks 2×2
Matriks 2×3
📌 Poin Penting:
- Bilangan-bilangan dalam matriks disebut elemen atau komponen matriks.
- Garis mendatar disebut baris, garis tegak disebut kolom.
- Matriks biasa dilambangkan dengan huruf kapital: A, B, C, …
📝 Contoh Soal — Pengertian Matriks
Mudah
1. Sebutkan elemen baris ke-1 kolom ke-2 dari matriks berikut!
▶ Lihat Pembahasan
Baris ke-1 = (3, 7). Kolom ke-2 = elemen kedua pada baris ke-1.
Jawaban: 7
2. Berapa banyak elemen matriks berikut?
▶ Lihat Pembahasan
Matriks berukuran 2×3 memiliki 2 × 3 = 6 elemen.
Jawaban: 6 elemen
3. Apakah susunan berikut termasuk matriks?
{2, 4, 6, 8}
▶ Lihat Pembahasan
Susunan tersebut menggunakan kurung kurawal (himpunan), bukan kurung siku. Matriks harus ditulis dalam kurung siku dan tersusun dalam baris dan kolom.
Jawaban: Bukan matriks
4. Sebutkan semua elemen baris ke-2 dari matriks:
▶ Lihat Pembahasan
Baris ke-2 berisi elemen: −2 dan 5.
Jawaban: −2, 5
5. Sebutkan semua elemen kolom ke-1 dari matriks:
▶ Lihat Pembahasan
Kolom ke-1 = elemen pertama tiap baris: 1 dan 2.
Jawaban: 1, 2
Sedang
1. Diketahui matriks A = 2x134y . Jika a₁₂ = 5 dan a₂₃ = −1, tentukan x dan y!
▶ Lihat Pembahasan
a₁₂ berarti baris 1, kolom 2 → x = 5.
a₂₃ berarti baris 2, kolom 3 → y = −1.
Jawaban: x = 5, y = −1
2. Suatu matriks B berukuran 3×4. Berapa jumlah total elemen matriks B?
▶ Lihat Pembahasan
Jumlah elemen = jumlah baris × jumlah kolom = 3 × 4 = 12.
Jawaban: 12 elemen
3. Tentukan elemen a₂₁ dan a₁₃ dari matriks:
▶ Lihat Pembahasan
a₂₁ = baris 2, kolom 1 = 4.
a₁₃ = baris 1, kolom 3 = 0.
Jawaban: a₂₁ = 4, a₁₃ = 0
4. Matriks C memiliki 20 elemen. Jika banyak barisnya 4, berapa banyak kolomnya?
▶ Lihat Pembahasan
Jumlah elemen = baris × kolom → 20 = 4 × kolom → kolom = 5.
Jawaban: 5 kolom
5. Tuliskan matriks D berukuran 2×2 dengan elemen dij = i + j!
▶ Lihat Pembahasan
d₁₁ = 1+1 = 2, d₁₂ = 1+2 = 3, d₂₁ = 2+1 = 3, d₂₂ = 2+2 = 4.
Sulit
1. Tuliskan matriks A berukuran 3×3 dengan aij = 2i − j!
▶ Lihat Pembahasan
a₁₁=1, a₁₂=0, a₁₃=−1, a₂₁=3, a₂₂=2, a₂₃=1, a₃₁=5, a₃₂=4, a₃₃=3.
2. Matriks B berukuran 3×3 dengan bij = |i − j|. Tentukan matriks B!
▶ Lihat Pembahasan
b₁₁=0, b₁₂=1, b₁₃=2, b₂₁=1, b₂₂=0, b₂₃=1, b₃₁=2, b₃₂=1, b₃₃=0.
3. Diketahui matriks P berukuran m×n memiliki 12 elemen. Tentukan semua kemungkinan ordo matriks P!
▶ Lihat Pembahasan
Faktorisasi 12: 1×12, 2×6, 3×4, 4×3, 6×2, 12×1.
Jawaban: Ordo yang mungkin: 1×12, 2×6, 3×4, 4×3, 6×2, 12×1
4. Tentukan matriks C berukuran 3×3 dengan cij = i² − j²!
▶ Lihat Pembahasan
c₁₁=0, c₁₂=−3, c₁₃=−8, c₂₁=3, c₂₂=0, c₂₃=−5, c₃₁=8, c₃₂=5, c₃₃=0.
5. Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan setiap elemen yang bersesuaian sama. Jika a+b23a−b = 5231 , tentukan a dan b!
▶ Lihat Pembahasan
a + b = 5 … (i)
a − b = 1 … (ii)
(i) + (ii): 2a = 6 → a = 3, lalu b = 2.
Jawaban: a = 3, b = 2
✏️ Latihan Soal — Pengertian Matriks
Mudah
- Sebutkan elemen a₁₁ dari matriks 9416 !
- Berapa banyak baris pada matriks berukuran 4×3?
- Sebutkan semua elemen kolom ke-2 dari matriks 2583 !
- Apakah [3 5 7] termasuk matriks? Jika ya, apa ordonya?
- Berapa jumlah elemen matriks berukuran 1×5?
Sedang
- Tentukan elemen a₃₂ dari matriks 123456789 !
- Matriks Q memiliki 15 elemen dan 5 kolom. Berapa banyak barisnya?
- Tuliskan matriks 2×2 dengan elemen aij = i × j!
- Jika dua matriks sama, dan x31y = 4317 , tentukan x dan y!
- Tentukan elemen a₂₃ dari matriks 3×3 dengan aij = i + 2j!
Sulit
- Tuliskan matriks 3×3 dengan aij = (−1)i+j!
- Matriks R memiliki 18 elemen. Tentukan semua kemungkinan ordonya!
- Jika 2ab+13cd−2 = 6495 , tentukan a, b, c, d!
- Tuliskan matriks 3×3 dengan aij = i² + j!
- Suatu matriks persegi berordo n memiliki 25 elemen. Tentukan n dan banyak elemen pada diagonalnya!
2 Notasi dan Ordo Matriks
Matriks dilambangkan dengan huruf kapital (A, B, C, …). Elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j ditulis aij.
Bentuk umum matriks A berordo m × n:
📌 Ordo Matriks:
- Ordo m × n artinya matriks memiliki m baris dan n kolom.
- Ditulis singkat: Am×n atau A = [aij]m×n
- Contoh: Matriks 2×3 → 2 baris, 3 kolom.
📝 Contoh Soal — Notasi dan Ordo
Mudah
1. Tentukan ordo matriks berikut!
▶ Lihat Pembahasan
2 baris, 3 kolom → Ordo 2×3
2. Tentukan ordo matriks:
▶ Lihat Pembahasan
3 baris, 1 kolom → Ordo 3×1 (matriks kolom)
3. Apa notasi elemen pada baris ke-3 kolom ke-2?
▶ Lihat Pembahasan
Notasinya: a₃₂
4. Matriks [7] memiliki ordo berapa?
▶ Lihat Pembahasan
1 baris, 1 kolom → Ordo 1×1
5. Matriks [2 4 6 8] memiliki ordo?
▶ Lihat Pembahasan
1 baris, 4 kolom → Ordo 1×4 (matriks baris)
Sedang
1. Dari matriks berikut, tentukan a₂₃ dan ordonya!
▶ Lihat Pembahasan
Ordo 2×4. a₂₃ = baris 2, kolom 3 = 4
2. Matriks E berordo p×q. Jika a₃₅ adalah elemen E, maka nilai minimum p dan q?
▶ Lihat Pembahasan
a₃₅ → baris minimal 3, kolom minimal 5. p ≥ 3, q ≥ 5
3. Tuliskan matriks A berordo 2×3 dengan aij = 3i − 2j!
▶ Lihat Pembahasan
a₁₁=1, a₁₂=−1, a₁₃=−3, a₂₁=4, a₂₂=2, a₂₃=0.
4. Berapa banyak ordo matriks yang mungkin jika jumlah elemennya 24?
▶ Lihat Pembahasan
Faktor 24: 1×24, 2×12, 3×8, 4×6, 6×4, 8×3, 12×2, 24×1 → 8 kemungkinan ordo
5. Matriks F berordo 3×2. Tuliskan semua notasi elemen matriks F!
▶ Lihat Pembahasan
f₁₁, f₁₂, f₂₁, f₂₂, f₃₁, f₃₂ → 6 elemen
Sulit
1. Matriks G berordo n×n. Jumlah semua elemennya 16 buah. Tentukan n dan tuliskan semua elemen diagonal utamanya!
▶ Lihat Pembahasan
n² = 16 → n = 4. Diagonal utama: g₁₁, g₂₂, g₃₃, g₄₄ (4 elemen)
2. Diketahui A = [aij]3×3 dengan aij = (i−j)(i+j). Tentukan jumlah semua elemen diagonal utama!
▶ Lihat Pembahasan
Diagonal: a₁₁=(0)(2)=0, a₂₂=(0)(4)=0, a₃₃=(0)(6)=0. Jumlah = 0
3. Matriks H berordo m×n. Jumlah elemen = 30. Jika m > n dan selisih m − n = 7, tentukan m dan n!
▶ Lihat Pembahasan
mn = 30, m − n = 7. m = n + 7 → n(n+7) = 30 → n² + 7n − 30 = 0 → (n+10)(n−3) = 0 → n = 3, m = 10. Ordo 10×3
4. Tuliskan matriks 4×4 dengan aij = min(i, j)!
▶ Lihat Pembahasan
5. Tentukan jumlah semua elemen matriks 3×3 dengan aij = i² − 2ij + j²!
▶ Lihat Pembahasan
aij = (i−j)². Elemen: 0,1,4,1,0,1,4,1,0. Jumlah = 12
✏️ Latihan Soal — Notasi dan Ordo
Mudah
- Tentukan ordo matriks 123456 !
- Tuliskan notasi elemen baris ke-1 kolom ke-4!
- Matriks berordo 5×1 memiliki berapa elemen?
- Apa perbedaan matriks baris dan matriks kolom?
- Tentukan ordo matriks 1002 !
Sedang
- Tuliskan matriks 2×3 dengan aij = i + j!
- Matriks memiliki 36 elemen dan berbentuk persegi. Berapa ordonya?
- Tentukan a₂₄ dari matriks A3×5 dengan aij = 2i + j!
- Berapa banyak kemungkinan ordo matriks dengan 10 elemen?
- Tuliskan semua notasi elemen matriks berordo 2×4!
Sulit
- Matriks persegi berordo n. Jumlah elemen di luar diagonal utama = 20. Tentukan n!
- Tuliskan matriks 3×3 dengan aij = max(i,j) − min(i,j)!
- Matriks K berordo m×n, mn = 28, m + n = 11. Tentukan m dan n!
- Tentukan jumlah elemen diagonal utama matriks 4×4 dengan aij = i×j!
- Matriks L berordo n×n memiliki n² − n elemen di luar diagonal utama. Jika jumlahnya 56, tentukan n!
3 Matriks-matriks Khusus
① Matriks Baris
Matriks yang hanya memiliki satu baris (ordo 1×n).
② Matriks Kolom
Matriks yang hanya memiliki satu kolom (ordo m×1).
③ Matriks Persegi
Matriks dengan jumlah baris = jumlah kolom (ordo n×n).
④ Matriks Diagonal
Matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utama = 0.
⑤ Matriks Identitas (I)
Matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya = 1.
⑥ Matriks Nol (O)
Matriks yang semua elemennya = 0.
⑦ Matriks Segitiga Atas
Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0.
⑧ Matriks Segitiga Bawah
Matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama = 0.
⑨ Matriks Simetris
Matriks persegi yang memenuhi aij = aji (sama dengan transposenya).
📝 Contoh Soal — Matriks Khusus
Mudah
1. Tentukan jenis matriks: 000
▶ Lihat Pembahasan
Semua elemen nol → Matriks Nol berordo 1×3, juga merupakan matriks baris.
2. Apakah matriks berikut adalah matriks identitas?
▶ Lihat Pembahasan
Persegi 2×2, diagonal = 1, lainnya = 0. Ya, matriks identitas I₂
3. Termasuk jenis apa matriks: 4−1 ?
▶ Lihat Pembahasan
Ordo 2×1 → Matriks Kolom
4. Apakah matriks berikut termasuk matriks diagonal?
▶ Lihat Pembahasan
Persegi, elemen di luar diagonal = 0. Ya, matriks diagonal
5. Tuliskan matriks identitas berordo 3!
▶ Lihat Pembahasan
Sedang
1. Tentukan apakah matriks berikut simetris!
▶ Lihat Pembahasan
Cek: a₁₂=3=a₂₁ ✓, a₁₃=5=a₃₁ ✓, a₂₃=4=a₃₂ ✓. Ya, simetris
2. Apakah matriks berikut segitiga atas?
▶ Lihat Pembahasan
Elemen di bawah diagonal: a₂₁=0 ✓, a₃₁=0 ✓, tapi a₃₂=1 ≠ 0. Bukan segitiga atas
3. Tentukan nilai x agar matriks berikut menjadi matriks diagonal!
▶ Lihat Pembahasan
Syarat: x−3 = 0 → x = 3. Cek: 2(3)−6 = 0 ✓. x = 3
4. Tentukan nilai a dan b agar matriks berikut simetris!
▶ Lihat Pembahasan
Syarat simetris: a₁₂ = a₂₁ → a+2 = 3b−1 … (persamaan satu variabel saja tidak cukup, kita butuh a₁₂ = a₂₁). Karena ini 2×2, syarat: a+2 = 3b−1. Banyak solusi. Contoh: jika a=1 maka 3b−1=3 → b=4/3. Hubungan: a+2 = 3b−1 atau a = 3b−3
5. Tuliskan matriks segitiga bawah 3×3 yang bukan matriks diagonal!
▶ Lihat Pembahasan
Contoh (elemen di bawah diagonal tidak semuanya nol):
Sulit
1. Matriks A3×3 dengan aij = 1 jika i = j, dan aij = 0 jika i ≠ j. Apa jenis matriks A?
▶ Lihat Pembahasan
Diagonal semua 1, lainnya 0. Ini adalah Matriks Identitas I₃. Juga merupakan matriks diagonal, segitiga atas, segitiga bawah, dan simetris sekaligus!
2. Tentukan x dan y agar matriks berikut merupakan matriks identitas!
▶ Lihat Pembahasan
Syarat identitas: a₁₂=0 → x−y=0 … (i). a₂₂=1 → x+y−2=1 → x+y=3 … (ii). a₃₁=0 → 2x−y=0 … (iii).
Dari (i): x = y. Substitusi ke (ii): 2x = 3 → x = 3/2, y = 3/2.
Cek (iii): 2(3/2)−3/2 = 3/2 ≠ 0. Kontradiksi!
Tidak ada nilai x, y yang memenuhi.
3. Buktikan bahwa matriks A dengan aij = i+j selalu simetris untuk semua ordo n×n!
▶ Lihat Pembahasan
aij = i+j = j+i = aji. Karena penjumlahan bersifat komutatif, maka aij = aji untuk semua i,j. Terbukti simetris.
4. Berapa banyak elemen bernilai nol pada matriks segitiga atas berordo 5×5?
▶ Lihat Pembahasan
Elemen di bawah diagonal: untuk baris ke-i (i=2,…,5), ada (i−1) nol. Total = 1+2+3+4 = 10 elemen nol
5. Tentukan matriks A3×3 yang sekaligus merupakan segitiga atas DAN segitiga bawah!
▶ Lihat Pembahasan
Segitiga atas: elemen di bawah diagonal = 0. Segitiga bawah: elemen di atas diagonal = 0. Gabungan keduanya → hanya elemen diagonal yang boleh ≠ 0. Hasilnya adalah matriks diagonal.
✏️ Latihan Soal — Matriks Khusus
Mudah
- Tuliskan matriks nol berordo 3×2!
- Apakah 2002 matriks identitas?
- Sebutkan jenis matriks 1357 !
- Tuliskan matriks diagonal 2×2 dengan elemen diagonal 4 dan −1!
- Apakah matriks identitas termasuk matriks diagonal?
Sedang
- Tentukan x agar 1x²−403 menjadi segitiga bawah!
- Tuliskan contoh matriks simetris 2×2 yang bukan diagonal!
- Matriks A segitiga atas 4×4. Berapa minimal elemen yang bernilai 0?
- Sebutkan semua jenis yang dimiliki matriks identitas I₃!
- Tentukan a agar 3aa5 simetris!
Sulit
- Berapa banyak matriks diagonal 3×3 yang mungkin jika tiap elemen diagonal hanya boleh 0 atau 1?
- Tentukan x dan y agar matriks simetris: 1x+y352x−y374 !
- Buktikan bahwa matriks A dengan aij = i×j selalu simetris!
- Berapa banyak elemen nol pada matriks segitiga bawah n×n? Nyatakan dalam n!
- Apakah jumlah dua matriks simetris selalu simetris? Jelaskan!
4 Transpose Matriks
Transpose dari matriks A (ditulis AT atau A’) adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom (dan sebaliknya).
Jika A berordo m×n, maka AT berordo n×m.
A (2×3)
AT (3×2)
📌 Sifat-sifat Transpose:
- (AT)T = A
- (A + B)T = AT + BT
- (kA)T = kAT (k = skalar)
- (AB)T = BTAT
- Jika AT = A, maka A simetris
📝 Contoh Soal — Transpose
Mudah
1. Tentukan transpose dari A = 1324 !
▶ Lihat Pembahasan
Tukar baris jadi kolom:
AT = 1234
2. Tentukan transpose dari B = 567 !
▶ Lihat Pembahasan
B ordo 1×3, maka BT ordo 3×1:
3. Jika CT = 1324 , tentukan C!
▶ Lihat Pembahasan
(CT)T = C. Transpose lagi:
C = 1234
4. Apa ordo transpose dari matriks berordo 4×2?
▶ Lihat Pembahasan
2×4 (baris dan kolom ditukar)
5. Tentukan transpose matriks identitas I₂!
▶ Lihat Pembahasan
I₂T = I₂ = 1001 . Matriks identitas simetris, sehingga transposenya sama dengan dirinya.
Sedang
1. Tentukan transpose:
▶ Lihat Pembahasan
2. Jika A = 2134 , tentukan A + AT!
▶ Lihat Pembahasan
AT = 2314
A + AT = 4448
3. Tentukan nilai x agar A = AT:
▶ Lihat Pembahasan
A = AT → a₁₂ = a₂₁ → x+1 = 2x−5 → x = 6. x = 6
4. Jika A berordo 2×3 dan B = 3AT, tentukan ordo B!
▶ Lihat Pembahasan
AT ordo 3×2. Perkalian skalar tidak mengubah ordo. B berordo 3×2
5. Buktikan bahwa A − AT menghasilkan matriks dengan diagonal utama = 0 untuk A 2×2!
▶ Lihat Pembahasan
A = abcd , AT = acbd . A − AT = 0b−cc−b0 . Diagonal = 0. Terbukti.
Sulit
1. Diketahui A = 1234 . Tentukan (A + AT) dan buktikan hasilnya simetris!
▶ Lihat Pembahasan
A + AT = 2558 . Karena elemen (1,2)=5=(2,1), simetris terbukti.
Secara umum: (A+AT)T = AT+(AT)T = AT+A = A+AT. Selalu simetris.
2. Tentukan matriks A2×2 jika A + AT = 64410 dan A − AT = 02−20 !
▶ Lihat Pembahasan
Jumlahkan: 2A = 66210
A = 3315
3. Buktikan bahwa (AT)T = A untuk matriks A berordo 2×3!
▶ Lihat Pembahasan
A = abcdef (2×3)
AT = adbecf (3×2)
(AT)T = abcdef = A. Terbukti.
4. Diketahui A = abcd . Tunjukkan bahwa A − AT adalah matriks anti-simetris (BT = −B)!
▶ Lihat Pembahasan
B = A − AT = 0b−cc−b0
BT = 0c−bb−c0 = −B. Terbukti anti-simetris.
5. Setiap matriks persegi A dapat ditulis sebagai A = S + K, dengan S simetris dan K anti-simetris. Tentukan S dan K jika A = 2468 !
▶ Lihat Pembahasan
S = ½(A + AT) = ½ 4101016 = 2558
K = ½(A − AT) = ½ 0−220 = 0−110
Cek: S + K = 2468 = A ✓
✏️ Latihan Soal — Transpose
Mudah
- Tentukan transpose dari 5137 !
- Tentukan transpose dari 246 !
- Jika ordo A = 5×3, berapa ordo AT?
- Tentukan transpose matriks nol 2×3!
- Apakah transpose matriks persegi selalu menghasilkan matriks persegi?
Sedang
- Tentukan AT untuk A = 12345678 !
- Jika A = 1−230 , hitung A − AT!
- Tentukan x jika AT = A untuk 4x−23x+19 !
- Tentukan (2A)T jika A = 1324 !
- Jika BT = 147258 , tentukan B!
Sulit
- Tentukan A jika A + AT = 86612 dan A − AT = 04−40 !
- Buktikan bahwa ATA selalu menghasilkan matriks simetris untuk semua A!
- Tentukan semua matriks 2×2 yang memenuhi A = AT dan semua elemennya hanya 0 atau 1!
- Jika A simetris dan B simetris, apakah AB selalu simetris? Berikan contoh!
- Uraikan matriks 1375 menjadi jumlah matriks simetris dan anti-simetris!