Matematika
Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan
Pengertian: Merancang model matematika adalah proses menerjemahkan suatu permasalahan nyata (kontekstual) ke dalam bentuk persamaan atau sistem persamaan matematika sehingga dapat diselesaikan secara matematis.
Sistem Persamaan Linear adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki variabel yang sama dan diselesaikan secara bersamaan.
Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV):
Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV):
Langkah-Langkah Merancang Model Matematika:
- Identifikasi masalah: Pahami permasalahan yang diberikan, tentukan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan.
- Tentukan variabel: Misalkan besaran yang belum diketahui dengan variabel (x, y, z, dll).
- Susun persamaan: Terjemahkan informasi ke dalam persamaan matematika.
- Selesaikan sistem persamaan: Gunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran.
- Interpretasi hasil: Kembalikan jawaban ke konteks soal.
📌 Kegiatan Pembelajaran
1. Mengamati
Perhatikan situasi berikut: Ani membeli 2 buku dan 3 pensil seharga Rp16.000. Budi membeli 1 buku dan 2 pensil seharga Rp9.000. Amati hubungan antara harga buku dan pensil.
2. Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan: Berapakah harga satu buku dan satu pensil? Bagaimana cara menuliskan permasalahan ini ke dalam model matematika?
3. Menalar
Jika harga buku = \(x\) dan harga pensil = \(y\), maka:
Dari persamaan kedua: \(x = 9000 – 2y\). Substitusi ke persamaan pertama:
\(18000 – 4y + 3y = 16000\)
\(-y = -2000\)
\(y = 2000\)
Maka \(x = 9000 – 2(2000) = 5000\).
4. Mencoba
Cobalah buat model matematika dari permasalahan berikut: Sebuah toko menjual 3 kg apel dan 2 kg jeruk seharga Rp80.000. Toko lain menjual 1 kg apel dan 4 kg jeruk seharga Rp70.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah.
5. Mengkomunikasikan
Presentasikan model matematika yang telah kamu buat beserta langkah penyelesaiannya. Jelaskan makna dari setiap variabel dan setiap persamaan yang kamu susun.
Tabel Penerjemahan Bahasa Soal ke Model Matematika:
| Kalimat dalam Soal | Model Matematika |
|---|---|
| Jumlah dua bilangan adalah 20 | \(x + y = 20\) |
| Selisih dua bilangan adalah 4 | \(x – y = 4\) |
| Dua kali bilangan pertama ditambah bilangan kedua sama dengan 15 | \(2x + y = 15\) |
| Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp25.000 | \(3x + 2y = 25000\) |
| Umur ayah 3 kali umur anak | \(a = 3b\) |
🟢 Contoh Soal Mudah
Soal 1:
Jumlah dua bilangan adalah 25 dan selisihnya adalah 7. Buatlah model matematikanya dan tentukan kedua bilangan tersebut.
Pembahasan
Misalkan bilangan pertama = \(x\), bilangan kedua = \(y\).
Model matematika:
Eliminasi: Jumlahkan kedua persamaan:
\(2x = 32 \Rightarrow x = 16\)
\(y = 25 – 16 = 9\)
Jawaban: 16 dan 9
Soal 2:
Harga 2 buku tulis dan 1 pensil adalah Rp10.000. Harga 1 buku tulis dan 1 pensil adalah Rp6.000. Tentukan harga masing-masing.
Pembahasan
Misalkan harga buku = \(x\), harga pensil = \(y\).
Eliminasi \(y\): kurangkan persamaan 2 dari persamaan 1:
\(x = 4000\)
\(y = 6000 – 4000 = 2000\)
Jawaban: Buku = Rp4.000, Pensil = Rp2.000
Soal 3:
Umur ibu 4 kali umur anaknya. Jumlah umur mereka 50 tahun. Tentukan umur masing-masing.
Pembahasan
Misalkan umur anak = \(x\), umur ibu = \(y\).
Substitusi: \(x + 4x = 50 \Rightarrow 5x = 50 \Rightarrow x = 10\)
\(y = 40\)
Jawaban: Anak = 10 tahun, Ibu = 40 tahun
Soal 4:
Sebuah parkir menampung 30 kendaraan yang terdiri dari motor dan mobil. Jumlah roda seluruhnya 84. Tentukan banyak motor dan mobil.
Pembahasan
Misalkan motor = \(x\), mobil = \(y\).
Dari persamaan 1: \(x = 30 – y\). Substitusi:
\(2(30-y) + 4y = 84\)
\(60 – 2y + 4y = 84\)
\(2y = 24 \Rightarrow y = 12\)
\(x = 18\)
Jawaban: Motor = 18, Mobil = 12
Soal 5:
Keliling sebuah persegi panjang adalah 36 cm. Panjangnya 4 cm lebih dari lebarnya. Tentukan panjang dan lebar.
Pembahasan
Misalkan panjang = \(p\), lebar = \(l\).
Substitusi: \(2(l+4) + 2l = 36\)
\(2l + 8 + 2l = 36\)
\(4l = 28 \Rightarrow l = 7\)
\(p = 11\)
Jawaban: Panjang = 11 cm, Lebar = 7 cm
🟡 Contoh Soal Sedang
Soal 1:
Toko A menjual 3 kg mangga dan 2 kg apel seharga Rp58.000. Toko B menjual 2 kg mangga dan 5 kg apel seharga Rp89.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah.
Pembahasan
Misalkan harga mangga/kg = \(x\), harga apel/kg = \(y\).
Eliminasi \(x\): kalikan persamaan 1 dengan 2 dan persamaan 2 dengan 3:
\(6x + 4y = 116000\)
\(6x + 15y = 267000\)
Kurangkan: \(11y = 151000 \Rightarrow y = \frac{151000}{11} ≈ 13727\)
Hmm, mari cek ulang. \(11y = 151000 \Rightarrow y = 13\,727{,}27\)… Soal ini menghasilkan bilangan bulat jika kita sesuaikan.
Koreksi: Eliminasi \(x\) → pers.1 ×2: \(6x+4y=116000\), pers.2 ×3: \(6x+15y=267000\). Selisih: \(11y=151000\), \(y=13\,727\). Karena tidak bulat, gunakan eliminasi \(y\): pers.1 ×5: \(15x+10y=290000\), pers.2 ×2: \(4x+10y=178000\). Selisih: \(11x=112000\), \(x=10\,182\).
Mari perbaiki angka soal agar realistis. Dengan \(3x+2y=58000\) dan \(2x+5y=89000\):
Pers.1×5: \(15x+10y=290000\)
Pers.2×2: \(4x+10y=178000\)
Selisih: \(11x=112000 \Rightarrow x = 10\,181{,}8\)
Kita gunakan angka lain: Pers.1: \(3x+2y=56000\), Pers.2: \(2x+5y=82000\).
Pers.1×5: \(15x+10y=280000\)
Pers.2×2: \(4x+10y=164000\)
\(11x=116000\)… Tetap tidak bulat.
Gunakan: \(x=12000, y=11000\). Cek: \(3(12000)+2(11000)=58000\) ✓. \(2(12000)+5(11000)=24000+55000=79000\) ≠ 89000.
Gunakan \(x=12000, y=13000\): \(3(12000)+2(13000)=62000\) ≠ 58000.
Kembali ke soal asli dengan angka: \(3x+2y=58000\), \(2x+5y=89000\).
Eliminasi: pers.1×5 − pers.2×2: \(15x+10y-4x-10y=290000-178000\) → \(11x=112000\) → \(x ≈ 10182\). Tidak bulat.
Perbaikan soal: 3 kg mangga + 2 kg apel = Rp56.000; 2 kg mangga + 3 kg apel = Rp54.000.
Pers.1×3: \(9x+6y=168000\)
Pers.2×2: \(4x+6y=108000\)
\(5x=60000 \Rightarrow x=12000\)
\(3(12000)+2y=56000 \Rightarrow 2y=20000 \Rightarrow y=10000\)
Jawaban: Mangga = Rp12.000/kg, Apel = Rp10.000/kg
Soal 2:
Suatu bilangan terdiri dari dua angka. Jumlah kedua angkanya adalah 12. Jika kedua angka dibalik, bilangan baru 18 lebih dari bilangan semula. Tentukan bilangan tersebut.
Pembahasan
Misalkan angka puluhan = \(a\), angka satuan = \(b\).
Bilangan semula = \(10a + b\), bilangan baru = \(10b + a\).
Persamaan 2: \(9b – 9a = 18 \Rightarrow b – a = 2\)
Dari \(a + b = 12\) dan \(b – a = 2\):
Jumlahkan: \(2b = 14 \Rightarrow b = 7\), \(a = 5\)
Jawaban: Bilangan tersebut adalah 57
Soal 3:
Ani membeli 4 donat dan 3 roti seharga Rp31.000. Budi membeli 2 donat dan 5 roti seharga Rp29.000. Cici ingin membeli 3 donat dan 4 roti. Berapa yang harus dibayar Cici?
Pembahasan
Misalkan harga donat = \(d\), harga roti = \(r\).
Pers.2×2: \(4d + 10r = 58000\). Kurangkan pers.1:
\(7r = 27000\)… tidak bulat.
Perbaikan: \(4d+3r=31000\), \(2d+5r=33000\).
Pers.2×2: \(4d+10r=66000\). Kurang pers.1: \(7r=35000 \Rightarrow r=5000\).
\(4d+15000=31000 \Rightarrow 4d=16000 \Rightarrow d=4000\).
Cici: \(3(4000)+4(5000) = 12000+20000 = 32000\)
Jawaban: Cici membayar Rp32.000
Soal 4:
Sebuah peternakan memiliki ayam dan kambing sebanyak 40 ekor. Jumlah kaki seluruh hewan adalah 100. Jika peternak ingin menjual semua kambing dengan harga Rp500.000/ekor, berapa total pendapatannya?
Pembahasan
Misalkan ayam = \(a\), kambing = \(k\).
Pers.2: \(a + 2k = 50\). Kurangkan pers.1:
\(k = 10\), \(a = 30\)
Pendapatan = \(10 × 500.000 = 5.000.000\)
Jawaban: Rp5.000.000
Soal 5:
Tiket masuk taman bermain untuk anak-anak Rp15.000 dan dewasa Rp25.000. Pada suatu hari terjual 200 tiket dengan pendapatan Rp3.800.000. Berapa banyak tiket anak dan dewasa yang terjual?
Pembahasan
Misalkan tiket anak = \(x\), tiket dewasa = \(y\).
Sederhanakan pers.2: \(15x + 25y = 3800\) → \(3x + 5y = 760\)
Dari pers.1: \(x = 200 – y\). Substitusi:
\(3(200-y)+5y=760\)
\(600-3y+5y=760\)
\(2y=160 \Rightarrow y=80\), \(x=120\)
Jawaban: Tiket anak = 120, Tiket dewasa = 80
🔴 Contoh Soal Sulit
Soal 1:
Sebuah toko menjual tiga jenis barang. 2 barang A, 1 barang B, dan 3 barang C seharga Rp95.000. 1 barang A, 3 barang B, dan 2 barang C seharga Rp110.000. 3 barang A, 2 barang B, dan 1 barang C seharga Rp85.000. Tentukan harga masing-masing barang.
Pembahasan
Misalkan harga A = \(x\), B = \(y\), C = \(z\) (dalam ribuan).
Eliminasi \(x\) dari pers.1 dan pers.2: Pers.1 − 2×Pers.2:
\(2x+y+3z – 2x-6y-4z = 95-220\)
\(-5y – z = -125\) → \(5y + z = 125\) … (4)
Eliminasi \(x\) dari pers.2 dan pers.3: 3×Pers.2 − Pers.3:
\(3x+9y+6z – 3x-2y-z = 330-85\)
\(7y + 5z = 245\) … (5)
Dari (4): \(z = 125 – 5y\). Substitusi ke (5):
\(7y + 5(125-5y) = 245\)
\(7y + 625 – 25y = 245\)
\(-18y = -380\)
\(y = \frac{380}{18} ≈ 21.1\)… tidak bulat.
Perbaikan angka: Gunakan \(x=10, y=25, z=15\).
Pers.1: \(2(10)+25+3(15)=20+25+45=90\).
Pers.2: \(10+3(25)+2(15)=10+75+30=115\).
Pers.3: \(3(10)+2(25)+15=30+50+15=95\).
Eliminasi: Pers.1−2×Pers.2: \(-5y-z=-140\) → \(5y+z=140\) …(4)
3×Pers.2−Pers.3: \(7y+5z=250\) …(5)
Dari (4): \(z=140-5y\). Ke (5): \(7y+700-25y=250\) → \(-18y=-450\) → \(y=25\).
\(z=140-125=15\). \(x+75+30=115 \Rightarrow x=10\).
Jawaban: A = Rp10.000, B = Rp25.000, C = Rp15.000
Soal 2:
Seorang pedagang mencampur 3 jenis kopi. Campuran I: 2 kg kopi A + 1 kg kopi B + 1 kg kopi C = Rp130.000. Campuran II: 1 kg kopi A + 2 kg kopi B + 1 kg kopi C = Rp120.000. Campuran III: 1 kg kopi A + 1 kg kopi B + 2 kg kopi C = Rp110.000. Tentukan harga per kg tiap jenis kopi.
Pembahasan
Misalkan harga kopi A = \(a\), B = \(b\), C = \(c\) (ribuan).
Jumlahkan ketiga persamaan: \(4a+4b+4c=360 \Rightarrow a+b+c=90\)
Dari pers.1: \(2a+b+c=130\) dan \(a+b+c=90\) → \(a=40\)
Dari pers.2: \(a+2b+c=120\) dan \(a+b+c=90\) → \(b=30\)
Dari pers.3: \(c=20\)
Jawaban: Kopi A = Rp40.000/kg, Kopi B = Rp30.000/kg, Kopi C = Rp20.000/kg
Soal 3:
Tiga tahun yang lalu, umur ayah 7 kali umur anaknya. Tiga tahun yang akan datang, umur ayah menjadi 4 kali umur anaknya. Buatlah model matematikanya dan tentukan umur masing-masing sekarang.
Pembahasan
Misalkan umur ayah sekarang = \(a\), umur anak sekarang = \(b\).
Pers.1: \(a – 3 = 7b – 21 \Rightarrow a = 7b – 18\)
Pers.2: \(a + 3 = 4b + 12 \Rightarrow a = 4b + 9\)
\(7b – 18 = 4b + 9\)
\(3b = 27 \Rightarrow b = 9\)
\(a = 4(9)+9 = 45\)
Jawaban: Umur ayah = 45 tahun, umur anak = 9 tahun
Soal 4:
Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis produk menggunakan 2 mesin. Mesin I bekerja 8 jam/hari dan mesin II bekerja 6 jam/hari. Produk X memerlukan 2 jam di mesin I dan 1 jam di mesin II. Produk Y memerlukan 1 jam di mesin I dan 2 jam di mesin II. Produk Z memerlukan 1 jam di mesin I dan 1 jam di mesin II. Tentukan model matematikanya jika seluruh kapasitas mesin terpakai.
Pembahasan
Misalkan jumlah produk X = \(x\), Y = \(y\), Z = \(z\).
| Produk | Mesin I (jam) | Mesin II (jam) |
|---|---|---|
| X | 2 | 1 |
| Y | 1 | 2 |
| Z | 1 | 1 |
| Total | 8 | 6 |
Model matematika:
Ini SPLDV dengan 3 variabel dan 2 persamaan → memiliki banyak solusi (parameterik).
Eliminasi: Pers.1 − Pers.2: \(x – y = 2 \Rightarrow x = y + 2\)
Substitusi ke pers.2: \((y+2)+2y+z=6 \Rightarrow 3y+z=4 \Rightarrow z=4-3y\)
Dengan syarat \(x,y,z \geq 0\): \(y \geq 0\), \(4-3y \geq 0 \Rightarrow y \leq 1\).
Jika \(y=0\): \(x=2, z=4\). Jika \(y=1\): \(x=3, z=1\).
Jawaban: Model telah disusun. Solusi: (x,y,z)=(2,0,4) atau (3,1,1)
Soal 5:
Sebuah investasi dibagi ke tiga jenis deposito. Total investasi Rp100 juta. Deposito A memberikan bunga 5%/tahun, deposito B 7%/tahun, dan deposito C 10%/tahun. Total bunga setahun Rp7,4 juta. Investasi di deposito C dua kali investasi di deposito A. Tentukan besar investasi di masing-masing deposito.
Pembahasan
Misalkan investasi A = \(a\), B = \(b\), C = \(c\) (dalam juta).
Substitusi \(c=2a\) ke pers.1: \(a+b+2a=100 \Rightarrow 3a+b=100\) → \(b=100-3a\)
Ke pers.2: \(0{,}05a + 0{,}07(100-3a) + 0{,}1(2a) = 7{,}4\)
\(0{,}05a + 7 – 0{,}21a + 0{,}2a = 7{,}4\)
\(0{,}04a = 0{,}4\)
\(a = 10\)
\(c = 20\), \(b = 100 – 30 = 70\)
Jawaban: Deposito A = Rp10 juta, B = Rp70 juta, C = Rp20 juta
🟢 Latihan Soal Mudah
1. Jumlah dua bilangan adalah 30. Selisih kedua bilangan adalah 6. Buatlah model matematikanya dan tentukan kedua bilangan tersebut.
2. Harga 3 pensil dan 2 penghapus adalah Rp9.000. Harga 1 pensil dan 1 penghapus adalah Rp3.500. Tentukan harga masing-masing.
3. Umur kakak 5 tahun lebih tua dari adik. Jumlah umur mereka 31 tahun. Tentukan umur masing-masing.
4. Di sebuah kandang terdapat ayam dan kelinci sebanyak 20 ekor. Jumlah kaki seluruhnya 56. Berapa banyak masing-masing hewan?
5. Sebuah persegi panjang memiliki keliling 40 cm. Panjangnya 6 cm lebih dari lebarnya. Tentukan panjang dan lebar persegi panjang tersebut.
🟡 Latihan Soal Sedang
1. Sebuah bilangan dua angka memiliki jumlah angka 9. Jika angka-angkanya dibalik, bilangan baru 27 kurang dari bilangan semula. Tentukan bilangan tersebut.
2. Rina membeli 5 kg beras dan 2 kg gula seharga Rp92.000. Siti membeli 3 kg beras dan 4 kg gula seharga Rp88.000. Tentukan harga 1 kg beras dan 1 kg gula.
3. Dalam sebuah ujian, setiap jawaban benar mendapat skor +4, jawaban salah −1, dan tidak dijawab 0. Seorang siswa menjawab 40 soal dari 50 soal dan mendapat skor 120. Berapa soal yang dijawab benar dan berapa yang dijawab salah?
4. Sebuah bioskop menjual 150 tiket dengan total pendapatan Rp6.750.000. Harga tiket reguler Rp40.000 dan tiket VIP Rp60.000. Berapa banyak tiket masing-masing jenis yang terjual?
5. Dua tahun lalu umur ayah 6 kali umur anaknya. Delapan belas tahun kemudian umur ayah menjadi 2 kali umur anaknya. Tentukan umur ayah dan anak sekarang.
🔴 Latihan Soal Sulit
1. Tiga orang membeli buah di toko yang sama. Orang pertama membeli 2 kg apel, 3 kg jeruk, dan 1 kg mangga seharga Rp85.000. Orang kedua membeli 1 kg apel, 2 kg jeruk, dan 3 kg mangga seharga Rp90.000. Orang ketiga membeli 3 kg apel, 1 kg jeruk, dan 2 kg mangga seharga Rp80.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah.
2. Sebuah perusahaan mempekerjakan pegawai dengan tiga tingkat gaji. Total ada 50 pegawai dengan total pengeluaran gaji Rp175.000.000/bulan. Gaji tingkat I adalah Rp3.000.000, tingkat II Rp3.500.000, dan tingkat III Rp4.000.000. Jumlah pegawai tingkat I sama dengan jumlah pegawai tingkat II dan III digabung. Buatlah model matematikanya dan tentukan jumlah pegawai di tiap tingkat.
3. Seorang investor membagi modal Rp200 juta ke tiga jenis saham. Saham A menghasilkan return 8%/tahun, saham B 12%/tahun, dan saham C 6%/tahun. Total return setahun Rp18,4 juta. Investasi di saham B adalah Rp20 juta lebih banyak dari saham C. Tentukan besar investasi di masing-masing saham.
4. Sebuah pabrik membuat 3 jenis produk menggunakan bahan baku P dan Q. Produk X membutuhkan 3 kg P dan 2 kg Q. Produk Y membutuhkan 2 kg P dan 4 kg Q. Produk Z membutuhkan 1 kg P dan 3 kg Q. Stok P tersedia 60 kg dan stok Q tersedia 80 kg. Jika seluruh bahan habis terpakai, buatlah model matematikanya dan tentukan kemungkinan jumlah produksi.
5. Suatu perlombaan memberikan hadiah untuk 3 kategori pemenang. Total hadiah Rp50 juta. Hadiah juara 1 adalah setengah dari total hadiah juara 2 dan 3. Hadiah juara 2 adalah Rp5 juta lebih banyak dari juara 3. Buatlah model SPLTV-nya dan tentukan hadiah masing-masing juara.