Matematika
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Materi
A. Pengertian SPtLDV
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) adalah kumpulan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel (biasanya \(x\) dan \(y\)) dan harus dipenuhi secara bersamaan (simultan).
Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel:
\( ax + by \leq c \), \( ax + by \geq c \), \( ax + by < c \), \( ax + by > c \)
dengan \(a, b, c \in \mathbb{R}\), serta \(a \neq 0\) atau \(b \neq 0\).
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan, misalnya:
\(\begin{cases} x + y \leq 10 \\ 2x + y \geq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan situasi berikut:
“Seorang pedagang menjual dua jenis kue. Kue A membutuhkan 2 kg tepung dan 1 kg gula. Kue B membutuhkan 1 kg tepung dan 2 kg gula. Persediaan tepung 20 kg dan gula 16 kg.”
Jika \(x\) = jumlah kue A dan \(y\) = jumlah kue B, maka:
- Kendala tepung: \(2x + y \leq 20\)
- Kendala gula: \(x + 2y \leq 16\)
- Syarat non-negatif: \(x \geq 0, \; y \geq 0\)
Keempat pertidaksamaan ini membentuk sebuah sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
B. Menggambar Grafik Pertidaksamaan Linear
Langkah-langkah menggambar grafik pertidaksamaan linear:
- Ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan untuk memperoleh persamaan garis batas.
- Gambar garis batas:
- Garis penuh (solid) jika menggunakan tanda \(\leq\) atau \(\geq\)
- Garis putus-putus (dashed) jika menggunakan tanda \(<\) atau \(>\)
- Tentukan daerah penyelesaian dengan menguji titik uji (biasanya titik \(O(0,0)\)).
- Arsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan.
Contoh grafik: Daerah penyelesaian \(x + y \leq 4\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\)
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, cobalah ajukan pertanyaan:
- Bagaimana cara menentukan daerah penyelesaian jika ada lebih dari dua pertidaksamaan?
- Apa arti irisan (intersection) dari beberapa daerah penyelesaian?
- Mengapa garis batas bisa solid atau putus-putus?
C. Himpunan Penyelesaian SPtLDV
Himpunan penyelesaian (HP) SPtLDV adalah irisan (bagian yang sama) dari semua daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan. Daerah irisan ini sering disebut daerah feasible (daerah layak).
Langkah menentukan HP SPtLDV:
- Gambar garis batas untuk setiap pertidaksamaan pada bidang koordinat yang sama.
- Tentukan daerah penyelesaian untuk masing-masing pertidaksamaan.
- Tentukan irisan (daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan sekaligus).
- Arsir daerah irisan tersebut sebagai HP sistem.
💡 Kegiatan: Menalar
Perhatikan sistem berikut:
\(\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x + 2y \leq 8 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Dari garis \(x + y = 6\): titik potong sumbu \(x\) di \((6,0)\) dan sumbu \(y\) di \((0,6)\).
Dari garis \(x + 2y = 8\): titik potong sumbu \(x\) di \((8,0)\) dan sumbu \(y\) di \((0,4)\).
Nalar: Daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan sekaligus berada di bawah kedua garis DAN di kuadran I (karena \(x \geq 0, y \geq 0\)).
Titik-titik sudut daerah HP: \((0,0)\), \((6,0)\), \((4,2)\), \((0,4)\).
Titik \((4,2)\) diperoleh dari penyelesaian persamaan simultan \(x+y=6\) dan \(x+2y=8\).
D. Titik Sudut Daerah Penyelesaian
Titik sudut (vertex) daerah penyelesaian adalah titik-titik perpotongan antar garis batas. Titik-titik ini sangat penting dalam program linear untuk menentukan nilai optimum.
Cara menentukan titik sudut:
- Tentukan perpotongan antar garis batas dengan menyelesaikan sistem persamaan linear.
- Tentukan perpotongan garis batas dengan sumbu koordinat.
- Pastikan titik-titik tersebut berada di dalam daerah HP.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem berikut dan gambarkan grafiknya:
\(\begin{cases} 2x + 3y \leq 12 \\ x + y \leq 5 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Langkah:
- Garis \(2x + 3y = 12\): titik \((6,0)\) dan \((0,4)\)
- Garis \(x + y = 5\): titik \((5,0)\) dan \((0,5)\)
- Uji titik \((0,0)\): \(2(0)+3(0)=0 \leq 12\) ✓ dan \(0+0=0 \leq 5\) ✓
- Titik sudut: \((0,0)\), \((5,0)\), \((3,2)\), \((0,4)\)
Titik \((3,2)\): selesaikan \(2x+3y=12\) dan \(x+y=5\) → \(x=3, y=2\).
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Buatlah model matematika dari permasalahan berikut, kemudian presentasikan di depan kelas:
“Sebuah pabrik memproduksi meja dan kursi. Setiap meja memerlukan 3 jam pemotongan dan 2 jam perakitan. Setiap kursi memerlukan 2 jam pemotongan dan 4 jam perakitan. Waktu yang tersedia untuk pemotongan adalah 24 jam dan perakitan 32 jam.”
Model matematika:
Misalkan \(x\) = jumlah meja, \(y\) = jumlah kursi.
\(\begin{cases} 3x + 2y \leq 24 \\ 2x + 4y \leq 32 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
E. Notasi dan Simbol SPtLDV
Berikut tabel notasi yang digunakan dalam SPtLDV:
| Simbol | Arti | Jenis Garis Batas |
|---|---|---|
| \( \leq \) | Kurang dari atau sama dengan | Garis penuh (solid) |
| \( \geq \) | Lebih dari atau sama dengan | Garis penuh (solid) |
| \( < \) | Kurang dari (strict) | Garis putus-putus |
| \( > \) | Lebih dari (strict) | Garis putus-putus |
F. Membuat Model Matematika
Membuat model matematika dari soal cerita merupakan keterampilan penting. Langkah-langkahnya:
- Identifikasi variabel: Tentukan apa yang dimisalkan sebagai \(x\) dan \(y\).
- Identifikasi kendala: Temukan batasan-batasan dari soal.
- Tuliskan pertidaksamaan: Ubah setiap kendala menjadi pertidaksamaan linear.
- Tambahkan syarat non-negatif: \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\) (jika konteks mengharuskan).
Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah
1. Tentukan apakah titik \((1, 2)\) memenuhi pertidaksamaan \(x + y \leq 5\).
Pembahasan:
Substitusi \(x=1, y=2\):
\(1 + 2 = 3\)
Karena \(3 \leq 5\) (benar), maka titik \((1,2)\) memenuhi pertidaksamaan.
Substitusi \(x=1, y=2\):
\(1 + 2 = 3\)
Karena \(3 \leq 5\) (benar), maka titik \((1,2)\) memenuhi pertidaksamaan.
2. Tentukan apakah titik \((3, 4)\) memenuhi pertidaksamaan \(2x + y < 8\).
Pembahasan:
Substitusi: \(2(3) + 4 = 6 + 4 = 10\)
Karena \(10 < 8\) (salah), maka titik \((3,4)\) tidak memenuhi pertidaksamaan.
Substitusi: \(2(3) + 4 = 6 + 4 = 10\)
Karena \(10 < 8\) (salah), maka titik \((3,4)\) tidak memenuhi pertidaksamaan.
3. Gambarkan daerah penyelesaian dari \(x + y \leq 4\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\).
Pembahasan:
Garis batas: \(x + y = 4\) → titik potong \((4,0)\) dan \((0,4)\).
Uji \((0,0)\): \(0 + 0 = 0 \leq 4\) ✓ → daerah yang memuat \((0,0)\).
Daerah HP: segitiga dengan titik sudut \((0,0)\), \((4,0)\), \((0,4)\).
Garis batas: \(x + y = 4\) → titik potong \((4,0)\) dan \((0,4)\).
Uji \((0,0)\): \(0 + 0 = 0 \leq 4\) ✓ → daerah yang memuat \((0,0)\).
Daerah HP: segitiga dengan titik sudut \((0,0)\), \((4,0)\), \((0,4)\).
4. Tentukan daerah penyelesaian: \(y \geq 2x – 3\), \(x \geq 0\).
Pembahasan:
Garis batas: \(y = 2x – 3\) → titik \((0,-3)\) dan \((1.5, 0)\).
Uji \((0,0)\): \(0 \geq 2(0) – 3 = -3\) → \(0 \geq -3\) ✓
Daerah HP: di atas garis \(y = 2x – 3\) dan di sebelah kanan sumbu \(y\).
Garis batas: \(y = 2x – 3\) → titik \((0,-3)\) dan \((1.5, 0)\).
Uji \((0,0)\): \(0 \geq 2(0) – 3 = -3\) → \(0 \geq -3\) ✓
Daerah HP: di atas garis \(y = 2x – 3\) dan di sebelah kanan sumbu \(y\).
5. Tuliskan sistem pertidaksamaan dari daerah di kuadran I yang dibatasi oleh \(x + y = 6\) (di bawah garis).
Pembahasan:
“Di kuadran I” berarti \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\).
“Di bawah garis \(x+y=6\)” berarti \(x + y \leq 6\).
Sistem: \(\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
“Di kuadran I” berarti \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\).
“Di bawah garis \(x+y=6\)” berarti \(x + y \leq 6\).
Sistem: \(\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
📙 Contoh Soal Sedang
1. Tentukan daerah penyelesaian dan titik-titik sudut dari: \(\begin{cases} x + y \leq 8 \\ x + 2y \leq 12 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Pembahasan:
Garis 1: \(x+y=8\) → \((8,0)\), \((0,8)\)
Garis 2: \(x+2y=12\) → \((12,0)\), \((0,6)\)
Perpotongan: \(x+y=8\) dan \(x+2y=12\)
Kurangi: \(-y = -4 \Rightarrow y = 4\), maka \(x = 4\).
Titik potong: \((4, 4)\).
Titik sudut HP: \((0,0)\), \((8,0)\), \((4,4)\), \((0,6)\).
Garis 1: \(x+y=8\) → \((8,0)\), \((0,8)\)
Garis 2: \(x+2y=12\) → \((12,0)\), \((0,6)\)
Perpotongan: \(x+y=8\) dan \(x+2y=12\)
Kurangi: \(-y = -4 \Rightarrow y = 4\), maka \(x = 4\).
Titik potong: \((4, 4)\).
Titik sudut HP: \((0,0)\), \((8,0)\), \((4,4)\), \((0,6)\).
2. Seorang penjahit membuat baju dan celana. Baju memerlukan 2 m kain dan celana memerlukan 1.5 m kain. Kain tersedia 30 m. Waktu menjahit baju 3 jam dan celana 2 jam, tersedia 40 jam. Buatlah model matematikanya.
Pembahasan:
Misalkan \(x\) = jumlah baju, \(y\) = jumlah celana.
Kendala kain: \(2x + 1{,}5y \leq 30\) atau \(4x + 3y \leq 60\)
Kendala waktu: \(3x + 2y \leq 40\)
Syarat: \(x \geq 0, \; y \geq 0\)
Sistem: \(\begin{cases} 4x + 3y \leq 60 \\ 3x + 2y \leq 40 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Misalkan \(x\) = jumlah baju, \(y\) = jumlah celana.
Kendala kain: \(2x + 1{,}5y \leq 30\) atau \(4x + 3y \leq 60\)
Kendala waktu: \(3x + 2y \leq 40\)
Syarat: \(x \geq 0, \; y \geq 0\)
Sistem: \(\begin{cases} 4x + 3y \leq 60 \\ 3x + 2y \leq 40 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
3. Tentukan daerah penyelesaian: \(\begin{cases} 2x + y \leq 10 \\ x + 3y \leq 15 \\ x \geq 2 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Pembahasan:
Garis 1: \(2x+y=10\) → \((5,0)\), \((0,10)\)
Garis 2: \(x+3y=15\) → \((15,0)\), \((0,5)\)
Garis 3: \(x=2\) (garis vertikal)
Perpotongan garis 1 & 2: \(2x+y=10\) dan \(x+3y=15\)
Dari pers. 1: \(y=10-2x\). Substitusi: \(x+3(10-2x)=15 \Rightarrow x+30-6x=15 \Rightarrow -5x=-15 \Rightarrow x=3, y=4\).
Perpotongan \(x=2\) dengan garis 1: \(2(2)+y=10 \Rightarrow y=6\) → \((2,6)\)
Perpotongan \(x=2\) dengan garis 2: \(2+3y=15 \Rightarrow y=\frac{13}{3}\) → \((2, \frac{13}{3})\)
Titik sudut: \((2,0)\), \((5,0)\), \((3,4)\), \((2, \frac{13}{3})\).
Cek \((2,\frac{13}{3})\) pada garis 1: \(2(2)+\frac{13}{3}=4+4{,}33=8{,}33 \leq 10\) ✓
Titik sudut HP: \((2,0)\), \((5,0)\), \((3,4)\), \((2, \frac{13}{3})\).
Garis 1: \(2x+y=10\) → \((5,0)\), \((0,10)\)
Garis 2: \(x+3y=15\) → \((15,0)\), \((0,5)\)
Garis 3: \(x=2\) (garis vertikal)
Perpotongan garis 1 & 2: \(2x+y=10\) dan \(x+3y=15\)
Dari pers. 1: \(y=10-2x\). Substitusi: \(x+3(10-2x)=15 \Rightarrow x+30-6x=15 \Rightarrow -5x=-15 \Rightarrow x=3, y=4\).
Perpotongan \(x=2\) dengan garis 1: \(2(2)+y=10 \Rightarrow y=6\) → \((2,6)\)
Perpotongan \(x=2\) dengan garis 2: \(2+3y=15 \Rightarrow y=\frac{13}{3}\) → \((2, \frac{13}{3})\)
Titik sudut: \((2,0)\), \((5,0)\), \((3,4)\), \((2, \frac{13}{3})\).
Cek \((2,\frac{13}{3})\) pada garis 1: \(2(2)+\frac{13}{3}=4+4{,}33=8{,}33 \leq 10\) ✓
Titik sudut HP: \((2,0)\), \((5,0)\), \((3,4)\), \((2, \frac{13}{3})\).
4. Tentukan sistem pertidaksamaan yang memiliki daerah penyelesaian berupa daerah segi empat dengan titik sudut \((0,0)\), \((6,0)\), \((4,3)\), \((0,5)\).
Pembahasan:
Garis melalui \((6,0)\) dan \((4,3)\): gradien = \(\frac{3-0}{4-6}=-\frac{3}{2}\)
Persamaan: \(y – 0 = -\frac{3}{2}(x-6) \Rightarrow 2y = -3x+18 \Rightarrow 3x+2y=18\)
Garis melalui \((4,3)\) dan \((0,5)\): gradien = \(\frac{5-3}{0-4}=-\frac{1}{2}\)
Persamaan: \(y-5=-\frac{1}{2}(x-0) \Rightarrow 2y-10=-x \Rightarrow x+2y=10\)
Uji \((0,0)\) terhadap \(3x+2y=18\): \(0 \leq 18\) ✓ → \(3x+2y \leq 18\)
Uji \((0,0)\) terhadap \(x+2y=10\): \(0 \leq 10\) ✓ → \(x+2y \leq 10\)
Sistem: \(\begin{cases} 3x + 2y \leq 18 \\ x + 2y \leq 10 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Garis melalui \((6,0)\) dan \((4,3)\): gradien = \(\frac{3-0}{4-6}=-\frac{3}{2}\)
Persamaan: \(y – 0 = -\frac{3}{2}(x-6) \Rightarrow 2y = -3x+18 \Rightarrow 3x+2y=18\)
Garis melalui \((4,3)\) dan \((0,5)\): gradien = \(\frac{5-3}{0-4}=-\frac{1}{2}\)
Persamaan: \(y-5=-\frac{1}{2}(x-0) \Rightarrow 2y-10=-x \Rightarrow x+2y=10\)
Uji \((0,0)\) terhadap \(3x+2y=18\): \(0 \leq 18\) ✓ → \(3x+2y \leq 18\)
Uji \((0,0)\) terhadap \(x+2y=10\): \(0 \leq 10\) ✓ → \(x+2y \leq 10\)
Sistem: \(\begin{cases} 3x + 2y \leq 18 \\ x + 2y \leq 10 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
5. Tentukan luas daerah penyelesaian dari: \(\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Pembahasan:
Daerah HP berupa segitiga dengan titik sudut \((0,0)\), \((6,0)\), \((0,6)\).
Alas = 6, Tinggi = 6.
Luas = \(\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\) satuan luas.
Daerah HP berupa segitiga dengan titik sudut \((0,0)\), \((6,0)\), \((0,6)\).
Alas = 6, Tinggi = 6.
Luas = \(\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\) satuan luas.
📕 Contoh Soal Sulit
1. Tentukan nilai maksimum \(f(x,y) = 3x + 5y\) pada daerah yang dibatasi oleh: \(\begin{cases} x + 2y \leq 14 \\ 3x + y \leq 14 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Pembahasan:
Garis 1: \(x+2y=14\) → \((14,0)\), \((0,7)\)
Garis 2: \(3x+y=14\) → \((\frac{14}{3},0)\), \((0,14)\)
Perpotongan: \(x+2y=14\) dan \(3x+y=14\)
Dari pers. 2: \(y=14-3x\). Substitusi: \(x+2(14-3x)=14 \Rightarrow x+28-6x=14 \Rightarrow -5x=-14 \Rightarrow x=\frac{14}{5}=2{,}8\)
\(y=14-3(2{,}8)=14-8{,}4=5{,}6\). Titik: \((2{,}8; \; 5{,}6)\).
Titik sudut: \((0,0)\), \((\frac{14}{3},0)\), \((2{,}8; \; 5{,}6)\), \((0,7)\).
Nilai maksimum \(f = 36{,}4\) di titik \((2{,}8; \; 5{,}6)\).
Garis 1: \(x+2y=14\) → \((14,0)\), \((0,7)\)
Garis 2: \(3x+y=14\) → \((\frac{14}{3},0)\), \((0,14)\)
Perpotongan: \(x+2y=14\) dan \(3x+y=14\)
Dari pers. 2: \(y=14-3x\). Substitusi: \(x+2(14-3x)=14 \Rightarrow x+28-6x=14 \Rightarrow -5x=-14 \Rightarrow x=\frac{14}{5}=2{,}8\)
\(y=14-3(2{,}8)=14-8{,}4=5{,}6\). Titik: \((2{,}8; \; 5{,}6)\).
Titik sudut: \((0,0)\), \((\frac{14}{3},0)\), \((2{,}8; \; 5{,}6)\), \((0,7)\).
| Titik | \(f = 3x+5y\) |
|---|---|
| \((0,0)\) | 0 |
| \((\frac{14}{3},0) \approx (4{,}67; 0)\) | \(3(\frac{14}{3})=14\) |
| \((2{,}8; \; 5{,}6)\) | \(3(2{,}8)+5(5{,}6)=8{,}4+28=36{,}4\) |
| \((0,7)\) | \(5(7)=35\) |
2. Seorang investor memiliki Rp100 juta untuk investasi di saham A dan B. Saham A minimal Rp20 juta dan saham B minimal Rp10 juta. Total investasi di A tidak boleh lebih dari 3 kali investasi di B. Buatlah model dan tentukan titik-titik sudut daerah HP.
Pembahasan:
Misalkan \(x\) = investasi di A (juta), \(y\) = investasi di B (juta).
Kendala: \(x + y \leq 100\), \(x \geq 20\), \(y \geq 10\), \(x \leq 3y\).
Sistem: \(\begin{cases} x + y \leq 100 \\ x \leq 3y \\ x \geq 20 \\ y \geq 10 \end{cases}\)
Titik sudut:
• \(x=20, y=10\): cek \(20 \leq 3(10)=30\) ✓, \(20+10=30 \leq 100\) ✓ → \((20,10)\)
• \(x+y=100\) dan \(y=10\): \(x=90\), cek \(90 \leq 30\) ✗ → tidak valid
• \(x+y=100\) dan \(x=3y\): \(3y+y=100 \Rightarrow y=25, x=75\) → \((75,25)\)
• \(x=3y\) dan \(y=10\): \(x=30\) → \((30,10)\)
• \(x=20\) dan \(x+y=100\): \(y=80\), cek \(20 \leq 3(80)=240\) ✓ → \((20,80)\)
• \(x=20\) dan \(x=3y\): \(20=3y \Rightarrow y=\frac{20}{3}\approx 6{,}67\), cek \(y \geq 10\) ✗ → tidak valid
Titik sudut valid: \((30,10)\), \((75,25)\), \((20,80)\), \((20,10)\)…
Cek ulang \((20,10)\): \(20 \leq 3(10)=30\) ✓. Valid.
Titik sudut HP: \((20,80)\), \((75,25)\), \((30,10)\), \((20,10)\)…
Verifikasi \((20,10)\): semua kendala ✓.
Final: \((30,10)\), \((75,25)\), \((20,80)\).
Cek \((20,10)\) pada \(x \leq 3y\): \(20 \leq 30\) ✓. Jadi juga valid.
Titik sudut: \((20,10)\) perlu cek \(x+y \leq 100\): \(30 \leq 100\) ✓. Namun apakah ini titik sudut? Ya, perpotongan \(x=20\) dan \(y=10\).
Titik sudut HP: \((20,10)\), \((30,10)\), \((75,25)\), \((20,80)\).
Misalkan \(x\) = investasi di A (juta), \(y\) = investasi di B (juta).
Kendala: \(x + y \leq 100\), \(x \geq 20\), \(y \geq 10\), \(x \leq 3y\).
Sistem: \(\begin{cases} x + y \leq 100 \\ x \leq 3y \\ x \geq 20 \\ y \geq 10 \end{cases}\)
Titik sudut:
• \(x=20, y=10\): cek \(20 \leq 3(10)=30\) ✓, \(20+10=30 \leq 100\) ✓ → \((20,10)\)
• \(x+y=100\) dan \(y=10\): \(x=90\), cek \(90 \leq 30\) ✗ → tidak valid
• \(x+y=100\) dan \(x=3y\): \(3y+y=100 \Rightarrow y=25, x=75\) → \((75,25)\)
• \(x=3y\) dan \(y=10\): \(x=30\) → \((30,10)\)
• \(x=20\) dan \(x+y=100\): \(y=80\), cek \(20 \leq 3(80)=240\) ✓ → \((20,80)\)
• \(x=20\) dan \(x=3y\): \(20=3y \Rightarrow y=\frac{20}{3}\approx 6{,}67\), cek \(y \geq 10\) ✗ → tidak valid
Titik sudut valid: \((30,10)\), \((75,25)\), \((20,80)\), \((20,10)\)…
Cek ulang \((20,10)\): \(20 \leq 3(10)=30\) ✓. Valid.
Titik sudut HP: \((20,80)\), \((75,25)\), \((30,10)\), \((20,10)\)…
Verifikasi \((20,10)\): semua kendala ✓.
Final: \((30,10)\), \((75,25)\), \((20,80)\).
Cek \((20,10)\) pada \(x \leq 3y\): \(20 \leq 30\) ✓. Jadi juga valid.
Titik sudut: \((20,10)\) perlu cek \(x+y \leq 100\): \(30 \leq 100\) ✓. Namun apakah ini titik sudut? Ya, perpotongan \(x=20\) dan \(y=10\).
Titik sudut HP: \((20,10)\), \((30,10)\), \((75,25)\), \((20,80)\).
3. Tentukan daerah penyelesaian dan luas daerah HP dari: \(\begin{cases} 2x + y \leq 12 \\ x + 2y \leq 12 \\ x + y \geq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Pembahasan:
Garis 1: \(2x+y=12\) → \((6,0)\), \((0,12)\)
Garis 2: \(x+2y=12\) → \((12,0)\), \((0,6)\)
Garis 3: \(x+y=4\) → \((4,0)\), \((0,4)\)
Perpotongan garis 1 & 2: \(2x+y=12\) dan \(x+2y=12\)
\(4x+2y=24\) dikurangi \(x+2y=12\): \(3x=12 \Rightarrow x=4, y=4\). Titik \((4,4)\).
Perpotongan garis 1 & 3: \(2x+y=12\) dan \(x+y=4\) → kurangi: \(x=8, y=-4\). Cek \(y\geq 0\): ✗
Perpotongan garis 1 & sumbu x: \((6,0)\). Cek \(x+y\geq 4\): \(6\geq 4\) ✓
Perpotongan garis 2 & sumbu y: \((0,6)\). Cek \(x+y\geq 4\): \(6\geq 4\) ✓
Perpotongan garis 3 & sumbu x: \((4,0)\). Cek \(2(4)+0=8\leq 12\) ✓
Perpotongan garis 3 & sumbu y: \((0,4)\). Cek \(0+2(4)=8\leq 12\) ✓
Titik sudut HP: \((4,0)\), \((6,0)\), \((4,4)\), \((0,6)\), \((0,4)\).
Luas (menggunakan rumus Shoelace):
Urutan: \((4,0)\), \((6,0)\), \((4,4)\), \((0,6)\), \((0,4)\)
\(L = \frac{1}{2}|4(0)-6(0) + 6(4)-4(0) + 4(6)-0(4) + 0(4)-0(6) + 0(0)-4(4)|\)
\(= \frac{1}{2}|0 + 24 + 24 + 0 – 16| = \frac{1}{2}|32| = 16\) satuan luas.
Garis 1: \(2x+y=12\) → \((6,0)\), \((0,12)\)
Garis 2: \(x+2y=12\) → \((12,0)\), \((0,6)\)
Garis 3: \(x+y=4\) → \((4,0)\), \((0,4)\)
Perpotongan garis 1 & 2: \(2x+y=12\) dan \(x+2y=12\)
\(4x+2y=24\) dikurangi \(x+2y=12\): \(3x=12 \Rightarrow x=4, y=4\). Titik \((4,4)\).
Perpotongan garis 1 & 3: \(2x+y=12\) dan \(x+y=4\) → kurangi: \(x=8, y=-4\). Cek \(y\geq 0\): ✗
Perpotongan garis 1 & sumbu x: \((6,0)\). Cek \(x+y\geq 4\): \(6\geq 4\) ✓
Perpotongan garis 2 & sumbu y: \((0,6)\). Cek \(x+y\geq 4\): \(6\geq 4\) ✓
Perpotongan garis 3 & sumbu x: \((4,0)\). Cek \(2(4)+0=8\leq 12\) ✓
Perpotongan garis 3 & sumbu y: \((0,4)\). Cek \(0+2(4)=8\leq 12\) ✓
Titik sudut HP: \((4,0)\), \((6,0)\), \((4,4)\), \((0,6)\), \((0,4)\).
Luas (menggunakan rumus Shoelace):
Urutan: \((4,0)\), \((6,0)\), \((4,4)\), \((0,6)\), \((0,4)\)
\(L = \frac{1}{2}|4(0)-6(0) + 6(4)-4(0) + 4(6)-0(4) + 0(4)-0(6) + 0(0)-4(4)|\)
\(= \frac{1}{2}|0 + 24 + 24 + 0 – 16| = \frac{1}{2}|32| = 16\) satuan luas.
4. Tentukan nilai minimum \(f(x,y) = 4x + 3y\) pada daerah: \(\begin{cases} x + y \geq 5 \\ 2x + y \leq 16 \\ x + 3y \leq 18 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Pembahasan:
Perpotongan \(x+y=5\) dan \(x=0\): \((0,5)\). Cek: \(2(0)+5=5\leq16\) ✓, \(0+15=15\leq18\) ✓
Perpotongan \(x+y=5\) dan \(y=0\): \((5,0)\). Cek: \(10\leq16\) ✓, \(5\leq18\) ✓
Perpotongan \(2x+y=16\) dan \(y=0\): \((8,0)\). Cek: \(8+0=8\geq5\) ✓, \(8\leq18\) ✓
Perpotongan \(2x+y=16\) dan \(x+3y=18\):
\(2x+y=16\) → \(y=16-2x\). Substitusi: \(x+3(16-2x)=18 \Rightarrow x+48-6x=18 \Rightarrow -5x=-30 \Rightarrow x=6, y=4\).
Cek \((6,4)\): \(6+4=10\geq5\) ✓
Perpotongan \(x+3y=18\) dan \(x=0\): \((0,6)\). Cek: \(0+6=6\geq5\) ✓, \(0+6=6\leq16\) ✓
Titik sudut: \((5,0)\), \((8,0)\), \((6,4)\), \((0,6)\), \((0,5)\).
Nilai minimum \(f = 15\) di titik \((0,5)\).
Perpotongan \(x+y=5\) dan \(x=0\): \((0,5)\). Cek: \(2(0)+5=5\leq16\) ✓, \(0+15=15\leq18\) ✓
Perpotongan \(x+y=5\) dan \(y=0\): \((5,0)\). Cek: \(10\leq16\) ✓, \(5\leq18\) ✓
Perpotongan \(2x+y=16\) dan \(y=0\): \((8,0)\). Cek: \(8+0=8\geq5\) ✓, \(8\leq18\) ✓
Perpotongan \(2x+y=16\) dan \(x+3y=18\):
\(2x+y=16\) → \(y=16-2x\). Substitusi: \(x+3(16-2x)=18 \Rightarrow x+48-6x=18 \Rightarrow -5x=-30 \Rightarrow x=6, y=4\).
Cek \((6,4)\): \(6+4=10\geq5\) ✓
Perpotongan \(x+3y=18\) dan \(x=0\): \((0,6)\). Cek: \(0+6=6\geq5\) ✓, \(0+6=6\leq16\) ✓
Titik sudut: \((5,0)\), \((8,0)\), \((6,4)\), \((0,6)\), \((0,5)\).
| Titik | \(f = 4x+3y\) |
|---|---|
| \((5,0)\) | 20 |
| \((8,0)\) | 32 |
| \((6,4)\) | 36 |
| \((0,6)\) | 18 |
| \((0,5)\) | 15 |
5. Sebuah perusahaan memproduksi produk X dan Y. Data produksi:
Keuntungan X = Rp5.000 dan Y = Rp4.000 per unit. Tentukan model matematika dan nilai keuntungan maksimum.
| Sumber Daya | Produk X | Produk Y | Tersedia |
|---|---|---|---|
| Bahan Baku (kg) | 4 | 2 | 120 |
| Tenaga Kerja (jam) | 2 | 5 | 100 |
| Mesin (jam) | 3 | 3 | 90 |
Pembahasan:
Misalkan \(x\) = produk X, \(y\) = produk Y. Fungsi tujuan: \(f = 5000x + 4000y\)
Sistem kendala:
\(\begin{cases} 4x + 2y \leq 120 \;\text{(bahan baku)} \\ 2x + 5y \leq 100 \;\text{(tenaga kerja)} \\ 3x + 3y \leq 90 \;\text{(mesin)} \Rightarrow x+y \leq 30 \\ x \geq 0, \; y \geq 0 \end{cases}\)
Sederhanakan: \(2x + y \leq 60\), \(2x + 5y \leq 100\), \(x + y \leq 30\).
Titik sudut:
• \((0,0)\)
• \(x+y=30\) dan \(y=0\): \((30,0)\). Cek: \(2(30)=60\leq60\) ✓, \(60\leq100\) ✓
• \(2x+y=60\) dan \(x+y=30\): kurangi → \(x=30, y=0\) → sama dengan di atas.
• \(x+y=30\) dan \(2x+5y=100\): \(x=30-y\), \(2(30-y)+5y=100 \Rightarrow 60-2y+5y=100 \Rightarrow 3y=40 \Rightarrow y=\frac{40}{3}\approx13{,}33, x=\frac{50}{3}\approx16{,}67\).
Cek: \(2(\frac{50}{3})+\frac{40}{3}=\frac{140}{3}\approx46{,}67\leq60\) ✓
• \(2x+5y=100\) dan \(x=0\): \(y=20\). Cek: \(0+20=20\leq30\) ✓, \(0+20=20\leq60\) ✓
Titik sudut: \((0,0)\), \((30,0)\), \((\frac{50}{3}, \frac{40}{3})\), \((0,20)\).
Keuntungan maksimum = Rp150.000 di titik \((30,0)\).
Misalkan \(x\) = produk X, \(y\) = produk Y. Fungsi tujuan: \(f = 5000x + 4000y\)
Sistem kendala:
\(\begin{cases} 4x + 2y \leq 120 \;\text{(bahan baku)} \\ 2x + 5y \leq 100 \;\text{(tenaga kerja)} \\ 3x + 3y \leq 90 \;\text{(mesin)} \Rightarrow x+y \leq 30 \\ x \geq 0, \; y \geq 0 \end{cases}\)
Sederhanakan: \(2x + y \leq 60\), \(2x + 5y \leq 100\), \(x + y \leq 30\).
Titik sudut:
• \((0,0)\)
• \(x+y=30\) dan \(y=0\): \((30,0)\). Cek: \(2(30)=60\leq60\) ✓, \(60\leq100\) ✓
• \(2x+y=60\) dan \(x+y=30\): kurangi → \(x=30, y=0\) → sama dengan di atas.
• \(x+y=30\) dan \(2x+5y=100\): \(x=30-y\), \(2(30-y)+5y=100 \Rightarrow 60-2y+5y=100 \Rightarrow 3y=40 \Rightarrow y=\frac{40}{3}\approx13{,}33, x=\frac{50}{3}\approx16{,}67\).
Cek: \(2(\frac{50}{3})+\frac{40}{3}=\frac{140}{3}\approx46{,}67\leq60\) ✓
• \(2x+5y=100\) dan \(x=0\): \(y=20\). Cek: \(0+20=20\leq30\) ✓, \(0+20=20\leq60\) ✓
Titik sudut: \((0,0)\), \((30,0)\), \((\frac{50}{3}, \frac{40}{3})\), \((0,20)\).
| Titik | \(f = 5000x + 4000y\) |
|---|---|
| \((0,0)\) | 0 |
| \((30,0)\) | 150.000 |
| \((\frac{50}{3}, \frac{40}{3})\) | \(5000(\frac{50}{3})+4000(\frac{40}{3})=\frac{250000+160000}{3}=\frac{410000}{3}\approx 136.667\) |
| \((0,20)\) | 80.000 |
Latihan Soal
📗 Latihan Soal Mudah
1. Tentukan apakah titik \((2, 3)\) memenuhi pertidaksamaan \(3x + 2y \leq 15\).
2. Gambarkan daerah penyelesaian dari \(x + 2y \leq 8\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\).
3. Tentukan apakah titik \((4, 1)\) memenuhi pertidaksamaan \(x – y > 2\).
4. Tuliskan sistem pertidaksamaan untuk daerah di kuadran I yang di bawah garis \(2x + y = 10\).
5. Tentukan titik potong garis \(3x + y = 9\) dengan sumbu \(x\) dan sumbu \(y\).
📙 Latihan Soal Sedang
1. Tentukan titik-titik sudut daerah penyelesaian dari: \(\begin{cases} x + y \leq 10 \\ 2x + y \leq 14 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
2. Sebuah toko roti membuat roti tawar dan roti manis. Roti tawar membutuhkan 2 kg tepung dan roti manis 3 kg tepung. Tepung tersedia 36 kg. Roti tawar membutuhkan 1 jam dan roti manis 1.5 jam. Waktu tersedia 15 jam. Buatlah model matematikanya.
3. Tentukan daerah HP dan titik sudut dari: \(\begin{cases} 3x + 2y \leq 18 \\ x + 2y \leq 10 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
4. Tentukan luas daerah penyelesaian dari: \(\begin{cases} x + y \leq 8 \\ x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}\)
5. Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya memiliki titik sudut \((0,0)\), \((5,0)\), \((3,4)\), \((0,6)\).
📕 Latihan Soal Sulit
1. Tentukan nilai maksimum dan minimum \(f(x,y) = 2x + 3y\) pada daerah: \(\begin{cases} x + y \leq 10 \\ x + 2y \leq 14 \\ 2x + y \leq 14 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
2. Sebuah perusahaan membuat produk P dan Q. Data:
Keuntungan P = Rp8.000 dan Q = Rp6.000. Tentukan keuntungan maksimum.
| Proses | P (jam) | Q (jam) | Kapasitas |
|---|---|---|---|
| Pemotongan | 2 | 3 | 60 |
| Perakitan | 4 | 2 | 80 |
| Finishing | 1 | 2 | 30 |
3. Tentukan daerah HP, titik-titik sudut, dan luas daerah dari: \(\begin{cases} x + y \leq 12 \\ 2x + y \leq 16 \\ x + 3y \leq 18 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
4. Tentukan nilai \(k\) agar sistem \(\begin{cases} x + y \leq k \\ 2x + y \leq 12 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\) memiliki daerah HP berbentuk segitiga.
5. Sebuah diet mengharuskan asupan minimal 60 unit protein dan 80 unit karbohidrat per hari. Makanan A mengandung 3 unit protein dan 5 unit karbohidrat per porsi (harga Rp10.000). Makanan B mengandung 4 unit protein dan 2 unit karbohidrat per porsi (harga Rp8.000). Tentukan kombinasi yang memenuhi syarat diet dengan biaya minimum.